Bài tập hình học Bài 1: Cho nửa đờng tròn có tâm O và đờng kính AB=2R. M là trung điểm của OA, đờng thẳng qua M và vuông góc với AB cắt nửa đờng tròn tại D, đờng thẳng trung trực của AB cắt nửa đờng tròn tại C. a, Tính AD, AC, BD, DM theo R b, Tính các góc của tứ giác ABCD. c, Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC. CMR: IH AB. Bài 2: Cho tam giác ABD vuông cân tại A. Nửa đờng thẳng Bx nằm trong góc B, Bx cắt AC tại D. Dựng Cy Bx tại E, Cy cắt BA kéo dài ở F. a, Chứng minh FD BC. Tính ã BFD b, Chứng minh tứ giác ADEF nội tiếp. Từ đó suy ra EA là phân giác của ã FEB c, Cho ã 0 30ABx = và BC=a. Tính AB, AD theo a Bài 3: Cho đơng tròn tâm O, bán kính R. Vẽ 2 đờng kính vuông góc với nhau AB và CD. Lấy E trên OA sao cho 1 3 OE OA = , CE cắt (O) tại M a, Tính CE theo R. b, Chứng minh 4 điểm M, E, O, D nằm trên một đờng tròn. Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MEOD. c, Chứng minh hai tam giác CEO và CDM đồng dạng và tính độ dài đờng cao vẽ từ M của tam giác CDM Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, AH là đờng cao và AM là đờng trung tuyến (H, M nằm trên BC). Đờng tròn tâm H đờng kính AH cắt AB, AC lần lợt tại D và E. a, Chứng minh rằng D, H, E thẳng hàng b, Chứng minh MA DE và chứng minh tứ giác DBCE nội tiếp trong một đờng tròn mà ta phải xác định tâm O. c, Tứ giác AMOH là hình gì ? d, Trong trờng hợp góc C = 30 0 . Tìm hình tính tam giác AHE từ đó tính diện tích tam giác HEC theo a = AH Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhọn. Vẽ đờng cao BM của ABC. Chứng minh: 2 2 1 AM AB MC BC = ữ Bài 6: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, Chứng minh hệ thức: 2 2 2 2 2 2 BC AB AC AM+ = + Bài 7: Cho đờng tròn (O;R) vẽ hai dây cung bất lỳ cắt nhau tại I là AB và CD. I nằm trong (O;R). Gọi M là trung điểm của BD. MI kéo dài cắt AC tại N. CMR: 2 2 AN IA NC IC = Bài 8: Cho tam giác ABC có à 0 60A = . CMR: 2 2 2 .BC AB AC AB AC= + Bài 9: Cho tam giác ABC có phân giác trong CD và phân giác ngoài CE bằng nhau (D, E thuộc AB) nội tiếp trong đờng tròn (O;R). a, Chứng minh: ã ã 0 60ABC BAC= + b, Chứng minh: 2 2 2 4AC BC R+ = Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại C có BC<AC. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp và I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. Biét rằng tam giác BIO vuông. Chứng minh rằng: a, ã 0 90BIO = b, r = p c c, 2 2 2 2 2 3a b c ac bc+ + = + Bài 11: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O;R). M là bất kì trên cung nhỏ ằ BC , M khác B và C. a, Chứng minh: MA = MB + MC b, Gọi D là giao điểm của AM và BC. CMR: 1 1 1 MD MB MC = + c, dựng về phía ngoài các tam giác đều BCA 1 ; CAB 1 ; ABC 1 . Chứng minh rằng: AA 1 , BB 1 , CC 1 đồng quy tại điểm O và ta có hệ thức: ( ) 1 1 1 1 2 OA OB OC OA OB OC+ + = + + d, Gọi 2 2 2 , ,A B C lần lợt là giao điểm của AA 1 , BB 1 , CC 1 với BC, CA và AB. Chứng minh rằng: 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2OA OB OC OA OB OC + + = + + ữ Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Chứng minh các hệ thức: a, 1 1 2 AC AB AD + = b, 1 1 2 AB AC AE = Bài 13: Cho tam giác ABC cân tạiA có à 0 20A = ; AB =AC =b, BC = a. Chứng minh hệ thức: 3 3 2 3a b ab+ = Bài 14: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) ngoại tiếp đờng tròn (O;R). Chứng minh hệ thức: 2 . 4AB AC R= Bài 15: Cho tam giác ABC có AB = 2.AC, phân giác trong AD. Gọi r, r 1 , r 2 lần lợt là bán kính các đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, ACD, ABD và p là nửa chu vi tam giác ABC. Chứng minh hệ thức: 1 2 1 2 2 pr AD p r r = + ữ Bài 16: Cho tam giác ABC có phân giác AD. a, CMR: 2 . .AD AB AC DB DC= b, Tính AD theo độ dài ba cạnh a,b,c của tam giác ABC Bài 17: Cho tam giác ABC cân tại A. Một đờng tròn có tâm O trên BC và tiếp xúc với AB và AC. Tiếp tuyến (d) của đờng tròn (O) cắt AB tại P và cắt AC tại Q. a, Chứng minh: 2 4 .BC BP CQ= b, Ngợc lại: chứng minh nếu 2 4 .BC BP CQ= thì đoạ thẳng PQ tiếp xúc với đờng tròn (O) (P thuộc AB, Q thuộc AC) Bài 18: Cho tam giác ABC đều. M là điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Gọi G là giao điểm của 3 đ- ờng phân giác (M khác G). Đờng thẳng GM cắt các đờng thẳng AB, BC, CA lần lợt tại C, B, A. Chứng minh: ' ' ' 3 ' ' ' MA MB MC GA GB GC + + = Bài 19: Cho tam giác ABC bất kì. G là trọng tâm của tam giác ABC và M là điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC (M khác G). Đờng thẳng GM cắt các đờng thẳng AB, BC, CA lần lợt tại C, B, A. Chứng minh: ' ' ' 3 ' ' ' MA MB MC GA GB GC + + = Bài 20: Cho tam giác ABC, O là điểm bất kì nằm trong tam giác. Dựng các đơng thẳng DE, FK, MN tơng ứng song song với AB, AC và BC sao cho F và M nằm trên cạnhAB, A và K nằm trên cạnh BC, N và D nằm trên cạnh AC a, Chứng minh: 1 AF BE CN AB BC CA + + = b, Đặt ( ) 2 1 2 3 1 2 3 , , , . : OFM OEK ODN ABC S S S S S S S S CMR S S S S= = = = = + + 2 . Bài tập hình học Bài 1: Cho nửa đờng tròn có tâm O và đờng kính AB=2R. M là trung điểm của OA, đờng thẳng qua M và vuông góc với AB cắt nửa. 10: Cho tam giác ABC vuông tại C có BC<AC. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp và I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. Biét rằng tam giác BIO vuông.