-Ill fRANG THU VI $N OH NHATRANC G S T S Vế NH C U TNH KT CU C BIT THEO PHNG PHP PHN T HU HN Ti liu tham kho dựng cho : - Sinh viờn i hc - Sinh viờn cao hc - Nghiờn cu sinh - K s Cỏc ngnh : - Xõy dng - Ch to c khớ i H V iU '' V 0 ,* NH XUT BN XY DNG H N ễ I-2007 LI M U Trong ti liu Ă] J, tỏc gi ó trỡnh by cỏc nguyờn lớ c bn v phng phỏp phn t hu hn v ch yu cp n h Trong cun sỏch ny, mt sụ'phn t hu hn cựng tham s cú bc cao ó dc m rng d ỏp dng cho bi toỏn chiu, bed toỏn chiu, bi toỏn tớnh bỏn chu un v v Ni dung trỡnh by liờn quan n kin thc nhiu mt v toỏn hc, C hc Do dú, dc hiu sỏch, bn dc cn cú nhng kin thc c ban v lớ thuyt n hi, o hm, tớch phn, hỡnh gii tớch, i s vect v ma trn Vỡ cỏc phn t hu hn trỡnh by sỏch ch yu l loi cựng tham s nờn t chng du, tỏc gi ó nờu lờn khỏi nim v phn t hu hn cựng tham s v phng phỏp tớch phỏn bng sụ' theo phộp ton phng Gauss Cn nhn mnh rng cỏc vớ d nờu sỏch cú lng tớnh ln, khụng th tớnh bng tay m phi nh vo s h tr ca nhng chng trỡnh tớnh tỏc giỏ biờn son Vỡ vy, bn c cng cn cú nhng kin thc c bỏn v tin hc Cng cn nhn mnh them rng cỏc vớ d cú tớnh cht lớ thuyt d giỳp cho bn dc kỡm quen vi ni dung tớnh v vic s dng chng trỡnh Tt nhiờn, cỏc chng trỡnh tỏc gi biờn son cha dc hon ho, mong bn c ci tin d dc hon ho hn Sỏch gm tt c chng: Chng 1: Phỏn t hu hn cựng tham s Phng phỏp tớch phõn bng s Cỏch gim cp ca ma trn Chng 2: Cỏc phn t hu hn hỡnh tam giỏc dựng cho bi toỏn chiu Chng 3: Cỳc phn t hu hn hỡnh t giỏc dựng chu bi toỏn chiu Chng 4: Tớnh vt rn trũn xoay chu tỏi trng di xng Chng 5: Cỳc phn t hu hn dựng cho bi toỏn chiu Chng : Tớnh tm chu un Chng 7: Tớnh v Cun sỏch cú mt s chng trỡnh tớnh theo ngụn ng Pascal 7.0 Do nhng nguyờn nhõn ch c/itan v khỏch quan, khụng th trỏnh dc sai sút, mong bn dc phờ bỡnh v gúp Tỏc gi chem thnh cm n Ban Biờn Sỏch Khoa hc k thut Nh xut bn Xcv dng dó tham gia biờn vự cho xut ban sỏch Cui cựng, tỏc gi tú lng cam n Trng Ban Biờn Trn Cng ó ht lũng giỳp d v c v hon thnh tt vic biờn son sỏch Tỏc gi C hng PHN T HU HN (PTHH) CNG THAM s PHNG PHP TCH PHN BNG S CCH GIM CP CA MA TRN 1.1 KHI NIM Vấ PTHH CNG THAM s Cỏc PTHH n gin nh hỡnh tam giỏc, hỡnh ch nht khụng th ỏp ng c yờu cu ca cỏc bi toỏn phc iu ny a n s phỏt trin ca cỏc phn t cú hỡnh dng bt kỡ m ta gi l phn t hu hn cựng tham s Nhng phn t ny c dựng rng rói cỏc bi toỏn chiu, chiu, bi toỏn tớnh bn, tớnh v Khỏi nim v PTHH cựng tham s da trờn c s aphn t gc h ta t nhiờn v phn t cú hỡnh bt kỡ h ta cỏc ng thi, hm hỡnh dng ca PTHH cựng tham s phi cú chc nng (chng hn ly vớ d hỡnh t giỏc nỳt): Dựng tớnh chuyn v PTHH: u = ÊN,.u, v i=l = ÊN,.v, (1-1) Ă=1 Dựng tớnh ta PTHH: x = Ni-xi i=l y = N ớ-yi i=l (1' 2) Trong ú: Uj - chuyn v trờn phng X ti nỳt i; V - chuyn v trờn phng y ti nỳt i; X|, y - ta X, y ti nỳt i; N - hm hỡnh dng ti nỳt i Hm hỡnh dng N| c biu th qua cỏc bin r, s h ta t nhiờn Nú giỳp ta xỏc nh kớch thc hỡnh hc ca phn t h ta cỏc Mt s vớ d v PTHH cựng tham s biu th trờn hỡnh 1.1 i vi PTHH cựng tham s, ta cú th thit lp mi quan h gia o hm ca mt i lng no dú i vi cỏc bin h ta cỏc v o hm ca i lng ú i vi cỏc bin h ta t nhiờn Hỡnh 1.1: M: sụ' PTHH cựng tham s Sau õy l mt vớ d v PTHH t giỏc nỳt h ta chiu Xột hỡnh tc giỏc chiu trờri hỡnh 1.2, PTHH gc hỡnh ch nht (hỡnh 1.2a) c a v hỡnh vuụng h ta t nhiờn (hỡnh 1,2b), sau ú li a v hỡnh t giỏc bt kỡ vi cỏc cnh thng (hỡnh 1.2c) f(x3.y2) 2b a) b) c) Hỡnh 1.2 : a) PTHH gc (hỡnh ch nht); b) Hỡnh vuụng h ta t nhiờn; c) PTHH t giỏc cựng tham s Nh sau ny ta s thy, cỏc hm hỡnh dng cú dng nh sau: N _ (1 r ) ( l- s ) N = (1 + r)(l + s) (1-3) XT _ ( l + r ) ( l- s ) ( l - r ) ( l + s) Trong ú: r v s - cỏc bin h ta t nhiờn Nh trờn ó nh ngha, cỏc hm hỡnh dng cú th dựng xỏc nh ta ngha l cú thờ xỏc dnh kớch thc hỡnh hc ca mt t giỏc bt kỡ h ta cỏc: 'X |' Y| x2 |y | N, N, n n4 n3 n - "N, y3 x4 y4 H thc trờn cng giỳp ta xỏc nh ta ca mt im bt kỡ PTHH ó bit giỏ tr ca cỏc bin r, s h ta t nhiờn Bõy gi, ta hóy thit lp mi quan h gia o hm ca mt i lng no ú i vi cỏc bin (r, s) h ta t nhiờn v o hm ca i lng ú i vi cỏc bin (x, y) h ta cỏc Theo nguyờn tc tớnh o hm riờng, ta cú: _ ừx ụ ừy ừr ừx r y r _ ừx ừs ụx s ụy ừs dy Di dng ma trn ta cú: '' x r , = d ừx s _ s y" ' ' x r < ừx = [J] ừy ừs _ ,y ,y ( 1- ) Trong ú: [J] gi l ma trn Jacobian T (1-6), o hm i vi cỏc bin (x, y) h ta cỏc cú th vit: > (1-7) Trong ú: [J] l nghch o ca ma trn Jacobian 4 T (1-4), ta cú X = ^ N |X j v y = i=i Ă=1 nờn ma trn Jacobian [J] cú th vit: Cn chỳ ý rng N l mt hm ca (r, s) N, N2 N3 N4 - [J] = ' X1 y x2 y2 ( 1- ) x3 y3 s _x4 y4 - Cón c vo (1-3), ta cú: (l-s ) m= (1 -r) (1 + s)" ' xi x2 (1 + s) (1 -s) (1 + r) (1 + r) (1 -r) x3 _X4 yi" y2 (1-9) y3 y4 Gi s ma trn nghch o Jacobian [J] 1cú cỏc thnh phn: J [J]j = J , L 21 J 10) 12 ( - 22 Cn c vo (1-7), ta cú: u u r x J 12 0 J2I* J 22ằ 0 0 J 11 J 21 J , 12 J , 22 u y v x 0 v u s Ov ( 1- 1 ) ór v ids [yj Theo lớ thuyt n hi, vect bin dng nh sau: u x Y xy 0 u 'o y o H \ o Gx ừy > ễv 1 ụx ễv [ yj Thay vo h thc (1-11), ta c: ( 1- 12 ) du ~ụù e}= J 11 J , 12 0 0 J 21 ^22 J 11 J J L 21 J 22 Ou S 12 (1-13) V Ơ V S , T h thc trờn, ta thy rng tớnh ma trn bin dng - chuyn v [B], ta phi tớnh o hm ca cỏc chuyn v U v Vi vi cỏc bin r, s h ta t nhiờn Nh trờn trỡnh by, chuyn v cú th vit: = Ni"i i=l ' = ! > , ' ) i=l (1-14) U l ta trờn phng X ti nỳt i; V| l ta trờn phng y N l hm hỡnh dng ti nỳt i ó c trỡnh by (1-3) Cn c vo (1-14), ta cú h thc ma trn: du dN| r du dr dN| s dv s dr v ds J dN2 0 dr N2 ds dN, dr dNj s dN3 dN3 0 r N2 s 0 s dN2 0 r N4 d u2 n s dN3 dr dN3 ừs u,1 V V,1 v2 N4 u3 ếT v3 u4 N4 (1-15) s _ Cn c vo (1-3), ma trn [f] cú th vit: 1- s 1- r 0 0 1- s -r 1s 1+ r 0 0 l-s 1+ r 1+ s 1+ s 1+ r -r 1+ s 0 1+ r 0 1+ s (1-16) -r Thay (1-15) v (1-13) vo (1-16), ta c ma trn bin dng - chuyn v [B]: J , J , 0 J2| J22 J * J * J * 21 22 11 J * 12 11 [B]= 12 [f] (1-17) Theo ti liu [1], ma trn cng cc b cú dng: [k] = hJJ[B ]T [C][B]dxdy (1-18) Trong ú: h - chiu dy ca phn t Cú th chng minh c rng gia din tớch phõn t ca phn t h ta cỏc v din tớch phõn t h ta t nhiờn, cú h thc nh sau: xy = |j|drds (1-19) Trong ú: |j| - nh thc ca ma trn Jacobian Thay (1-19) vo (1-18), ta c: [k] = h |J[B f[C ][B ]|j|d rd s ( 1- 20) Ta thy rng tớch phõn lp (1-20) khỏ phc vỡ ma trn [B] v nh thc |J | l nhng hm ca cỏc bin r, s h ta t nhiờn Vic tớnh tớch phõn trờn bng phng phỏp gii tớch s gp rt nhiu khú khn, ú phi cn n phng phỏp tớnh bng s, s c trỡnh by phn sau 1.2 PHNG PHP TCH PHN BNG s THEO PHẫP TON PHNG GAUSS Nh trờn ó trỡnh by, vic dựng cỏc PTHH cựng tham s a n s bin thiờn ca cỏc bin h ta t nhiờn phm vi t -1 n Vỡ vy, tớnh cỏc vect lc v ma trn cng cc b, xut hin cỏc tớch phõn cú cn bin thiờn t -1 n Cú nhiu phng phỏp tớnh bng s nhng phng phỏp Gauss chng t cú hiu qu nht Thc cht ca phng phỏp ny l tớnh giỏ tr ca hm ti mt s im gi l im Gauss, nhõn giỏ tr ca hm ti mt im no ú vi mt i lng gi l trng lng, ri cng li cỏc kt qu ó tớnh c Trc ht, ta xột trng hp tớch phõn mt lp cú dng nh sau: ( 1- ) 10 Cỏch n gin nht v s si nht l tớnh giỏ tr ca hm f(x) ti im gia ri nhõn vi khong cỏch tớch phõn (hỡnh 1.3a) Ngha l ta cú I = 2y, kt qu ny chớnh xỏc ng cong f(x) l mt ng thng a) Dựng im Gauss; b) Dựng im Gauss; c) Dựng im Gauss Mt cỏch khỏi quỏt v gn ỳng, ta cú: I = j y d x ằ Ê w iyi -1 i (1-22) Trong ú: yj - giỏ tr ca hm y ti im Gauss i; W - trng lng tng ng Trong phng phỏp phn t hu hn, tớnh vect lc v ma trn cng cc b, xut hin cỏc tớch phõn lp, lp v lp, nh sau: 11 111 Jf(r)dr ; J Jf(r,s)drds -1 -1-1 ;j J jf(r, s, t)drdsdt -1-1-1 i vi tớch phõn lp, ta cú: l n Jf(r)dr = ^ W jf(rj) -1 (1-23) Ă=1 Trong ú: f(r) - giỏ tr ca hm f(r) ti im Gauss q; W j - trng lng tng ng T (1-23), ta thy rng cn xỏc nh cỏc b ụi n, ú l cỏc im Gauss j v trng lng w Kt qu (1-2) l chớnh xỏc nu bc m ca a thc xp XX vi hm f(r) khụng vt quỏ 2n - 1, n l s im Gauss Nu m = 2n - 1, cỏc hng s j v W j cú th xỏc nh vi j chớnh xỏc mong mun õy l c s ca phộp ton phng Gauss Ta dựng a thc Legendre xỏc nh giỏ tr ca cỏc im Gauss r; v giỏ tr cỏc trng lng Wj tng ng Giỏ tr tớch phõn s chớnh xỏc nu hm a thc cú bc 2n - 11 ks[8,7]:=-6*al*dj[k]*n[3]*dy[3]; ks[8,8]:=6*al*dj[k]*n[3]*n[3]; ks[9,7]:=-6*al*dj[k]*n[3]*dx[3]; ksL9,9] :=6*al*dj[k]*n[3]*n[3]; ks[7,10]:=6*al*dj[k]*(dx[3]*dx[4]+dy[3]*dy[4]); ks[7,1 l]:=-6*al*dj[k]*dy[3]*n[4]; ks[7,l2]:=6*al*dj[k]*dx[3]*n[4]; k.s[8,10]:=-6*al*dj[k]*n[3]*dy[4]; ks[8,11 ]:=6*al*dj[k]*n[3]*n[4]; ks[9,10]:=-6*al*dj[k]*n[3]*dx[4]; ks[9,l 2]:=6*al*dj[k]*n[3]*n[4]; ks[ 10,1 ]:=6*al*dj[k]*(dx[4]*dx[ 1]+dy[4] ;i=dy [1]); ks[10,2]:=-6*al*dj[k]*dy[4]*n[l]; ks[10,3]:=6*al*dj[k]*dx[4]*n[l]; ks[ll,l]:=-6*al*dj[k]*n[4]*dy[l]; ks[ll,2]:=6*al*dj[k]*n[4]*n[l]; ks[12,l]:=-6*al*dj[k]*n[4]*dx[l]; ks[12,3]:=6*al*dj[k]*n[4]*n[l]; ks[10,4]:=6*al*dj[k]*(dx[4]*dx[2]+dy[4]*dy[2]); ks[10,5]:=-6*al*dj[k]*dy[4]*n[2]; ks[10,6]:=6*al*dj[k]*dx[4]*n[2]; ks[ll,4]:=-6*al*dj[k]*n[4]*dy[2]; ks[ll,5]:=6*al*dj[k]*n[4]*n[2]; ks[12,4]:=-6*al*dj[k]*n[4]*dx[2]; ks[12,6]:=6*al*dj[k]*n[4]*n[2]; ks[10,7]:=6*al*dj[k]*(dx[4]*dx[3]+dy[4]*dy[3]); ks[10,8]:=-6*al*dj[k]*dy[4]*n[3]; ks[10,9]:=6*al*dj[k]*dx[4]*n[3]; ks[ll,7]:=-6*al*dj[k]*n[4]*dy[3]; ks[l 1,8]:=6*al*dj[k]*n[4]*n[3]; ks[12,7]:=-6*al*dj[k]*n[4]*dx[3]; ks[12,9]:=6*al*dj[k]*n[4]*n[3]; ks[10,10]:=6*al*dj[k]*(dx[4]*dx[4]+dy[4]:|dy[4]); ks[10,ll]:=-6*al*dj[k]*dy[4]*n[4]; ks[10,12]:=6*al*dj[k]*dx[4]*n[4]; ks[ll,10]:=-6*al*dj[k]*n[4]*dy[4]; ks[l 1,1 l]:=6*al*dj[k]*n[4]*n[4]; ks[12,10]:=-6*al*dj[k]*n[4]*dx[4]; ks[12,12]:=6*al*dj[k]*n[4]*n[4]; end; end; end; PROCEDURE tinhdu(r,ss:real; var du:mtl); begin for k:=l to sf begin for i:=l to begin n[l]:=(l-r)*(l-ss)/4; n[2];=(l+r)*(l-ss)/4; n[3]:=(l+r)*(l+ss)/4; n[4]:=(l-r)*(l+ss)/4; dr[ 1]:=(ss-l)/4; dr[2]:=-(ss-l)/4; dr[3]:=(ss+l)/4; dr[4]:=-(ss+l)/4; ds[ 1]:=-( 1-r)/4; ds[2]:=-(l+r)/4; ds[3]:=(l+r)/4; ds[4]:=(l-r)/4; end; for i:=l to for j:=l to begin ja[l,l]:=dr[l]*xl[k]+dr[2]*x2[k]+dr[3]*x3[k]+dr[4]*x4[k]; ja[l,2]:=dr[l]*yl [k]+dr[2]*y2[k]+dr[3]*y3[k]+dr[4]*y4[k]; ja[2,l]:=ds[l]*xl[k]+ds[2]*x2[k]+ds[3]:|tx3[k]+ds[4]*x4[k]; ja[2,2]:=ds[l]*yl[k]+ds[2]*y2[k]+ds[3]:|:y3[k]+ds[4]*y4[k]; dj[k]:=ja[l,l]*ja[2,2]-ja[l,2]*ja[2,l]; for i:=l to dxjd]:=(ja[2,2]*dr[l]-ja[l,2]*ds[l])/dj[kj; dx[2] :=(ja[2,1]*dr[2]-ja[ 1,2] *ds [2])/dj [k]; dx[3]:=(ja[2,2]*dr[3]-ja[l,2]*ds[3])/dj[k]; dx[4]:=(ja[2,2]*dr[4]-ja[l,2]*ds[4])/dj[k]; dy[l]:=(-ja[2,l]*dr[l]+ja[l,l]*ds[l])/dj[k]; dy[2]:=(-ja[2,l]*dr[2]+ja[l,l]'';ds[2])/dj[k]; dy[3]:=(-ja[2,l]*dr[3]+ja[l,l]*ds[3])/dj[k]; dy[4]:=(-ja[2,l]*dr[4]+ja[l,l]!|!ds[4])/dj[k]; end; for i:=l to for j:=l to 12 begin du[l,2]:=e*g*dy[l]; du[l,3]:=e*f*dx[l]; du[2,2]:=e*f*dy[l]; du[2,3]:=e*g*dx[l]; du[3,2]:=-e*sqr(h)*dx[l]/2; du[3,3]:=e*sqr(h)*dy[l]/2; du[l,5]:=e*g*dy[2]; du[l,6]:=e*f*dx[2]; du[2,5]:=e*f*dy[2]; du[2,6]:=e*g*dx[2]; du[3,5]:=-e*sqr(h)*dx[2]/2; du[3,6]:=e*sqr(h)*dy[2]/2; du[l,8]:=e*g*dy[3]; du[l,9]:=e*f*dx[3]; du[2,8]:=e*f*dy[3]; du[2,9]:=e*g*dx[3]; du[3,8]:=-e*sqr(h)*dx[3]/2; du[3,9]:=e*sqr(h)*dy[3]/2; du[l,l]:=e*g*dy[4j; du[l,12]:=e*f*dx[4]; du[2,l l]:=e*f*dy[4]; du[2,12]:=e*g*dx[4]; du[3,l l]:=-e*sqr(h)*dx[4]/2; du[3,12]:=e*sqr(h)*dy[4]/2; end; end; end; PROCEDURE tinhdc(r,ss:real;var dc:mtl); begin for k:=l to sf begin for i:=l to begin n[l]:=(l-r)*(l-ss)/4; n[2]:=(l+r)*(l-ss)/4; n[3]:=(l+r)*(l+ss)/4; n[4]:=(l-r)*(l+ss)/4; dr[l]:=(ss-l)/4; dr[2]:=-(ss-l)/4; dr[3]:=(ss+l)/4; dr[4]:=-(ss+l)/4; ds[l]:=-(l-r)/4; ds[2]:=-(l+r)/4; ds[3]:=(l+r)/4; ds[4] :=( 1-r)/4; end; 250 for i:=l to for j:=l to begin ja[l,l]:=dr[l]*xl[k]+dr[2]*x2[k]+dr[3]*x3[k]+dr[4]*x4[k]; ja[l,2]:=dr[l]*yl[k]+dr[2]*y2[k]+dr[3]*y3[k]+dr[4]*y4[k]; ja[2,l];=ds[l]*xl[k]+ds[2]*x2[k]+ds[3]:i:x3[k]+ds[4]*x4[k]; ja[2,2]:=ds[l]*yl[k]+ds[2]*y2[k]+ds[3]*y3[k]+ds[4]*y4[k]; end; dj[k]:=ja[ 1, l]*ja[2,2]-ja[ 1,2]*ja[2,l ]; for i:=l to dx[l]:=(ja[2,2]*dr[ 1]-ja[ 1,2]*ds[ 1])/dj[k]; dx[2]:=(ja[2,l]*dr[2]-ja[l,2]*ds[2])/dj[k]; dx[3]:=(ja[2,2]*dr[3]-ja[l,2]*ds[3])/dj[k]; dx[4]:=(ja[2,2]*dr[4]-ja[l,2]*ds[4])/dj[k]; dy[l]:=(-ja[2,l]*dr[l]+ja[l,l]*ds[l])/dj[k]; dy[2]:=(-ja[2,l]*dr[2]+ja[l,l]*ds[2])/dj[k]; dy[3]:=(-ja[2,l]*dr[3]+ja[l,l]*ds[3])/djtk]; dy[4]:=(-ja[2,l]*dr[4]+ja[l ,l]*ds[4])/dj[k]; end; for i:=l to for j:=l to 12 begin dc[4,l];=-6*al*dx[l]; dc[4;3]:=6*al*n[l]; dc[5,l]:=6*al*dy[l]; dc[5,2]:=-6*al*n[l]; dc[4,4]:=-6*al*dx[2]; dc[4,6]:=6*al*n[2]; dc[5,4]:=6*al*dy[2]; dc[5,5]:=-6*al*n[2]; dc[4,7]:=-6*al*dx[3]; dc[4,9]:=6*al*n[3]; dc[5,7];=6*al*dy[3]; dc[5,8]:=-6*al*n[3]; dc[4,10]:=-6*al*dx[4]; dc[4,12]:=6*al*n[4]; dc[5,10]:=6*al*dy[4]; dc[5,ll]:=-6*al*n[4]; end; end; end; PROCEDURE tinhlb(r,ss:real;var t:mt2); begin fork:=l to sf begin for i:=l to begin n[l]:=(l-r)*(l-ss)/4; n[2];=(l+r)*(l-ss)/4; n[3]:=(l+r)*(l+ss)/4; 251 n[4]:=(l-r)*(l+ss)/4; end; for i:=l to t[i]:=p*dj[k]*n[i]; end; end; PROCEDURE tinhltt(r,ss:real;var t:mt2); begin for k:=l to sf begin for i:=l to begin n[l]:=(l-r)*(l-ss)/4; n[2]:=(l+r)*(l-ss)/4; n[3]:=(l+r)*(l+ss)/4; n[4]:=(l-r)*(l+ss)/4; end; for i:=l to t[i];=tt*h*dj[k]*n[i]; end; end; begin clrscr; (*Nguoi lap trinh: Vo nhu Cau*); writeln('nhap so btd CO chyen vi'); readln (sbt); writeln('nhap SO btd khong CO chyen vi'); readln (nl); writeln('nhap stt btd khong CO chyen vi'); for i:=l to nl readln (bt[i]); writeln('nhap so fan tự'); readln (sf); writeln('nhap so thu tu bac tu do'); for k:=l to sf for i:=l to 12 readln(d[i,k]); writeln('nhap so thu tu nut'); for k:=l to sf for i:=l to readln(nt[i,k]); writeln('nhap toa do'); writeln('nhap X1>; for k:=l to sf readln (x 1[k]); writeln('nhap x2'); for k:=l to sf readln (x2[k]); writeln('nhap x3'); for k:=l to sf readln (x3[k]>; writeln('nhap x4'); for k:=l to sf readln (x4[k]>; writeln('nhap y 1'); for k:=] to sf readln (yl[k]); writeln('nhap y2'); for k:=l to sf readln (y2[k]); writeln('nhap y3); for k:=l to sf readln (y3[k]>; writeln('nhap y4'); for k:=l to sf readln (y4[k]>; writeln('nhap ap luc bien tren ban'); readln(p); writeln('modun dan hoi'); readln(md); writeln('nhap hesopoatxong'); readln (hp); writeln('nhap chieu day tõm'); readln (h); ; writeln('he so dieu chinh ve cat'); readln(al); (*goi cac chuụng tinh de tinh MTDC uon va MTDC cat *); 252 w:=0.5773502692; tinhmtdcu(w,w,kul); tinhdj(w,w,djl); tinhmtdcu(w,-w,ku2); tinhdj(w,-w,dj2); tinhmtdcu(-w,w,ku3); tinhdj(-w,w,dj3); tinhmtdcu(-w,-w,ku4); tinhdj(-w,-w,dj4); tinhmtdcc(0,0,ks); tinhdj(0,0,dj5); for k:=l to sf begin for i:=l to 12 for j:=l to 12 kl[i,j]:=kul[i,j]*djl[k]+ku2[i,j]*dj2[k]+ku3[i,j]*dj3[k]+ku4[ij]*dj4[k] +2*ks[i,j]*dj5[k]; end; tinhdu(w,w,dul); tinhdu(w,-w,du2); tinhdu(-w,w,du3); tinhdu(-w,-w,du4); tinhdc(0,0,dc); for k:=l to sf begin for i:=l to for j:=1 to 12 dd[i,j]:=2*dc[i,j]+dul[i,j]+du2[i,j]+du3[i,j]+du4[i,j]; end; (*goi cac chuụng trinh de tilth luc bicn ilieo fuong fap so*); tinhlb(w,w,tl); tinhdj(w,w,djl); tinhlb(w,-w,t2); tinhdj(w,-w,dj2); tinhlb(-w,w,t3); tinhdj(-w,w,dj3); tinhlb(-w,-w,t4); tinhdj(-w,-w,dj4); for k:=l to sf begin for i:=l to lb[3*nt[i,k]-2]:=lb[3*nt[i,k]-2]+tl[i]*djl[k]+t2[i]*dj2[k]+t3[i]*dj3[k]+ t4[i]*dj4[k]; end; (*goi cac chuụng trinh de tinh luc the tich theo fuong fap so*); tinhltt(w,w,tl); tinhdj(w,w,djl); tinhltt(w,-w,t2); tinhdj(w,-w,dj2); tinhltt(-w,w,t3); tinhdj(-w,w,dj3); tinhltt(-w,-w,t4); tinhdj(-w,-w,dj4); for k:=l to sf begin for i:=l to lt[3*nt[i,k]-2]:=lt[3*nt[i,k]-2]+tl[i]*djl[k]+t2[i]*dj2[k]+ t3 [i] *dj3 [k] +t4 [i] *dj4[k]; end; (*ghep cac ma trail cung*); for k:=l to sf begin for i:=l to 12 for j:=i to 12 s[d[i,k],dU,k]];=s[d[i,k],dU,k]J+kl[ij]; end; (*vec to luc tai cac nut*); fori:=l tosbtdo' lc[i]:=lb[i]+lt[i]; (*foi chuụng trinh de tinh chuyen vi*); GHFT(s,lc,q,sbt); (*tinh ung suat*); for i:=l to nl q[bt[i]]:=0; for k:=l to sf begin for i:=l to 12 cv[i,k]:=q[d[i,k]); for i:=l to begin us[i,k]:=0; for j:=1 to 12 us[i,k]:=us[i,k]+dd[i,j]*cvfj,k]; end; end; (*doc ket qua tinh ung suat*); for k:=l to sf for i:=l to writeln(us[i,k]); readln; end 254 PROGRAM 10_ Fep_giam_bot_capima irun; uses crt; type mtl=array[1 20,1 20] of real; mt2 -array[1 20] of real; mt3=array[1 20] of integer; var sl,s2,s3,s4,s5,s6,s7,sn,s:mtl; i ,j,k,sbt,tbt,t: integer; Procedure TICHMT(m,p,n:integer;a:mtl;b:mtl; var c:mtl); begin for i:= to m for j:=l to n begin c [ij]:= ; for k:=l to p c[i,j]:=c[ij]+a[i,k]*b[k,j]; end; end; Procedure NDMT(n:integer; var a,u:mtl); Var i,j,p integer; c:real; begin p:=0; REPEAT p:=p+i; if(a[p,p]0)then c:=l/a[p,p]; for j:=l to n begin a[pj]:=a[p,j]*c; U[pj]:=U[pj]*c; end; for i:=l to n if(iop ) then begin c:=a[i,p]; for j:=l to n begin a[ij]:=a[ij]-a[p,j]*c; U[ij]:=U[ij]-U[pj]*c; end; end; UNTIL(p=n); end; begin clrscr; (*nguoi lap trinh: Vo nhu Cau*); writeln('so BTD tinh toan); readln(sbt); writeln('tong so BTD '); readln(tbt); writeln('nhap cac fan ma trail s'); for i:=l to tbt for j:=l to tbt readln(s[i,j]); (*tach cac ma tran con*); t:=tbt-sbt; for i:=l to sbt for j:=l to sbt sl[i,j]:=s[i ,j]; for i:=l to sbt for j:=sbt+l to tbt s2[i,j-sbt]:=s[i,j]; for i:=sbt+l to tbt for j:=l to sbt s3[i-sbt,j]:=s[i,j]; for i:=sbt+l to tbt for j:=sbt+l to tbt s4[i-sbt,j-sbt]:=s[i,j]; for i:=l to t for j:=l to t begin if(i=j) then s5[i,j]:=l; if(io j) then s5[i,j]:=0; end; (*goi cac chuụng trinh de ngich dao MT va thuc hien cac fep nhan*); ndmt(t,s4,s5); tichmt(sbt,t,t,s2,s5,s6);tichmt(sbt,t,sbt,s6,s3,s7); for i:=l to sbt forj:=l to sbt sn[i,j]:=sl[i,j]-s7[i,j]; (*doc ma tran tinh toan*); writeln('MT tinh toan'); for i:=l to sbt for j:=l to sbt writeln(sn[i,j]); readln; end 256 T I L Iấ U T H A M K H O Vo Nh Cu T ớn h k t c u Xõy dng H Ni 2005 Kopal, z Conte, s D Bathe, K J and E L Wilson N u m e r i c a l M e t h o d Prentice - Hall Inc Englewood Cliff, N Y 1976 Felippa, c A Two th e o p h n g p h ỏ p p h n t h u h n N u m e r ic a l A n a ly s is Chapman and Hall, London, 1961 E l e m e n t a r y N u m e r i c a l A n a ly s is R e fin e d F in ite - D i m e n s i n a l S tr u c tu r e Nh xut bn McGraw-Hill, N Y., 1965 E le m e n t A n a l y s i s in F i n i t e E l e m e n t A n a l y s i s , o f L in e a r and N o n lin e a r Ph D Dissertation, University of California, Berkeley, 1966 Eisenberg, M A and L E Malvern C o o r d in a te s , In t J o u rn a l f o r O n F in ite E le m e n t I n t e r g r a t i o n in N a t u r a l N u m e r i c a l M e t h o d in E n g g Vol No.4 pp, 574 - 75,1973 Wilson E L., R L Taylor, w p Doverty and T Ghabussi I n c o m p a t i b l e D i s p l a c e m e n t M o d e l s , N u m e r i c a l a n d C o m p u t e r M e t h o d s in S t r u c t u r a l M e c h a n i c s (Ed Fenves, s J., et al) Academie Press, pp, 43 - 57, 1973 Cook, R, D N Y., 1974 Timoshenko, s and s w Kriger T h e o r y o f P l a t e s McGraw-Hill Book Company, Inc., N Y-, 1959 C o n c e p t a n d A p p l i c a t i o n o f F in ite E le m e n t A n a l y s s a n d S h e lls John Wiley, Second Edition 10 Sziland, R T h e o r y a n d A n a l y s i s o f P l a t e s (Classical and Numberical Method Prentice Hall Jnc., Englewood Cliffs, N Y., 1974 11 Zienkiewiez, o c 1978 T h e F in i te E le m e n t M e th o d McGraw-Hill Book Co u K 12 Melosh, R H B a s i s o f D e r iv a ti o n o f M a t r i c e s 17AA Journal, Vol I, pp, 1631 - 1637, 1963 b y th e D i r e c t S t i f f n e s s M e t h o d 13 Bogner, J K., R L Fox and L A Schmidt T h e G e n e r a tio n o f ln te r e le m e n t C o m p a t i b l e S tif f n e s s a n d M a s s M a t r i c e s b y th e U s e o f I n t e r p o l a t i o n F o r m u l a e Matrix M e t h o d Paterson Air Force Basis, Ohio Oct 1965 P r o c o f th e C o n f e r e n c e o f in S tr u c t u r a l M e c h a n i c s Wright 257 14 Cloush, R W and C A Felippa, A refined Quadrilateral Element for the Analysis of Plate Bending 15 Mindlin, R D Influence or Ratary Inertia and Shear on Element Motions of Isotropic Elastic Plates Journal of Applied Mechanics, Vol., 18, pp 31-38, 1951 16 Hughes, T J R., R I Taylor and W Kanoknukutchai A Simple and Efficient Finite Element for Plate Bending Int J Num Methods in Eng Vol 11, pp 1529 - 1543, 1977 17 Hilton, E and N Bicanic A Comparison of Lagrangian and Serendipity Mindlin Plate Elements for Free Vibrations Computer and Structures, Vol 10, pp 483 - 493, 1979 18 Ahmad, S., B M Irons and O C Zienkiewicz, Analysis of Thick and Thin Shell Structures by Curved Finite Elemtns Inti JI, Num Meth Engg, Vol 2, pp 19 -4 , 1970 19 Pawsey, S F The Analysis Moderately Thick and Thin Shells Ph D thesis, Department of Civil Engineering, University of California, Berkeley, 1970 20 Worsak Kanok - Nukutchai A Simple and Efficient Finite Element for General Shell Analysis Inti, J Num Method, Engg Vol 14, pp 179 - 200, 1979 258 MC LC Trang, Li núi du Chng Phỏn t hu hn (PTHH) cựng tham s Phng phỏp tớch phõn bng s Cỏch gim cp ca ma trn 1.1 Khỏi nim v PTHH cựng tham s 1.2 Phng phỏp tớch phõn bng s theo phộp ton phng Gauss 10 1.3 Cỏch gim cp ma trn 22 Chng Cỏc phn t hu hn hỡnh tam giỏc dựng cho bi toỏn chiu 2.1 c im bi toỏn hai chiu 24 2.2 Phn t hu hn hỡnh tam giỏc bin dng khụng i 27 2.2.1 Mt s tớnh cht ca PTHH tam giỏc bin dng khụng i 27 2.2.2 Hm hỡnh dng 29 2.2.3 Ma trn bin dng chuyn v 32 2.2.4 Ma trn cng H phng trỡnh cõn bng 35 2.2.5 Vect lc ng sut 36 2.3 Phn t hu hn hỡnh tam giỏc nỳt 43 2.3.1 Hm hỡnhdng 43 2.3.2 Ma trn cng 47 2.3.3 Vect lc 52 2.3.4 ng sut 54 Chng Cỏc phn t hu hn hỡnh t giỏc dựng ch bi toỏn chiu 3.1 Phn t hu hn hỡnh ch nht nỳt 57 3.1.1 Hm hỡnh dng 57 3.1.2 Ma trn bin dng chuyn v Ma trn cng 61 3.1.3 Vect cỏc thnh phn cỏc lc ti cỏc nỳt ng sut 62 3.2 Phn t hu hn hỡnh ch nht nỳt 68 3.2.1 Hm hỡnh dng 68 3.2.2 Ma trn bin dng - chuyn v 72 3.3 Phn t hu hn t giỏc cựng tham s 3.3.1 Hm hỡnh dng 75 75 59 3.3.2 Ma trn bin dng chuyn v Ma trn cng 76 3.3.3 Vect lc ng sut 78 3.4 Phn t hu hn nỳt cựng tham s 84 3.5 Phn t hu hn t giỏc cựng tham s dựng cho bi toỏn un phng 85 3.5.1 Tớnh cht ca chuyn v 86 3.5.2 Ma trn bin dng - chuyn v 88 Chng Tớnh vt rn trũn xoay chu ti trng ụi xng 4.1 Cỏch tớnh vt rn trũn xoay chu ti trng i xỳng dựng PTHH bin dng khụng i 95 4.1.1 Khỏi nim 95 4.1.2 Mụ hỡnh PTHH tam giỏc vt rn trũn xoay 96 4.1.3 Ma trn bin dng - chuyn v 98 4.1.4 Ma trn cng 99 4.1.5 Vect lc 100 4.1.6 ng sut 101 4.2 Tớnh vt rn trũn xoay dựng phn t hu hn cnh cựng tham s 104 4.2.1 Ma trn bin dng - chuyn v Ma trn cng 104 4.2.2 Vect lc 107 Chng Cỏc phn t hu hn dựng cho bi toỏn chiu 5.1 Cỏc PTHH nhiu mt ỏp dng cho bi toỏn chiu 111 5.2 Phõn t hu hn mt nỳt 112 5.2.1 Mt s tớnh cht ca PTHH mt nỳt 112 5.2.2 Ma trn bin dng - chuyn v Ma trn cng 113 5.2.3 Vect lc 116 5.2.4 ng sut 120 5.2.5 Cỏch b trớ mng PTHH mt nỳt 120 5.3 Phn t hu hn lng tr tam giỏc cựng tham s 124 5.4 Phn t hu hn mt cựng tham s 124 5.5 Phn t hu hn nỳt cựng tham s ỏp dng cho bi toỏn un phng 125 5.5.1 Bc t ph 125 5.5.2 Ma trn bin dng - chuyn v 130 5.5.3 Ma trn cng 134 5.6 Phn t hu hn mt 20 nỳt cựng tham s 260 135 5.7 Tớnh cht ca cỏc mt PTHH mt nỳt 136 5.8 Vectlc 138 5.8.1 Lc th tớch 138 5.8.2 p lc ng u vựng gúc vi mt PTHH 139 5.9 ng sut 140 5.9.1 ng sut ti trung tõm PTHH 140 5.9.2 ng sut trờn mt PTHH 141 Chng Tm chu un 6.1 Lớ thuyt c bn v tm chu un 146 6.1.1 Lớ thuyt tm mng 146 6.1.2 Cỏc h thc c bn 147 6.2 Hm chuyn v 150 6.3 Phn t tm chu un 150 6.3.1 Phn t tm chu un hỡnh ch nht 12 bct 150 6.3.2 Phn t tm chu un hỡnh ch nht 16 bct 152 6.4 Bin dng ct tm chu un 153 6.4.1 Lớ thuyt Mindlin v bin dng ct tm chu un 154 6.4.2 Cỏc h thc c bn lớ thuyt ca Mindlin 154 6.5 Phn t hu hn t giỏc nỳt cựng tham s 157 6.5.1 Mụ hỡnh chuyn v 157 6.5.2 Ma trn bin dng - chuyn v [B] 158 6.5.3 Ma trn cng 162 6.5.4 Vect lc 164 6.6 Phn t hu hn cựng tham s nỳt 165 6.6.1 Ma trn cng 167 6.6.2 Vect lc 169 Chng v 7.1 Lớ thuyt v mng 173 7.2 Phng phỏp tớnh v dựng mụ hỡnh PTHH nỳt cựng tham s 174 7.2.1 Hm hỡnh dng 174 7.2.2 Ma trn bin dng - chuyn v 181 7.2.3 Ma trn ng sut - chuyn v 186 7.2.4 Ma trn cng 187 261 7.2.5 Ma trn xon 189 7.2.6 Vect lc 190 7.3 Phng phỏp tớnh v dựng mụ hỡnh PTHH nỳt 7.3.1 Hm hỡnh dng 193 7.3.2 Trng chuyn v 194 7.3.3 Ma trn Jacobian 195 7.3.4 Ma trn bin dng - chuyn v 196 7.3.5 Ma trn chuyn i bin dng 199 7.3.6 Ma trn ng sut - chuyn v 200 7.3.7 Ma trn cng 201 7.3.8 Vect lc 201 Ph lc M t sụ chng trỡnh theo ngụn ng Turbo Pascal 7.0 262 193 205 TNH KT CU C BIT THEO PHNG PHP PHN T HU HN Chu trỏch nhim xut bn: BI HU HNH Biờn tp: LNG CAO PHI Ch bn: TRAN k im a n h Sa bn in: LNG CAO PHI V bỡa: V BèNH MINH 263 [...]... nhiều phần tử nhưng lại có tính chất đối xứng ta nên tính với nửa phần trên của ma trận để tiết kiệm bộ nhớ 13 y X (- 1 1) 1 1 (- , - ) ( b) Hình 1.5: a) PTHH hình chữ nhật; b) Phần tử trong hệ tọa độ tự nhiên và các điểm Gauss 1 - 1) Ví dụ: Cho một PTHH hình chữ nhật với kích thước và tọa độ tại các nút như trên hình 1.5a Phần tử trong hệ tọa độ tự nhiên và các điểm Gauss như trên hình 1.5b Yêu cầu tính. .. tam giác ghép lại như trên hình 2.8 Số khoanh tròn là số thứ tự các phần tử Các số không khoanh tròn là số thứ tự các nút Yêu cầu tính ma trận biến dạng - chuyển vị cho mỗi phần tử Giải: Hình 2.8 Trước hết, cần biểu thị số thứ tự các nút trong hệ tọa độ tổng thể (thống kê trong bảng sau): Bảng 2.2 SỐ thứ tự nút cục bộ Sô' thứ tự nút trong hệ tọa độ tổng thể 1 2 3 Phần tử 1 1 2 3 Phần tử 2 4 3 2 Cần chú... do trong {q} xếp theo thứ tự số tự nhiên, tăng từ 1 đến tổng số bậc tự do Giải hệ phương trình (2-54), ta sẽ được giá trị các thành phần chuyển vị trong toàn hệ, từ đó tiến hành tính ứng suất cho từng phần tử hữu hạn 2.2.5 Vectơ lực ứ n g suất / Vectư lực thể tích Trong tài liệu [1], ta đã suy ra vectơ lực thể tích như sau: (2-55) {/t} = h J J [ N ] T {f}dA Trong đó: h - bề dày kết cấu; [N] - ma trận... tròn Áp lực bien Hình 2.2: Mỏ hình phan tử hữu hạn trong hủi toán 2 chiểu 25 Trong bài toán 2 chiều, mỗi nút được phép chuyển vị trên 2 phương X và y Vậy mỗi nút có 2 bậc tự do (viết tắt là BTD) Để tiện cho việc lập trình trên máy tính điện tử, ta đặt số thứ tự cho mỗi nút như sau: Tại nút j: BTD trên phương x: d, = 2j - 1 BTD trên phương y: d2 = 2j (2-7) Chẳng hạn, đối với PTHH số 6 trên hình 2.2, ta... đàn hổi; Ị-L- hệ số Poatxong Cần chú ý rằng [kc] là ma trận đối xứng, nên khi tính, ta chi tính với một nửa phần trên của ma trận Nó chỉ có tính chất cục bộ tức là chỉ ứng với từng phần tử Do đó, dựa vào tính chất liên kết giữa các nút (xem hình một ma trận độ cứng tổng thể [K] 2 2 và bảng 2 1), ta ghép chúng lại để dược Hệ phương trình cân bằng có dạng: [K].{q} = {F} Trong đó: (2-54) {q} - vectơ chuyển... điểm tính Thông thường, ta dùng 8 điểm tính như trên đã trình bày Việc giải bài toán 2 chiều hoặc 3 chiều dùng PTHH cùng tham số, đòi hỏi phải tính tích phân bàng sô đối với ma trận độ cứng cục bộ cũng như đối với vecto' lực thể tích và vectơlực biên 'Trinh tự tính ma trận độ cứng cục bộ trong bài toán 2 chiều như sau: Càn cứ vào (1-20): - Lần lượt tính định thức của ma trận Jacobian [J] tại 4 điểm như. .. {Q} = { Q ,Ị - [ k l2][k22r '{ Q 2} (1-35) [ k] là ma trận đã xuống cấp, dùng để tính ma trận độ cứng; Ịq Ị - vectơ lực ứng với các nút biên của phần tử Phương pháp trên gọi là phép "cỏ đọng tĩnh học" (Static Condenstation) Để thấy ưu điếm của phương pháp này, ta hãy lấy ví dụ trên hình 1.6 PTHH cong có 9 nút dùng để tính vò mỗi nút có 5 bậc tự do, vậy có tât ca 5 X 9 = 45 bậc tự do cho mỗi PTHH Nếu... Hình 2.1: Kết cấu 2 chiều 24 11mil 2.1 biếu ill ị kết cáu hai chiều một cách khái quát, trong đó vectơ lực thể tích vectơ áp lực biên và phân tố thế tích dV như sau: I (2-4) dV = hdA Trong đó: h - bể dày của kết càu hai chiêu; fx, fv - các lực thể tích trên đơn vị thể tích trên các phương X, y; pv pv - các áp lực biên trẽn dơn \'Ị diện lích trên các phương X và y; dA - phàn tố diện tích theo lí thuyết... điểm như trên hình 1.4 - Lần lượt tính ma trận biến dạng - chuyển vị [B] tại 4 điểm như trên hỉnh 1.4 - Ưng với mỗi điểm, thực hiện các phép nhân ma trận [B]1 [C ].[B ].|j| Cuối cùng, cộng lại các kết quả tính ở 4 điểm nói trên Từ việc phàn tích trên đây, ta thấy quá trình tính toán rất phức tạp, không thể tính bằng tay mà phải nhờ vào sự hỗ trợ của chương trình tính Việc tính lập bằng số nhiều lần vì... ( ũu õv \ ìT (2-5) ¡£i I dy ôx L « Oy Theo 11] la có hệ thức giữa ứng suất và biến dạng: M = [C ]M ( 2- 6 ) [c] - ma trận cấu trúc vật liệu Đê giái bài toán hai chiều, trước hết ta dùng mô hình phần tử hữu hạn tam giác Nguyên lí công áo sẽ được áp dụng dế suy ra các biếu thức cứa ma trận độ cứng và vectơ lai trọng Mỉén 2 chiểu được chia thành các hình tam giác như trên hình 2.2 Các đinh tam giác gọi