A ĐẶT VẤN ĐỀ Môn toán cấp THCS môn học cung cấp kiến thức để em học tập tốt môn khác, làm tảng để em học tốt cấp THPT Trong năm qua nhìn chung chất lượng môn toán học sinh trường THCS Thiệu Thành nâng lên qua kì thi học sinh giỏi thi vào THPT Trong chương trình Đại số phương trình vô tỉ dạng toán tương đối khó học sinh Dạng toán giải phương trình vô tỉ có nhiều cách giải, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức cách linh hoạt Có lời giải xem “thiếu tự nhiên” thật độc đáo Với phương trình vô tỉ, em làm quen lớp dạng đơn giản Toán giải phương trình vô tỉ chương trình đại số 9, đề cập nhiều loại sách tham khảo, giáo viên khó việc sưu tầm, tuyển chọn Để góp phần vào việc giải vấn đề khó khăn trên, mạnh dạn thực việc sưu tầm, tuyển chọn số dạng bài tập phương trình vô tỉ phương pháp giải áp dụng cho dạng để viết thành đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp số phương pháp giải phương trình vô tỉ” giúp cho việc dạy học đạt kết cao B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận Căn vào thực tế dạy học hệ thống tập giải phương trình vô tỉ chương trình đại số thấy hệ thống tập sách giáo khoa, sách tập GD&ĐT ấn hành đơn giản, chưa đáp ứng đầy đủ yêu cầu dạng toán thực tế tập phương trình vô tỷ đa dạng, phong phú thể loại toán khó đại số THCS Khi dạy phần này, học sinh giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm lựa chọn dạng phù hợp đề cập khai thác kỳ thi Vì mà nội dung giảng dạy chưa thống Là giáo viên mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khoá” để giải dạng cụ thể phương trình Song dạng phương trình có quy tắc định Qua trình giảng dạy, tham khảo đồng nghiệp tham khảo học hỏi thầy cô Tôi mạnh dạn phân dạng phương trình vô tỉ cách giải dạng, đồng thời đưa số phương pháp giải phương trình vô tỉ với mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc phương trình vô tỉ nhiều góc độ làm nhẹ nhàng trình giải phương trình vô tỉ cho học sinh II Thực trạng vấn đề Về phía giáo viên: Với kinh nghiệm thân, qua số năm dạy lớp 9, bồi dưỡng học sinh giỏi trực tiếp ôn thi vào THPH, dạng toán giải phương trình vô tỉ kiến thức mà sách giáo khoa sách tập đề cập đến, để xây dựng phương pháp chung cho giải phương trình nói chung phương trình vô tỉ nói riêng điều Song đưa số dạng phương pháp dựa kiến thức mà em học, qua giúp em hình thành đường cách thức cho việc giải dạng toán Về phía học sinh: Thực tế dạy lớp cho thấy, học sinh lúng túng việc nhận dạng đưa cách giải phù hợp cho phương trình vô tỉ sách giáo khoa sách tập Trong trình ôn tập, sau em học nghiên cứu số phương pháp giải phương trình vô tỉ mà giáo viên dạy đa số em nhận dạng đưa phương pháp giải phù hợp Đối với học sinh đội tuyển toán dự thi cấp huyện em áp dụng số phương pháp để giải phương trình vô tỉ mà đề đưa Trong năm học 2012 – 2013 qua trình ôn tập số phương pháp giải phương trình vô tỉ kết hợp với tham khảo nghiên cứu tài liệu học sinh, qua kết khảo sát đánh giá giáo viên cho thấy em vận dụng vào giải số phương trình chứa thức bậc hai dạng theo phân dạng giáo viên Kết khảo sát với lớp 9B năm học 2012 – 2013 sau: Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 30 SL % SL % SL % SL % 23.3 10 33.4 23.3 20 Sau thời gian vận dụng số phương pháp giải phương trình vô tỉ năm 2012 – 2013, sang năm học tiếp tục vận dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp số phương pháp giải phương trình vô tỉ” công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi cấp huyện việc thực số giải pháp biện pháp sau III- Giải pháp tổ chức thực : Giải pháp thực : Trong thời lượng đề tài tiến hành “Hướng dẫn học sinh lớp số phương pháp giải phương trình vô tỉ” tiến hành nội dung bản: - Dựa cở sở phép toán khai phương để hướng dẫn học sinh phương pháp nâng lên lũy thừa bậc số dạng phương trình chứa thức bậc hai Trong ví dụ đưa giải phương trình hệ dừng lại giải phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn - Giới thiệu số phương pháp để học sinh vận dụng trình giải phương trình vô tỉ cấp THCS kiến thức để em học tốt cấp THPT - Hướng dẫn cho em số ví dụ tập vận dụng phương pháp vận dụng số phương pháp tập, từ thấy phương pháp thích hợp tập sau - Đưa số sai lầm học sinh mắc phải trình giải phương trình chứa thức bậc hai 2 Tổ chức thực hiện: 2.1 Phương trình vô tỷ: 2.1.1.Định nghĩa: Phương trình vô tỷ phương trình có chứa ẩn số thức 2.1.2 Các bước giải phương trình + Tìm tập xác định phương trình + Dùng phép biến đổi tương đương đưa dạng phương trình học + Giải phương trình vừa tìm + Đối chiếu kết tìm với tập xác định kết luận nghiệm Chú ý: Với phương trình có TXĐ ∀x ∈ R (trong trình biến đổi không đặt điều kiện) tìm nghiệm phải thử lại 2.1.3 Các kiến thức thức: + Số âm bậc chẵn + Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế phương trình để phương trình tương đương, phải đặt điều kiện để hai vế không âm + Với hai số a, b không âm, ta có: a = b ⇔ a = b + Với A biểu thức, ta có: A2 = A 2.2 Phương pháp nâng lên lũy thừa giải số dạng phương trình vô tỉ chứa thức bậc hai 2.2.1 Dạng 1: f ( x ) = g ( x) (1) Cách giải: - Tìm ĐKXĐ PT: g ( x) ≥ (2) - Bình phương hai vế PT (1) ta được: f ( x) = [ g ( x)] (3) - Giải PT (3), chọn nghiệm thỏa mản ĐK (2) Suy nghiệm PT (1) Chú ý: Trong trình giải lưu ý học sinh không cần lấy điều kiện để f ( x) ≥ Ví dụ 1: Giải phương trình x − = HD: Ta có x − = ⇔ x − = ⇔ x = Vậy PT có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải PT: x − = − x (1) HD: ĐKXĐ: x ≤ Bình phương hai vế rút gọn PT (1), PT: x − 18 x + 65 = (2) Giải PT (2) x = (nhận) , x = 13 (loại) Vậy PT (1) có nghiệm x = 2.2.2 Dạng 2: f ( x) = g ( x ) (1) Cách giải: - Tìm ĐKXĐ PT: f ( x) ≥ g ( x) ≥ (2) - Bình phương hai vế PT (1) ta được: f ( x) = g ( x) (3) - Giải PT (3), chọn nghiệm thỏa mản ĐK (2) Suy nghiệm PT (1) Ví dụ: Giải phương trình x + = x − (1) HD: ĐKXĐ: x ≥ Bình phương hai vế PT(1), rút gọn ta được: x = (nhận) Vậy PT (1) có nghiệm x = 2.2.3 Dạng 3: f ( x ) + g ( x) = h( x ) (1) Cách giải: + Nếu h(x) < PT(1) vô nghiêm  f ( x) = f ( x) + g ( x) = ⇔   g ( x) = + Nếu h(x) = 0, ta có: (I) Nếu hệ (I) có nghiêm PT(1) có nghiệm + Nếu h(x) > Tìm ĐKXĐ PT: f ( x) ≥ g ( x) ≥ (2) Bình phương hai vế PT(1), biến đổi PT: [ h( x ) ] − f ( x ) − g ( x ) f ( x ).g ( x) = (3) Phương trình (3) có dạng nên giải theo phương pháp dạng Chú ý: Tượng tự, giải phương trình dang thêm ĐK: f ( x ) − g ( x ) = h( x ) f ( x ) ≥ h( x ) Ví dụ 1: Giải phương trình x − + x − = (1) HD: ĐKXĐ: x ≥  x − = Với x ≥ x − ≥ 0, x − ≥ ∀x Từ (1)   x − = ⇔ x = (nhận) Vậy PT(1) có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình x − + x − = (2) HD: ĐKXĐ: x ≥ Bình phương hai vế PT(1), rút gọn PT: 2 x − x + = ( 27 − 3x ) ⇔ x − 150 x + 725 = (với x ≤ ) (3) Giải PT(3), x = (nhận) , x = 145 (loại) Vậy PT(2) có nghiệm nhất: x = 2.2.4 Dạng 4: f ( x ) + g ( x ) = h( x ) Cách giải dạng thêm điều kiện h( x) ≥ Chú ý: Giải tương tự với dạng Ví dụ: Giải phương trình: f ( x ) − g ( x ) = h( x ) x + − − x = − x (1) HD: ĐKXĐ − ≤ x ≤ 2 x + ≥ Ta có: (1) ⇔ x + = − x + − x ⇔ x + = x − 3x + ⇔  x + x = ⇔ x = (nhận) x = −7 (loại) Vậy PT(1) có nghiệm x = 2.2.5 Dạng 5: f ( x) + g ( x) ± f ( x).g ( x) = c (1) Cách giải: Tìm ĐKXĐ PT: f ( x) ≥ g ( x) ≥ Đặt ẩn phụ: y = f ( x) + g ( x) (với y ≥ ) (2) ⇒ c − f ( x) − g ( x) f ( x).g ( x) = (3) Thay vào (1) phương trình bậc hai ẩn y Giải PT bậc hai ẩn y, chọn nghiệm y thích hợp, thay vào (2) phương trình dạng Giải phương trình thu Suy nghiêm PT(1) Ví dụ: Giải phương trình x + + 3x + + 3x + 13x + = 51 − 4x (1) −1 51 ≤x≤ Đặt y = x + + 3x + (với y ≥ ) ⇒ y = 4x + + 3x + 13x + ⇒ 3x + 13x + = y − 4x − Thay vào PT(1) thu gọn, PT: y + y − 56 = HD: ĐKXĐ: Suy 3x + 13x + = 22 − 2x (2) Giải PT (2) với ĐK: x ≤ 11 x = (nhận), x = 96 (loại) Vậy PT(1) có nghiệm x = 2.2.6 Dạng 6: f ( x ) + g ( x ) = h( x ) + p ( x) (1) Cách giải: Tìm ĐKXĐ PT: f ( x ) ≥0 g ( x ) ≥0  (2)  h ( x ) ≥    p ( x ) ≥0 Bình phương vế phương trình (1) đưa dạng: F ( x) + G ( x) = H ( x) Tuỳ theo trường hợp cụ thể để có cách giải phương trình vô tỷ phù hợp Chú ý: Nếu f(x) – g(x) = a h(x) – p(x) = b với a,b ∈ R ta nhân chia vế PT(1) với biểu thức liên hợp chúng Ví dụ: Giải phương trình x + + x + 16 = x + + x + (1) Ai quan tâm xin kích cào nhé: http://123doc.org/document/3104663-skkn-mo-t-so-kinh-nghie-m-nang-caocha-t-luo-ng-bu-a-an-va-pho-ng-cho-ng-suy-dinh-duo-ng-cho-tre-o-truongmam-non.htm