Chuyên đề thi file word kèm lời giải chi tiết www.dethithpt.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2015 – 2016 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) 3 a) Khảo sát hàm số vẽ đồ thị (C) hàm số y = x − x + 2 b) Tìm tọa độ điểm M (C) cho tiếp tuyến (C) M song song với đường thẳng (d): 6x – y – = Câu (1,0 điểm) a) Cho hàm số y = e − x ( x − x − 1) Tính y '(ln ) b) Giải bất phương trình sau log (4 x − 3) + log ( x + 3) ≤ π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ (2 x − 1) sin xdx Câu (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho mp (P) mặt cầu (S) có phương trình (P): x − y + z + = (S) x + y + z − x + y + z + 17 = Chứng minh mặt cầu (S): cắt mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu mặt phẳng Câu (1,0 điểm) 3sin a − cos a 5sin a + cos3 a b) Cho đa giác 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Tính xác suất cho đỉnh chọn đỉnh hình chữ nhật a) Cho tan a = Tính A= Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = AB = a, AC = 2a ·ASC = ·ABC = 900 Tính thể tích khối chóp S.ABC cosin góc hai mặt phẳng (SAB), (SBC) · Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có BAD = 1350 , trực tâm tam giác ABD H(-1;0) Đường thẳng qua D H có phương trình x – 3y + =0 Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành biết điểm G ( ; 2) trọng tâm tam giác ADC 3  x − y − y + x − y − = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:   y ( x + + y + 13) = 3( x + 1) Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z >0 5( x + y + z ) = 9( xy + yz + zx) x − Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2 y + z ( x + y + z )3 Câu Câu 1a 1,0đ -HẾT ĐÁP ÁN Nội dung 3 Hàm số y = x − x + 2 +TXĐ: D = R +Sự biến thiên: -Chiều biến thiên: y ' = 3x − 3x x = y ' =  x = Hàm số đồng biến khoảng (−∞;0) (1; +∞) , nghịch biến khoảng (0;1) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0;yCĐ= ,đạt cực tiểu x = 1,yCT=0 y = −∞; lim y = +∞ -Giới hạn: xlim →−∞ x →+∞ Câu 1b 1,0đ Điểm 0,25 0,25 -Bảng biến thiên: 0,25 +Đồ thị: 0,25 +Đường thẳng 6x-y-4=0 có hệ số góc +Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm mà tiếp tuyến song song đường thẳng 6x-y 4=0=> f '( x0 ) = 0,25 0,25 => x0 − x0 =  x0 = −1   x0 = 5 => M (2; ) 2 + Với x0 = −1 => y0 = −2 => M (−1; −2) +Kiểm tra lại: 5 M (2; ) tiếp tuyến M có pt là: y = 6( x − 2) + (nhận) 2 +Kiểm tra lại M (−1; −2) => tiếp tuyến M0 có pt là: y=6(x+1)-2=6x+4(nhận) + Với x0 = => y0 = Câu 1,0đ 2a 0,5đ 2b 0,5đ Câu 1,0đ TXĐ: D = R y ' = −e − x ( x − x − 1) + e − x (2 x − 1) = e − x (− x + 3x ) y '(ln ) = 2( − ln 2 − 3ln 2) Điều kiện x > Bất phương trình tương đương (4 x − 3) log ≤2 2x + 16 x − 42 x − 18 ≤ −8 ≤ x≤3 3 Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm bất phươn trình S = ( ;3] u = x − du = 2dx =>  Đặt   dv = sin xdx v = − cos x I = −(2 x − 1) cosx π π − ( −2 cos x) dx ∫0 = (2π − 1) − + 2sinx π = 2π − Câu Mặt cầu (S) có tâm I(2;-3;-3), bán kính R = 22 + (−3) + (−3) − 17 = Khoảng cách từ tâm I đến mp (P): | − 2.(−3) + 2.(−3) + 1| d = d ( I ;(P)) = =1< R 12 + (−2) + 22 +Vì d ( I ;(P)) SH ⊥ (ABC) a => SC = BC = a 3, SH = , a3 VS ABC = S ∆ABC SH = Gọi M trung điểm SB góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) Ta có: SA = AB = a; SC = BC = a => AM ⊥ SB; CM ⊥ SB => cosϕ =| cos ·AMC | 0,25 a a => SB = 2 2 AS + AB − SB 10a a 10 AM trung tuyến ∆SAB nên: AM = = => AM = 16 0,25 +∆SAC=∆BAC => SH = BH = 0,25 0,25 a 42 AM + CM − AC 105 => cos ·AMC = =− AM CM 35 105 Vậy: cosϕ = 35 Ta cór BAD+BHD=1800=>BHD=450 Gọi n(a; b)( a + b ≠ 0) VTPT đường thẳng HB Do đường thẳng HB tạo với đường thẳng HD góc 450 nên | a − 3b | cos 450 = a + b 10 2a + 3ab − 2b = Tương tự: CM = Câu 1,0đ Câu 1,0đ 0,25  a = −2b   b = 2a Nếu a=-2b chọn a=2;b=-1 Phương trình đường thẳng HB: 2x – y +2 =0 B(b;2b+2);D(3d-1;d) uuur uuur b = => B (1; 4) ,D Do G trọng tâm tam giác ADC nên BG = 2GD => GB = −2GD =>  d = (2;1) Suy A(2;1) (loại) Nếu b = 2a Phương trình HB: uuur uuur b = B (−2b − 1; b), D(3d − 1; d ) => GB = −2GD =>  => B (−5; 2), D(5; 2) d = Phương trình AB: 3x + y +13 = 0; Phương trình uuur uuu r AD: 2x – y – = Suy A(-1;-10) Do ABCD hình bình hành suy AD = BC suy C(1;14) uuur uuur · => BAD = 450 (loại) Thử lại: cosABD=cos( AB; AD) = −3 Điều kiện: x ≥ Từ phương trình (1) ta có x + 3x = ( y + 1)3 + 3( y + 1) Xét hàm số f (t) = t + 3t f '(t ) = 3t + f’(t)>0 với t suy hàm số f(t) đồng biến R => f ( x) = f ( y + 1) x = y + 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Thế x = y +1 vào phương trình (2) ta được: ( x − 1)( x + + x + 6) = 3( x + 1)(3) Ta có x = không nghiệm phương trình Từ Xét hàm số g ( x) = x + + x + − TXĐ: D = [ −3 ; +∞){1} 3( x + 1) x −1 x + + x + 6) = 3( x + 1) x −1 0,25 g '( x) = −3 + + > 0, ∀x > ≠1 2 x + 3 (7 x + 6) ( x − 1) g '(− ) không xác định −3 ;1) (1; +∞) Ta có: g(-1)=0;g(3)=0 Từ phương trình g(x) = có hai nghiệm x=-1 x=3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (-1;-2) (3;2) t2 t2 2 Đặt y + z = t (t > 0); y + z ≥ ; yz ≤ 2 5( x + y + z ) = 9( xy + yz + xz ) Hàm số đồng biến khoảng ( Câu 1,0đ 0,25 0,25 x + 5( y + z )2 − x ( y + z ) = 28 yz x + 5t − xt ≤ 7t (5 x + t )( x − 2t ) ≤ x ≤ 2t 2x P≤ − ≤ − t 27t t 27t Xét hàm số f (t ) = − với t>0 t 27t −4 f '(t ) = + t 9t  f '(t) = t =  t > 0,25 0,25 1 Lập bảng biến thiên từ suy GTLN P 16 đạt x = ; y = z = 12 0,25