Chuyên đề thi file word kèm lời giải chi tiết www.dethithpt.com TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Môn: Toán học; Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2x +1 x −1 Câu (1,0 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số y = x + 2mx + có điểm cực trị điểm cực trị đỉnh tam giác vuông Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z = (1 + i ) (2 − i ) Tính môđun số phức w = (1 + 2i ) z + i b) Cho log = a, log = b Tính giá trị log 15 theo a, b x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x( x + e )dx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1), B(5;2;3) mặt phẳng (P): 2x – y + z – = Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (P) Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng AB mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) π < α < Tính giá trị biểu thức A = sin 2α + cos 2α b) Trong giao lưu văn nghệ trường THPT chuyên KHTN, khối lớp chuẩn bị tiết mục biểu diễn Giả sử thứ tự tiết mục xếp cách ngẫu nhiên Tính xác suất để hai tiết mục khối lớp 10 không biểu diễn liên tiếp a) Cho α thỏa mãn sin α = Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AB, góc SD (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA BD theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD M điểm nằm đường chép  −4  AC, H(–2;0), K(4;–2) hình chiếu vuông góc M lên AD CD E  ; ÷ giao điểm AK  7 CH, biết B thuộc đường thẳng có phương trình x + 2y – 18 = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C D Câu (1,0 điểm) Giải phương trình log ( − x − − x ) + log ( x + + 2) = log ( x − 1) + log (1 + − x ) Câu 10 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC, CA AB a, b, c 0 a + b = c3 Chứng minh 90 < C < 180 ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu + TXĐ: D = ℝ \ {1} + Sự biến thiên: −3 < 0, ∀x ∈ D ( x − 1) Hàm số nghịch biến khoảng (–∞;1) (1;+∞) Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = => y = TCN x →−∞ x →+∞ Chiều biến thiên: y ' = lim y = −∞; lim+ y = +∞ => x = TCĐ x →1 Bảng biến thiên: x →1− + Đồ thị: −1 ;0) Đồ thị nhận I(1;2) làm tâm đối xứng Giao Oy (0;–1), giao Ox ( Câu x = Có y ' = x + 4mx; y ' = x( x + m) =   x = − m(2) Đồ thị hàm số có điểm cực trị ⇔ phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác ⇔ –m > ⇔ m < x = Khi (1)   x = ± −m Giả sử điểm cực trị hàm số A(0;1), B( − − m ; −m + 1), C ( −m ; −m + 1) uuur uuur Có : AB = (− − m ; − m ), AC = ( − m ; − m ) Thấy AB = AC ⇒ ∆ ABC cân A Do ∆ ABC vuông vuông cân A uuur uuur  m = 0( L) AB ⊥ AC AB AC = m + m =   m = −1(TM ) Vậy m = –1 Câu a) Có z = (1 + i ) (2 − i ) = (1 + 2i + i )(2 − i) = 2i(2 − i) = + 4i => z = − 4i => w = (1 + 2i)(2 − 4i) + i = (2 − 8i ) + i = 10 + i =>| w |= 10 + 12 = 101 log 15 log 3 + log 1+ b + b a + ab log 15 = = = = = 1 log log + log 3 b) +1 +1 1+ a log a Câu I = ∫ x( x + e x )dx 1  x2 1  x2 x3 + e x ) − ∫  + e x ÷dx = + e − ( + e x ) = + e − (− + e) = 0 2 2 6  Câu uuur uuur Có AB = (4; 2; 2) Đường thẳng AB qua A, nhận AB = (2;1;1) làm VTCP nên có phương trình: x −1 y z −1 = = Gọi C giao AB (P): 1 C ∈ AB => C (1 + 2t ; t ;1 + t ) C ∈ ( P ) => 2(1 + t) − t + (1 + t) − = => t = => C (3;1; 2) uur Gọi H hình chiếu A (P) Có AH ⊥ (P) nên AH nhận nP = (2; −1;1) làm VTCP, AH qua A nên có x −1 y z −1 = = phương trình: −1 H ∈ AH => C (1 + 2h; −;1 + t ) H ∈ ( P ) => 2(1 + 2h) − (−h) + (1 + t) − = −2 => h = => H ( ; ; ) 3 3 uuur HC hình chiếu AB (P) Có HC = ( ; ; ) 3  x = + 2t uuur  Đường thẳng HC qua C nhận 3HC = (2;5;1) làm VTCP nên có phương trình:  y = + 5t z = + t  = x( Câu a) Vì π => cos a > => cos a = − sin a => cos a = − sin a = 5 +1 A = 2sin a cos a + − 2sin a = + − 2.( ) = 3 b) Gọi A biến cố “Hai tiết mục khối 10 không biểu diễn liên tiếp nhau” Số phần tử không gian mẫu số hoán vị tiết mục, 6!=720 = Tính xác suất biến cố A , tức hai tiết mục khối 10 biểu diễn liên tiếp Chọn vị trí tiết mục liên tiếp tiết mục, có cách Số hoán vị tiết mục liên tiếp tiết mục lại 2! 4! Số kết thuận lợi cho A 5.2.4!=240 240 PA = = => PA = − PA = 720 3 Câu 0HE=HA.sin450= 2 1 a 465 = + => HI = 2 HI HS HE 62 a 465 Vậy d(SA;BD)= 31 ∆ SHE vuông H ⇒ Câu Vì góc HAM 450 nên ∆ AHM vuông cân H ⇒ AH = HM HMKD hình chữ nhật ⇒ HM = DK Suy AH = DK ⇒ ∆ AHB = ∆ DKA (c.g.c) => DAK = ABH = 90O − AHB => AK ⊥ BH ⇒ BH ⊥ EK uuur 32 −16 ) nên BH nhận (2;–1) làm VTPT BH qua H(–2;0) nên có phương trình: 2(x + 2) – y = Vì EK = ( ; 7 ⇔ 2x – y + = 2 x − y + = => B (2;8) Tọa độ B nghiệm hệ:   x + y − 18 = Đường thẳng EK qua K nhận (2;–1) làm VTCP nên có phương trình: x−4 y+2 = x + y = −1 A ∈ EK => A(−2a; a ) Vì H thuộc cạnh AD nên A K nằm khác phía đường thẳng BH (*) Có AH ⊥ AB uuur uuur => AH AB = => (−2 + 2a )(2 + 2a) + ( −a)(8 − a) = 5a − 8a − = a =   a = −2  a = ⇒ A(–4;2) (thỏa mãn (*)) −2 −2 a= => A( ; ) (loại không thỏa mãn (*)) 5 uuur x+4 y−2 = x + y + = Có AH (2; −2) Đường thẳng AH nhận (1;–1) làm VTCP nên có phương trình: −1 D ∈ AH => D (d ; −2 − d ) Có uuuu r uuur DH DK = (−2 − d )(4 − d ) + (2 + d ) d = d − = ⇔ d = –2 (loại D ≡ H) d = ⇒ D(2;–4) Vậy A(–4;2), B(2;8), C(8;2), D(2;–4) Câu log ( − x − − x ) + log ( x + + 2) = log ( x − 1) + log (1 + − x ) (1) Điều kiện: < x ≤ Với điều kiện này, ta có: ( x + 1) − x (3 − x ) (1 − x + x − + x)( − x + 2) = 1− x − − x x2 + + x − x (1) ( − x − − x )( x + + 2) = ( x − 1)(1 + − x ) (3 − x) − (4 − x) ( x + + 2) = ( x − 1)(1 + − x ) − x + − 2x ( x − 1)( x + + 2) = ( x − 1)(1 + − x )( − x + − x ) x + + = (1 + − x )( − x + − x ) x + − x − x + = (1 − x + − x ) − x + − x + 2(2 − x) x + − x − x = (1 − x + − x )( − x + 2) 1 +  Vậy tập nghiệm phương trình cho     Câu 10 3 a b Từ a + b = c =>  ÷ +  ÷ = c c 0 < x, y < a b Đặt = x; = y =>  3 c c  x + y = a + b2 − c2 x2 + y − cos C = = Áp dụng định lý cos, ta có 2ab xy 3 +) Vì 0 => x < x Tương tự y < y => x + y < x + y = => cos C < => 90o < C < 180o (vì góc C góc tam giác) + Tính cos108o: Ta có cos108o = –sin18o Đặt α = 18o sin 360 = cos 540 => sin 2a = cos 3a => 2sin a cos a = cos a − 3cos a => 2sin a = cos a − = 4(1 − sin a) − => 4sin a + 2sin a − = => sin a = a ∈ (0;90o ) => sin a > => sin a = −1 ± −1 + 1− => cos1080 = − sin a = 4 −3 (*) 10 x + y − −3 > P = x + y + xy > Thật (*) xy 10 Chứng minh cos C > Đặt t = x + y (t > 0) => t − 3t xy = ( x + y )3 − xy ( x + y ) = ( x ) + ( y )3 = => xy = t3 −1 3t  t >  t3 −1  > < t ≤ Điều kiện t:  xy = t  2 t3 −1 t ≥ 4( )  3t  7 13xy P = (x + y) − xy = [( x + y ) − xy ]2 − xy = t − 4t xy + 5 3 t − 13 t − −1 = t − 4t + ( ) = (2t − 34t − ) 3t 3t 45 t 13 Xét f (t ) = 2t − 34t − (1; 4] t 26 (t − 1)(8t − 26) f '(t) = t − 34 + = < 0, ∀t ∈ (1; 4] nên f(t) nghịch biến liên tục (1; 4] , suy f (t) t t3 < f(1) = –45 suy P > Vậy (*) chứng minh −3 > cos108o Suy cos C > 10 Mặt khác hàm số g(x) = cosx nghịch biến (90o;180o) g‟(x) = –sinx < ∀ x ∈ (90o;180o) Do C < 108°.Vậy 90°