Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng thuộc mặt phẳng a ⊂ ( P ) Viết dạng mệnh đề: d // ( P ) ⇔  d //a Tính chất giao tuyến song song: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) chứa hai đường thẳng a, b song song với nhau, giao tuyến có hai mặt phẳng phải song song với a b Viết dạng mệnh đề: a ⊂ ( P ) ; b ⊂ ( Q ) ; ( P ) ∩ ( Q ) = ∆  → ∆ // a // b  a // b Tính chất để dựng thiết diện song song: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến ∆ ∆ phải song song với a a // ( P )  Viết dạng mệnh đề: a ⊂ ( Q )  → ∆ // a  ( P ) ∩ ( Q ) = ∆ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: + Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a nằm ∀a ⊂ ( P ) (P) Viết dạng mệnh đề: d ⊥ ( P ) ⇔  d ⊥ a + Hệ 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với (P) ta cần chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm (P) + Hệ 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt d1; d2 vuông góc với (P) d1 // d2 + Hệ 3: Nếu hai mặt phẳng (P1); (P2) vuông góc với đường thẳng d (P1) // (P2) + Hệ 4: Nếu đường thẳng d vuông góc với đường thẳng a mặt phẳng (P) đường thẳng a song song với (P) nằm (P) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  a // ( P ) d ⊥ a Viết dạng mệnh đề:   →  a ⊂ ( P ) d ⊥ ( P ) + Hệ 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông góc xuống (P) d’; đường thẳng a nằm (P) vuông góc với d a vuông góc với d’ Câu 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC cân A Gọi H trực tâm tam giác ABC a) Chưng minh BH ⊥ ( SAC ) CH ⊥ ( SAB ) b) Gọi K trực tâm tam giác SBC chứng minh rằng: SC ⊥ ( HBK ) HK ⊥ ( SBC ) Lời giải: a) Do H trực tâm tam giác ABC nên ta có: BH ⊥ AC Mặt khác BH ⊥ SA nên suy BH ⊥ ( SAC ) CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ ( SAB ) Tương tự ta có:  CH ⊥ SA b) Ta có : K trực tâm tam giác SBC nên BK ⊥ SC Mặt khác BH ⊥ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ SC SC ⊥ ( BHK )  AM ⊥ BC Ta có M trung điểm BC   SA ⊥ BC  BC ⊥ ( SAM ) Khi K trực tâm tam giác SBC nên K ⇒  BC ⊥ SM thuộc đường cao SM suy BC ⊥ HK Mặt khác SC ⊥ ( BHK ) ⇒ SC ⊥ HK HK ⊥ ( SBC ) ( dpcm ) Câu 2: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, tam giác ABC tam giác hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm H tam giác ABC a) Chứng minh rằng: AC ⊥ ( SBD ) , AB ⊥ ( SHC ) b) Gọi M hình chiếu vuông góc A SD chứng minh SC ⊥ ( AMC ) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a) Do ABCD hình thoi nên ta có: AC ⊥ BD Mặt khác ABC tam giác nên H thuộc đoạn BD SH ⊥ AC từ suy AC ⊥ ( SBD ) Do H trọng tâm trực tâm tam giác ABC nên CH ⊥ AB lại có AB ⊥ SH suy AB ⊥ ( SHC ) b) Do AC ⊥ ( SBD ) ⇒ AC ⊥ SD , mặt khác ta có: AM ⊥ SD từ suy SD ⊥ ( ACM ) ( dpcm ) Câu 3: [ĐVH] Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A’ mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H cạnh AC, gọi E điểm thuộc cạnh AB cho AB = AE F hình chiếu vuông góc H A’E Chứng minh rằng: a) AB ⊥ ( A ' HE ) b) HF ⊥ ( A ' ABB ') Lời giải: a) Gọi M trung điểm AB ta có CM ⊥ AB (do tam giác ABC đều) Khi E trung điểm AM HE đường trung bình tam giác ACM nên HE / / CM ⇒ HE ⊥ AB lại có A ' H ⊥ AB nên suy AB ⊥ ( A ' HE ) ( dpcm ) b) Do AB ⊥ ( A ' HE ) ⇒ AB ⊥ HF mặt khác HF ⊥ A ' E HF ⊥ ( A ' ABB ') ( dpcm ) Câu 4: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, cạnh bên SB = SD a) Chứng minh AC ⊥ ( SBD ) b) Kẻ AK ⊥ SB ( K ∈ SB ) Chứng minh SB ⊥ ( AKC ) Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a) Gọi O giao điễm AC BD Tam giác SBD có SB = SD ⇒ ∆SBD cân S ⇒ SO ⊥ BD Mà AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ ( SBD ) b) Ta có AC ⊥ ( SBD ) ⇒ AC ⊥ SB Mà SB ⊥ AK ⇒ SB ⊥ ( AKC ) Câu 5: [ĐVH] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh BC ⊥ ( SAM ) b) Kẻ AH ⊥ SM ( H ∈ SM ) Chứng minh AH ⊥ ( SBC ) c) Gọi ( P ) mặt phẳng chứa AH vuông góc với ( SAC ) cắt SC K Chứng minh SC ⊥ ( P ) Lời giải:  BC ⊥ AM a) Ta có  ⇒ BC ⊥ ( SAM )  BC ⊥ SA b) Vì BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ AH Mà AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ ( SBC ) c) Ta có ( SAC ) ∩ ( P ) = AK ⇒ AK hình chiếu AH lên ( SAC ) Mà AH vuông góc với SC ⇒ AK vuông góc với SC ⇒ SC ⊥ ( P ) Câu 6: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật AB = AD Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H trung điểm AD , M hình chiếu S nằm AB thỏa mãn AM = AB a) Chứng minh AC ⊥ ( SDM ) b) Kéo dài DM cắt BC I Hạ CH ⊥ SI ( H ∈ SI ) Lấy điểm K cạnh SC cho SK = Chứng minh BK ⊥ ( AHC ) SC Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a) Ta có MD = MA + AD = − DC + AD AC = AD + DC   ⇒ MD AC =  − DC + AD  AD + DC   1 = − DC AD − DC + AD + AD.DC 4 = − ( 2a ) + a + = ⇒ DM ⊥ AC Mà AC ⊥ SM ⇒ AC ⊥ ( SDM ) ( ) IB IM BM SK = = = , mà = ⇒ BK / / SI ⇒ BK ⊥ CH (1) IC ID DC SC Vì AC ⊥ ( SDM ) ⇒ AC ⊥ SI ⇒ BK ⊥ AC ( ) Từ (1) ( ) ⇒ BK ⊥ ( AHC ) b) Ta có Câu 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O có cạnh SA ⊥ (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc điểm A lên SB, SC, SD a) Chứng minh rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC) b) Chứng minh SC ⊥ (AHK) điểm I thuộc (AHK) c) Chứng minh HK ⊥ (SAC), từ suy HK ⊥ AI Lời giải: a) Ta có CD ⊥ AD CD ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD) có chứa CD) ⇒ CD⊥ (SAD) Tương tự, BD ⊥ AC (do ABCD hình vuông) BD ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD) có chứa BD) ⇒ BD⊥ (SAC) b) Theo a, CD⊥ (SAD) ⇒ CD⊥ AK , (1) Lại có AK ⊥ SD, (2) Từ (1) (2) ta AK⊥ (SCD) Mà SC ⊂ (SCD) ⇒ AK⊥ SC, (*) Chứng minh tương tự ta AK⊥ SC, (**)  SC ⊥ ( AHK )  AI ⊂ ( AHK )  →  SC ⊥ AI  AI //( AHK ) Từ (*) (**) ta SC ⊥ (AHK) Do  Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Do A ∈ (AHK) nên xảy AI // (AHK), AI ⊂ (AHK), hay điểm I thuộc (AHK) c) Ta nhận thấy BD ⊥ (SAC), nên để chứng minh HK ⊥ (SAC) ta tìm cách chứng minh BD // HK Thật vây, tam giác SAB SAD nên đường cao AH AK Khi đó, ∆SAH = ∆SAK ⇒ SH = SK  → Mà AI ⊂ (SAC) ⇒ HK ⊥ AI SH SK = ⇒ HK // BD ⇒ HK ⊥ ( SAC ) SB SD Câu 8: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC = a Gọi H, K trung điểm cạnh AB, AD a) Chứng minh SH ⊥ (ABCD) b) Chứng minh AC ⊥ SK CK ⊥ SD Lời giải: a) ∆ABC nên SH ⊥ AB, (1)  SB = BD = a Ta có SB = BC = a, đồng thời   → SC = SB + BC ⇔ SB ⊥ BC  SC = a Mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH, (2) Từ (1) (2) ta có SH ⊥ (ABCD) b) Theo a, SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AC Do HK đường trung bình ∆ABD nên HK // BD, mà BD ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC Từ ta được, AC ⊥ (SHK), hay AC ⊥ SK CK ⊥ DH ⇒ CK ⊥ ( SHD ) , hay CK ⊥ SD CK ⊥ SH Lại có  Câu 9: [ĐVH] Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SCD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh ∆SIJ chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB) b) Gọi H hình chiếu vuông góc S IJ Chứng minh SH ⊥ AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho BM ⊥ SA Tính AM theo a Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) Ta có: SI = Facebook: Lyhung95 a a ; IJ = AD = a; SJ = CD = 2 Do tam giác SIJ vuông đỉnh S  IJ ⊥ CD Lại có:  ⇒ CD ⊥ ( SIJ )  SI ⊥ CD  SI ⊥ CD ⇒ SI ⊥ ( SCD ) tương tự chứng minh Khi đó:   SI ⊥ SJ ta có SJ ⊥ (SAB) b) Dựng SH ⊥ IJ lại có SH ⊥ CD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AC  BM ⊥ SA SI 3a a ⇒ BM ⊥ AH Ta có : HI = c) Do  = ; HJ = IJ 4  SH ⊥ BM ( )( ) Đặt CM = x ta có: BM AH = ⇔ BC + CM AI + IH = BC.IH + CM AI = 3a ax 3a a ⇔ − =0⇔ x= ⇒ AM = AD + DM = 2 Câu 10: [ĐVH] Cho ∆MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C′ hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC′ a) Chứng minh CC′ ⊥ (MBD) b) Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh K trực tâm ∆BCD Lời giải:  BM ⊥ MA ⇒ BM ⊥ ( CMD ) ⇒ BM ⊥ CC '  BM ⊥ CD a) Ta có:  Do CC ' ⊥ ( BMD ) ⇒ CC ' ⊥ BD b) Dễ thấy BK ⊥ CD Lại có  HK ⊥ AB ⇒ HK ⊥ BD   HK ⊥ CD Mặt khác CC ' ⊥ BD ⇒ BD ⊥ CK Do K trực tâm tam giác BCD Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Câu 11: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) BC= a, đáy ABCD hình thang vuông có đường cao AB = a ; AD = 2a M trung điểm AD a) Chứng minh tam giác SCD vuông C b) Kẻ SN vuông CD N Chứng minh CD ⊥ (SAN) Lời giải: a) Ta có: ABCM hình vuông cạnh a CM = a = AD ⇒ ∆ACD vuông C CD ⊥ AC ⇒ CD ⊥ SC hay tam Lại có:  CD ⊥ SA giác SCD vuông C b) Kẻ SN ⊥ CD ⇒ N ≡ C ⇒ CD ⊥ (SAN) Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!