ii Một số ứng dụng phép biến hình không gian vào giải toán ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Kí hiệu Chú thích d Đ(d) Phép đối xứng qua đường thẳng N( O, k ) O Phép nghịch đảo tâm k với hệ số R( d , ϕ ) ϕ d Phép quay quanh đường thẳng S( O , π ) theo góc quay O Phép chiếu xuyên tâm đến mặt phẳng ( P) S( P ) Phép đối xứng qua mặt phẳng r u T ur ( ) Phép tịnh tiến theo vectơ V( O , k ) O Phép vị tự tâm ZO k (hoặc phương tích k với hệ số vị tự O Phép đối xứng qua tâm (π) ) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Toán học môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, không gian phép biến đổi Nói cách khác, người ta cho môn học “Hình Số” Theo quan điểm thống, môn học nghiên cứu cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ tiên đề, cách sử dụng lý luận học (lôgic) ký hiệu toán học Do khả ứng dụng rộng rãi nhiều khoa học, toán học mệnh danh “Ngôn ngữ vũ trụ” Môn Toán nhà trường phổ thông giữ vai trò vị trí quan trọng Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kỹ toán học cần thiết, môn Toán rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động cẩn thận, xác, có tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo bồi dưỡng óc thẩm mĩ Hình học môn khoa học suy diễn, đòi hỏi người học phải có tư khả tưởng tượng tốt Theo quan điểm Toán học đại, hình học môn khoa học nghiên cứu tính chất hình bất biến nhóm phép biến hình không gian hình học Cách khoảng mười sáu năm trước, phép biến hình chưa có nhà trường phổ thông Đến năm 2000, phép biến hình đưa vào nhà trường phổ thông Điều chứng tỏ chuyển hình học từ khoa học thực nghiệm sang khoa học suy diễn Việc chuyển bước đầu cho việc “Đại số hóa hình học”, tức nghiên cứu hình học công cụ đại số Do đòi hỏi người học phải có tư tốt Điều cho thấy “Ưu việt” phép biến hình môn Toán nhà trường phổ thông Hơn nữa, có toán hình học giải thông qua phép biến hình nhanh gọn giải cách thông thường, giúp học sinh tránh số sai lầm, ngộ nhận giải phương pháp thông thường, đồng thời nâng cao lực tổng quát hóa, tương tự hóa cho học sinh, đem lại nhiều hứng thú học tập, tìm tòi, nghiên cứu cho học sinh Do vậy, để giải tập phép biến hình không gian, yêu cầu học sinh phải nắm kiến thức khái niệm, tính chất, có kĩ giải toán linh hoạt việc giải toán phép biến hình không gian Nghiên cứu phép biến hình không gian ứng dụng vào giải toán với mong muốn góp phần giúp học sinh phổ thông công cụ để giải toán Đồng thời, tạo tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc, học sinh, sinh viên quan tâm đến phép biến hình không gian ứng dụng vào giải toán Vì lí trên, em mạnh dạn chọn đề tài “Một số ứng dụng phép biến hình không gian vào giải toán” làm Khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu khóa luận - Hệ thống, phân loại số ứng dụng phép biến hình không gian vào giải toán - Xây dựng phương pháp chung ví dụ minh họa cho ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu định nghĩa, tính chất phép biến hình không gian - Hệ thống, phân loại ứng dụng phép biến hình không gian vào giải toán chứng minh, tìm quỹ tích, dựng hình toán hệ toạ độ Đề - vuông góc Oxyz Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến ứng dụng phép biến hình không gian vào giải toán - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài liệu, giáo trình từ rút kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn, giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: phép biến hình không gian - Phạm vi: Khóa luận tập trung chủ yếu vào việc trình bày ứng dụng phép biến hình không gian vào giải toán, cụ thể ứng dụng phép biến hình không gian vào giải toán chứng minh, toán tìm quỹ tích, toán dựng hình số toán hệ toạ độ Đề - Oxyz Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khoá luận hệ thống lại cách kiến thức phép biến hình không gian đồng thời phân loại số ứng dụng phép biến hình không gian vào giải toán Thông qua xây dựng phương pháp chung ví dụ minh hoạ cho ứng dụng Khoá luận tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh trung học phổ thông sinh viên ngành sư phạm Toán Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, danh mục ký hiệu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận chia thành chương: Chương 1: Phép biến hình không gian Nội dung chương trình bày định nghĩa, tính chất phép biến hình không gian Chương 2: Một số ứng dụng phép biến hình không gian vào giải toán Nội dung chương hệ thống, phân loại ứng dụng phép biến hình không gian vào giải toán CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN 1.1 Định nghĩa phép biến hình không gian 1.1.1 Định nghĩa f Trong không gian cho quy tắc Với điểm f quy tắc M ta xác định điểm M ' Khi ta nói biến M thành M' ) Điểm M bất kì, theo M' ảnh f :M a M ' f qua phép biến đổi (quy tắc) M ký hiệu f (đọc M '; f gọi tạo ảnh phép biến đổi hình học hay nói ngắn gọn phép biến hình Từ định nghĩa ta suy f phép biến đổi M 1' khác M 2' , M 1' , M 2' M1 tương ứng ảnh M2 M 1, M hai điểm phân biệt f Nếu f xác định cho điểm không gian, ta nói phép biến hình không gian 1.1.2 Phép biến đổi – Ta biết ảnh điểm nhiều tạo ảnh khác M Nếu ảnh M M f qua phép biến đổi có có tạo ảnh ứng f với ta nói phép biến đổi đối (song ánh) hay vắn tắt − 1.1.3 Phép biến đổi đồng f Ta nói f phép biến đổi đồng nhất, biến điểm không gian thành nó, ký hiệu phép đồng Id M Như vậy: Id ( M ) = M , ∀M 1.1.4 Phép biến đổi ngược f :M a M ' Giả sử với điểm g phép biến đổi f biến M' thành M M không gian Nếu tồn g , ta nói f phép biến đổi có ngược, ký hiệu : Như vậy: Nếu M '= f (M) M = f −1 ( M ' ) , phép biến đổi ngược g = f −1 f −1 o f = f o f −1 = Id 1.1.5 Tích hai (hoặc nhiều) phép biến đổi f Cho hai phép biến đổi g Với điểm g : M ' a M " Phép biến đổi biến f M thành M" M f :M a M ' gọi tích hai g phép biến đổi g o f :M a M" ta ký hiệu tích hai phép biến đổi g ( f ) : M a M " Tóm lại, tích hai phép biến đổi phép biến đổi nhận từ việc thực liên thứ tự xác định phép biến đổi cho Cho n phép biến đổi cho phép biến đổi thứ tự định ta thực f1 n F f1 , f , , f n ( n > ) Tích n phép biến đổi có cách thực liên phép biến đổi ta viết trước, tiếp đến f , f3 , , f n F = f n o f n−1 o o f o f1, 1.1.6 Hai phép biến đổi trùng f Cho hai phép biến đổi nhau) kí hiệu f = g, f g g Ta nói ảnh điểm trùng (hoặc M không gian M, f :M a M ' hai phép biến đổi trùng Nghĩa là, với điểm g : M a M ' Cho tập hợp điểm f X f Ta nói g trùng tập hợp X, g trùng cục X 1.1.7 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động phép biến đổi Ta nói điểm O thành O f, điểm bất động phép biến đổi biến O Ta nói đường thẳng f, điểm thuộc Ta nói mặt phẳng điểm thuộc ( P) d d đường thẳng bất động phép biến đổi f điểm bất động ( P) f, mặt phẳng bất động phép biến đổi f điểm bất động Ta nói đường thẳng d bất biến phép biến đổi ( P) ) thành ( P) (mặt phẳng f, phẳng f ) đường thẳng (mặt phẳng) f biến đường thẳng d (hoặc mặt 10 Rõ ràng, đường thẳng f, phép biến đổi d d (hoặc mặt phẳng (hoặc mặt phẳng ( P) ( P) ) bất động f ) bất biến 1.1.8 Ảnh hình qua phép biến đổi Cũng hình học phẳng, hình học không gian ta xem hình không gian tập hợp điểm Cho hình không gian ( F) điểm thuộc gọi ảnh Ta ký hiệu ( F) ( F) Tập hợp ảnh f qua phép biến đổi lập thành hình ( F ') qua phép biến đổi f :( F ) a ( F ') ( F ') = { M '/ } f : M a M ' M ∈( F ) 1.1.9 Hai hình trùng Ta nói hai hình không gian ( F1 ) ( F2 ) trùng nhau, điểm hình thuộc hình ngược lại Hai hình trùng ký hiệu ( F1 ) ≡ ( F2 ) Nếu điểm ( F2 ) ký hiệu ( F1 ) thuộc ( F2 ) , ta nói ( F1 ) hình ( F1 ) ⊂ ( F2 ) 1.2 Phép đối xứng qua tâm 1.2.1 Định nghĩa O Cho trước điểm O M khác ta xác uuuur uuuu r OM ' = −OM M' định điểm Nếu M' Với điểm cho O M O, M trùng với Hình 1.1 81 B y x A y' P Hình 2.18 y' Gọi ( P) y' y ảnh (nếu có) điểm qua phép biến đổi Đ(x) Giao điểm A Khi B ảnh A với mặt phẳng qua phép biến đổi hay x đường trung trực đoạn AB Bài toán mở rộng: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) đường thẳng x không nằm hai mặt phẳng Hãy tìm điểm A (P) cho tồn (Q) điểm B đối xứng với A qua x Bài 2.3.3: Cho đường thẳng diện có đỉnh tứ diện A d điểm A đường thẳng không thuộc d d dựng tứ qua trung điểm hai cạnh chéo 82 Lời giải: A d' M B D N C d Hình 2.19 Gọi B điểm đối xứng + Dựng điểm N + Dựng đường thẳng + Trên Khi A d' d d' qua cho qua C dựng điểm ABCD d, M giao AB d MN = AM N D vuông góc đồng thời với cho d AB NC = ND = AM tứ diện cần dựng Bài toán mở rộng: Cho điểm A đường thẳng d không qua A Hãy dựng hình lập phương cho A đỉnh, d đường thẳng qua tâm hai mặt phẳng song song Bài 2.3.4: Cho hình chóp tứ giác SABCD Hãy dựng hình lập phương nội tiếp hình chóp cho mặt hình lập phương nằm đáy hình chóp Mặt đối diện có bốn đỉnh nằm bốn cạnh bên hình chóp Lời giải: Dựng hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' phẳng đáy hình chóp nằm khác phía với S mặt 83 Gọi A1 giao SA ' với ( ABCD ) A ' a A1 , B ' a B1 , C ' a C1 , D ' a D1 Phép vị tự tâm S biến lập phương biến ABCDA ' B ' C ' D ' thành lập phương cần dựng Khi đó, A1B1C1D1 A2 B2C2 D2 hình lập phương cần dựng S A2 B2 D2 C2 A A1 B1 C1 D1 D B C A' B' D' C' Hình 2.20 Bài 2.3.5: Cho mặt phẳng dựng mặt cầu ( S) ( P) , điểm tiếp xúc với ( O) M ∈( P) mặt cầu tiếp xúc với Lời giải: ( P) M ( O) Hãy 84 S O N A H M P Hình 2.21 Gọi H chân đường vuông góc hạ từ tâm thẳng với tâm N O biến ( O) A Đường thẳng thành M, biến Bài 2.3.6: Cho hai mặt cầu N ∈ ( O '; R ' ) cho MN = m AM ( O) cắt ( O) thành ( O; R ) A giao đường lần thứ hai N Phép vị tự ( S) // MN OO ' Lời giải: lên ( P) , ( O '; R ') Dựng M ∈ ( O; R ) 85 Hình 2.22 *Phân tích: Giả sử ta dựng hai điểm toán, OO ' vectơ có hướng lấy điểm OO ', N ∈ ( O1; R ) cho O1 có độ dài ảnh m N thoả mãn yêu cầu uuuur uuuur gọi r OO1 = m, MN = OO1 , v Khi M N = T ( M ) , O1 = T ( O ) r v mặt cầu nên ta suy r v ( O; R ) qua T Do r v N ≡ ( O ) ∩ ( O1 ) , M = T−uuvr ( N ) *Cách dựng: + Dựng + Dựng + Dựng ( O1; R ) = Tvr ( ( O; R ) ) N ≡ ( O1; R ) ∩ ( O '; R ') M = T− vr ( N ) *Chứng minh: Theo cách dựng N ∈ ( O '; R ' ) , uuuur r M ∈ ( O; R ) MN = v ( MN = m, MN / / OO ' ) *Biện luận: Gọi khoảng cách từ + Nếu R d + 2R ' O1 đến ( O '; R ') d, đó: toán vô nghiệm 86 + Nếu + Nếu R =d R = d + 2R ' d < R < d + 2R ' toán có nghiệm hình toán có vô số nghiệm hình Đặc biệt hoá toán: Cho hai đường tròn M ∈( O) N ∈ ( O ') cho MN = m ( O; R ) ( O '; R ') Dựng // ( độ dài cho MN OO ' m trước) Bài 2.3.7: Cho hai mặt cầu đường thẳng // d ∆ ( O; R ) d cắt ( O '; R ') ( O ) , ( O ') ( M ', N ' ∈ ( O ') ; M , N ∈ ( O ) ) Lời giải: Hình 2.23 đường thẳng theo hai dây ∆ Dựng MN = M ' N ' 87 *Phân tích: Giả sử ta dựng đường thẳng H, K nên hình chiếu HK không đổi Vì M ' = Tvr ( M ) , ∆, OO ' thoả mãn đề Gọi không đổi, ∆ cố định nên uuuuur uuuur uuur , ta suy MM ' = NN ' = HK MN = M ' N ' ( O1; R ) = T ( O; R )  , d O, O ' d r uuur v = HK ⇒ M ' ⊂ ( O '; R ' ) ∩ ( O1; R ) , đường thẳng qua r v M' song song với mặt cầu ∆ *Cách dựng: + Dựng H, K hình chiếu + Dựng + Dựng ∆ r uuur ( O1; R ) = T ( O; R )  , v = HK ( r v + Dựng O, O ' ) M ' ⊂ ( O '; R ' ) ∩ ( O1; R ) d qua M' // d ∆ *Chứng minh: Theo cách dựng đường thẳng d cắt ( O) M , N, cắt ( O ') M ', N ' ta có uuuuur uuuur uuur M ' N ' = MN r r MM ' = NN ' = HK ⇒ M ' = Tv ( M ) , N ' = Tv ( N ) *Biện luận: 88 + Nếu + Nếu + Nếu ( O1; R ) ∩ ( O '; R ') = ∅ toán vô nghiệm ( O1; R ) ∩ ( O '; R ') = M ' ( O1; R ) ∩ ( O '; R ') toán có nghiệm hình theo đường tròn toán có vô số nghiệm hình Đặc biệt hoá toán: : Cho hai đường tròn thẳng ∆ Dựng đường thẳng ( O; R ) ( O '; R ') đường // cắt theo hai dây d ∆ d ( O ) , ( O ') MN = M ' N ' ( M ', N ' ∈ ( O ') ; M , N ∈ ( O ) ) 2.4 Ứng dụng phép biến hình không gian vào toán hệ tọa độ Đề - vuông góc Oxyz Phương pháp: - Sử dụng định nghĩa - Sử dụng biểu thức toạ độ phép biến hình - Sử dụng tính chất phép biến hình Bài 2.4.1: Cho điểm I ( a, b, c ) đường thẳng Lập phương trình tham số đường thẳng d' Lời giải: ( tham số) t x = x + α t   d :  y = y0 + β t z = z + γ t  đối xứng với d qua I 89 Đường thẳng d qua điểm M ( x0 , y0 , z0 ) , có vectơ phương Vì đối xứng với qua nên // có vectơ r d ' d d' d I a , b , c ( ) u = (α, β, γ ) phương r Gọi u = (α, β, γ ) M ( x0 , y0 , z0 ) qua I, điểm M ' ( x0′ , y0′ ,z0′ ) M '∈d ' điểm đối xứng với x0′ = 2a − x0 , y0′ = 2b − y0 ; z0′ = 2c − z0 Phương trình đường thẳng d' là:  x = x0′ + α t  d =  y = y0′ + β t  z = z′ + γ t  Bài 2.4.2: Cho hình hộp D ( −1,1,0 ) , C ' ( −6, −2, −4 ) ABCDA ' B ' C ' D ', A ( 2,0,0 ) , B ( 0,3,0 ) , Tìm tọa độ đỉnh lại hình hộp Lời giải: 90 D' C'(-6,-2,-4) A' B' I D(-1,1,0) C B(0,3,0) A(2,0,0) Hình 2.24 Gọi I trung điểm đoạn AC ', I ( −2, −1, −2 ) Các đỉnh cần tìm ảnh đỉnh cho qua phép đối xứng tâm D' B' B đối xứng với D qua I nên I D ' ( −4, −5, −4 ) , B ' ( −3, −3, −4 ) Vì C thuộc đường thẳng C ( −3, 4,0 ) A ' DC đối xứng với Bài 2.4.3: Tìm ảnh điểm có phương trình tham số C nên qua C ( −1 − 2t , + 3t , ) I nên M ( 1,0, −4 ) x = t , y = t , z = t Từ ta tìm A ' ( −1, −6, −4 ) qua phép biến đổi Đ(d), d 91 Lời giải: M d H M' (P) Hình 2.25 Giả sử ( P) mặt phẳng mặt phẳng qua ( P) M vuông góc với d Khi phương trình ( x − 1) + ( y − ) + ( z + ) = ⇔ x + y + z + = Giao điểm Gọi M' H mặt phẳng với ảnh M , Bài 2.4.4: Cho đường thẳng d có tọa độ M ' ( −3, −2,0 ) ( tham d : x = x0 + at , y = y0 + bt , z = z0 + ct t số) Lập phương trình tham số đường thẳng qua ( −1, −1, −1) Ox, Oy, Oz Lời giải: d' đối xứng với d 92 Xét điểm M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ d M 0′ ( x ', y ', z ') M 1′ ( x1 , y1 , z1 ) đối xứng với Theo công thức tìm ảnh ta có y1 = − y0 − b, z1 = − z0 − c M ( x0 + a, y0 + b, z0 + c ) ∈ d Đường thẳng M0 M1 qua Điểm Ox x ' = x0 , y ' = − y0 , z ' = − z0 ; x1 = x0 + a, d' qua M 0′ M 1′ có phương trình: x − x' y − y' z − z' x − x0 y + y0 z + z0 = = ⇔ = = x1 − x ' y1 − y ' z1 − z ' a b c Ảnh d qua phép đối xứng Đ(Oy) Đ(Oz) có phương trình: x − x0 y − y0 z + z0 x + x0 y + y0 z − z0 = = ; = = −a b −c −a −b c Bài 2.4.5: Tìm ảnh mặt phẳng x + y + z +1 = tâm gốc tọa độ hệ số nghịch đảo bẳng qua phép nghịch đảo với −1 Lời giải: Với điểm M ( x, y , z ) M ' ( x ', y ', z ') thuộc mặt phẳng, ảnh thỏa mãn hệ phương trình sau: M qua phép biến đổi 93 x' y' z'  = = x y z  x ' x + y ' y + z ' z = −1  Bằng cách khử biến số từ hệ ta phương trình phụ thuộc vào x, y , z x ', y ', z ' x ' + y ' + z ' − x '− y '− z ' = mặt cầu có phương trình 2 Điều chứng tỏ x + y + z − x − y − z = cho mặt cầu Tâm mặt cầu điểm Hiển nhiên mặt cầu qua gốc tọa độ M' thuộc Vậy ảnh mặt phẳng , bán kính 1 1 I , , ÷ 2 2 R= 94 KẾT LUẬN Khoá luận “ Một số ứng dụng phép biến hình không gian vào giải toán” hệ thống lại kiến thức định nghĩa, tính chất phép biến hình không gian; hệ thống, phân loại số ứng dụng phép biến hình không gian vào giải toán Các ví dụ đưa có lời giải hình vẽ minh hoạ, số toán có đưa toán mở rộng hay thu hẹp toán Với ứng dụng, khoá luận đưa phương pháp giải chung hay nhận xét hỗ trợ cho việc giải toán tương tự Thông qua khoá luận giúp bạn sinh viên bước đầu thấy ứng dụng số phép biến hình không gian vào giải toán chứng minh, toán tìm quỹ tích, toán dựng hình toán hệ toạ độ Đề - Oxyz, góp phần giúp bạn đọc hiểu thêm công cụ để giải toán 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Khắc Ban - Phạm Đình Đô (2004), Hình học afin hình học Ơclit ví dụ tập, Nhà xuất Đại học sư phạm [2] Văn Như Cương (2012), Bài tập hình học nâng cao 12, Nhà xuất Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2008), Hình học số vấn đề liên quan, Nhà xuất Giáo Dục [4] Đoàn Quỳnh (2012), Hình học nâng cao 12, Nhà xuất Giáo Dục [5] Nguyễn Thanh Sơn (2005), Các phép biến hình không gian, Nhà xuất Giáo Dục