BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH  LÊ ANH TUẤN DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LÊ ANH TUẤN DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 4601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Bổ đề 1.1 1.2 Không gian mêtric Định nghĩa 1.2 Bổ đề 1.3 Định nghĩa 1.4 Định lý 1.5 1.3 Không gian Banach lồi Định nghĩa 1.6 Bổ đề 1.7 CHƯƠNG II ĐỊNH LÝ VỀ SỰ DUY NHẤT CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2.1 Định nghĩa 2.2 Định nghĩa 2.3 Định nghĩa 2.5 Định nghĩa 2.6 2.2 Định lý 2.7 2.3 Định lý 2.8 10 2.4 Định lý 2.9 12 2.5 Hệ 2.10 14 2.6 Hệ 2.11 14 2.7 Định lý 2.12 15 2.8 Định lý 2.13 16 2.9 Định lý 2.14 17 2.10 Hệ 2.15 18 2.11 Định lý 2.16 19 CHƯƠNG III 23 LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG HỌ N ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU 23 3.1 Các định nghĩa 23 Định nghĩa 3.1 23 Định nghĩa 3.2 23 Định nghĩa 3.3 23 Định nghĩa 3.4 23 Định nghĩa 3.5 24 Định nghĩa 3.6 24 3.2 Định lý 3.7 24 3.3 Định lý 3.8 24 3.4 Định lý 3.9 25 3.5 Ánh xạ loại (A) 25 3.6 Ánh xạ loại (B) 26 3.7 Lập dãy hội tụ điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn 26 3.8 Bổ đề 3.10 27 3.9 Bổ đề 3.11 29 3.10 Định lý 3.12 36 3.11 Định nghĩa 3.13 38 3.12 Định lý 3.14 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS LÊ HOÀN HÓA – người tận tâm hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tiếp theo, xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến cho hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh Tôi xin cám ơn bàn Giám Hiệu, phòng Sau Đại Học toàn thể quý Thầy Cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM giảng dạy tạo điều kiện tốt cho suốt trình nghiên cứu đề tài Cuối cùng, trình viết luận văn khó tránh khỏi điều sai sót, mong góp quý Thầy Cô Bạn đọc để hoàn thiện đề tài 1 LỜI NÓI ĐẦU Định lý điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên không gian mêtric trình bày nhiều tác giả bài: A Mbarki, Fixed points for near-contractive type multivalued mapping, Southwest J Pure Appl Math; A Djoudi and L Nisse, Gregus type fixed points for weakly compatiple mappings, Bull Belg Math Soc Simon Stevin; M Imdad and J Ali, Jungck’s common fixed point theorems and E A Property, Acta Math Sin; … Cách lập dãy hội tụ mạnh tới điểm bất động chung họ N ánh xạ tựa tiệm cận không giãn không gian Banach lồi nghiên cứu nhiều tác giả qua bài: B E Rhoades, Fixed point iteration for certain nonlinear mapping, J Math Anal Appl; N Shahzad and A Udomene, Approximating common fixed points of two asymptotically quasi nonexpansive mappings in Banach spaces, Fixed point theory and Applicatoins; H K Xu, Existence and convergence for fixed points of mappings of asymptotically non-expansive type, Nonlinear Anal; Luận văn trình bày lại cách có hệ thống kết định lý điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên không gian mêtric cách lập dãy lặp hội tụ điểm bất động chung họ N ánh xạ tựa tiệm cận không giãn không gian Banach lồi 2 Luận văn trình bày ba chương: Chương I KIẾN THỨC CƠ SỞ Trình bày lại số kết hội tụ dãy số thực, không gian mêtric, không gian Banach lồi sử dụng cho việc chứng minh chương sau Chương II ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU Xây dựng điều kiện đủ để ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên không gian mêtric có điểm bất động chung Chương III LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HỌ N CÁC ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN Cách lập dãy hội tụ điểm bất động chung họ N ánh xạ tựa tiệm cận không giãn không gian Banach lồi 3 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Bổ đề 1.1 ∞ ∞ ∞ Cho dãy số thực không âm = , {rn }n thỏa điều kiện: {α n }n ,= {β n }n = β n < ∞ ∑ n rn < ∞ lim α n tồn Nếu ∑ n = α n +1 ≤ (1 + β n )α n + rn , ∀n ≥= n →∞ ∞ ∞ (Bổ đề chứng minh bởi: K K Tan and H K Xu, Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process, J Math Anal Appl 178 (1993), pp 301-308) 1.2 Không gian mêtric Bên cạnh kiến thức quan trọng nghiên cứu trình học đại học không gian mêtric, phần nhắc lại số định nghĩa sử dụng trình thực luận văn Định nghĩa 1.2 Cho hai tập compact A B không gian mêtric X Độ lệch A B đại lượng ký hiệu e ( A, B ) xác định sau: e ( A, B ) = sup d ( x , B ) x∈A ( ) ( ) Nhận xét: e A, B ≠ e B, A Ví dụ A ⊆ B A ≠ B Khi ta có e ( A, B ) = e ( B, A ) ≠ Bổ đề 1.3 Độ lệch e ( A, B ) hữu hạn tồn điểm a ∈ A cho e ( A, B ) = d ( a, B ) Chứng minh Vì A compact nên giới nội Do với y0 ∈ B tìm α > để d ( x , y0 ) < ε , ∀x ∈ A , e ( A, B ) hữu hạn Theo định nghĩa e ( A, B ) tồn xn ∈ A để e ( A, B ) = lim d ( xn , B ) Do A compact nên { xn } có dãy hội tụ tới n →∞ a∈ A (không tính tổng quát ta xem dãy dãy { xn } ) d ( xn , a ) + d ( a, B ) = d ( a, B ) Vậy e ( A, B ) = d ( a, B ) Khi d ( a, B ) ≤ e ( A, B ) ≤ lim n →∞ Định nghĩa 1.4 Khoảng cách Hausdorff (hay gọi siêu mêtric) A B đại lượng ký hiệu H ( A, B ) xác định sau: { } H ( A, B ) = max e ( A, B ) , e ( B, A ) Ký hiệu ℘fb ( X ) tập hợp mà phần tử tập compact khác rỗng không gian mêtric X Định lý 1.5 Siêu mêtric H ( 5) H ( A, B ) ≥ có tính chất sau đây: , ∀A, B ∈℘fb ( X ) ( ) H ( A, B ) = ⇔ A = B ( 7= ) H ( A, B ) H ( B, A ) , ∀A, B ∈℘fb ( X ) ( 8) H ( A, C ) ≤ H ( A, B ) + H ( B, C ) Chứng minh , ∀A, B, C ∈℘fb ( X ) 5 ( 5) H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )}   = max sup d ( x, B ) ,sup d ( y, A ) ≥ , ∀A, B ∈℘fb ( X )  x∈A  y∈B ( ) H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )}   = max = sup d ( x , B ) ,sup d ( y, A )  y∈B  x∈A    x ∈ B, ∀x ∈ A  d ( x , B )= 0, ∀x ∈ A ⇔ ⇔  y ∈ A, ∀y ∈ B   d ( y, A )= 0, ∀y ∈ A A ⊂ B ⇔ B hay A = B ⊂ A ( 7) ∀A, B ∈℘fb ( X ), ta coù: { { } }  H ( A, B ) = max e ( A, B ) , e ( B, A )    H ( B, A ) = max e ( B, A ) , e ( A, B )  Suy H ( A, B ) = H ( B, A ) (8) Từ bổ đề 1.2 suy x ∈ A , tồn c ∈ C để: d ( x, B ) ≤ d ( x, c ) + d ( c, B ) ≤ d ( x, C ) + d ( c, B ) , với d ( x, C ) = d ( x, c ) Ta suy e ( A, B ) ≤ e ( A, C ) + e ( C , B ) Tương tự ta có: e ( B, A ) ≤ e ( B, C ) + e ( C , A) Theo tính chất ( 3) ta có: H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )} ≤ max {e ( A, C ) + e ( C , B ) , e ( C , A ) + e ( B, C )} ≤ max {H ( A, C ) + H ( C , B ) , H ( C , A ) + H ( B, C )} Từ định lý khảo sát (℘fb ( X ) , H ) không gian mêtric