Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng đại số tuyến tính không gian vetco 2 , Tài liệu,Thư viện tài liệu, tài liệu online, tài liệu trực tuyến, tài liệu hay, tài liệu học tập, tài liệu tham khảo, luận văn tốt nghiệp, đồ án tốt nghiệp, bài giảng, giáo án, luận văn, đồ án, giáo trình, chuyên đề, đề tài, Tài liệu miễn phí, Thư viện số, Thư viện online, Thư viện chia sẻ sách, ebook, báo cáo thực tập, Slide bài giảng, Tài liệu hay, Tài liệu online, Tài liệu học tập, Tài liệu chia sẽ, Download tài liệu, Tài liệu download
CHƯƠNG §3:Cơ sở số chiều 3.1 Hệ vectơ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Trong không gian vectơ V, cho hệ vectơ S={v1, v2, … ,vn} + Hệ S gọi hệ độc lập tuyến tính từ hệ thức c1v1 c2v2 cnvn (ci ) ta suy c1 c2 cn + Hệ S gọi hệ phụ thuộc tuyến tính tồn (c1 ,c2 , ,cn ) ( 0; 0; ; ) cho c1v1 c2v2 cnvn §3:Cơ sở số chiều Nhận xét - Một hệ hệ độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính - Một hệ vectơ chứa hệ phụ thuộc tuyến tính hệ phụ thuộc tuyến tính - Một hệ vectơ chứa vectơ không phụ thuộc tuyến tính §3 Cơ sở số chiều §3 Cơ sở số chiều §3 Cơ sở số chiều §3 Cơ sở số chiều Ví dụ §3 Cơ sở số chiều §3 Cơ sở số chiều §3 Cơ sở số chiều Chẳng hạn , 11 , (1, ) 11 ( 1, ) ( , ) ( , ) §6: Cơ sở số chiều 3.3.2 Công thức đổi tọa độ đổi sở a.Bài toán: Trong kgvt V cho hai sở B B’ [v]B vecto v ∈V Tìm mối quan hệ [v]và B b Ma trận chuyển sở G/s B’={u1, u2,…, un} Ma trận C [u1 ]B [u2 ]B [u n ]B gọi ma trận chuyển sở từ B sang B’ / §6: Cơ sở số chiều ĐL Nếu C mtr chuyển sở từ B sang B’ C mtr khả nghịch C-1 mtr chuyển sở từ B’ sang B c Công thức Nếu C mtr chuyển sở từ B sang B’ v B C v B / 1 v C v B hay B / §6: Cơ sở số chiều VD Trong không gian ,cho vectơ v1 (2;3;1), v2 (1;2;1), v3 (1;1;1), u (9;14;6) a)Xác định mtr chuyển sở từ E sang B {v1,v ,v 3} b) Xác định mtr chuyển sở từ B sang E c) Kiểm tra u E C u B §6: Cơ sở số chiều Bài tập: Trong KGVT cho vector f1 (1, 2,3), f (1,1, 0), f3 (2,1,1), x (4, 6, 3) CMR: hệ vector F { f1 , f , f 3} sở ,3 tìm tọa độ vector x sở F §6: Cơ sở số chiều Bài tập: Trong KGVT 3 cho vector f1 (1, 2,3), f (1,1, 0), f (2,1, m) Tìm m để hệ vector F { f1 , f , f 3} sở §6: Cơ sở số chiều Bài tập: Trong KGVT cho vector f1 (1, 0, 2), f ( 1,1,0), f (0,1,1), x (4,7, m) Tìm m để x tổ hợp tuyến tính hệ vector F { f1 , f , f } §4: Cơ sở không gian 4.1 Hạng hệ vectơ 4.1.1 Định nghĩa Cho S={v1, v2,…, vm} không gian vecto V Ta gọi hạng S, kí hiệu r(S) số tối đa vecto độc lập tuyến tính hệ * NX: +) r(S) ≤ m +) r(S) = m S độc lập tuyến tính §6: Cơ sở không gian 4.1.2 Cách tìm hạng hệ vectơ không gian hữu hạn chiều Cho S={v1, v2,…, vm} không gian vecto V Giả sử B sở V ta có (vi )B (ai1 ,ai , ,ain ), i 1,m Đặt A=[aij] Khi đó, ta có r(S)= r(A) §4: Cơ sở không gian Ví dụ Trong không gian R4, tìm hạng hệ vecto sau: { v1= (2;1;-1;3), v2= (1;2;0;1), v3= (5;4;-2;7) } Ví dụ Trong không gian P3[x], tìm hạng hệ vecto sau: { p1=1+2x - 3x2 +x3, p2 =2- x +x2 - x3 , p3=3+x - 2x2 , p4=1+x +x2 +x3 } §4: Cơ sở không gian 4.1.3 Không gian sinh hệ vectơ a.Định lý Số chiều không gian W sinh hệ vectơ S hạng hệ vectơ dimW = dimspan(S) = r(S) §4: Cơ sở không gian b Bài toán xác định số chiều sở không gian sinh hệ vectơ Cho hệ vecto S W=span(S) + dimW = r(S)=r + Tìm r vec tơ hệ S cho chúng độc lập tuyến tính Khi đó, r vec tơ lập thành sở W §4: Cơ sở không gian Ví dụ Trong không gian R4, tìm số chiều sở không gian W= span{v1, v2, v3} với v1= (2;1;-1;3), v2= (1;2;0;1), v3= (5;4;-2;7) Ví dụ Trong không gian P3[x], tìm số chiều sở không gian W=span{p1, p2, p3, p4} với p1=1+2x - 3x2 +x3, p2 =2- x +x2 - x3 , p3=3+x - 2x2 , p4=1+x +x2 +x3 Một số đề thi Câu 1.(K51) (i) Trong không gian P2[x], cho vectơ v1 x , v2 x, v3 x x , v4 11 x 11x Chứng minh B={v1,v2,v3} lập thành sở P2[x] Xác định tọa độ vecto v sở B (Đề III) (ii) Câu hỏi tương tự với v1 x, v2 x x , v3 x x , v4 x x (Đề IV) Một số đề thi Câu 2.(K54) (i) Trong không gian P2[x], cho vectơ 2 v1 x x , v2 x x , v3 2 x x , v4 x x Gọi V1=Span{v1,v2}, V2=Span{v3,v4} Xác định sở V1 V2 (Đề I) (ii) Câu hỏi tương tự với v1 x x , v2 x x , v3 4 x x , v4 x x (Đề II) Một số đề thi Câu Trong không gian P3[x], cho vectơ 3 v1 x x 3x , v2 x x , v3 x x , v4 x x x Đặt V1=span(v1,v2), V2 =span(v3,v4) a) Tìm sở số chiều V1+V2 b) Vectơ v=1+x+x2 +x3 có thuộc V1+V2 hay không? (Hè 2009) [...]... 4 §3 Cơ sở và số chiều Bài tập 2: Trong không gian cho hệ vectơ v1 (1;1; 2) , v 2 (3; 2; 1), v 3 ( 1;1; m ) Tìm m để hệ trên độc lập tuyến tính §3 Cơ sở và số chiều 3 .2 Cơ sở và số chiều 3 .2. 1 Định lý Trong không gian vectơ V, cho hai hệ vectơ S1 và S2 Nếu S1 là hệ sinh và S2 là độc lập tuyến tính thì |S1|≥|S2| §3 Cơ sở và số chiều 3 .2. 2 Định nghĩa: Hệ vectơ E trong KGVT... 2 2 2 0 3 3 0 0 4 §3 Cơ sở và số chiều Bài tập 1 Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính của hệ vector sau trong không gian tương ứng a ) A x1 (1, 1, 0); x2 (2, 3, 1); x3 ( 1, 4,5) b) B x1(t ) t 2 t; x2 (t ) 2t 2 3t 1; x3 (t ) t 2 4t 5 c)C {X 1 , X 2 , X 3 , X 4 } 1 2 1 1 0 1 0 2 X1 ; X2 ; X3 ; X4 1 0 0 2 3 2 2 4 ... 2 X 2 3 X 3 4 X 4 1 0 1 2 1 2 1 2 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 3 0 3 4 0 0 2 0 2 4 §3 Cơ sở và số chiều 1 0 1 2 1 2 1 2 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 3 0 3 4 0 0 1 2 3 4 0 2 2 2 3 2 4 0 33 34 0 44 0 1 0 A 0 0 1 1 1 2 2... 1 2 1 3 e / 2 0 2 2 1 2 3 0 Hệ độc lập tuyến tính §3 Cơ sở và số chiều §3 Cơ sở và số chiều §3 Cơ sở và số chiều Ví dụ 6 Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính của hệ vector sau 1 X1 0 1 X3 3 0 1 ; X2 0 0 2 1 ; X4 0 3 2 0 2 4 §3 Cơ sở và số chiều Xét đẳng thức: 1 X1 0 1 X3 3 0 1 ; X2 0 0 2 1 ; X4... nó vừa là hệ sinh vừa là hệ độc lập tuyến tính §3: Cơ sở và số chiều §3: Cơ sở và số chiều §3: Cơ sở và số chiều VD Hệ E={e1=(1;0;0), e2=(0;1;0), e3=(0;0;1)} là cơ sở cua không gian R3 Cơ sở này gọi là cơ sở chính tắc của không gian R3 §3: Cơ sở và số chiều §3: Cơ sở và số chiều §3: Cơ sở và số chiều 3 .2. 3 Định lý Nếu B1={v1, v2,…, vm} và B2={u1, u2,…, un} là hai cơ sở của KGVT V thì... sở và số chiều 4 §3 Cơ sở và số chiều §3 Cơ sở và số chiều §3 Cơ sở và số chiều → Hệ chỉ có nghiệm tầm thường là (0;0;0) → Hệ độc lập tuyến tính §3 Cơ sở và số chiều Ví dụ 5 Trong không gian các hàm số liên tục xét tính độc lập tuyến tính của hệ vectơ: x x , sin x , e Lời giải: Xét 1 x x 2 sin x 3 e 0 1 0 2 0 3 1 0 Cho x=0, ta được Cho x , ta được 1 2 0... của V có cùng số phần tử) C/m: 3 .2. 4 Định nghĩa Nếu V có một cơ sở gồm n phần tử thì V gọi là không gian n chiều, kí hiệu là dimV=n Khi đó, ta nói V là không gian hữu hạn chiều Ngược lại, ta nói V là không gian vô hạn chiều §3: Cơ sở và số chiều §3: Cơ sở và số chiều 3 .2. 5 Cơ sở chính tắc của một số không gian (i)Rn Cơ sở chính tắc là E={e1, e2,…, en} với e1 (1; 0; 0; ; 0 ) e2 ( 0;1; 0; ;... 0; 0; ; 0 ) e2 ( 0;1; 0; ; 0 ) en ( 0; 0; ; 0;1) dim Rn = n §3: Cơ sở và số chiều 3 .2. 5 Cơ sở chính tắc của một số không gian (ii) Không gian các đa thức bậc không quá n: Pn[x] Cơ sở chính tắc là E={1, x, x2,…, xn} dim Pn[x] = n+1 §3: Cơ sở và số chiều 3 .2. 5 Cơ sở chính tắc của một số không gian (iii) Không gian M(m,n) các ma trận cỡ mxn Cơ sở chính tắc là E={Akl| 1≤k ≤ m,1 ≤ l ≤ n} kl ... l) dim M(m,n) = m.n §3: Cơ sở và số chiều 3 .2. 6 Định lý: Cho V là không gian vecto n chiều Khi đó, B={v1, v2,…, vn} là cơ sở nếu B độc lập tuyến tính hoặc B là hệ sinh Ví dụ: Chứng minh rằng hệ vecto B e1 , e2 , e3 với e1 (1,1,1); e2 (1,1, 0); e3 (1, 0,1) là cơ sở của 3 §3: Cơ sở và số chiều 3 .2. 7 Định lý Từ một hệ độc lập tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều, ta luôn có thể bổ... tính trong không gian hữu hạn chiều, ta luôn có thể bổ sung các vec tơ để được một cơ sở C/m: G/s S là một hệ độc lập tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều V Nếu S không phải là một cơ sở của V, tức là span(S)≠V Khi đó, lấy v V\span(S) ta sẽ có S’=SU{v} là một hệ độc lập tuyến tính Làm tương tự cho hệ S’ Vì V hữu hạn chiều nên quá trình trên là hữu hạn