✸ Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục 1) Hàm số liên tục tại một điểm Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) )x(f)x(flim 0 xx 0 = f(x) liên tục tại x 0 (a; b) 2) Hàm số liên tục trên một khoảng *) Định nghĩa: - Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy *) Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó *) Định lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng 3) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm *) Hệ quả: f(x) liên tục trên [a ;b] f(a).f(b) < 0 c (a; b): f(c) = 0 Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b) Bài tập hàm số liên tục f(x) liên tục tại một điểm f(x) liên tục trên một khoảng f(x) = 0 có nghiệm BµI tËp §3 hµm sè liªn tôc Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 0 *)Ví dụ áp dụng: Bài toán: Cho hàm số: f(x) = 1x 1x 3 nếu x 1 3 nếu x = 1 Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x 0 = 1 Bài giải: TXĐ: R )x(flimTính 1x = 1x 1x lim 3 1x ( ) 1xxlim 2 1x ++ = 3 f (1) = 3 => )1(f)x(flim 1x = Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại điểm x 0 = 1 Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) f(x) liên tục tại x 0 (a; b) )x(f)x(flim 0 xx 0 = = *)Phương pháp: Cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x = 0 Có thể gán cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành liên tục tại x = 0 ? b) Ta có: Vậy không thể gán cho f(0) bất cứ giá trị nào để f(x) liên tục tại x = 0. Bài giải: -2 Vậy: có thể gán f(0 ) = - 2 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0 x x2x )x(f)a 2 = 2 2 x x2x )x(f)b + = a) Ta có: Bài 2 ( tr137 ): = )x(flim 0x = x )2x(x lim 0x = x x2x lim 2 0x = )2x(lim 0x = )x(flim 0x = + 2 2 0x x x2x lim = + 2 0x x )2x(x lim = + x 2x lim 0x Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng *)Phương pháp: áp dụng định lý 1, 2: các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ, hàm số lượng giác, liên tục trên tập xác định của chúng *)Ví dụ áp dụng Bài số 1 ( trang 136 ) Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì chỉ ra các điểm không liên tục. 1x3x2x)x(f)a 23 ++= x2x 6x5x )x(f)c 2 2 + = x tgx y)d = 4x 16x 2 e) f( x) = 8 nếu x = 4 nếu x 4 2x3x 1x2 )x(f)b 2 + + = Bài số 1 ý e ( trang 136 ) Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì chỉ ra các điểm không liên tục. 4x 16x 2 f( x) = 8 nếu x = 4 nếu x 4 Bài giải: Tập xác định: D = R Hàm số liên tục tại x = 4 Hàm số liên tục x 4 Xét tại x = 4: 4x 16x lim 2 4x )4x(lim 4x + = = 8 f(4) = 8 )x(flim 4x )x(flim 4x = = f(4) Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên R Bài số 3 ( tr137 ): Cho f(x) = Để f(x) liên tục tại x = 2 cần có 3 = 4a ax 2 nếu x 2 3 nếu x > 2 ( a là hằng số ) Tìm a để hàm số f(x) là liên tục với mọi x; Khi đó hãy vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Khi x < 2: f(x) = ax 2 nên hàm số liên tục. Khi x > 2: f(x) = 3 nên hàm số liên tục. Khi x = 2: Bài giải: ( ) ( ) 2fa4axlimxfLim 2 2x2x === ( ) 33limxfLim 2x2x == ++ 4 3 a = Vậy 4 3 a = thì f(x) liên tục với mọi x. Khi đó f( x) = nếu x 2 2 x 4 3 nếu x > 2 3 f( x) = nÕu x ≤ 2 2 x 4 3 nÕu x > 2 3 VÏ ®å thÞ hµm sè 3 3/4 21-1-2 x y O ✸