Tính toán dây cứng chịu tải trọng thẳng đứng Calculate hard wire vertical load Nguyễn Vũ Thiêm Tóm tắt: Dây cứng hiểu cong, võng có độ cứng kháng uốn định hai đầu tựa gối đỡ chịu tải trọng nhờ vào lực căng dọc trục Lý thuyết dây cứng kết khái quát hóa lý thuyết dây mà dây mềm trường hợp riêng.Bài báo trình bầy phương pháp tính toán xác nội lực, chuyển vị dây cứng khái niệm dây cứng Dây cứng hiểu cong, võng có độ cứng kháng uốn định hai đầu tựa gối đỡ chịu tải trọng nhờ vào lực căng dọc trục Dây cứng tương tự vòm (thanh cong lồi) khác chỗ vòm chủ yếu chịu nén có hướng vồng lên ngược với dây cứng chịu kéo chủ yếu có hướng võng xuống Dây cứng có dạng hình học ấn định chế tạo chống lại thay đổi dạng hình học ban đầu trình làm việc Với sụ không thay đổi hình dáng dây cứng nên sử dụng làm phàn tử kết cấu mái treo, đường ống treo… Lý thuyết dây cứng kết khái quát hóa lý thuyết dây mà dây mềm trường hợp riêng Tính dây cứng chịu tải trọng thẳng đứng Xét dây cứng liên kết hai đầu gối tựa đồng mức, trước chịu tải dây có dạng hình học tương ứng với tung độ z ( Hình 1) Dưới tác dụng tải trọng thẳng đứng bao gồm tải trọng thân dây bị giãn có chuyển vị thẳng đứng (độ võng) w nhiệm vụ đặt ta cần xác định nội lực, biến dạng chuyển vị hệ q q B A H H f z A H C z ∆f Q l H T x Hình Các thành phần phản lực đứng tính giống hệ dầm đơn giản l A= l q ( l − x ) dx; l ∫0 B= qxdx; l ∫0 (1) Ta xét mặt cắt theo phương thẳng đứng tiết diện C có hoành độ x chiếu thành phần lực lên trục x, ta nhận thấy giống dây mềm lực căng ngang tiết diện dây diều Chiếu lực lên trục z ta được: x F 0 A − ∫ qdx − Htgϕ − ∫ τ dF = 0; (3) x Trong đó: A − ∫ qdx : Tổng ngoại lực phí bên trái F ∫ τ dF = Q τ : Tổng ứng suất tiếp lấy theo toàn tiết diện Dựa vào phương trình ta tính thành phần thẳng đứng lực căng QΦ = Htgϕ − Qτ ; (4) Giá trị tang góc nghiêng lực căng xác định bằng: x F  1 tgϕ =  A − ∫ qdx − ∫ τ dF ÷ H 0  (5) Phương trình cân mômen lấy theo điểm C nằm dây có dạng x Ax = ∫ qxdx − H Φ ( z + w ) − m = 0; (6) x Trong đó: Ax − ∫ qxdx : Là mômen có giá trị mômen uốn dầm m: mômen uốn dây Lực căng dây xác định sau: QΦ2 T = 1+ ; HΦ (7) Mômen uôn m dây cứng tính theo lý thuyết tương đối uốn thẳng Độ cong dây bỏ qua ta xét dây thoãi, khí đó: m = EJw,, ; (8) Trong đó: EJ: Là độ cứng kháng uốn dây ( mômen quán tính J lấy tương tiết diện thẳng đứng) w’’: Là đạo hàm bậc hai độ võng dây Khi biểu thức (6) có dạng phương trình độ võng lý thuyết cầu treo: EJw,, − H ( z + w ) + M = 0; (9) Phương trình biểu diễn trạng thái biến dạng dây cứng Ta giải phương trình chưa biết lực căng ngang Một khó khăn tính toán hệ treo xác định lực căng ngang, có nhiều phương pháp khác giãi vấn đề Một phương pháp sử dụng lý thuyết dây Dưới tác dụng tải trọng dây dài đọa ta có: S + ∆S = l −∆l ∫ ( Q + EJw ) 1+ ,, H2 dx (10) Đối với dây thoãi nghiệm phương trình (10) sau: l −∆l H= ∫ ( Q + EJw ) ,, dx ( S + ∆S + l − ∆l ) (11) Bước đầu, ta tính sơ lực căng ngang theo công thức dây mềm giả thiết EJ=0 Sau giải (9) tìm w, thay giá trị w’’ vào (11) hiệu chỉnh dần giá trị lực căng ngang Nếu sai số lớn cần phải lặp lại phép tính cách lấy giá trị lực căng ngang tìm từ (11) thay vào (9) Chia đẳng thức (9) cho EJ đặt H/EJ=k ta được: M  w,, − k w = k  z − H   ÷;  (12) Nếu hệ số độ mảnh k không đổi toàn chiều dài dây lời giải phương trình (12) phức tạp Nếu hệ số k thay đổi tìm nghiệm dạng hàm đơn giản Dưới ta rõ độ cứng cần thiết dây dùng cho mái treo có giá trị không lớn ảnh hưởng không đáng kể đến lực căng ngang Ảnh hưởng thay đổi độ cứng nhỏ nữa, thay đổi nguyên nhân có tiết diện không đổi bị cong Do từ trở ta coi k số Trong phương trình (12) thành phần M/H tung độ lực căng z Φ, tức quỹ tích hình học điểm mà lực tổng hợp nội lực qua Đối với dây mềm rõ ràng đường căng trùng với trục dây Nhưng dây cứng vậy, đường căng thấp cao trục, cắt qua trục Đường căng qua tâm khớp dủ khớp gối hay khớp nhịp dây cứng có khớp nhịp Từ ta suy dây cứng có nhiều khớp đường căng lệch khỏi trục mômen uốn dây nhỏ Sử dụng khái niệm đường căng, trình tính toán coi dây cứng dây mềm có trục trùng với đường căng Tung độ đường căng tính sau: zΦ = z + wΦ = M ; H (13) Tang góc nghiêng đường căng tgϕΦ = zΦ, = z , + wΦ, = Q ; H (14) Đạo hàm bặc hai tung độ đường căng bằng: zΦ,, = z ,, + wΦ,, = Trong : wΦ ; wΦ, ; q ; H (14) wΦ,, ; độ võng đường căng đạo hàm Đạo hàm tính từ tung độ ban đầu z, tức từ trạng thái mà dây có độ cứng đường căng trùng với trục Từ đẳng thức (12) tính độ võng đường căng đạo hàm M w, m − z = w- = w+ ; H k H ,, Q w Q wΦ, = − z , = w, − = w, + Φ ; H k H IV q q w wΦ,, = − z ,, = w,, − = w,, + N ; H k H wΦ = Với qN = EJwIV : Cường độ phản kháng dây cứng tác dụng ngoại lực Kết hợp biểu thức với (12) , viết: w,, − k w = −k wΦ ; (15) Nghiệm tổng quát (12) có dạng: w = C1ch ( kx ) + C2 sh ( kx ) + w* ; (16) Trong w* nghiệm riêng phương trình không Tính w* phụ thuộc vào vế phải phương trình (12) C1 C2 số tích phân, giá trị chúng tính từ điều kiện biên Để tìm mức gia tăng độ võng đường căng ∆fΦ ta sử dụng công thức (3) lấy bình phương nhân với mẫu số ta có: l 2 ( S − l + ∆S + ∆l ) H = ∫ Q + 2QEJw,, + ( EJw,,, ) dx   Đặt: H = M ; f + ∆f Φ l ∫ Q dx = D; EJ = k ( M ; f + ∆f Φ ) l ,,, ∫ Qw dx = η1 ; l ∫( w ) ,,, dx = η2; Chia cho D nhân với ( f + ∆f Φ ) , ta được: M2 Mη1 M 2η2 2 ( S − l + ∆S + ∆l ) = ( f + ∆f Φ ) + ( f + ∆f Φ ) + D Dk Dk (17) Biểu thức (17) phương trình bậc hai mức gia tăng độ võng đường căng biến dạng Giải phương trình ta 2 Mη1 η  Mη1  M  ∆f Φ = − + + ( S − l + ∆S + ∆l ) − 24  − f ;  2 ÷  Dk D  k   Dk  hoặc:  η    k ( S − l + ∆S + ∆l ) − 24    2Mη1  k   ∆f Φ = 1+  −1 − f ;  Dk  η1     (18) Công thức (18) có tính chất truy hồi đại lượng η1; η2 chứa đạo hàm w’’’ Đạo hàm xác háo phép lặp gần đứng Kết luận Phương pháp tính dây cứng khác vói phương pháp tính dây mềm phải kể đến ảnh hưởng độ cứng chống uốn Vì độ cứng chống uốn tháy đổi không nhiều nên trường hợp tính gần giông dây mềm bổ sung thêm khái niệm đường căng Cách tính toán cho phép ta xác định nội lực, biến dạng chuyển vị dây cứng cách tương đối xác Độ xác cao thực phép lặp Tài liệu tham khảo Lều Thọ Trình (1985), Cách tính hệ dây theo sơ đồ biến dạng, Nxb Khoa học kü thuật, Hà Nội tr 5-190 Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp tính hệ kết cấu dây mái treo, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Alan Jennings Matrix Computation for Engineers and Scientists, John Wiley & SonsChicheste-New York - Brisbane - Toronto pp 65-69 Otto F.(1966), Das hängende Dach, Bauwelt Verlag Berlin Otto F.(1966), Zugbeanspruchte Konstruktionen, Berlin Васильев В.С.(1969),и др Висячее седлообразное пакрытие киноконцертного зала В кн.: Болышепролетные оболочки (труды Междунароного конгресcа ИАСС в Ленинграде, 1966) Т М., Стройиздат Москва Гарифилин Н М (1986), К расчету висячих комбинированных систем метoдом конечных элементов Висячие покрытия и Мосты, Воронеж,, pp144-157 Дмитриев Л.Г, Касилов А.В (1974) Вантовые покрытия Издательство “БУДІВЕЛЬНИК” КИЕВ Мацелинский Р Н.(1962), Расчет гибкиx нитей на произвольную вертикальную нагрузку – В кн,: Висячие покрытия, М., Стройиздат 10 Мацелинский Р Н.(1950), Статический расчет гибкиx висячие конструкций, М., Стройиздат