ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 4 1694 300x 1696 298x 1698 296x 1700 294x = − + − + − + − b) 18 1 42x13x 1 30x11x 1 20x9x 1 222 = ++ + ++ + ++ Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau: a) m(m-6)x + m = -8x + m 2 – 2 b) 1m2 1x 3x)2m( −= + +− c) mx 1x mx)1m2( += − −+ d) 3 mx 5x)2m3( −= − −− e) ( ) 2x1m2x3xm 2 −−=− f) 05m 2x 5m2 =−+ − + g) 1 x 1mx 1x mx2 = −+ − − + h) 0 2mx 1x 2mx 1x = +− − − ++ + mx 1 xm 3m4m3 mx m 22 2 + = − +− + − Bài 3: Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn phương trình: 41x23x =++− Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: |x| + |1-x| = m HD: Điều kiện cần và đủ. Bài 5: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3|x| + 2ax = 3a - 1 Bài 6: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt 0mmx2xx 224 =−+− HD: ( )     =+− =−+ ⇔=−− )2(0mxx )1(0mxx 0mxx 2 2 2 4 Ycbt ⇔ (1)& (2) mỗi pt có 2 nghiệm phân biệt nhưng không có n o chung 2 n o phân biệt …. G/s có nghiệm x o chung thì 0m0x 0mxx 0mxx o o 2 o o 2 o =⇒=⇒      =+− =−+ Bài 7: Biện luận số nghiệm của phương trình: |x - 2| + |x - 1| + |x| = m Bài 8: Giải các phương trình sau: |2 - |2 - x|| = 1 Bài 9: Tìm a để phương trình |2x 2 – 3x - 2| = 5a – 8x - 2x 2 có nghiệm duy nhất Bài 10: Cho phương trình: (1+ m 2 )x 2 – 2mx + 1 – m 2 = 0 a) CMR với mọi m > 1 phương trình luôn luôn có nghiệm. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m. HD: ( ) ( ) 1xxxx 2 21 2 21 =++ Bài 11: Cho phương trình: ( ) 01mx1m2x 2 =+−+− Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x 2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 12: Giả sử phương trình ax 2 + bx + c = 0 có đúng một nghiệm dương là x 1 . CMR phương trình cx 2 + bx + a = 0 cũng có đúng một nghiệm dương gọi là x 2 .CMR x 1 + x 2 2 ≥ Bài 13: Cho hai phương trình: 01axx;0axx 22 =++=++ a) Với giá trị nào của a thì hai phương trình có nghiệm chung? b) Với giá trị nào của a thì hai phương trình tương đương? HD: a)Gọi x o là nghiệm chung    = = ⇒      =++ =++ ⇒ 1a 1x 01axx 0axx o o 2 o o 2 o Như vậy n o chung nếu có thì bằng 1.Thay x o = 1 vào pt => a = -2. Khi đó hai PT: 01x2x;02xx 22 =+−=−+ a = 1 hai PTVN. b)Hai PT tương đương nếu mọi nghiệm của PT này là nghiệm của PT kia (loại theo ý a)) hoặc cùng vô nghiệm. Bài 14: Cho phương trình: mx 2 – 2(m + 1)x + 2m – 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Khi phương trình có 2 n o x 1 & x 2 . Hãy tìm Min, Max của biểu thức P = 21 2 2 2 1 2 2 2 1 xx2xxxx +++ Bài 15: Tìm Min, Max của hàm số y = 1xx 1x 2 ++ + Bài 16: Cho hàm số y = 1x qpxx 2 2 + ++ .Tìm p; q để Maxy = 9; Miny = -1. Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 22 xxm22x3x −+=−+− Bài 18: Giải và biện luận phương trình: mx1x 2 =−− Bài 19: Giải các phương trình vô tỷ sau: a) 36x3x3x3x 22 =+−++− b) 11x68x1x43x =−−++−−+ c) 1 x1x 1 1x2x 1 2x3x 1 = ++ + +++ + +++ d) (x - 1)(x + 2) + 2(x - 1) 8 1x 2x = − + Bài 20: Cho phương trình: x 2 + 4x – m = 0. Xác định m để phương trình: a) Có nghiệm thuộc khoảng (-3; 1). b) Có đúng một nghiệm thuộc (-3; 1). c) Có hai nghiệm phân biệt thuộc (-3; 1). Bài 21: Cho phương trình: x 2 – 6x – 7 – m = 0. Xác định m để phương trình: a) Có nghiệm thuộc D = ( ) ( ) +∞∪∞− ;70; b) Có đúng một nghiệm thuộc D. c) Có hai nghiệm phân biệt thuộc D. Bài 22:Cho phương trình ( ) 04mmx2x1m 2 =−+−− . Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số m. Bài 23: Cho phương trình bậc hai: ( ) 06m5x1mx 2 =−+−+ Xác định giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức: 1x3x4 21 =+ Bài 24: Cho hai phương trình bậc hai: 0qxpx;0qxpx 22 2 11 2 =++=++ CMR nếu hệ thức sau đây thỏa mãn thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm: ( ) 2121 qq2pp += . BẤT ĐẲNG THỨC I. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: Bài 1:Cho a + b + c ≠ 0. CMR: cba cba 333 ++ ++ ≥ cba abc3 ++ . Hd: 3 a + 3 b + 3 c – 3abc = 3 )ba( + + 3 c – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + c)( 2 a + 2 b + 2 c – ab – bc – ca). Bài 2: CMR ∀ a ∈ R thì 3(1 + 2 a + 4 a ) ≥ 22 )aa1( ++ . Hd: 3(1 + 2 a + 4 a ) – 22 )aa1( ++ = 3[ 22 )a1( + – 2 a ] – 22 )aa1( ++ = 3(1 + 2 a + a)(1 + 2 a – a) – 22 )aa1( ++ Bài 3: CMR nếu a, b R∈ nếu a + b ≥ 2 thì 3 a + 3 b ≤ 4 a + 4 b . Hd: [ 4 a + 4 b – ( 3 a + 3 b )] – [(a + b) – 2] = 3 a (a – 1) + 3 b (b – 1) – (a + b – 2) = [ 3 a (a – 1) – (a – 1)] + [ 3 b (b – 1) – (b – 1)] = 2 )1a( − ( 2 a + a + 1) + 2 )1b( − ( 2 b + b + 1) ≥ 0. Bài 4: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 a b + 3 b c + 3 c a ≥ 2 a bc + 2 b ca + 2 c ab. Bài 5: Cho a, b, c, d > 0. CMR: db 1 ca 1 1 + + + ≥ b 1 a 1 1 + + d 1 c 1 1 + Bài 6: Cho a, b > 0. CMR: a) Nếu ab ≥ 1 thì a1 1 + + b1 1 + ≥ ab1 2 + . b) Nếu ab < 1 thì a1 1 + + b1 1 + ≤ ab1 2 + . Bài 7: Cho a > c, b > c, c > 0. CMR: )ca(c − + )cb(c − ≤ ab Bài 8: Cho a + b ≥ 2. CMR: 3 a + 3 b ≥ 2 a + 2 b . Hd: 3 a + 3 b = (a + b)( 2 a – ab + 2 b ) ≥ 2( 2 a – ab + 2 b ) Bài 9: a) ∀ a, b, c, d, e. CMR: ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + + b) ∀ a, b, c. CMR: 2 2 2 a 4b 3c 14 2a 12b 6c+ + + ≥ + + Hd: Chuyển vế phân tích thành tổng các bình phương. Bài 10: Cho a, b, c, d > 0. CMR: a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + II.BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN Bài 1: CMR: nếu a ≥ 0, b ≥ 0 thì 3 3 a + 7 3 b ≥ 9a 2 b . Hd: Ad BĐT cho 3 số dương 3 3 a , 4 3 b , 3 3 b Bài 2: Cho a, b ≥ 0. CMR: 3 3 a + 17 3 b ≥ 18a 2 b Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: (1 + b5 a )(1 + c5 b )(1 + a5 c ) ≥ 125 216 Bài 4: Cho a, b, c ≠ 0. CMR: 2 2 b a + 2 2 c b + 2 2 a c ≥ b a + c b + a c . Hd: 2 2 b a + 1 ≥ 2 b a Bài 5: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 b a       + 3 c b       + 3 a c       ≥ b a + c b + a c Bài 6: Cho a, b, c > 0. CMR: cb a + + ac b + + ba c + ≥ 2 3 Bài 7: Cho a, b > 0. CMR: ba 1 + + b1 a + + a1 b + ≥ 2 3 Hd: Cộng các phân số với 1, qui đồng. Bài 8: Cho a, b, c > 0. CMR: 2 a b c+ + 2 b c a+ + 2 c a b+ ≥ a b c 2 + + Hd: ( 2 a b c+ + a) + ( 2 b c a+ + b) + ( 2 c a b+ + c)… Bài 9: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. CMR: 3 1 a (b c)+ + 3 1 b (a c)+ + 3 1 c (a b)+ ≥ 2 3 Hd: Đặt 1 1 1 x; y ; z a b c = = = . BĐT trở về bài 8 Bài 10: Cho a > 0 , b>0, c>0 và a + b + c = 3.CM: 4a 1 4b 1 4c 1 3 5+ + + + + ≤ Bài 11: Cho a>1 và b>1 . CMR : a b 1 b a 1 ab− + − ≤ Bài 12: Cho a > 0 , b > 0, c 0 > và a + b + c = 1. CMR: a b b c c a 6+ + + + + ≤ Bài 13: Cho a > 0 , b >0, c > 0 CMR : 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + + Hd: Ad BĐT : 3 2 a abc 2a bc+ ≥ Bài 14: Cho a, b, c > 0 thỏa: 1a 1 + + 1b 1 + + 1c 1 + ≥ 2. CMR: abc ≤ 1 8 Hd: 1a 1 + ≥ (1- 1b 1 + ) + (1- 1c 1 + ) ≥ b b 1+ + c c 1+ ≥ 2 bc (b 1)(c 1)+ + . Tương tự, rồi nhân vế với vế… Bài 15: Cho a, b, c, d > 0 thỏa: 1a 1 + + 1b 1 + + 1c 1 + + 1d 1 + ≥ 3. CMR: abcd ≤ 81 1 Tổng quát: Cho i a ≥ 0, i = 1, 2, ., n, n ≥ 3, thỏa 1 a1 1 + + . + n a1 1 + ≥ n – 1.CMR: 1 a . n a ≤ n )1n( 1 − . Bài 16: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR: 1 1 1 1 1 1 64 a b c     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     Hd: a + 1 = a + (a + b + c) 4 2 4 a bc≥ Tổng quát: Cho 1 2 n 1 2 n a ,a , .,a 0; a a . a 1> + + + = . CMR: ( ) n 1 2 n 1 1 1 1 1 . 1 n 1 a a a      + + + ≥ +  ÷ ÷  ÷      Bài 17: Cho a, b, c, d > 0 . CMR: 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 a b c d 1 1 1 1 b c d a a b c d + + + ≥ + + + . Hd: 2 2 2 5 5 5 3 3 3 a a a 1 1 1 5 b b b a a b + + + + ≥ Bài 18: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. CMR: 1cb a ++ + 1ac b ++ + 1ba c ++ + (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≤ 1. Hd: ycbt ⇔ VT ≤ a b c a+ + + b b c a+ + + c b c a+ + ⇔ (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≤ 1 b c a+ + ( a(1 a) b c 1 − + + + ( ) b 1 b c a 1 − + + + ( ) c 1 c a b 1 − + + ) ⇔ (1 – a)(1 – b)(1 – c)(a+b+c) ≤ ( a(1 a) b c 1 − + + + ( ) b 1 b c a 1 − + + + ( ) c 1 c a b 1 − + + ) Ad BĐT: (1 – a)(1 – b)(a+b+1) 1≤ => ( ) c 1 c a b 1 − + + ≥ (1 – a)(1 – b)(1-c)c. Tương tự, phân tích …. Bài 19: Cho 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1. CMR: a b c d 1+ + + + b c a d 1+ + + + c a b d 1+ + + + d a b c 1+ + + + (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1-d) ≤ 1. Bài 20: Cho yz x-1 xz y 2 xy z 3 1 1 1 x 1, y 2,z 3. CMR : 1 xyz 2 2 3 + − + −   ≥ ≥ ≥ ≤ + +  ÷   III. ỨNG DỤNG CỦA BĐT TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN: Bài 1: Tìm GTLN : a) y = 2 x 1 x− e) y = 3 4 4x x− b) y = x 1 x − f) y = ( ) ( ) 3 4 1 x 1 x− + với 0 x 1 ≤ ≤ c) y = 2 1 1 x x + − với 0<x < 1 Hd:y = 3 + 2x 1 x 1 x x − + − g) y = (3-x)(4-y)(2x + 3y), d) y = 2x + 2 1 x với x > 0 với x [ ] [ ] 0;3 ;y 0;4∈ ∈ Bài 2: Tìm GTNN của y a) Cho a > 0, y = 1 a a + b) Cho a,b 0 1 ; S ab a b 1 ab >  = +  + ≤  c) Cho a,b,c 0 1 1 1 ; S a b c 3 a b c a b c 2 >   = + + + + +  + + ≤   d)Cho 2 2 2 a,b,c 0 1 1 1 ; S a b c 3 a b c a b c 2 >   = + + + + +  + + ≤   Bài 3: Áp dụng BĐT: 1 1 4 ;x, y 0 x y x y + ≥ > + . Dấu “=” x y⇔ = 1. Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, p: nửa chu vi a) ap 1 − + bp 1 − + cp 1 − ≥ 2( a 1 + b 1 + c 1 ) b) ap a − + bp b − + cp c − ≥ 6 2. Cho x, y > 0 & x +y 1≤ . Tìm GTNN y = 2 2 1 1 4xy xy x y + + + Hd: y = 2 2 1 1 1 1 4xy 2xy 4xy 4xy x y + + + + + ( ) 2 1 2 x y ≥ + + + 1 4xy 3. Cho x, y, z > 0 & x +y +z=1. Tìm GTNN y = 2 2 2 1 1 1 1 xy zy xz x y z + + + + + Bài 4: BĐT về các cạnh trong tam giác a)CMR: 2 a + 2 b + 2 c < 2(ab + bc + ca). Hd: 2 )ba( − < 2 c b) CMR: 3 a + 3 b + 3 c > a 2 )cb( − + b 2 )ac( − + c 2 )ba( − . Hd: Áp dụng kq ý a) c) CMR: (a + b – c)(a – b + c)(b + c – a) < abc d)CMR: 2 a b(a – b) + 2 b c(b – c) + 2 c a(c – a) ≥ 0 Hd: Đặt x = 2 acb −+ ; y = 2 bca −+ ; z = 2 cba −+ e) CMR: a b b c c a a c c b b a −−−++ < 1. VT = ca ac bc cb ab ba 222222 − + − + − = abc 1 )ac(b)cb(a)ba(c 222222 −+−+− = abc 1 (a – b)(b – c)(c – a) < abc abc f)Nếu a ≤ b ≤ c thì 2 )cba( ++ < 9bc g) bc p a− + ac p b− + ab p c− ≥ 4p Hd: Đặt x = a + b – c , y = b + c – a , z = c + a – b . Ycbt ( ) yz xz xy x y z x y x ⇔ + + ≥ + + h)CMR: 2 a + 2 b + 2 c ≥ 4 3 S + 2 )ba( − + 2 )cb( − + 2 )ac( − Hd: 2 a – 2 )cb( − + 2 b – 2 )ac( − + 2 c – 2 )ba( − ≥ 4 3 S 4(p – c)(p – b) + 4(p – a)(p – c) + 4(p – b)(p – a) ≥ 4 3 S (p – c)(p – b) + (p – a)(p – c) + (p – b)(p – a) ≥ )cp)(bp)(ap)](cp()bp()ap[(3 −−−−+−+− (*) Đặt p – a = x; p – b = y; p – c = z (x, y, z > 0) (*) ⇔ 2 )zxyzxy( ++ ≥ 3xyz(x + y + z)  IV.BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 1) CMR: ∀ a, b ∈ R: 3( 2 a + 2 b + 1) ≥ 2 )1ba( ++ . 2) Cho a + b = 2. CMR 4 a + 4 b ≥ 2. 3) Cho x, y, z ∈ R, xy + yz + zx = 4. CMR: 4 x + 4 y + 4 z ≥ 3 16 Hd: 3( 4 x + 4 y + 4 z ) ≥ ( ) 2 2 2 2 x y z+ + ( ) 2 xy + yz + zx ≥ 4) Cho 2x + y ≥ 2. CMR: 2 2 x + 2 y ≥ 4 3 5) Giả sử phương trình 2 x + ax + b = 0 có nghiệm 0 x . CMR: 2 0 x ≤ 1 + 2 a + 2 b Hd: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 2 0 0 0 0 a b x 1 x ax b a b x 1 2   + + + = + ≤ + + ≤  ÷   6) Nếu phương trình 4 x + a 3 x + b 2 x + ax + 1 = 0 có nghiệm thì: 5( 2 a + 2 b ) ≥ 4. 7) CM nếu 0 x là nghiệm PT: 3 x + a 2 x + bx + c = 0 thì: 2 0 x < 1 + 2 a + 2 b + 2 c 8) Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = abc. CMR: ab b2a 22 + + bc c2b 22 + + ac a2c 22 + ≥ 3 Hd: Đặt x = a 1 , y = b 1 , z = c 1 ⇒ x + y + z = 1.ycbt: 22 yx2 + + 22 zy2 + + 22 xz2 + ≥ 3 ( 2 x + 2 x + 2 y )( 2 1 + 2 1 + 2 1 ) ≥ 2 )yxx( ++ hay 22 yx2 + ≥ 3 1 (2x + y) (vì x, y > 0) 9) Với a, b, c > 0, 2 a 2 b + 2 b 2 c + 2 c 2 a ≥ 2 a 2 b 2 c CMR: )ba(c ba 223 22 + + )cb(a cb 223 22 + + )ac(b ac 223 22 + ≥ 2 3 10) CMR: a1 a 2 − + b1 b 2 − + ba 1 + + a + b ≥ 2 5 , trong đó a, b > 0, a + b < 1. 11) Cho x ≥ y ≥ z. CMR: z yx 2 + x zy 2 + y xz 2 ≥ 2 x + 2 y + 2 z Hd: ( z yx 2 + x zy 2 + y xz 2 )( 2 x z y + 2 y x z + 2 z y x ) ≥ ( 2 x + 2 y + 2 z ) 2 Mà T = z yx 2 + x zy 2 + y xz 2 - ( 2 x z y + 2 y x z + 2 z y x ) = ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 x y y z z x x z y x z y xyz + + − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x y y z x z xy yz xz 0 xyz − − − + + ≥ 12) Cho a, b, c > 0; abc = ab + bc + ca . CMR: c3b2a 1 ++ + cb3a2 1 ++ + cb2a3 1 ++ < 16 3 13) CMR: 222 8 )ba( a + + 222 8 )cb( b + + 222 8 )ac( c + ≥ 12 1 14) Tìm GTLN của: a) 2 2y x x= + − ; b) T = 2a + 3b với a, b thỏa mãn 2 2 2 3 5a b+ ≤ c) y = x 1 5 x− + − d) y = 2x 1 5 3x− + − 15) Cho x, y, z thỏa 2 2 2 1x y z+ + = . Tìm GTLN của P = x + y + z + xy + yz + zx. 16) Cho ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1x y z− + − + − = . Tìm GTLN của T = 2 3 8 .x y z+ + − Hd: T = 2 3 8x y z+ + − = 1.( 1) 2.( 2) 3.( 1)x y z− + − + − 17) Cho a, b > 0 thỏa 2 2 4a b+ = . Tìm GTLN của T = 2 ab a b+ + . Hd: gt ⇔ 2ab = (a + b) 2 – 4 = (a + b -2) (a + b + 2) => 2T = a + b -2 ≤ 2 2 2(a b )+ -2 18) Cho các số thực x, y, z thỏa 2 2 2 2 0 1 x y x t x y z t + + + =   + + + =  . Tìm Min, Max Q = xy + yz + zt + tx Hd: Q = (xy + yz + zt + tx ) 2 2 2 2 x y z t≤ + + + => MaxQ = 1 khi x = y = t = z = 1 2 Mà Q = (x + z )(y + t) = - (y + t) 2 0≤ => MinQ = 0 … 19) CMR: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d+ + + ≥ + + + (Hệ quả Bunhia) 20) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. CMR: x y z 3 x 1 y 1 z 1 4 + + ≤ + + + Hd: x y z 1 1 1 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1   + + = − + +  ÷ + + + + + +   21) Tìm GTLN của hàm số: a) y = ( ) 2 x 93 95 x+ − b) y = ( ) 2 x 1997 1999 x+ − Hd: a) Tìm GTLN nên chỉ xét x 0; 95   ∈   . y = ( ) 2 x 93 95 x+ − ( ) 2 x 93 93 1. 95 x= + − 2 2 2 x 93 95 x x 94 93 95 x 94 2   + + − ≤ + − ≤  ÷   22) Cho x, y > 0 & 2 3 6. Tìm GTNN: A x y x y + = = + Hd: ( ) 2 2 3 ( )(x y) 2 3 x y + + ≥ + 23) Cho a, b, c > 0 & ax + by = c. Tìm GTNN của A = 2 2 x y a b + Hd: (a 3 + b 3 )( 2 2 x y a b + ) ≥ ( ax + by) 2 24) Cho x, y, z > 0 & a b c 1 x y z + + = . Tìm GTNN của A = xyz; B = x + y + z; C = 2 2 2 x y z+ + 25) Tìm GTNN của hàm số y = cb a + + ac b + + ba c + + b c a + + c a b + + a b c + HD: cb a + + ac b + + ba c + 3 2 ≥ & b c a + + c a b + + a b c + = b c c a a b 6 a a b b c c + + + + + ≥ 26) Cho 3 số x, y, z > 0 & x(x - 1) + y(y -1) + z (z -1) 4 3 ≤ . CMR: x + y + z 4≤ Hd: x(x - 1) + y(y -1) + z (z -1) 4 3 ≤ 2 2 2 1 1 1 25 x y z 2 2 2 12       ⇔ − + − + − ≤  ÷  ÷  ÷       . Ad Bunhia… 27) CMR: a,b,c∀ ; 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c 2 3 6 2 3 6   + + ≤ + +  ÷   28) G/s A 4 x + B 3 x + C 2 x + Bx + A = 0 (A ≠ 0) có nghiệm. CMR: 2 B + 2 )A2C( − > 3 2 A Hd:A 4 0 x + B 3 0 x + C 2 0 x + B 0 x + A = 0 ⇔ A( 2 0 x + 2 0 x 1 ) + B( 0 x + 0 x 1 ) + C = 0. (1) Đặt 0 x + 0 x 1 = X, đk X ≥ 2. (1) ⇔ A( 2 X – 2) + BX + C = 0 => A 2 X + BX + C – 2A = 0 ⇒ – 2 X = A B X + A A2C − ; VT 2 ≤         − + 2 2 2 2 A )A2C( A B ( 2 X + 1) ⇒ 4 X ≤ 2 22 A )A2C(B −+ ( 2 X + 1) ⇒ 2 22 A )A2C(B −+ ≥ 1X X 2 4 + > 1X 1X 2 4 + − = 2 X – 1 > 3 ⇒ 2 B + 2 )A2C( − > 3 2 A Tòm giaá trõ lúán nhêët vaâ nhoã nhêët cuãa haâm söë Bài 1: Cho x, y,z 1> . Tìm GTNN của ( ) y z x log x log y log z T x y z x y z y x z   = + + + +  ÷ + + +   Bài 2: Cho 0 x 2 π < < . Tìm GTNN của y = 1 1 cosx sinx + Bài 3: Tìm GTNN của n n 2 2 1 1 y 1 1 sin x cos x     = + + +  ÷  ÷     Bài 4: Tìm GTLN và GTNN: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 f (x) sin x y cos x-y sin x y cos x+y = + + − Bài 5: Tìm GTNN của 2 2 cos x sin x y 4 4 = + Bài 6: Cho ABC∆ , tìm GTLN của A B C B A C y tg tg 1 tg tg 1 tg tg 1 2 2 2 2 2 2 = + + + + + HD: Bunhia Bài 7: Tìm GTLN & GTNN của ( ) sinx+siny sin z cosx.cosy.cosz y 1+sinx.siny + = HD: Ad Bunhia cho tử số Bài 8: BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: GBPT a) 5 1 0 3x 1 x 1 + > + + b) 3 2 x 2 2x 3 < + + c) 2 2 x 1 x 0 x x 2 x 1 + − < + − − d) 2 x 2 8 x 1 x 1 x 1 − > − + − e) 2 2 x 2 x 5x 6 x 3x 2 ≥ + + + + f) |x- 2| > |x - 1| -3 h) 2 2 2 x 7 x 10 1 0 x 6x 7 x 13x 30 x 5x 14 + − + + < + − − + − − g) 3x 1 1 1 5x − < − i) | 5 - 4x | ≥ 2x – 1 k) |x 2 – 2x + 8| >2x Bài 2: Giải và biện luận: a) 2(m-1)x + m(1-x) > 2m + 3 b) m 2 – 4m + 3mx < m 2 x + 21 c) a a 0 x a x a + < − + d) 2 2 2 x 1 x a x a a x − < + − − e) 2 a x 18 x 3 x 3 x 9 + > − + − f) 2(m 2 - 1)x < (3x +1)m +2 g) m( x- m ) 0 ≥ h) x ab x ac x bc a b c a b a c b c − − − + + ≤ + + + + + i) bx + b < a – ax k) ax + b 2 > bx + a 2 HD: h) Phân tích ( ) 1 1 1 1 1 1 .x ab bc ac a c b c a b a c b c a b     + + ≤ + + + +  ÷  ÷ + + + + + +     Bài 3: GBPT a) x 4 1 − ≥ x + 2 1 b) 2 x 1 x + + 2 x 1 x − ≥ x 2 c) 1x43x −++ + 1x68x −−+ > 1 d) 14x5x 2 −+ > x – 5 e) x x411 2 −− < 3 HD: Xét TH x > 0 & x <0 f) 3x + – 1x − < 2x − g) ( ) 2 2 x293 x2 +− < 21 + x h) 2 )3x( − (5x + 2)(2 – x)(1 – 3x) ≥ 0. i) ( ) ( ) ( ) x 2 . x 3 x 4 0+ + + < k) ( ) ( ) 2 x 1 x 2 0− − ≥ Bài 4: Với giá trị nào của a thì hệ sau có đây nghiệm:    <+ <+− 04ax 06x5x 2 Bài 5: Tìm m để hệ bất phương trình      <+− ≤− 0)mx)(xm( 01x 2 2 (I) vô nghiệm HD: (m – 2 x )(x + m) < 0 (*) có nghiệm trong [– 1; 1] . - Xét m < 0: (*) ⇔ x + m > 0 ⇔ x > – m khi đó (*) có nghiệm trong [– 1; 1] ⇔    < <− 0m 1m ⇔ – 1 < m < 0. - Xét m = 0: (*) ⇔ – 3 x < 0 ⇔ x < 0 , có nghiệm trong [– 1; 1]. - Xét 0 < m < 1 (*) ⇔ (x + m)(x + m )(x – m ) > 0 => ∃ nghiệm m < x ≤ – 1. - Xét m = 1: (*) ⇔ ( ) 2 x1 + (1 – x) < 0 vô nghiệm trong [– 1; 1]. - Xét m > 1: Trong [– 1: 1] thì m – 2 x > 0, m + x > 0 ⇒ (*) vô nghiệm. [...]... + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 4 2x x 2 x 2 + 4 x = x 2 6x + 11 x 4 + 6 x = x 2 10x + 27 6 2x 1 + 19 2x = 2 x + 10x 24 1 1 x + 2 x2 + + 2 2 = 4 x x 4 4 x + 1 x + x + 1 x = 2 + 4 8 * CauChy: x x2 1 + x + x2 1 = 2 2 ( 7x 4 ) ( x 2 x + 3) = x 2 + 6x 1 1 + x 2 + 1 x 2 + 3 1 + x 3 + 3 1 x 3 + 4 1 + x 4 + 4 1 x 4 = 6 (Cụsi tng s vi s 1) x 2 2x + 5 + x 1 = 2 * TGT: Bi 10: GBPT: ( cosx... 15: GBPT: ( x 3) x x +1 2 >3 x +1 x x2 + 4 x2 9 5x 2 + 10x + 1 7 x 2 2x x +1 + 1 x 2 2 ) 2 1 1 x 1 1 > x x x 2x < 1 + 2x 1 2x + 9 x x+ ( 4 ( x + 1) < ( 2x + 10 ) 1 3 + 2x x4 < x2 4 x2 (1+ x 2 x 1 ) 1+ x > 2 3 5 2 1 x2 + x 1 1 1 x 2 3x > 1 x 2 1 Bi 16: GPT: x3 + (1 x ) 2 3 = x 2(1 x) 2 x + 2 x 1 + x 2 x 1 = x2 3x 2 ( 108 ) x +3 2 ( 138) 3x 2 = 1 x ( 124) 1+ 1 x2 (1+ x)... + m + 4 x 4 + 4x + m = 6 4 x 4 + 4x + m = 16 f (x) = x 4x + 16 , lp bng bin thiờn ( 4 x) ( 2 + x) Bi 9: Cho BPT: 4 x 2 2x + a 18 Tỡm a BPT cú nghim x [ 2, 4] 2 HD: BPT g(t) = t 4t + 10 a 0; t = Bi 10: Tỡm m BPT ( 3+ x) ( 7 x) ( 4 x) ( 2 + x) x 2 4x + m cú nghim ỳng x [ 3, 7 ] Bi 11: Tỡm m BPT mx x 3 m + 1 cú nghim HD: t = x 3 0; ( ) BPT m t 2 + 2 t + 1; f (t) = Bi 12: (GTVT... m 3 2 b) f(x) = ( m 1) x + ( 2 m ) x 1 2 c) f(x) = 12x + 2 ( a + 3) x + a 2 Bi 9: Cho tam thc: f(x) = ( m + 1) x 2 ( m 1) x + 3m 3 a) Xỏc nh m f ( x ) 0x R b) Xỏc nh m f ( x ) < 0x R 2 Bi 10: Tỡm m bt phng trỡnh: ( m 1) x 2 ( m + 1) x + 3 ( m 2 ) < 0 luụn luụn vụ nghim Bi 11: Vi giỏ tr no ca m thỡ biu thc sau luụn xỏc nh x R f ( x) = Bi 12: ( m + 1) x 2 2 ( m 1) x + 3m + 6 ễN THI... 3) ( x + 2 5 ) < 0 x2 x+4 x +3 + x x+2 Bi 11: GBPT: >1 1 1 4x 2 2x + 2 2x + 1 1 4x 2 < 2x + 9 2 1 1 + 2x ( HD: Nhõn liờn hp t ) ( 3 2x 2 9 + 2x ) 2 < x + 21 ( 4 ( x + 1) < ( 2x + 10 ) 1 3 + 2x 2 ) 2 Bi 12: GBPT: 5 x+ x+ 5 2 x 2x < 2x + 1 +3 2x HD: t = >3 5 x2 4 ( x 1) 2x 1 3 ( x 1) x+ 1 2 x HD: Bỡnh phng, t n ph, a vờ PT bc 2 2x 1 t 3 3t 2 t + 3 0 HD: Bỡnh phng, t... 2 + c 2 2bc.cos A, m cosA>0 => a 2 < b 2 + c 2 Bi 8: Tỡm di ng phõn giỏc trong AD ca ABC bit A = 1200 , b = 3, c = b Bi 9: Cho ABC bit A : B : C = 3 : 4 : 5 Tớnh a: b: c A B C = = =t HD: 3 4 5 Bi 10: a) S = 2R 2 sin Bsin C thỡ ABC vuụng b) S = p(p a) thỡ ABC vuụng b3 + c3 a 3 = a2 c) b + c a thỡ ABC u cos ( A+C ) + 3cos B = 1 Bi 11: Cho ABC cõn, AB = BC = 5, AC = 6, D AB & AD = 3, E... ữ + ữ =1 ữ ữ 2 2 2 2 2 2 2 6) 1 + 1 4x = 2x 1 + 1 + 2 1 4x ữ 1 1 4 3 + = 7) 1 1 x 1+ 1 x 1 x 8) 1 2x + 1 + 2x = 9) x + x 2 x 1 = 1 2x 1 + 2x + 1 + 2x 1 2x 3 5 2 HD: x = x + 1 y2 = 1 10) y + 1 x2 = 1 14) ( 1 x ) 15) 1 x2 + x 1 16) x3 + 17) x +1 + 1 x 2 18) + x5 1 (1 x ) 2 3 1 ; t 0; ữ cost 2 x = sin HD: y = sin 1 2 x 1 y = 4 11) y 1 x 2 = 1 4 2 x 1 y + y... 1: a) Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim: x 2 + 3x 2 = 2m + x x 2 b) Gii & bin lun: x 2 1 x = m Bi 2: GPT: a) x 2 3x + 3 + x 2 3x + 6 = 3 b) c) ( x + 3) x +1 = 3 x 3 ( x 3) ( x + 1) + 4 ( x 3) d) 10 x 2 = x 2 x 12 3x 2 + x 1 = 4x 9 + 2 3x 2 5x + 2 e) x 2 + x 2 + 11 = 31 f) g) h) ( x + 5 ) ( 2 x ) = 3 x 2 + 3x ( x + 1) ( 2 x ) = 1 + 2x 2x 2 1+ x + 8 x + ( 1+ x ) ( 8 x ) =3 i) x + 17... tip tuyn vi (C) ti A(3;1) c) nh m ng thng (d) : x + y + m = 0 tip xỳc vi (C) Cõu 9: Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m sao cho (Cm) : x2 + y2 + 2 (m + 2)x - 2 ( m + 4) y + 34 = 0 l phng trỡnh ca mt ng trũn Cõu 10: Cho phng trỡnh : ( m + 3 )x2 + ( m + 3 )x + m = 0 nh m : a) Phng trỡnh cú mt nghim bng -1 Tớnh nghim cũn li b) Phng trỡnh cú nghim c) Bt phng trỡnh : ( m + 3 )x2 + ( m + 3 )x + m 0 vụ nghim x = . 2x 2 có nghiệm duy nhất Bài 10: Cho phương trình: (1+ m 2 )x 2 – 2mx + 1 – m 2 = 0 a) CMR với mọi m > 1 phương trình luôn luôn có nghiệm. b) Tìm hệ thức. m để ( ) f x 0 x R< ∀ ∈ Bài 10: Tìm m để bất phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 m 1 x 2 m 1 x 3 m 2 0− − + + − < luôn luôn vô nghiệm Bài 11: Với giá trị