ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội- Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN thầy, cô Khoa Toán – Cơ – Tin học quan tâm, giúp đỡ tạọ điều kiện thuận lợi suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu Khoa Tác giả xin cảm ơn nhà khoa học, thầy cô giáo seminar Cơ học vật rắn biến dạng có góp ý quý báu trình tác giả thực luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo, cán Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi trình nghiên cứu tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè thân thiết tác giả, người bên cạnh động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả Đào Thị Bích Thảo MỤC LỤC TỔNG QUAN Chương - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề 1.2.2 Hệ tọa độ cong 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 1.2.4 Tenxơ metric không gian Euclide 14 1.3 Thành phần vật lý tenxơ 20 1.3.1 Tenxơ hạng 20 1.3.2 Tenxơ hạng hai 21 1.3.3 Khai triển cụ thể 21 1.4 Đạo hàm hiệp biến 23 1.4.1 Đạo hàm véctơ sở 23 1.4.2 Kí hiệu Christoffel 25 1.4.3 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng 31 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai 32 Chương - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động 33 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 42 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 48 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 48 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng 49 2.3.3 Phương trình cân 52 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 53 TỔNG QUAN Tenxơ khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần nghiên cứu nhà toán học Tullio Levi-Civita Gregorio Ricci- Curbastro số nhà toán học khác Trong luận văn tenxơ sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ tập véctơ hình học Để giải toán lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị Việc thiết lập phương trình dựa hệ tọa độ cong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì báo hay giáo trình học nói chung thường nêu trực tiếp phương trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ bước biến đổi để thu kết Luận văn trình bày rõ ràng khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phương trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi, tác giả thu phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị hệ phương trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Nội dung luận văn bao gồm: - Chương trình bày khái niệm, thành phần vật lý tenxơ, số phép tính tenxơ đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả trình bày cách biến đổi để thu hệ véctơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến phản biến, thành phần kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé hệ tọa độ cong, cụ thể hệ tọa độ trụ cầu, từ giúp ích cho việc xác định phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị chương - Chương vận dụng hệ thức sở phép tính tenxơ để xây dựng phương trình cân bằng- chuyển động xây dựng phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời trình bày ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng, cụ thể áp dụng khai triển cho vỏ trụ vỏ cầu Nội dung luận văn trình bày chi tiết đây: Chương - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Tenxơ trường hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành thay đổi theo quy luật xác định Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu hệ thống đặc trưng hay nhiều số Ví dụ , , , Theo quy ước: số chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3 Ví dụ, kí hiệu nghĩa biểu thị phần tử , , , , , , , , , biểu thị phần tử , Hạng tenxơ Hạng tenxơ xác định số lượng số kí hiệu tenxơ Như thuộc vào số nên vào số ( , ) nên hệ thống hạng bao gồm hạng tử phụ phụ thuộc hệ thống hạng bao gồm = phần tử Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n số hệ thống hạng n gồm phần tử Quy ước số Chỉ số hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong biểu thức, số lặp lại lần , biểu thị tổng từ đến 3” Chỉ số số câm nên thay chữ khác Ví dụ: = = + + Hệ thống đối xứng Xét hệ thống hạng hai Nếu thay đổi chỗ số cho nhau, thành phần hệ thống không thay đổi dấu giá trị hệ thống gọi hệ thống đối xứng = Nếu thay đổi vị trí số cho nhau, thành phần hệ thống thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối hệ thống =− hệ thống phản đối xứng Ví dụ hệ thống Kronecker = , = , ≠ hệ thống đối xứng Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Hệ thống đối xứng với hai số đấy, thành phần không thay đổi đổi chỗ hai số cho đối xứng theo số ( , ) Ví dụ: Nếu hệ thống = Hệ thống Levi-Civita hệ thống phản đối xứng hạng số , , hoán vị chẵn số 1, 2, , , hoán vị lẻ số 1, 2, 0, = 1, −1, = Cụ thể: = = = =1, = −1, Cách thành phần lại = Loại tenxơ Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) xác định vị trí số Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hiệp biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ phản biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hỗn hợp hạng hai 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề Xét hệ tọa độ Đềcác vuông góc , với véc tơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } , (Hình 1) ⃗ = ⃗( O , , ) véctơ bán kính điểm P hệ tọa độ Đềcác Hình Véc tơ ⃗ biểu diễn dạng ⃗= ⃗ + ⃗ + ⃗ ( = 1,2,3) ⃗ = (1.1) Xét điểm Q lân cận điểm P ⃗= ⃗= ( = ⃗ ⃗)= ( ⃗ = 0) ⃗ độ dài bình phương vô nhỏ = ⃗ ⃗ +⃗ ⃗= ⃗ ⃗ = ⃗.⃗ Do hệ tọa độ Đềcác hệ véctơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } véctơ đơn vị trực giao nên tích vô hướng ⃗ ⃗ =0 ≠ , ⃗ ⃗ = = nên ⃗ ⃗ = Suy ra: = ⃗.⃗ =( = ) +( = ) +( ) a Các phép tính tenxơ hạng ( vectơ ) Xét hệ thống ⃗ có thành phần hệ sở ⃗ Phép cộng ⃗+ ⃗= =( ⃗ + ⃗ =( + + )⃗ + ( + Nhân với số )⃗ )⃗ + ( + )⃗ ⃗= ( ⃗)= = ⃗ ⃗ + ⃗ + ⃗ Nhân vô hướng ⃗ ⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗.⃗ = = + + Nhân véctơ ⃗× ⃗= ⃗ ⃗ =( ⃗ )⃗ + ( − )⃗ + ( − − )⃗ Hay viết dạng: ⃗× ⃗= = =( ⃗ × ⃗ = ⃗ ×⃗ = ⃗ ⃗ − ⃗ − ⃗ − ⃗ + ⃗ + ⃗ − )⃗ + ( − )⃗ + ( − )⃗ Tích hỗn hợp ⃗× ⃗ ⃗= ⃗ ⃗ = = ⃗ ⃗ = = − − + + − = + + − − − Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ ⊗) ⃗⨂ ⃗ = ⃗ ⊗ = ⃗ = ⃗ ⨂⃗ + + ⃗ ⨂⃗ ⃗ ⨂⃗ + ⃗ ⨂⃗ + ⃗ ⨂⃗ + ⃗ ⨂⃗ + ⃗ ⨂⃗ + ⃗ ⨂⃗ + ⃗ ⨂⃗ ⃗ ⨂⃗ b Các phép tính tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai tenxơ hạng cao, phép tính thực tương tự tenxơ hạng Chú ý phép tính cộng, trừ áp dụng với tenxơ hạng loại Phép nhân thực với hai tenxơ có hạng Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : = ⃗⃗ Phép cộng ⃗ ⃗ + ⃗⃗ = + ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ − ⃗⃗ = − ⃗ ⃗ Phép trừ Phép nhân vô hướng ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗.⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗.⃗ = ⃗⃗ = ⃗ ⃗ Tích tenxơ ⃗ ⃗ ⊗ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⊗⃗ ⃗ = ⃗ ⃗⃗ ⃗ Phép nhân( tích tenxơ) ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao với ý sau phép cộng nhân tenxơ, số số dưới, số số 1.2.2 Hệ tọa độ cong Hệ tọa độ cong , , với hệ véc tơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } (Hình 2) ⃗ = ⃗( ⃗ ⃗ ) véctơ bán kính cong Biểu diễn véc tơ ⃗ dạng : ⃗ ⃗= Hình + , điểm P hệ tọa độ O Lấy điểm ( , = ) lân cận điểm ⃗= ( ) ⃗= ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗ (1.2) ⃗ xác định Độ dài bình phương véc tơ vô nhỏ ⃗ = ⃗= ⃗ = ⃗ ⃗ Trong ⃗ = = ⃗ ⃗ Phép tính vectơ Cho hai véctơ ⃗ = ⃗ = ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ )⃗ =( ± Phép cộng, trừ ⃗± ⃗=( ± )⃗ Tích vô hướng ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = = ⃗ ⃗ = ⃗.⃗ = 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ Bán kính ⃗ điểm P hệ tọa độ Đềcác ( , ⃗ , ⃗ , ⃗ ) biểu diễn dạng: ⃗= ⃗= ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ Với véc tơ sở ⃗ không đổi , Trong tọa độ cong , bất kỳ, biến liên hệ với tọa đồ Đề miền xét phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị ( = , , ) = ( , , ) Jacôbiên phép biến đổi thuẩn nghịch khác không ≠ 0; ̅= = ≠ Ta có: = Suy ma trận ∙ ; = ∙ + ∙ nghịch đảo Ta kí hiệu : + ∙ = ⃗ ⃗ = hay ; ⃗ = ⃗ ⃗ = Các véctơ ⃗ = ⃗ ( ) = ⃗ ( , ⃗ ; ⃗ = ⃗ = ⃗, (1.3) ) thay đổi từ điểm sang điểm khác gọi , hệ véctơ sở hiệp biến hệ tọa độ cong Trong ⃗ véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ; ⃗ véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ; ⃗ véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ Cùng với hệ véctơ sở ⃗ , ta đưa vào hệ véctơ sở phản biến ⃗ liên hệ theo hệ thức sau ⃗ ⃗ = (1.4) Nếu xét lân cận vô nhỏ điểm P tọa độ cong, chuyển dịch vô nhỏ từ ( ) tới điểm ( ) cho ta vi phân vô nhỏ véc tơ bán + kính ⃗ điểm ⃗≈ ⃗ ⃗= = ⃗ + ⃗ + + ⃗ + ⃗ Vậy véctơ ⃗ biểu diễn dạng: ⃗ = ⃗ = ⃗ ⃗ Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân từ hệ tọa độ cong ( sang hệ tọa độ cong khác ; ; , ∙ (1.5) Ta kí hiệu ⃗ rêpe địa phương hệ tọa độ cong ; ; Do ⃗ xác định từ biểu thức: ⃗ ⃗ = (1.6) ∙ Thay ⃗ (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành: ⃗ = ⃗ = ) = ⃗ = , ∙ ⃗ ; ≠ (1.7) Khai triển cụ thể kết quả: ⃗ = ∙ ⃗ + ∙ ⃗ + ∙ ⃗ ⃗ = ∙ ⃗ + ∙ ⃗ + ∙ ⃗ ⃗ = ∙ ⃗ + ∙ ⃗ + ∙ ⃗ ; Ngược lại, biến đổi từ hệ tọa độ cong ( , , (1.8) ; sang hệ tọa độ cong ) ⃗ ⃗ = ⃗ = ∙ ∙ ⃗ = (1.9) Khai triển cụ thể (1.9) ⃗ = ∙ ⃗ + ∙ ⃗ + ∙ ⃗ ⃗ = ∙ ⃗ + ∙ ⃗ + ∙ ⃗ ⃗ = ∙ ⃗ + ∙ ⃗ + ∙ ⃗ Xét véctơ (tenxơ hạng nhất) ⃗ ( , (1.10) ) Có thể biểu diễn véc tơ ⃗ , dạng: ⃗= ⃗ = ⃗ Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ cong khác, véctơ ⃗ không đổi Biểu diễn ⃗ với thành phần phản biến ⃗= = ⃗ = ⃗ ⃗ = ∙ ∙ ⃗ ⃗ = Suy ra: = Khai triển (1.11) cho biểu thức sau: 10 ∙ (1.11) = + + = + + = + + (1.12) ∙ Biểu diễn ⃗ với thành phần hiệp biến ⃗= ⃗= ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = = ⃗ ⃗ = ⃗ từ suy = ∙ (1.14) Biểu diễn cụ thể (1.14) sau = + + , = + + , = + + (1.15) Đối với tenxơ hạng hai Một tenxơ hạng hai biểu diễn dạng: = Trong ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ thành phần lần phản biến tenxơ thành phần lần hiệp biến tenxơ thành phần lần phản biến, lần hiệp biến tenxơ Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ cong khác với sở ⃗ ; ⃗ ; ⃗ tenxơ hạng biểu diễn hệ sở với thành phần lần phản biến sau: 11 ⃗ ⃗ = = ⃗ = = ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ ∙ ∙ ∙ ∙ ⃗ ⃗ ⃗ ∙ ∙ Suy ra: = ∙ , bao gồm thành phần: , , , Ví dụ khai triển chi tiết thành phần , , , + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ , ta ∙ + +2 + ∙ +2 Tượng tự với thành phần lại = (1.16) = = ; ∙ = với ý ; Nếu biểu diễn dạng thành phần hiệp biến, tenxơ bậc có dạng: ⃗ ⃗ = = = ⃗ ⃗.⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ∙ ⃗′ ∙ ⃗′ ∙ Vậy: = Hệ thống gồm có phần tử ∙ , , 12 , (1.17) , , , , , = = ; = ; = Ví dụ, ta khai triển chi tiết phần tử được: = + ∙ + +2 + ∙ + ∙ Biểu diễn tenxơ hạng với thành phần lần phản biến, lần hiệp biến: = = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ∙ ∙ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∙ ∙ ⃗ ∙ ⃗ = ∙ ⃗′ ∙ ⃗′ ∙ Vậy: = ∙ (1.18) = ∙ ∙ = ∙ ∙ Tương tự tenxơ hạng cao ta có: ′ = ∙ ∙ Tenxơ kết hợp Do véc tơ ⃗ ; ⃗ véctơ sở nên véctơ ⃗ biểu diễn thông qua hệ véctơ sở ⃗ ngược lại ⃗ = Ví dụ: ⃗ + ⃗ + ⃗ , (1.19) Nhân hai vế (1.19) với ⃗ ta ⃗ ⃗ = ⇔ = ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗.⃗ + ⃗ ⃗ + Vì ⃗ ⊥ ( ⃗ , ⃗ ) nên ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = 13 ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ (1.20) (1.21 ) Thay (1.21) ( 1.20) có = Làm tương tự, ta nhân hai vế ( 1.19) với ⃗ Tương tự tính ; Thay ; ⃗ ⃗ = ⃗.⃗ + ⇔ = = ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ vào ( 1.19) suy ⃗ = ⃗ + ⇒ ⃗ = ⃗ + ⃗ ⃗ ( 1.22) Ngược lại véc tơ ⃗ biểu diễn qua sở ⃗ Ví dụ ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ ( 1.23) Nhân vế ( 1.23) với ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ + ⇔ = ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ Do ⃗ ⊥ ( ⃗ , ⃗ ) nên ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = 0; ⃗ ⃗ = Thực tương tự, nhân hai vế ( 1.23) với ⃗ có = = Nhân vế ( 1.23) với ⃗ Thay , , vào ( 1.23) ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ Hay ⃗ = ⃗ (1.24 ) Từ ( 1.22) ( 1.24) ta có phép nâng, hạ số sau: ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ( phép nâng số) ( phép hạ số) 1.2.4 Tenxơ metric không gian Euclide a Tenxơ mêtric hiệp biến 14 Xét hệ tọa độ Đềcác Gọi độ dài bình phương véctơ vô nhỏ ⃗ = ⃗ ⃗= ⃗ = ⃗ ⃗ =( ) +( , ⃗ ) +( ) ) , ⃗= ⃗ = ⃗ ⃗ Trong ( 1.25) = Xét tọa độ cong ( = ⃗ ⃗ = ( 1.26) = ⃗ ⃗ tenxơ mêtric hiệp biến hệ tọa độ cong Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi = = = ∙ ∙ ( 1.27) Đồng (1.26) với (1.27) nhận = (1.28) ∙ = ∙ + ∙ + ∙ Từ ta có thành phần tenxơ mêtric hiệp biến sau = + + , = + + , = + + , = ∙ + ∙ + ∙ = ∙ + ∙ + ∙ 15 (1.29) , , = ∙ + ∙ + ∙ b Xác định tenxơ mêtric phản biến Hệ véctơ sở phản biến ⃗ liên hệ với véctơ sở hiệp biến qua biểu thức ⃗ ⃗ = - tenxơ Kronecker Với hệ sở ⃗ , ⃗ , ⃗ biết ta xác định = ⃗ (⃗ × ⃗ ) = hay Đặt: ⃗ = ⃗ × ⃗ ; ⃗ = ⃗ × ⃗ ; ⃗ = ⃗ × ⃗ (1.30) Hoặc ⃗ = ⃗ × ⃗ ; ⃗ = ⃗ × ⃗ ; ⃗ = ⃗ × ⃗ Trong : = ⃗ (⃗ × ⃗ )= Nếu hệ tọa độ cong trực giao ( ⃗ ⊥ ( ⃗ , ⃗ ); ⃗ ⊥ ( ⃗ ; ⃗ )), véc tơ sở ⃗ , ⃗ trùng hướng độ lớn khác Thật vậy, ta có ⃗ × ⃗ = ⃗ mà ⃗ = ⃗ × ⃗ ⃗ = Suy : ⃗ , ⃗ hướng, khác độ lớn Tương tự cặp ⃗ , ⃗ ; ⃗ , ⃗ chiều khác độ lớn Trong trường hợp = ⃗ ⃗ =0 ( ≠ ) này: = ⃗ ⃗ =0 ( ≠ ) = = = = 0 Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính 16 ta được: 0 [...]... + (1.15) Đối với tenxơ hạng hai Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng: = Trong đó ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở ⃗ ; ⃗ ; ⃗ tenxơ hạng 2 sẽ được biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các.. .Phép cộng ⃗ ⃗ + ⃗⃗ = + ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ − ⃗⃗ = − ⃗ ⃗ Phép trừ Phép nhân vô hướng ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗.⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗.⃗ = ⃗⃗ = ⃗ ⃗ Tích tenxơ ⃗ ⃗ ⊗ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⊗⃗ ⃗ = ⃗ ⃗⃗ ⃗ Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dưới vẫn là chỉ số dưới, chỉ số trên vẫn là chỉ số trên 1.2.2 Hệ tọa độ cong Hệ tọa độ cong , , với hệ véc tơ cơ sở... phép nâng chỉ số) ( phép hạ chỉ số) 1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide a Tenxơ mêtric hiệp biến 14 Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là ⃗ = ⃗ ⃗= ⃗ = ⃗ ⃗ =( ) +( , ⃗ ) +( ) ) , ⃗= ⃗ = ⃗ ⃗ Trong đó ( 1.25) = Xét trong tọa độ cong ( = ⃗ ⃗ = ( 1.26) = ⃗ ⃗ là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi = = = ∙ ∙ ( 1.27) Đồng... của tenxơ mêtric hiệp biến như sau = + + , = + + , = + + , = ∙ + ∙ + ∙ = ∙ + ∙ + ∙ 15 (1.29) , , = ∙ + ∙ + ∙ b Xác định tenxơ mêtric phản biến Hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức ⃗ ⃗ = - tenxơ Kronecker Với hệ cơ sở ⃗ , ⃗ , ⃗ đã biết ta xác định được = ⃗ (⃗ × ⃗ ) = hay Đặt: ⃗ = ⃗ × ⃗ ; ⃗ = ⃗ × ⃗ ; ⃗ = ⃗ × ⃗ (1.30) Hoặc ⃗ = ⃗ × ⃗ ; ⃗ = ⃗ × ⃗ ; ⃗ = ⃗ × ⃗ Trong. .. Phép biến đổi tọa độ Bán kính ⃗ của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác ( , ⃗ , ⃗ , ⃗ ) biểu diễn dưới dạng: ⃗= ⃗= ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ Với các véc tơ cơ sở ⃗ là không đổi , Trong tọa độ cong , bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị ( = , , ) = và ( , , ) Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không ≠ 0; ̅= = ≠ 0... tơ ⃗ dưới dạng : ⃗ ⃗= Hình 2 + , của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ O Lấy điểm ( , = ) là lân cận của điểm ⃗= ( ) ⃗= ⃗ 7 ⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗ (1.2) ⃗ được xác định bằng Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ ⃗ = ⃗= ⃗ = ⃗ ⃗ Trong đó ⃗ = = ⃗ ⃗ Phép tính đối với vectơ Cho hai véctơ ⃗ = ⃗ = và ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ )⃗ =( ± Phép cộng, trừ ⃗± ⃗=( ± )⃗ Tích vô hướng ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = = ⃗ ⃗ = ⃗.⃗ = 1.2.3 Phép biến đổi... kí hiệu : 8 + ∙ = trong ⃗ ⃗ = hay ; ⃗ = ⃗ ⃗ = Các véctơ ⃗ = ⃗ ( ) = ⃗ ( , ⃗ ; ⃗ = ⃗ = ⃗, (1.3) ) thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là , hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong Trong đó ⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ; ⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ; ⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ Cùng với hệ véctơ cơ sở ⃗ , ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ theo... các cơ sở ⃗ Ví dụ ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ ( 1.23) Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với ⃗ sẽ được ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ + ⇔ = ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ Do ⃗ ⊥ ( ⃗ , ⃗ ) nên ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = 0; ⃗ ⃗ = 1 Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với ⃗ sẽ có = = Nhân 2 vế của ( 1.23) với ⃗ Thay , , vào ( 1.23) ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ Hay ⃗ = ⃗ (1.24 ) Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau: ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ( phép nâng chỉ số) ( phép. .. )= Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao ( ⃗ ⊥ ( ⃗ , ⃗ ); ⃗ ⊥ ( ⃗ ; ⃗ )), các véc tơ cơ sở ⃗ , ⃗ trùng nhau về hướng nhưng độ lớn khác nhau Thật vậy, ta có ⃗ × ⃗ = ⃗ mà ⃗ = ⃗ × ⃗ ⃗ = Suy ra : ⃗ , ⃗ cùng hướng, khác nhau về độ lớn Tương tự các cặp ⃗ , ⃗ ; ⃗ , ⃗ cũng cùng chiều và khác độ lớn Trong trường hợp = ⃗ ⃗ =0 ( ≠ ) này: = ⃗ ⃗ =0 ( ≠ ) 0 = = = = 0 0 Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính 16... (1.17) , , , , , = = trong đó ; = ; = Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ được: = + 2 ∙ + +2 + ∙ + ∙ Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến: = = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ∙ ∙ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∙ ∙ ⃗ ∙ ⃗ = ∙ ⃗′ ∙ ⃗′ ∙ Vậy: = ∙ (1.18) = ∙ ∙ = ∙ ∙ Tương tự đối với tenxơ hạng cao ta có: ′ = ∙ ∙ Tenxơ kết hợp Do các véc tơ ⃗ ; ⃗ đều là các véctơ cơ sở nên véctơ ⃗ có