L ic m n Tôi xin đ c bày t lòng bi t n chân thành sâu s c đ i v i ng c a mình, TS V h ình Ph ng, ng i đ nh h i th y ng ch n đ tài nhi t tình ng d n, ch b o đ có th hoàn thành lu n v n đ ng th i c ng mong mu n đ c h c h i th y nhi u h n n a Tôi c ng xin chân thành c m n quý th y cô Ban giám hi u, Phòng đào t o sau i h c tr ng i h c Th ng Long quý th y cô tham gia gi ng d y khóa h c t o m i u ki n giúp đ tác gi su t trình h c t p nghiên c u đ tác gi hoàn thành khóa h c hoàn thành b n lu n v n Hà N i, tháng n m 2016 Tác gi Thơn Th Nguy t Ánh L i cam đoan Tôi xin cam đoan, d Ph i s ch b o h ng, lu n v n chuyên ngành ph d ng toán ph ng trình, b t ph trung h c ph thông” đ ng d n c a TS V ình ng pháp toán s c p v i đ tài: “ Nh ng ng trình vô t th ng g p tr ng c hoàn thành b i s nh n th c tìm hi u c a b n thân tác gi Trong trình nghiên c u th c hi n lu n v n, tác gi k th a nh ng k t qu c a nhà khoa h c v i s trân tr ng bi t n Hà N i, tháng n m 2016 Tác gi Thơn Th Nguy t Ánh Thang Long University Libraty M cl c Trang M đ uầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ Ch PH 1.1 ng PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH, B T NG TRÌNH VỌ T ầầầầầầầầầầầầầầầầầầ Ph ng pháp gi i ph ng trình vô t ……………………………… 1.1.1 Ph ng pháp bi n đ i t ng đ ng……………………………… 1.1.2 Ph ng trình vô t th ng g p…………………………………… 1.1.3 Ph ng pháp bi n đ i thành ph 1.1.4 Ph ng pháp nhân l 1.1.5 Ph ng pháp đ t n ph ………………………… ng trình tích.…………………… 10 ng liên h p………………………………… 12 20 1.1.6 S d ng tính đ n u c a hàm s ………………………………… 38 1.1.7 Ph 1.2 Ph 1.2.1 Ph ng pháp đánh giá………………… 42 ng pháp gi i b t ph ng pháp bi n đ i t ng trình vô t ………………………… 45 ng đ ng.……………………………… 45 1.2.2 S d ng ph ng pháp chia kho ng tách c n…………………… 48 1.2.3 Gi i b t ph ng trình b ng cách đ a v d ng tích ho c th ng… 50 1.2.4 Ph ng pháp nhân l 1.2.5 Ph ng pháp đ t n ph …………………………………………… 54 1.2.6 Ph ng pháp hàm s ……………………………………………… 1.3 M t s ph ng liên h p………………………………… 52 ng pháp gi i ph ng trình, b t ph ng trình vô t có ch a tham s ……………………………………………………… 58 1.3.1 Ph ng pháp bi n đ i t ng……………………………… 58 1.3.2 Ph ng pháp đ t n ph …………………………………………… 60 1.3.3 S d ng đ nh lí Lagrange………………………………………… 61 1.3.4 Ph ng pháp u ki n c n đ ………………………………… 62 1.3.5 Ph ng pháp hàm s ……………………………………………… 63 1.4 M t s ph ng đ 56 ng trình, b t ph ng trình vô t gi i b ng nhi u cách khác nhau………………………………………………………… 69 Ch ng M T S KHI GI I PH SAI L M TH NG G P C A H C SINH NG TRÌNH, B T PH NG TRÌNH VỌ T ầầầ 75 2.1 Sai l m bi n đ i làm th a nghi m c a ph ph ng trình……………………………………………………………… 2.2 Sai l m bi n đ i làm thi u nghi m c a ph ph ng trình, b t 75 ng trình, b t ng trình……………………………………………………………… 80 2.3 Sai l m bi n đ i v a làm th a nghi m v a làm thi u nghi m c a ph Ch ng trình………………………………………………………… ng M T S TRÌNH, B T PH PH NG PHÁP XÂY D NG PH NG NG TRÌNH VỌ T ầầầầầầầầầầầầ 87 87 3.1 Xây d ng ph ng trình vô t t h ph 3.2 Xây d ng ph ng trình, b t ph ng trình đ i x ng lo i hai ng trình vô t d a vào ph ng trình bi t cách gi i……………………………………………… 3.3 Xây d ng ph ng trình, b t ph ng trình vô t d a vào ph Xây d ng ph ng trình, b t ph Xây d ng ph ng trình, b t ph Xây d ng ph trình l 3.7 Xây d ng ph Xây d ng ph hàm ng ng trình vô t d a vào ph ng trình, b t ph 97 ng trình vô t d a vào nghi m ng pháp nhân l ng trình, b t ph 95 ng ng giác…………………………………………………… ch n s n ph 3.8 ng trình, b t ph 92 ng trình vô t d a vào tính đ n u c a hàm s …………………………………………………… 3.6 91 ng trình vô t t h ng đ ng th c………………………………………………………………… 3.5 88 ng trình tích…………………………………………………………… 3.4 85 ng liên h p…………………… 99 ng trình vô t b ng cách s d ng c………………………………………………………… 101 K t lu nầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ 103 TƠi li u tham kh oầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ 104 Thang Long University Libraty M đ u Lí ch n đ tƠi Ph ng trình, b t ph cu n nhi u ng ýt ng trình vô t đ tài lí thú c a i say mê nghiên c u t sáng t o đ tìm l i gi i hay, ng phong phú t i u Chính v y mà toán v ph b t ph ng trình vô t th k thi n sinh ng trình, ng xuyên xu t hi n k thi h c sinh gi i i h c – Cao đ ng Bên c nh đó, h c sinh ph i đ i m t v i nhi u d ng toán ph ph i s , lôi ng trình vô t mà cách gi i ch a đ sách giáo khoa (ph c h th ng m t cách đ y đ ng pháp hàm s , ph ng pháp nh n xét – đánh giá, ph ng pháp đ t n ph , ph th ng xuyên g p ph i m t s sai l m gi i toán d ng Vi c ch sai l m th ng pháp l ng trình, b t ng giác…), đ ng th i em ng g p c a h c sinh, phân lo i t ng h p d ng t p nh m phát tri n n ng l c cho m i đ i t pháp gi i hay c ng nh ý t ng h c sinh, tìm ph ng xây d ng ph vô t m i quan tâm c a không ng i ng trình, b t ph ng trình vô t th ng g p tr ng trình đáp ng nhu c u gi ng d y h c t p tác gi l a ch n đ tài: “ Nh ng d ng toán ph ph ng ng trình, b t ng trung h c ph thông” làm đ tài nghiên c u cho lu n v n M c đích nghiên c u tài nh m nghiên c u ph ng pháp gi i ph trình vô t D a vào cách gi i, đ a m t s h b t ph ng trình vô t ng trình, b t ph ng đ xây d ng ph ng th i h n ch sai l m th ng ng trình ng g p c a h c sinh gi i d ng toán Nhi m v nghiên c u Nghiên c u ph ng trình, b t ph trung h c ph thông ng trình vô t ch ng trình it Ph ng vƠ ph m vi nghiên c u ng trình, b t ph ng trình vô t ph th đ a nhi u cách khác đ gi i m t ph ng pháp gi i T có ng trình hay b t ph ng trình vô t Ph Ph ng pháp nghiên c u ng pháp ch y u đ th c hi n lu n v n thu th p tài li u, ngu n tài li u thu th p đ c t : giáo trình, sách tham kh o, t p chí chuyên ngành, website chuyên ngành Sau thu th p tài li u, ti n hành t ng h p, phân tích tài li u đ phù h p v i m c đích nghiên c u C u trúc lu n v n Ngoài ph n m đ u, k t lu n tài li u tham kh o, lu n v n g m ba ch ng: Ch ng 1: Ph Ch ng 2: Sai l m th ng pháp gi i ph ng trình, b t ph ng trình vô t ng g p c a h c sinh gi i ph ng trình, b t ph ng trình vô t Ch ng 3: M t s ph ng pháp xây d ng ph ng trình, b t ph ng trình vô t M c dù c g ng r t nhi u nghiêm túc su t trình nghiên c u, nh ng th i gian trình đ h n ch nên k t qu đ t đ c lu n v n r t khiêm t n không tránh kh i thi u sót Vì v y tác gi mong nh n đ c ý ki n đóng góp, ch b o c a quý th y cô, anh ch đ ng nghi p đ lu n v n đ c hoàn thi n h n HƠ n i 2016 Thang Long University Libraty CH PH NG NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH, B T PH NG TRÌNH VỌ T 1.1 Ph ng pháp gi i ph 1.1.1 Ph ng trình vô t ng pháp bi n đ i t N i dung c a ph ng đ ng ng pháp th c hi n l y th a hai v v i s m phù h p Ta th ng s d ng phép bi n đ i t B  A B  2n A B D ng 1: 2n D ng 3: n1 c m t ph 2n  A v B  A  2n B   A B B  A D ng 4: A2 n B   B  v  ng trình x  12  26  8x Phân tích: Bi n đ i ph ta thu đ ng sau: D ng 2: A  B  A  B2n1 Ví d 1.1 Gi i ph ng đ ng trình v d ng A  B , sau bình ph (1) ng v ng trình b c hai L i gi i:  8 x  26   6 x  12  8 x  26  (1)  x  12  x  26   13  x    64 x  422 x  664   K t lu n: T p nghi m c a ph Ví d 1.2 Gi i ph Phân tích: Ph L i gi i: 13   x   x   83 x  ; x   32 ng trình cho S  4 ng trình  x2  3x x2  x   ng trình có d ng c b n A B   2 x  3x   (2)  x  3x   ho c    x  3x  (2)   1 1  x   ;     2;    x  ; x   ; x   x  2; x   ho c   2 2 x  ; x   K t lu n: T p nghi m c a ph ng trình S   ; 2; 3 1.1.2 Ph ng g p  ng trình vô t th D ng 1: A  B  C  B c 1: t u ki n xác đ nh B c 2: Chuy n v đ hai v đ u không âm t c là: B c 3: Bình ph  (1) ng hai v ph A  C  B (1.1) ng trình (1.1) ta có: A C  AC  B  AC  B  A C D ng 2: B A B  C c 1: L p ph  B c 2: Th 3 (2) ng hai v ph A B ng trình (2) thu đ     3 C  A B  3 AB A  B  C vào (2.1) ta thu đ  c:  A  B  C c ph ng trình h qu A B  3 ABC  C B (2.1) (2.2) c 3: Ki m tra l i nghi m D ng 3: A  B  C  D , v i A C  B  D ho c AC  BD B c 1: t u ki n xác đ nh B c 2: Bi n đ i ph ng trình A C  D  B  Chú ý: Bi n đ i t ph  A C   D B  (3.1) ng trình (2.1) sang (2.2) t (3) sang (3.1) bi n đ i h qu , gi i xong ta c n thay th nghi m tr l i ph trình đ đ ki m tra nh m tránh thu đ Ví d 1.3 Gi i ph ng c nghi m ngo i lai ng trình 3x   2x   x  (3) Thang Long University Libraty Phân tích: Bi n đ i ph ph ng trình v d ng ng v đ a v gi i ph A  B  C , sau bình ng trình b c hai L i gi i: i u ki n xác đ nh x   (3)  3x   x   x    3x     2x   x    x  3 x  1   x  3 x  1   3x   x   x    x   ; x  3 ng trình S    K t lu n: T p nghi m c a ph Ví d 1.4 Gi i ph Phân tích: Ph  2 ng trình x   3x   x  x  ng trình có d ng A  B  C  D , v i A C  B  D, c th :  x  3  x   3x  1   x    x  nên ta bi n đ i ph A  C  D  B , sau bình ph qu Do sau tìm đ (4) ng hai v ta thu đ ng trình thành c ph ng trình h c nghi m ta c n thay th nghi m vào ph ng trình đ đ nh n nghi m thích h p L i gi i: i u ki n xác đ nh x  (4)  x   x  x   3x    x  x  3   x3  x    x   3x    x   3x  1  x  x  3   x  3x  1  x2  x    x  ng trình S  1 K t lu n: T p nghi m c a ph Ví d 1.5 Gi i ph ng trình Phân tích: Bi n đ i ph l p ph  a  b ng hai x   3x   x   ng trình đ a v d ng c b n v th ng s  a  b3  3ab  a  b  , r i thay th d ng (5) A  B  C , sau h ng đ ng A  B  C vào ph th c ng trình thu đ c sau l p ph ng gi i ph ng trình h qu d ng f  x  g  x  f  x   g  x L i gi i: T p xác đ nh D  (5)  x   3x   x    x   3 x  3x  Th     x   3x   x 1  x   3 x   x  x   3x   x  vào (5.1), suy ra:  (5.1) x  3x  x    x    x  1 3x  1 x  1    x  1   x  1  3x  1 x  1   x  1       x  1 x2   x  1; x  Th l i: Thay x  1 x  vào ph K t lu n: T p nghi m c a ph 1.1.3 Ph ng trình (5) đ u không th a mãn ng trình S   ng pháp bi n đ i thƠnh ph N i dung c a ph ng pháp s phép bi n đ i, k t h p v i vi c tách, ghép, nhóm đ đ a ph ph ng trình tích ng trình cho v d ng tích ng trình đ n gi n h n bi t cách gi i Ví d 1.6 Gi i ph ng trình 3 x   x   x2  3x   15 Phân tích: S d ng phân tích x2  3x   (6)  x  1 x  1 ghép t ng c p l i v i s xu t hi n nhân t chung đ a đ c v ph ng trình tích s L i gi i: T p xác đ nh D  (6)  3 x   x    x  1 x  1  15  3    3  2x    x    2x     2x    x  62 2x    x       x  26  x    K t lu n: T p nghi m c a ph  ng trình S  26; 62 10 Thang Long University Libraty  x 11  177 (th a mãn) V y t p nghi m c a ph 11  177     ng trình S   L u ý: M u ch t c a l i gi i chia c hai v c a ph ng trình cho x2  x   v i vi c phân tích: 3x2  3x  18   x2  x     x   Ta có th ch n A, B, C bi u th c có ch a bi n cho bi t th c  s ph ng Ch ng h n, ch n A  2, B   x, C  x  t  x2  , thay vào b t ph ng trình At  Bt  C  ta đ   c: x2   1  x x2    x  1  Bi n đ i rút g n ta có ví d sau: Ví d 3.3.1 Gi i b t ph Ph ng trình  x  1 x2   x2  x   ng pháp gi i t t  x2    x2  t  , thay vào b t ph ng trình cho ta đ c  x  1 t   t  1  x    2t   4x  1 t  2x   (*) t   x  1   x  1   x  3  , suy t1  x  1; t2  2 2t    2t   ho c  t  x   t  x   (*)   2t  1 t  x  1    Thay t  x2  vào ta gi i b t ph ng trình c b n K t h p v i u ki n x  , t p nghi m c a b t ph ng trình là: 4  3 S   ;      3  4 90 Thang Long University Libraty 3.3 Xơy d ng ph ng trình, b t ph ng trình vô t d a vƠo ph ng trình tích i v i ph ng pháp vi c xây d ng m t ph trình vô t r t d dàng, ta ch c n xét ph ng trình hay b t ph ng ng trình f  x g  x  hay b t ng trình f  x g  x  , sau ta nhân vào bi n đ i đ không tích ph n a Còn vi c gi i th sáng tác ph ng ng ng trình hay b t ph c l i trình sáng tác Tuy nhiên vi c ng trình tr tùy ti n mà nên xây d ng nh ng ph riêng ho c đ i di n cho ph ng h p c ng không ng trình đ a v tích có đ c thù ng pháp phân tích BƠi toán 3.4 Ýt ng: ng trình tích , ch ng h n  a  b  a  b  1  Xu t phát t ph bi u th c có ch a c n th c ta thu đ c nh ng ph  c: x2   x   ng trình vô t ng trình  a  b  a  b  1  ta Ch n a  x2  1, b  x  , thay vào ph đ t a , b  x2   x    Khai tri n rút g n ta có ví d sau: Ví d 3.4 Gi i ph Ph ng trình x2  x  x   x2  ng pháp gi i i u ki n xác đ nh: x   Ph  1   x  1  x   x2  (*) t a  x2   1, b  x   , thay vào (*) ta có a  b  a  b (1) ng trình t Bi n đ i ph c a ph ng đ ng v i x ng trình (1) thành ph ng trình tích t tìm đ ng trình cho S  0; 2 91 c t p nghi m 3.4 Xơy d ng ph ng trình, b t ph ng trình vô t t h ng đ ng th c BƠi toán 3.5 Ýt ph ng: Xu t phát t m t đ ng th c đó, ta có th xây d ng đ c ng trình vô t ch ng h n h ng đ ng th c: a  b  c  a  b3  c3  3 a  b  b  c  c  a  Khi ta ch n a , b, c cho:  a  b  c  a3  b3  c3, t ta đ cm t ng trình tích s :  a  b  b  c  c  a   ph Ch ng h n, ch n a  x  1, b   x, c  3x  , suy a  b3  c3  x  T ta có ví d sau: Ví d 3.5 Gi i ph Ph ng trình x    x  3x   x  ng pháp gi i t a  x  1, b   x, c  3x  suy a  b3  c3  4x  Ph ng trình cho tr thành: a  b  c  a  b3  c   a  b  c   a  b  c 3 (1) M t khác ta có  a  b  c   a  b3  c3  3 a  b  b  c  c  a  (2) T (1) (2) suy  a  b  b  c  c  a   T ta gi i ph ng trình có d ng tích s , tìm đ c t p nghi m 1  S  3;   5  Ch ng h n, ch n a  x  1, b   x2  x  8, c  x2  x  , suy a  b3  c3  T ta có ví d sau: Ví d 3.5.1 Gi i b t ph Ph ng trình x   x2  x   x2  8x   ng pháp gi i t a  x  1, b   x2  x  8, c  x2  x  suy a  b3  c3  92 Thang Long University Libraty B t ph ng trình cho tr thành: a  b  c  a  b3  c3   a  b  c   a  b3  c 3 (1) M t khác ta có  a  b  c   a  b3  c3  3 a  b  b  c  c  a  (2) T (1) (2) suy  a  b  b  c  c  a   T ta gi i b t ph ph ng trình có d ng tích s , tìm đ c t p nghi m c a b t ng trình S   ; 1  0;9 BƠi toán 3.6 Ýt ng: xu t phát t h ng đ ng th c A2  B2 , ta ch n A, B bi u th c có ch a c n ta thu đ c ph ng trình hay b t ph ng trình vô t Ch ng h n ch n A  x   x2  x  3, B  x  x2  , thay vào đ ng th c A2  B2 , khai tri n h ng đ ng th c hai v rút g n ta thu đ Ví d 3.6 Gi i ph Ph c ví d sau: ng trình x   x x2    x  1 x2  x   ng pháp gi i i u ki n xác đ nh x Bi n đ i ph ng trình cho thành x   x x2    x  1 x2  x     x  1   x  1 x2  x    x2  x  3   x2    x x2   x2   x   x2  x     x  x2    x   x2  x   x  x2    x   x2  x    x  x2   1   x2  x   x2   ( ph (2)  x   x2  x   x2    2x   2x  x2  x   x2  0 93 1  2 ng trình vô nghi m)     x  1 1  0 x2  x   x2     x (th a mãn) V y t p nghi m c a ph ng trình S     2 BƠi toán 3.7 Ýt ng: xu t phát t h ng đ ng th c u  v3   u  v  u  uv  v2  , ta ch n u , v bi u th c có ch a c n đ ng th i ta mu n xây d ng m t ph trình đ c gi i b ng cách đ a v ph ng ng trình đ ng c p d ng: au  buv  cv2  Ta ch vi c tính au  cv2 theo x sau cho buv  au  cv2 ta s thu đ ph ng trình n x Th ph c ng ta ch n h s a , b, c cho bi t th c  s ng Ch ng h n ta xét h ng đ ng th c x3    x  1  x2  x  1 ch n u  x  1, v  x2  x  , uv  8x3  Xét  2u  v u  3v   2u  3v2  5uv   2u  3v2  5uv Mà 2u  3v2   x  1   x2  x  1  12 x2  10 x  5uv  5 8x3  T ta có ví d sau: Ví d 3.7 Gi i ph Ph ng trình 8x3   12 x2  10 x  ng pháp gi i i u ki n xác đ nh x   Bi n đ i ph ng trình cho thành  x  1  x2  x  1  3 x2  x  1   x  1 94 Thang Long University Libraty t u  x  1, v  x2  x  , bi n đ i v gi i ph ng trình đ ng c p b c hai đ i v i u , v BƠi toán 3.8 ng: D a vào h ng đ ng th c Ýt x4    x2    x2   x2  x   x2  x   t a  x2  x  2, b  x2  x   a b  x4  Xét  2a  b  a  3b    2a  5ab  3b2   2a  3b2  5ab (*) Ta có 2a  3b   x2  x     x2  x     x2  10 x  ; 5ab  5 x4  , thay vào b t ph Ví d 3.8 Gi i b t ph Ph ng trình (*) ta thu đ c toán sau: ng trình x2  10 x   x4  ng pháp gi i T p xác đ nh x ng trình thành  x2  x     x2  x    x4  Bi n đ i b t ph t a  x2  x  2, b  x2  x   ab  x4  a v gi i b t ph 3.5 Xơy d ng ph ng trình tích n a , b ng trình, b t ph ng trình vô t d a vƠo tính đ n u c a hƠm s Ta có k t qu sau: N u hàm s f  x liên t c đ n u kho ng  a ; b  đ ng th i x, y   a ; b  f  x  f  y   x  y B ng cách ch n hàm s có th xây d ng đ f  t  đ n u t bi u th c có ch a c n th c, ta c nh ng ph ng trình, b t ph ng trình vô t BƠi toán 3.9 Ýt ng: Xét hàm s f  t   t  t có f '  t   3t   0, t  95 Khi hàm s f  t  đ ng bi n Sau cho f  x  3  f   3x  , ta thu đ c ví d sau: Ví d 3.9 Gi i ph Ph ng trình x3  36x2  53x  25  3x  ng pháp gi i T p xác đ nh x Bi n đ i ph ng trình cho tr thành:  x  3   x     3 x   Xét hàm s f  t   t  t đ ng bi n f  x  3  f T gi i ph  3  3x  Khi ph (*) ng trình (*) tr thành  3x   x   3x  ng trình b c ba tìm đ c t p nghi m c a ph ng trình    S  2;    BƠi toán 3.10 Ýt ng: Xu t phát t hàm s f '  t   2t  t   t2 t2  f  t   2t  t t  có suy hàm s  0, t  Sau cho f  x  1  f  3x ta thu đ Ví d 3.10 Gi i b t ph f  t  đ ng bi n c ví d sau: ng trình 10 x    x  1 x2  x   x x2   Ph ng pháp gi i i u ki n xác đ nh x Quá trình gi i toán ng c v i trình sáng tác BƠi toán 3.11 S d ng ph c l ng trình, b t ph ng c a hàm đ n u, ta có th xây d ng đ ng trình vô t Ta có cl c ng sau, xét a  : 96 Thang Long University Libraty i)  a  x  a  x  a f  x  x  a  x liên t c đ n u t ng  0;a  nên Th t v y hàm s ta có f    f  x  f  a    a  x   x  a ii)  a  x  a  x  a f  x  x  a  x liên t c đ n u t ng  0;a  nên Th t v y hàm s ta có f    f  x  f  a    a  x  a  x  a iii)  a  x  a  x  a f  x  x  a  x liên t c đ n u t ng  0;a  nên Th t v y hàm s ta có f    f  x  f  a    a  x   x  a C ng cl ng c b n thay a  ta thu đ Ví d 3.11 Gi i ph Ph ng trình c ví d sau: x  x  x    x   x   x ng pháp gi i i u ki n xác đ nh  x  Bi n đ i ph ng trình cho v d ng  S d ng cl 3.6 Xơy d ng ph trình l  x  1 x  ng trình S  1 ng trên, suy t p nghi m c a ph ng trình, b t ph ng trình l ng trình vô t d a vƠo ph ng ng giác đ n gi n đó, k t h p v i phép bi n ng giác s tìm ph c a ph   x  1 x  ng giác T m t ph đ il   x  1 x  ng pháp đ a ph ng trình, b t ph ng trình vô t L i th ng trình ban đ u v ph ng trình l ng giác c b n bi t cách gi i BƠi toán 3.12 Ýt ng: Xu t phát t ph ng trình l t ng giác c b n: cos3t  cos , t  0;   97 Ta bi n đ i ph ng trình thành  cos t  8cos3 t  6cos t  1  cos t  4cos3 t  3cos t  t x  2cos t , ta có ví d sau: Ví d 3.12 Gi i ph Ph ng trình x3  3x   x ng pháp gi i i u ki n xác đ nh x  2 Ta xét tr ng h p sau: ng trình ta có x3  3x  x  x  x2    x  N u x  xét v trái c a ph x  x     x2  x  x  x  x  x   x , suy ph ng trình vô nghi m v i m i x   N u 2  x  , ta đ t x  2cos t , t  0;  , thay vào gi i ph l ph t ng giác cos3t  cos , t  0;   T   ng trình S  2; 2cos tìm đ ng trình c t p nghi m c a 4 4  ; 2cos   BƠi toán 3.13 Ýt ng: Xu t phát t ph ph ng trình ta đ ng giác sin 3t  cos t , t  0;  , bi n đ i ng trình l c: 3sin t  4sin t  cos t  sin t   4sin t   cos t   cos t  4cos t  1  cos t   cos t  t x  cos t ,ta thu đ c ví d sau: Ví d 3.13 Gi i b t ph Ph cos t 4cos t  ng trình  x2  x 4x 1 ng pháp gi i 1 2 1 2 i u ki n xác đ nh x   1;1 \  ;   t x  cos t , t  0;  , đ a v gi i ph ng trình l ng giác c b n 98 Thang Long University Libraty sin3t  cos t , t  0;  Sau tìm đ ng trình sin 3t  cos t , t  0;  , s d ng tính c nghi m c a ph liên t c c a hàm s , l p b ng xét d u c a hàm s tìm đ c t p nghi m c a b t ph f  x   x2  x ,t 4x 1 ng trình BƠi toán 3.14 Ýt ng: Xu t phát t ph bi n đ i ph ng trình ta đ t x  cos t , ta thu đ Ví d 3.14 Gi i ph Thay x b ng c ví d sau: ta thu đ x c ph (1) ng trình khó h n: ng trình  3x2  x2 x2  ng trình (1), ta thay x b ng  x ta thu toán sau Ví d 3.14.2 Gi i ph 3.7 Xơy d ng ph s n vƠ ph c: 4cos3 t  3cos t   cos2 t ng trình x3  3x   x2 Ví d 3.14.1 Gi i ph Trong ph ng giác c b n cos3t  sin t , t  0;  ng trình l ng trình 4 x3  12 x2  x   x  x2 ng trình, b t ph ng pháp nhơn l ng trình vô t d a vƠo nghi m ch n ng liên h p Vi c nh m nghi m b ng máy tính c m tay ph ng pháp nhân l ng liên h p ph ng trình, b t ph ng ng pháp th ng dùng gi i ph trình vô t Vi c xây d ng toán m i d a ph ng pháp c ng quen thu c, ta ch c n ch n s n nghi m r i xây d ng bi u th c th a mãn d u đ ng th c x y Còn gi i ph tr ng đoán đ ng trình d ng này, m t u r t quan c nghi m c a nó, t ta s tìm l ng liên h p t Ví d 3.15 Ch n x  thay vào c n th c sau, ta đ c: 5x   3; x    5x   x     x T ta có ví d sau: 99 ng ng Gi i ph Ph ng trình 5x   x    x ng pháp gi i i u ki n xác đ nh x  Ph ng trình cho t    5x     ng đ ng v i  x   2 x  x  1    x     5x   5 x  2  5x   x   x  2  x   x  2  x       x  2    1  x    5x    x  (th a mãn u ki n) Vì 1    0, x  5x   x  ng trình S  2 V y t p nghi m c a ph Ví d 3.16 Ch n x  thay vào c n th c sau, ta đ c: x   1;  x  1; x   1; x2  5x  T ta có ví d sau: Gi i b t ph Ph ng trình x    x  x   x2  5x ng pháp gi i i u ki n xác đ nh B t ph  x  ng trình cho t     x  1  ng đ    x 1  ng v i  x    x2  x  3 x 2x  x3     x  3 x  1  x 1 2x   x  1 100 Thang Long University Libraty 1     x  3     x  1   x 1 2x    x  1   x3   x  Vì A  1 5     x   0, x   ;4 x  1  x 1 2x   2  V y t p nghi m c a b t ph 3.8 Xơy d ng ph hƠm ng ng trình S  3;4 ng trình, b t ph ng trình vô t b ng cách s d ng c ây ph ng pháp hay đ xây d ng ph ng trình, b t ph ng trình vô t Ta s d ng k t qu sau: - N u hàm s f liên t c đ n u nghiêm ng t kho ng  a ; b  t n t i hàm s ng - Cho hàm s c f 1 y  f  x có hàm ng c y  f 1  x Khi f đ ng bi n  f 1 đ ng bi n - Gi s hàm s y  f  x có hàm s ng c y  g  x N u v đ th c a hai hàm s m t h tr c t a đ hai đ th y đ i x ng v i qua đ Do vi c gi i ph - vuông góc ng phân giác th nh t ng trình f  x  g  x qui v gi i ph ng trình f  x  x ho c g  x  x Ví d 3.17 y  f  x  x2  x  kho ng  1;   Hàm s ng Xét hàm s f  x y  Gi i ph H x3  , xác đ nh kho ng  3;   Khi ta có ví d sau: ng trình x2  x  x3 , v i x  1 ng d n gi i Cách cc a t n ph , đ a v h ph ng trình đ i x ng 101 x3 , y  , ta có h t y 1  Gi i h ph 2 y2  y  x   2 x  x  y  ng trình đ i x ng ta tìm đ c t p nghi m c a ph ng trình  3  17     ban đ u S   Cách Bình ph ng hai v , đ a v gi i ph ng trình h qu ph ng trình b c Ví d 3.18 Ta có hàm s y   4x xác đ nh Gi i b t ph Ph 3  y  x2  3x  ;   có hàm s 2  ng trình ng c hàm s   Do ta có ví d sau: ;       x  x2  x  ng pháp gi i i u ki n xác đ nh x   ng trình f  x   x  x2  x   b ng cách Tìm t p nghi m c a ph đ t y    x, y  Sau s d ng tính liên t c c a hàm s l p b ng xét d u c a f  x suy t p nghi m c a b t ph ng trình 102 Thang Long University Libraty K t lu n Lu n v n “Nh ng d ng toán v ph g p tr - ng pháp gi i ph ng g p tr ng c nh ng v n đ sau: ng trình, b t ph ng trình vô t ng Trung h c ph thông a m t s t p có th gi i b ng nhi u cách khác - Ch m t s sai l m th gi i ph - ng trình vô t th ng Trung h c ph thông” gi i quy t đ - H th ng ph th ng trình, b t ph ng g p c a h c sinh Trung h c ph thông ng trình, b t ph a m t s h ng trình vô t ng đ xây d ng ph ng trình, b t ph ng trình vô t m i Lu n v n góp ph n nâng cao ch t l b t ph ng trình vô t tr ng d y h c n i dung ph ng trình, ng Trung h c ph thông Hà n i, tháng n m 2016 Tác gi Thơn Th Nguy t Ánh 103 TÀI LI U THAM KH O [1] Nguy n Tài Chung, (2015), Sáng t o gi i ph ng trình, h ph trình, b t ph ng trình vô t , NXB T ng h p TPHCM [2] Lê V n oàn, (2015), T sáng t o tìm tòi l i gi i ph ph ng ng trình, b t ng trình vô t , NXB HQGHN [3] Nguy n Ph Hy, (1995), Ph trình, h ph [4] Tr n Ph ng pháp gi i ph ng trình, b t ph ng ng trình, NXB GD ng, Nguy n c T n (2013), Sai l m th ng g p sáng t o gi i toán, NXB HSP [5] Nguy n V n M u, (1997), Ph ng pháp gi i ph ng trình b t ph ng trình, NXBGD [6] Chuyên đ ph ng trình, b t ph ng trình vô t m ng Internet [7] T p chí Toán H c Tu i Tr , NXBGD 104 Thang Long University Libraty [...]... 1 ng trình đã cho là S  3 K t lu n: T p nghi m c a ph Ví d 1.13 Gi i ph Phân tích: thông th  ax 2 2 7   x  5  0, x   2 2x  7  1  ng trình 2 x3  3x2  17 x  26  2 x  1 gi i ph ng trình vô t b ng ph ng ta bi n đ i ph ng trình v (13) ng pháp nhân liên h p, d ng  ax  b  A x  0 ho c  bx  c  A x  0 trong đó A x  0 vô nghi m v i m i x thu c t p xác đ nh Tuy nhiên trong. ..  1  2 x2  x  1  1 ng trình 4 x2  5x  1  2 x2  x  1  1 vô nghi m Th t v y, v i đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình ta có 2 1 3 3   3 4 x  5x  1  0 và 2 x  x  1  2  x     2 2 4 4  2 2  4 x2  5x  1  2 x2  x  1  3  1 Do đó ph ng trình 4 x2  5x  1  2 x2  x  1  1 vô nghi m 1  3 K t lu n: T p nghi m c a ph Ví d 1.10 Gi i ph ng trình ng trình đã cho là S    ... ki n cho n ph Khi đó, sau khi tìm đ c giá tr c a n ph ta có th gi i ph ng trình vô nghi m Ví d 1.20 Gi i ph ng trình x  1  x2  4 x  3   x  2 Phân tích: Trong nhi u bài toán, phép đ t n ph ch đ 3 (20) c xác đ nh thông qua các phép bi n đ i, ch ng h n: Phép chia, phép l y th a, phép đ ng nh t… i v i ph L i gi i: ng trình này, sau khi l y th a hai v , ta s đ t n ph  x 1  0  i u ki n xác... ng trình (31) đ u th a mãn ng trình đã cho là 17  3 41 11 9  33  S ; ;  2 4 2   t n ph không hoƠn toƠn 1.1.5.3 i v i m t s ph ng trình gi i b ng ph ng pháp đ t n ph , sau khi đ t n ph t thì bi n x v n t n t i, ta xem x là tham s Thông th v ph ng, ta đ a ng trình b c hai đ i v i n t, v i cách ch n các h s c a ph trình thích h p đ bi t th c  là s chính ph Ví d 1.32 Gi i ph ng ng ng trình. .. ph Phân tích: 1  21 1  17  ;  2  2  ng trình đã cho là S   ng trình x3  1  2 3 2 x  1 i v i ph (29) ng trình v a ch a c n b c 3 và ch a l y th a b c ba, ta có th đ t n ph đ a v gi i h ph ng trình đ i x ng L i gi i: T p xác đ nh x t y  3 2 x  1  y3  2 x  1 Thay y vào ph x3  1  2 y Khi đó ta có h ph ng trình (29) ta đ c ng trình: 30 Thang Long University Libraty  x3  1  2... mãn) 2  1  5   2   ng trình đã cho là S  1; ng pháp hàm s (đ c trình bày m c I.6) đ ng trình 9 x2  12 x  2  3x  8 (30) ng trình (29) Ví d 1.30 Gi i ph (Trích đ thi h c sinh gi i thành ph H Chí Minh n m h c 2004 - 2005) Phân tích: Ta đ t my  n  3x  8 , thay vào ph 9x2  12x  2  my  n Khi đó m, n đ ng trình ban đ u ta có c ch n sao cho h ph ng trình sau là 2 2 2 2    my ... p, sau ng trình x2  x  5  5 29 ng trình đ i x ng (28) Phân tích: Ta có th đ a ph ph ng hai v và gi i ph đ a v gi i h ph ng trình v d ng c b n A  B , sau đó bình ng trình b c 4 Ngoài ra, ta ti n hành đ t n ph , ng trình đ i x ng L i gi i: i u ki n xác đ nh x  5 t y  x  5  0  y2  x  5 Thay y vào ph x2  y  5 Khi đó ta có h ph ng trình ban đ u ta đ c: ng trình: 2 2   y  x 5 y  x 5 ...  t  18  0   t  2   2t 2  4t  9   0  t  2 (do ph ng trình 2t 2  4t  9  0 vô nghi m) 4 3 V i t  2 ta có 3 3x2  x  4  2  3x2  x  4  0  x  1 ho c x   K t lu n: T p nghi m c a ph Ví d 1.19 Gi i ph  4   3  ng trình đã cho là S   ;1 ng trình 5 x  5 2 x  2x  1  4 2x (19)   Phân tích: 1 1  i v i bài toán có d ng thu n ngh ch lo i f  x  ; x2  2   0 , x x 1 x... 2x x  3 1 5  x 1 5  x 1  x  3 1   x3 1   2 x  0, x  3;5 x  3 1 5  x 1 ng trình (11.a) vô nghi m v i m i x 3;5 ng trình đã cho là S  4 K t lu n: T p nghi m c a ph Ví d 1.12 Gi i ph ng trình 3 x  4  2 x  7  x2  8x  13  0 Phân tích: S d ng máy tính Casio, nh n th y ph ng trình có nghi m duy nh t x = -3, nên s ghép thêm h ng s v i c n th c đ nhân liên h p 7 2 L i gi... h p 1: Xét ph 6 ng trình đã cho là S    t hai n ph đ a v gi i h ph ng trình ng trình có d ng a n   f  x  b m   f  x  c ng pháp gi i - t đi u ki n xác đ nh - t   n   f  x  u  u n    f  x u n  vm       m  v f x    m  f x v     au  bv  c      - Gi i h ph ng trình trên, tìm đ Ví d 1.22 Gi i ph c u , v và thay tr l i tìm x ng trình 5  4 x  3 x