B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O TR NGă IăH CăTH NGăLONG - PH MăNG CăHI U CÁCăPH NGăPHÁPăTệNHăTệCHăPHỂN VĨăNH NGăV Nă ăLIểNăQUANăKHIăD YăH CăTệCHăPHỂN LU NăV NăTH CăS TOÁNăH C Hà N i – N m 2016 B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O TR NGă IăH CăTH NGăLONG - PH MăNG CăHI Uăậ C00445 CÁCăPH NGăPHÁPăTệNHăTệCHăPHỂN VĨăNH NGăV Nă ăLIểNăQUANăKHIăD YăH CăTệCHăPHỂN LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C NGăPHÁPăTOÁNăS ăC P CHUYểNăNGĨNH:ăăPH MĩăS :ă60ă46ă01ă13 NG IăH NGăD NăKHOAăH Că:ăTSăV ă ỊNHăPH NG Hà N i – N m 2016 Thang Long University Libraty L IăC Mă N Lu n v n đ c hoƠn thƠnh d vƠ s tr giúp c a th y cô i s ch d n t n tình c a th y h khoa Toán ậ Tin tr ng d n ng i H c Th ng Long ình Ph ng đƣ t n tình HƠ N i Tôi xin chơn thƠnh c m n th y giáo, TS V gi ng d y, ch b o vƠ ng h su t trình lƠm lu n v n c a Tôi xin chơn thƠnh c m n Ban giám hi u, phòng đƠo t o th y cô khoa Toán ậ Tin Tr ng i H c Th ng Long HƠ N i vƠ b n h c viên l p Cao H c Toán B c Giang đƣ giúp đ , đ ng viên ng h su t trình h c t p vƠ hoƠn thƠnh lu n v n Tôi xin c m n Ban Giám Hi u, t chuyên môn Toán ậ Tin, đ ng nghi p Tr ng trung h c ph thông Yên D ng s B c Giang đƣ t o u ki n, giúp đ , đ ng viên trình h c t p vƠ hoƠn thƠnh lu n v n Tácăgi Ph măNg căHi u B NăCAM OAN Tôi xin cam đoan v tính trung th c, h p pháp c a lu n v n Các k t qu , s li u lu n v n lƠ trung th c không chép tƠi li u khác Tácăgi Ph măNg căHi u Thang Long University Libraty M CăL C Trang M đ u…….……………………………………………………………… Ch ng H TH NG KI N TH C C B N ………………………….8 1.5 Nguyên hƠm…….……………….…………… ……………………8 1.6 Tích phơn………………………………………………………… 10 1.7 ng d ng tích phơn tính di n tích hình ph ng…………………… 14 1.8 ng d ng tích phơn tính th tích kh i tròn xoay………………… 14 Ch ng CÁC PH NG PHÁP TệNH TệCH PHÂN………………… 16 2.1 Ph ng pháp bi n đ i t 2.2 Ph ng pháp đ i bi n s 16 2.3 Ph ng pháp tích phơn t ng ph n 20 Ch ng M T S V N ng đ TH ng 16 NG G P KHI D Y TệCH PHÂN 27 3.1 D ng Tính tích phơn b ng công th c 27 3.2.D ng Tích Phơn c a hƠm s có m u ch a tam th c b c hai 28 3.3 D ng Tích phơn c a hƠm phơn th c h u t 41 3.4 D ng Tích phơn c a hƠm s l ng giác 56 3.5 D ng Tích phơn c a hƠm s vô t 80 3.6 D ng Tích phơn c a hƠm s ch a d u giá tr t đ i .92 3.7 D ng M t s tích phơn c a hƠm đ c bi t 94 3.8 ng d ng tích phơn tính di n tích hình ph ng 96 3.9 ng d ng tích phơn tính th tích c a kh i tròn xoay 101 3.10 M t s sai l m th ng g p gi i toán tích phơn .104 3.11 Gi i bƠi toán tích phơn b ng nhi u cách khác 108 3.12 BƠi t p v n d ng……………………………………………… 113 K T LU N VÀ KHUY N NGH 120 DANH M C SÁCH THAM KH O .121 M U 1.ăLỦădoăch năđ ătƠi ph thông nguyên hƠm, tích phơn lƠ m t m ng ki n th c r t quan tr ng ch ng trình gi i tích 12 nói riêng vƠ toƠn b ch toán ph thông nói chung Các bƠi toán v tích phơn th đ thi i H c - Cao đ ng tr ng trình ng xuyên xu t hi n c đơy vƠ kì thi trung h c ph thông Qu c Gia hi n Tuy nhiên nhi u n m d y h c tích phơn th y h c sinh th ng r t khó ti p c n ki n th c v nguyên hƠm, tích phơn Th c t tích phơn ph thông không ph c t p mƠ em thi u k n ng gi i toán, qua d n đ n nh ng sai l m c b n H n n a m i m t bƠi t p h c sinh th ng ch tìm m t l i gi i bƠi có nhi u cách gi i vƠ cách gi i có th áp d ng cho nh ng bƠi toán khác Hi n nay, có r t nhi u tƠi li u vi t v đ tƠi nguyên hƠm tích phơn vƠ tƠi li u tham kh o đƣ đ a đ y đ d ng toán, nh ng ch a tr ng t i nh ng bƠi toán v i nhi u gi i khác nhau, h th ng bƠi t p t d đ n khó, qua ch a phát tri n đ c n ng l c cho m i đ i t trình d y h c Vì v y ch n đ tƠi: “Các ph ng h c sinh ng pháp tính tích phơn vƠ nh ng v n đ liên quan d y h c tích phơn’’ v i mong mu n giúp h c sinh ti p c n bƠi toán v tích phơn m t cách ch đ ng vƠ d dƠng h n 2.ăM căđíchănghiênăc u + H th ng hoá l i ki n th c, d ng bƠi t p tích phơn vƠ ph ng pháp gi i + a h th ng bƠi t p đ luy n thi i h c vƠ b i d ng h c sinh gi i + Xơy d ng m t s bƠi toán gi i b ng nhi u cách khác Thang Long University Libraty + a m t s sai l m th ng g p c a h c sinh gi i toán tích phơn iăt ngăvƠăph măviănghiênăc u + H c sinh trung h c ph thông + Các d ng vƠ ph ng pháp gi i tích phơn dùng d luy n thi trung h c ph thông Qu c gia vƠ b i d 4.ăPh ng h c sinh gi i ngăphápănghiênăc uă + Nghiên c u lí lu n + i u tra quan sát + Th c nghi m gi ng d y 5.ăC uătrúcălu năv n Lu n v n g m ch Ch ng: ngă1 H th ng l i ki n th c c b n + H th ng đ nh ngh a, đ nh lí, tính ch t c a nguyên hƠm, tích phơn Ch ngă2 Các ph ng pháp tính tích phơn + Trình bƠy l i ph ng pháp tính tích phơn sách giáo khoa gi i tích 12 + a m t s d ng tích phơn gi i b ng ph ph n th Ch ng pháp tích phơn t ng ng g p ngă3 M t s v n đ th ng g p d y h c tích phơn + a m t s d ng tích phơn th ng g p vƠ ph ng pháp gi i + a m t s bƠi toán tích phơn gi i b ng nhi u cách khác + a m t s sai l m th + a m t s bƠi t p áp d ng ng g p c a h c sinh gi i toán tích phơn CH NGă1 H ăTH NG KI NăTH CăC ăB N 1.1.NGUYểNăHĨM 1.1.1.ă nhăngh a Cho hƠm s f xác đ nh K HƠm s F đ c g i lƠ nguyên hƠm c a f K n u F '  x  f  x v i m i x thu c K 1.1.2.ăM tăs ăđ nhălí nh lí Gi s hƠm s F lƠ m t nguyên hƠm c a hƠm s f K Khi a) V i m i h ng s C, hƠm s y = F(x) + C c ng lƠ m t nguyên hƠm c a f K; b) Ng c l i, V i m i nguyên hƠm G c a f K t n t i m t h ng s C cho G(x) = F(x) + C v i m i x thu c K + T đ nh lí ta th y n u F lƠ m t nguyên hƠm c a f K m i nguyên hƠm c a f K đ u có d ng F(x) + C v i C  R V y F(x) + C v i C  R lƠ h t t c nguyên hƠm c a f K, kí hi u  f  x dx V y  f  x dx  F  x  C,C  R nh lí N u f,g lƠ hai hƠm s liên t c K a)   f  x  g  xdx   f  x dx   g  x dx; b)   f  x  g  xdx   f  x dx   g  x dx; c) V i m i s th c k  ta có:  kf  x dx  k  f  x dx 1.1.3 B ngătínhănguyênăhƠmăc ăb n HƠm s f(x) H nguyên hƠm F(x)+C a (h ng s ) x ,   1 ax + C x 1 C  1 Thang Long University Libraty x ex a x , a  0 ln x  C ex  C ax C ln a  cos x + C sin x + C  cot x  C sin x cos x sin x  1    1 (ax  b) ,    a     , a   ax  b eax b ,  a   (ax  b) a  1  C ln ax  b  C a ax b e C a  cos(ax  b)  C a sin(ax  b)  C a tan(ax  b)  C a sin  ax  b  , a   cos  ax  b  , a   , a   cos (ax  b) , a   sin2 (ax  b)  cot(ax  b)  C a 1.1.4 B ăđ ă1.1 1.1.4.1  dx  ln x  x2  a  C; 2 x a 1.1.4.2 x x2  a dx  1 a  x2  a  C , a  0; ln a x b 1.1.4.3  ln(ax  b)dx  ( x  )ln(ax  b)  x  C , a  a Ch ng minh 1.1.4.1 Ta có  ln x  x  a  C  2 x a 2  /   x  x2  a x  x2  a  x 1 x  a2  x  x2  a 2 x2  a dx  ln x  x2  a  C /  1 a  x2  a  1  1.1.4.2 Ta có ln ln a  x2  a  ln C   a  x a      x  1  x2  a x2  a  x2  a 1     a  x2  a a  x2  a x  a  x x2  a a  x2  a      a a  x2  a 1    a  x x2  a a  x2  a  x x2  a           x  /       1 a  x2  a  dx  ln  C a x x x2  a 1.1.4.3 Ta có /  b  b a  x  ln( ax  b )  x  C  ln( ax  b )  x    ln(ax  b)       a a  ax  b    b   ln(ax  b)dx  ( x  )ln(ax  b)  x  C a 1.2 TệCHăPHỂN 1.2.1 nhăngh a Cho hƠm s f liên t c K vƠ a,b lƠ hai s b t kì thu c K N u F lƠ m t nguyên hƠm c a hƠm s f K hi u s F(b) – F(a) c g i lƠ tích phơn c a hƠm s f t a đ n b vƠ kí hi u lƠ b  f ( x)dx a Trong tr ng h p a < b, ta g i b  f ( x)dx tích phơn c a f đo n [a; b] a Ng i ta kí hi u F  x a đ ch hi u s F(b) – F(a) Nh v y ta có b 10 Thang Long University Libraty t 2x   t  x  t 1 , x   t  3, x   t  5 1 1 1 1  11 t 1 I   dt      dt       2 2 225 t t t t t     3 5 Nguyênănhơnăsaiăl mălƠ: i bi n nh ng không tính vi phơn dt L i gi i đúng: t 2x   t  x  t 1  dx  dt , x   t  , x   t  2 t 1 1 1 1 1  11 I   dt      dt       2t 3t  t 2t  450 t  5      dx Ví d 3.10.6 Tính I     cos x    sin x L i gi i sai:   3 I   tan x  cot x  2dx   2   6     ln cos x  ln sin x  3  ln   tan x  cot x dx    tan x  cot x dx  Nguyênănhơnăsaiăl mălƠ: Khi khai c n không l y d u giá tr t đ i L i gi i đúng: 107   3  I   tan x  cot x  2dx   2   6      tan x  cot x dx   tan x  cot x dx     cot x  tan x dx    tan x  cot x dx     ln sin x  ln cos x      ln cos x  ln sin x  3  ln 4 3.11 GI IăBĨIăTOÁNăTệCHăPHỂNăB NGăNHI UăCÁCHăKHÁCăNHAU Ví d 3.11.1 Tính tích phơn I =   x  1 xdx Gi i: Cách 1: I =  8 x  12 x  x  1 xdx   8 x4  12 x3  x2  xdx  x5 x2    3x  x     10  y 1 Cách 2: t y  x   x   dx  dy, x   y  1 , 2 x   y  1 1 1  y5 y4  y 1 Iy dy   ( y  y )dy      2 1 4  1 10 1 Cách t du  dx u  x     x  14  dv   x  1 dx v    x  1 I x  x  1 dx    x  1  8 80 1 1     80 80 10 T ng quát ta có d ng toán: b Tính: I    cx  d  xn dx k a 108 Thang Long University Libraty +) N u k nh vi c gi i theo cách s đ n gi n h n +) N u k r t l n vƠ n nh gi i theo cách s ph c t p h n Khi l a ch n cách ho c cách h p lý h n +) N u k vƠ n l n thi nên gi i theo cách ho c cách 3.Trong tr ng h p nƠy n u l a ch n cách ta ph i tính tích phơn t ng ph n n l n (n u n < k) ho c k l n (n u k < n)  sin x dx cos x  sin x Ví d 3.11.2 Tính I   Gi i: Cách 1: t x   t  dx  dt , x   t   , x   t      sin   t  2 cos t cos x   I  dt   dt   dx   sin cos sin cos   t t x x     cos 0   t   sin   t  2         sin x cos x sin x  cos x dx   dx   dx  2I   cos sin sin cos sin cos x x x x x x    0 2     dx  x 02   I    Cách 2: cos x dx cos sin x  x t J     sin x  cos x  Ta có I  J   dx   dx  x 02  ; sin x  cos x 0    d  sin x  cos x sin x  cos x vƠ I  J   dx      ln  sin x  cos x 02  0; sin cos sin cos x x x x   0 109  2I   I    sin x Cách 3: I  dx  sin  x      4  t t  I   x  dx  dt , x   t  3      t  3 4 cos t  3  1  sin t  dt   x  ln sin x    4 Cách 4: , x 3   sin  t   sin t  cos t 4  dt   dt sin t 2 sin t 3   3  1      ln    ln   2  2 2 x 2dt t t  tan  dt  dx  dx  , 2  t x 2cos x   t  0, x    t 1 1 t2 2t ; Ta có, sin x  vƠ cos x  1 t2 1 t2 2t 2 2t  t I   dt 0  t  2t  11  t  dt; 1 t2 2t  t  1 t2 1 t2 Ta tìm s a, b, c, d cho at  b ct  d 4t   , t   2;1  2  t  2t  11  t  t  2t  1  t   110 Thang Long University Libraty  4t  at  b  at  bt  ct  2ct  ct  dt  2dt  d , t a  c  a  b  2c  d  b  1      a  c  d  c  b  d  d  t 1 t 1  2t  2t   I   dt   dt   dt   dt ;  2          t t t t t t t 1 2 1   0 0 1 1 Tính 1 1 2t  d  t  2t  1 1 A  dt      ln t  2t    ln 2; 2 t  2t  t  2t  2 2t d 1  t Tính B   dt  1 t2 0  t 1   ln  t   2 1  ln 2;  (Theo k t qu Ví d 3.5.3); dt  t  Tính C   V y I  A B  C  Cách 5: I     2  sin x  cos x   cos x  sin x 1 cos x  sin x dx dx dx   0 sin x  cos x 0 0 sin x  cos x      2 d  sin x  cos x  x0     ln  sin x  cos x 02  2 sin x  cos x 4  Ví d 3.11.3 Tính I   2x x   x2 dx Gi i: 111 Cách 1: I   x  x2  x 1  x   x 2 1  x    dx   2x 1  x dx   x dx   2 0 x3  x d 1  x   2  4  3 Cách 2: t t  x   x2   x2   t  x  x  t2 1 1   dx     dt , 2t  2t  x   t  1, x   t   I 1 2  t 1 1 1   dt   t  t  1 1   t    3t  Cách 3:  1  1  1  1   dt   t  t   1  1   1   1  1  1   dt  t              t x  tan t [ v i t    ;  ]  dx  dt , cos t  2 x   t  0, x  1 t    1  tan t I  dt   dt 2 cos t t cos   t t tan tan 0 tan t  cos t  tan t  2sin t tan t  dt  0 cos2 t  sin t  1dt cos t tan t  cos t 112 Thang Long University Libraty   4 2sin t  sin t dt  t   2 cos t cos     2 dt   t t  cos t  cos  sin  2     t  cos    4 2  t   dt   cot 2    dt ;  t 2  t  2 t  2  sin 2 cos       cos     2  2  2  t  t tan     u  dt  2du, t 2  2 cos     2 t   u  1, t    u   2u   t  1 u  t  ;sin     Ta có, cos     2   1 u   1 u 1 I  2  1  u 1  u  du  4u 1  u3      2 u   u4 du   2 1 u 2  1 1 2   u du u  1   4 3.12 BĨIăT PăV NăD NG BƠi 3.12.1 Tính tích phơn sau: 1)  (3x  2) dx; 1  ln x 1 x dx;   3 x  x e dx; sin x 7)  dx; x cos 3) 5)  e2 e 4)  x2  2)   dx;  x   0 6)  e x2 dx; 1 x dx ; x  ln x  8)  sin xe cos x dx; 9)   cos x sin xdx; 113  tan x e 10)  dx; cos x 13)  xe  dx 11)  ; x sin   3 x2   14) dx; 0 12)  cos x sin xdx; (1  ln x) 15)  dx; x e sin x dx;  cos x   e 16)   2ln x dx; x ln x dx; x x  22) x2  4  x2 x dx; x2 dx 25)  ; (1 x )  ; 21  /3 dx  sin x cos x; /6 29)  x cos xdx; 24)  dx; dx (2  x2 )3 x ;  dx;    cos x    cos x 4  30) x tan x dx; cos x 28)   x  1 23)  e sin xdx; 26) x  sin x tan xdx; 18)  27) dx 20)   sin x 17)  dx; x cos 19)      tan  x   tan  x  dx;  31)  xe3 xdx; 32)  x2 sin xdx;   xdx 34)  ;  sin x xdx 35)  ; cos x 33)  (2 x  1)ln xdx; 1 36)  x4  dx; x6   37)  x ln(3  x2 )dx; 38)  ( x2  1)e xdx; 39)  sin x tan xdx; 114 Thang Long University Libraty 40)  x ln( x  1)dx; 2 x2 41)  x 2 42 dx; 43)  x  x dx;   x 1  x5  2x3 dx;  sin x 45)  dx; cos x sin xdx 44)  ; (1  cos x) 2 47)  x ln(1  x2 )dx; 46)  x sin 3xdx;  48) cos xdx ;  2sin x  /2 49) 4cos x  3sin x  (cos x  sin x) dx;  50)  x15  x8 dx; 51)  sin x tan xdx; 52)  ( x  1)e dx; 53)  ( x  3x  1)dx; x 0  54)  x sin xdx; 0  x 55)  dx; x     sin x dx;  3cos x 58)  59)  sin x cos3 xdx;  /2 /2 60)  ( x2  1)sin xdx; x 63)  sin dx; 62)  cos xdx; x dx x  1 ; 2 xdx; 68)  x2  x3  dx; /4  sin xcos 65) /2 66) 2sin x  cos x  dx; sin x  2cos x   2  61)  64) sin x 57)  dx; x cos ln x 56)  dx; x x2  3x  10 dx; x2  x  sin x  cos6 x dx; 67)  x   /4 1/ 69)  dx (2 x2  1) x2  115 ; e 70)  ln  75) 76  ln 77)  ln x 74)  dx; x e2 x  3e x dx; e2 x  3e x  x3 dx ( x2  ex  e  1 x  xe 2x i H c D b _02); i H c D b _02); dx ( 78) e ln xdx ; x(ln x  1)   x  dx ( i H c D b _02); 1 /2 79)  1 cos3 x sin x cos5 xdx ( i H c D b _02); ln 80)  e x  1e2 xdx (D b _04); ln e3 81)  ln x dx (D b _05); x ln x  82)  x sin xdx (D b _05); 10 83) dx (D b _06); x 1  x ln dx dx (D b _06) x e   ln BƠi 3.12.2 Tính tích phơn: 1 x2  3x  dx dx 1)  ; 2)   x ( x  x  2) 0 ( i H c Ngo i Th ng_99) BƠi 3.12.3 Tính tích phơn: 84) e 1)  x x2  dx; x4  x2  2) dx (  1)  x( x i H c Thu L i_99) 116 Thang Long University Libraty BƠi 3.12.4 Tính tích phơn: /6 /6 sin x cos x I  dx; J   dx;   sin x cos x sin x cos x 0 /3 T suy cos x dx ( cos 3sin x  x /2  i H c Qu c Gia H Chí Minh_01A) BƠi 3.12.5 Cho f(x) liên t c R : f ( x)  f (x)   2cos x x  R; /2 Tính  f ( x)dx ( i H c S ph m HƠ N i 2_98) 3 /2 BƠi 3.12.6 Tính di n tích c a hình ph ng gi i h n b i đ 3) y  x2 ; y  x (  ( i H c Bách Khoa 2000); i H c Ki n Trúc 94); 1) y  sin x cos3 x; y  0; x  0; x  2) y  x2  x  ; y   x ( ng: i H c M Thu t Công Nghi p HN 98); 7x  x2 x   ;y 4) y  (H c Vi n B u Chính Vi n Thông 98); x3 3 3x 12 x  ; y 1 ;x 5) y   2sin 2  (H c Vi n B u Chính Vi n Thông 2000); 6) y  x x2  1; y  0; x  0; x  (H c Vi n Ngơn HƠng HCM 99); 7) y  xe x ; y  0; x  0; x  ( i H c Kinh T Qu c Dơn 94); 8) y  x2 ; x   y2 ( i H c Th ng M i 96); 9) y  e x ; y  e x ; x  ( i H c TƠi Chính K Toán 2000); 10) y  sin x ; y  x   ( i H c M 2000); 1   11) y  ; y  ; x  ; x  (H c Vi n K Thu t Quơn S 2000); sin x cos x  3 12) y    cos x sin x; y  0; x  ; x  ( i H c Công oƠn 98); 2 x2 13) y  x ; y  ; y  ( i H c Công oƠn 99); x 14) x  y; x  y   0; y  ( i H c Công oƠn 2000); 117 k  k  0 ; y  0; x  1; x  ( i H c Nông Nghi p I 95); x 16) y  x3  x2  x  6; y  ( i H c Nông Nghi p I 98B); 15) y  ln x2 17) y  ; y  ( i H c Nông Nghi p I 99A); x 1 18) y  x3  3x2  2; y  0; x  0; x  ( i H c Nông Nghi p I 99B); 19) y  0; x  y3   0; x  y   ( i H c Nông Nghi p I 2000A); 20) y  x2  ; y  x  ( 21) y  x2  x  ; y  ( 22) y  ln x ; y  0; x  23) y  x3 ; y   x2 ( i H c S Ph m I 2000A); i H c S Ph m I 2000B); ; x  10 ( i H c Qu c Gia HƠ N i 93); 10 i H c Qu c gia 97A); 24) y   x  1 ; y  0; x  sin  y;0  y  (Cao ng Ki m Sát 2000); 25) y    x2 ; x2  y  ( i H c Bách Khoa 2001); 26) y  x.e x ; y  0; x  1; x  (H c Vi n Công ngh b u vi n thông 2001); 27) y  5x2 ; y  0; x  0; y   x ( i H c Y Thái Bình 2001); x 28) x  0; x  ;y ; y  (H c Vi n C nh Sát Nhơn Dơn 2001); 1 x x2 x2 ;y ( i H c Kh i B 2002); x 3x  30) y  ; x  0; y  ( i H c Kh i D 2002); x 1 31) y   e  1 x; y  1  e x  x ( i H c Kh i A 2007); 29) y   32) (P) : y  x  x2 vƠ hai ti p n c a (P) qua M  3;6  ; x2  2ax  3a a  ax ;y 33) y   a   Tìm giá tr l n nh t c a di n tích a4 1 a 1 BƠi 3.12.5 Tìm b cho di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng sau x2   b ng : y  ; y  b; x  0; x  ( i H c Bách Khoa 93) x 1 BƠi 3.12.7 Cho mi n D gi i h n b i hai đ ng : x2 + x - = ; x + y - = 118 Thang Long University Libraty Tính th tích kh i tròn xoay đ c t o nên D quay quanh tr c Ox BƠi 3.12.8 Cho mi n D gi i h n b i đ ng : y  x; y   x; y  Tính th tích kh i tròn xoay đ c t o nên D quay quanh tr c Oy BƠi 3.12.9 Cho mi n D gi i h n b i hai đ ng : y  ( x  2)2 y = Tính th tích kh i tròn xoay đ c t o nên D quay quanh: a) Tr c Ox; b) Tr c Oy BƠi 3.12.10 Cho mi n D gi i h n b i hai đ ng : y   x ; y  x  Tính th tích kh i tròn xoay đ c t o nên D quay quanh tr c Ox x2 BƠi 3.12.11 Cho mi n D gi i h n b i đ ng : y  ; y  x 1 Tính th tích kh i tròn xoay đ c t o nên D quay quanh tr c Ox 119 K TăLU N VĨăKHUY NăNGH 1.ăK tălu n Lu n v n đƣ đ t đ c m t s k t qu sau: + Trình bƠy khái quát v phép tính tích phơn hƠm m t bi n + Phơn d ng phép tính tích phơn hƠm m t bi n v i nhi u d ng toán khác th ng g p đ thi T t nghi p trung h c ph thông, i H c ậ Cao đ ng, Trung h c ph thông Qu c gia, V i nhi u Ví d vƠ bƠi t p áp d ng + a m t s sai l m th ng g p gi i toán tích phơn + a m t s bƠi t p tích phơn v i nhi u cách gi i khác v i m c đích giúp h c sinh có nhi u đ nh h ng gi i bƠi t p tích phơn M c dù r t c g ng nh ng lu n v n v n không th tránh thi u sót.R t mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp đ hi u ch nh lu n v n t t h n c a quý th y cô, b n bè vƠ đ ng nghi p 2.ăKhuy năngh Hi v ng lu n v n s lƠ m t tƠi li u b ích giúp h c sinh ti p c n bƠi toán tích phơn đ c d dƠng h n Lu n v n có th lƠm tƠi li u b i d Qu c Gia, h c sinh gi i toán tr ng h c sinh thi trung h c ph thông ng trung h c ph thông 120 Thang Long University Libraty DANHăM CăSÁCHăTHAMăKH O [1] Tr n Tu n Anh, (2013), Gi i nhanh toán nguyên hàm tích phân, NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, ThƠnh Ph H Chi Minh [2] Lê Th H ph ng, Nguy n Ki m, H Xuơn Th ng, (2011), Phân lo i ng pháp gi i toán tích phân, NhƠ xu t b n [3] Nguy n V n L c, Nguy n D Ng c Giang, (2009), Các ph i H c Qu c Gia, HƠ N i ng HoƠng, HoƠng Ng c C nh, Nguy n ng pháp n hình gi i toán nguyên hàm tích phân ng d ng, NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, HƠ N i [4] Gia ình Lovebook, (2015), Chinh ph c tích phân l đ thi Qu c Gia thpt, NhƠ xu t b n [5] Bùi quý M ng giác i H c Qu c Gia, HƠ N i i, (2015), Bí quy t ti p c n hi u qu k thi THPT Qu c Gia tích phân s ph c, NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, HƠ N i [6] Lê HoƠng Phó, (2008), 1234 toán t lu n n hình tích, NhƠ xu t b n [7] Tr n Ph i s Gi i i H c Qu c Gia, HƠ N i ng, (2014), Tuy n t p chuyên đ & k thu t tính tích phân, NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, HƠ N i [8] Nguy n Thanh Tùng, (2014), 10 tr ng m hay g p k thi Qu c Gia tích phân, NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, HƠ N i [9] YYLIASKO, ACBOIATRUC,IAGGAI, GPGOLOBAC, (1978),Gi i tích toán h c Ví d toán, NhƠ xu t b n chuyên nghi p,HƠ N i 121 i H c vƠ trung h c