BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - TRƯƠNG THỊ HẢI DUYÊN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ u0  LÕM CHÍNH QUY ĐỀU TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN h  CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - TRƯƠNG THỊ HẢI DUYÊN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ u0  LÕM CHÍNH QUY ĐỀU TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN h  CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS – TS – GVCC Nguyễn Phụ Hy Hà Nội - 2015 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy – người thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình cho suốt trình thực đề tài nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2; thầy, cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội trang bị kiến thức, tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành luận văn tốt nghiệp Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ủng hộ, động viên tạo điều kiện cho học tập, nghiên cứu, hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên Trương Thị Hải Duyên Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn: “Sự tồn điểm bất động toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian Banach với nón h  cực trị” công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy giáo PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy Trong trình nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên Trương Thị Hải Duyên Mục lục Mở đầu ………………………………………………………………… Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach nửa thứ tự 1.1.1 Định nghĩa nón quan hệ thứ tự không gian Banach ………………………………………………… 1.1.2 Dãy đơn điệu, cận cận tập hợp………………………………………………… 1.2 Quan hệ thông ước phần tử ………………………… 10 1.3 u0  chuẩn không gian Eu0 …………………………… 11 1.4 Nón chuẩn tắc nón h  cực trị …………………………… 15 1.4.1 Nón chuẩn tắc tính chất …………………………… 15 1.4.2 Nón h  cực trị tính chất …………………………… 18 ……………… 20 ………… 20 …………… 27 1.5 Các không gian Banach nửa thứ tự: n , 1.5.1 Không gian Banach thực nửa thứ tự 1.5.2 Không gian Banach thực nửa thứ tự n Chương Sự tồn điểm bất động toán tử u0  lõm quy không gian Banach với nón h  cực trị 2.1 2.2 Khái niệm toán tử u0  lõm quy tính chất …… 37 2.1.1 Khái niệm toán tử u0  lõm quy …………… 37 2.1.2 Một số tính chất ………………………………………… 38 Toán tử u0  lõm quy tác dụng số không gian Banach ………………………………………………… 39 2.2.1 Toán tử u0  lõm quy tác dụng không n gian Eukleide ……………………………………… 39 2.2.2 Toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian Banach 2.3 ………………………………………… 42 Sự mở rộng định lí tồn điểm bất động toán tử u0  lõm quy …………………………………………… 44 Áp dụng ……………………………………………………… 48 Kết luận ………………………………………………………………… 50 Tài liệu tham khảo …………………………………………………… 51 2.4 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động ngành toán học lý thuyết có nhiều ứng dụng Lý thuyết điểm bất động nghiên cứu theo nhiều hướng khác gắn với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng như: Lipschitz, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec,… Các nhà toán học xét toán tử khác nhau: Toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử có đạo hàm Frese hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm… Nhà toán học Nga tiếng Kraxnoxelxki nghiên cứu nghiệm dương phương trình toán tử (1962) GS – TSKH Bakhtin nghiên cứu phương trình không gian tuyến tính với toán tử lõm lõm (1959), nghiệm dương phương trình không tuyến tính với toán tử lõm (1984) Các tác giả Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu công bố kết lớp toán tử lõm tác dụng không gian Banach với nón cố định hai nón cố định, toán tử xét có chung tính chất u0  đo Năm 1987, PGS – TS Nguyễn Phụ Hy nghiên cứu điểm bất động toán tử lõm quy điểm bất động toán tử  K , u0   lõm quy (2012) Tác giả mở rộng phát triển kết toán tử lõm cho lớp toán tử lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cố định, không yêu cầu toán tử có tính chất u0  đo Để xét tồn điểm bất động toán tử lõm hay lõm quy, tác giả kể bổ sung điều kiện phù hợp cho toán tử Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp toán tử này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy giáo, PGS – TS – GVCC Nguyễn Phụ Hy chọn nghiên cứu đề tài: “ Sự tồn điểm bất động toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian Banach với nón h  cực trị” Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, mở rộng số định lý tồn điểm bất động toán tử u0  lõm quy theo hướng bổ sung điều kiện cho nón Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiều không gian Banach nửa thứ tự Tìm hiểu nón chuẩn tắc nón h  cực trị Tìm hiểu nón không gian Banach n , Tìm hiểu tồn điểm bất động toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian Banach với nón h  cực trị Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết toán tử u0  lõm quy, tồn điểm bất động toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian Banach với nón h  cực trị Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước có liên quan đến điểm bất động toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian Banach với nón h – cực trị Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu báo điểm bất động toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian Banach với nón h – cực trị Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Những đóng góp luận văn Luận văn trình bày tổng quát không gian Banach nửa thứ tự, số tính chất toán tử u0  lõm quy đều, toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian n , , mở rộng định lý tồn điểm bất động toán tử u0  lõm quy Các kết thu mở rộng cho số lớp toán tử khác Hy vọng luận văn làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach nửa thứ tự 1.1.1 Định nghĩa nón quan hệ thứ tự không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E không gian Banach thực, K tập không gian E khác rỗng Tập K gọi nón không gian E , nếu: i, K tập đóng không gian E ; ii, x, y  K ,  ,     x   y  K ; iii, x  K : x    x  K ( phần tử không không gian E ) Định lí 1.1.2 Giao hai nón (chứa phần tử khác  ) nón Chứng minh: Giả sử K1 , K hai nón không gian E Ta chứng minh K  K1  K2 nón không gian E Thật vậy: Vì K1 , K hai nón không gian E nên K1 , K đóng E suy K đóng E x, y  K ,  ,     x, y  K1 , K2   x   y  K1 , x   y  K2   x   y  K   x   y  K x  K , x    x  K1 , x  K2 Vì K1 , K nón không gian E nên  x  K1,  x  K2   x  K Vậy giao hai nón (chứa phần tử khác  ) nón Định lí 1.1.3 Giả sử F tập không gian E khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn không chứa phần tử không  E Khi đó, tập: K ( F )  z  tx : x  F , t  0 nón không gian E 37 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ u0  LÕM CHÍNH QUY ĐỀU TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN h  CỰC TRỊ 2.1 Khái niệm toán tử u0  lõm quy tính chất Giả sử E không gian Banach thực nửa thứ tự theo nón K  E , toán tử A : E  E, phần tử u0  K , u0   2.1.1 Khái niệm toán tử u0  lõm quy Định nghĩa 2.1.1 Toán tử A gọi u0  lõm nón K , 1) AK  K x, y  K cho x  y Ax  Ay; 2) x  K \   Ax  K (u0 ); 3) x  K \   , t   0;1 Atx  tAx; 4) x  K  u0  , t   0;1 ,    x, t   Atx  1    tAx Định nghĩa 2.1.2 Toán tử A gọi u0  lõm quy nón K , 1) AK  K x, y  K cho x  y Ax  Ay; 2) x  K \   , t   0;1 Atx  tAx; 3) x  K  u0  , t   0;1 ,     x, t   cho Atx  1    tAx Định nghĩa 2.1.3 Toán tử A gọi u0  lõm quy đều, i AK  K x, y  K cho x  y Ax  Ay; ii x  K \   , t   0;1 Atx  tAx; iii  ,  *  thỏa mãn    , t   0;1      , , t   cho x  u0 ; u0  x  E : u0  x   u0  Atx  1    tAx 38 2.1.2 Một số tính chất Định lí 2.1.4 Nếu A toán tử u0  lõm quy   *  có  A toán tử u0  lõm quy Chứng minh:  A toán tử u0  lõm quy  x  K ta có Ax  K Vì K nón   nên  Ax  K suy  AK  K  A toán tử u0  lõm quy  x, y  K , x  y ta có Ax  Ay Theo định nghĩa quan hệ thứ tự không gian E ta có Ax  Ay  Ay  Ax  K Vì K nón,   nên   Ay  Ax   K   Ay   Ax  K Do  Ax   Ay  x  K \   , t   0;1 ta có Atx  tAx Vì K nón,   nên   Atx     tAx  Suy  A tx  t  A x   ,  *  thỏa mãn    , t   0;1      , , t   cho x  u0 ; u0  x  E : u0  x   u0  Atx  1    tAx ,   Atx   1    tAx hay ( A)tx  1    t ( A) x Vậy  A toán tử u0  lõm quy Định lí 2.1.5 Nếu A, B hai toán tử u0  lõm quy A  B toán tử u0  lõm quy Chứng minh:  A, B hai toán tử u0  lõm quy  x  K ta có Ax  K , Bx  K Do K nón nên Ax  Bx   A  B  x  K  ( A  B) K  K 39 A, B u0  lõm quy  x, y  K , x  y ta có Ax  Ay,  Bx  By  Ax  Bx  Ay  By hay  A  B  x   A  B  y  A, B u0  lõm quy  x  K \   , t   0;1 Atx  tAx, Btx  tBx  Atx  Btx  tAx  tBx hay  A  B  tx  t  A  B  x   ,  *  thỏa mãn    , t   0;1      , , t   cho x  u0 ; u0  x  E : u0  x   u0  Atx  1    tAx, Btx  1    tBx  Atx  Btx  1    tAx  1    tBx   A  B  tx  1    t  A  B  x Vậy A  B toán tử u0  lõm quy Toán tử u0  lõm quy tác dụng số không gian 2.2 Banach 2.2.1 Toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian n Eukleide     n   k    x   xk k 1 : xk  n n Giả sử không gian *   n 2  , x    xk   k 1    nửa thứ tự theo nón K  n mục 1.5.1.3  K  x   xk k 1  n n  : xk  0k  1, n  n Còn u0   uk k 1 chọn sau: n I1  k 1,2, , n : uk  0   I  1,2, , n \ I1 Xét toán tử A : n  n , nón K xác định 40 x   xk k 1 Ax   wk k 1 , n n k  I 0, wk    xk  1, k  I1 Ta chứng minh A toán tử u0  lõm quy Thật vậy:  x  K , x   xk k 1  n n : xk  0, k  1, n  wk  xk   0, k  I1  Ax  K  AK  K  x, y  K , ta có: x   xk k 1  n : xk  0k  1, n, y   yk k 1  n : yk  0k  1, n n n x  y  xk  yk , k  1, n n Xét Ax  w   wk k 1 , wk = { √𝑥𝑘 +1 với 𝑘 ∈ 𝐼2 với 𝑘 ∈ 𝐼1 , wk' = { k 1 √𝑦𝑘 +1 với 𝑘 ∈ 𝐼2 với 𝑘 ∈ 𝐼1 Ay  w '   wk'  n * Với k  I có wk  wk'  * Với k  I1 có wk  xk   yk   wk' (do xk  yk ) Do đó, Ax  Ay  x  K \  , t   0;1 , ta có: n Atx   zk k 1 zk  { √𝑡𝑥𝑘 +1 với 𝑘 ∈ 𝐼2 với 𝑘 ∈ 𝐼1 n n tAx  t  yk k 1   tyk k 1 tyk  { 𝑡 ( √𝑥𝑘 +1) * Với k  I zk  tyk  với 𝑘 ∈ 𝐼2 với 𝑘 ∈ 𝐼1 41 * Với k  I1 zk  txk   t xk   t xk  t  t ( xk  1)  tyk Từ suy Atx  tAx  Tiếp theo ta chứng minh  ,  *  thỏa mãn    , t   0;1       , , t   cho x  u0 ; u0  x  n : u0  x   u0  Atx  1    tAx Thật vậy, x  u0 ; u0  x  n : u0  x   u0  nên: * Với (k  I )uk   xk  * Với (k  I1 )uk   xk  Xét     Ta có: t Atx  1    tAx   zk k 1  1    t  yk k 1   zk  1    tyk k 1 n n n * Với k  I zk  1    tyk  * Với k  I1 zk  1    tyk      t xk   1   1 t t    t xk     t xk  t    t 1 t6 t  xk  t t t   0, t 0;1 x  Chứng tỏ Atx  1    tAx  hay Atx  1    tAx Vậy A toán tử u0  lõm quy 7 t t x  k 7 t t  t xk  t xk   k 42 2.2.2 Toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian Banach     2     x   xn n1 : xn   Giả sử không gian  K  x   xn n1      2   ,  x    , x    xk   n 1   k 1    n  *  n nửa thứ tự theo nón K ⊂  : xn   n  1,2,   2 , nón K xác định trên, , Còn u0   un n1 chọn sau  I1 = {n ∈ N∗: un > 0}, I1  ∅ I1 hữu hạn, I2 = {n ∈ N∗ : un = 0} Xét toán tử A cho sau: Với x   xn n1   , ta đặt Ax   zn n1  z ,   x  1, zn   n 0, n  I1 n  I2 Do I1 hữu hạn   zn  xn   , n 1 2 nI1 nên 2  Ax l  z    xn     2  nI1  Do đó, Ax ∈ Vậy toán tử A : → Ta chứng minh A toán tử u0  lõm quy Thật vậy: 43  x   xn n1  K , Ax   zn n1  z   𝑣ớ𝑖 𝑛 ∈ 𝐼1 𝑣ớ𝑖 𝑛 ∈ 𝐼2 zn  { √𝑥𝑛 + Với n ∈ I1, ta có, zn  xn   Với n ∈ I2, ta có zn = Do z ∈ K , hay Ax ∈ K , nghĩa AK  K  x   xn n1  K , y   yn n1  K x  y Đặt   Ax  z   zn n1 , Ay  w   wn n1 , ta có   x  y  xn  ynn  * Với n  I1 ta có xn  0, yn  , nên zn  xn   yn   wn , n  I1 Còn với n  I có zn  wn  0, Ax  Ay  x   xn n1  K \   , t   0;1 , ta có:   Atx   zn n1 zn  { √𝑡𝑥𝑛 + với 𝑛 ∈ 𝐼2 với 𝑛 ∈ 𝐼1   tAx  t  yn n1   tyn n1 tyn  { 𝑡 ( √𝑥𝑛 + 1) với 𝑛 ∈ 𝐼2 với 𝑛 ∈ 𝐼1 * Với n  I zn  tyn  * Với n  I1 zn  txn   t xn   t  (do t   0;1 , xn  ) Từ suy Atx  tAx  xn   tyn 44  Tiếp theo ta chứng minh  ,  *  thỏa mãn    , t   0;1      , , t   cho x  u0 ; u0  x  l2 : u0  x   u0 Atx  1    tAx Thật vậy, x  u0 ; u0  x  : u0  x   u0 nên: * Với (n  I )un   xn  * Với (n  I1 )un   xn  Xét    Ta có: t Atx  1    tAx   zn n1  1    t  yn n1   zn  1    tyn n1    * Với n  I zn  1    tyn  * Với n  I1 zn  1    tyn   t xn    t t x  n 7 t t   t xn  t      t xn   1   1 t t    t xn  t xn  t 1 t6 t    xn  t t t   0, t 0;1 x  n Chứng tỏ Atx  1    tAx  hay Atx  1    tAx Vậy A toán tử u0  lõm quy 2.3 Sự mở rộng định lí tồn điểm bất động toán tử u0  lõm quy Định lí 2.3.1 Toán tử u0  lõm quy có không điểm bất động tập K (u0 ) , u0 phần tử cố định, thuộc K \   Chứng minh: Giả sử toán tử A có hai điểm bất động x, y  K (u0 ) : Ax  x, Ay  y, x  y 45 Tồn số dương a, b, c, d cho: c c c c au0  x  bu0 , cu0  y  du0  y  cu0  bu0  x  y  x   với  b b b b a a x  au0  ad 1du0  ad 1 y  x  y   với  d d E Xét ánh xạ h : h(t )  y  tx t h liên tục, nhờ tính liên tục phép toán đại số không gian E Do nón K tập đóng không gian E , nên h1 ( K ) tập đóng không gian với chuẩn thông thường Đặt t0  sup h1 ( K ), t0  c  b Nếu t0  1, t0  h1 ( K ) t0   c ;1    ( x, t0 )  cho b  y  t0 x    y  Ay  At0 x  (1   )t0 Ax  (1   )t0 x  y  1    t0 x   , Mâu thuẫn với tính chất t0 , nên t0  Từ suy ra, y  t0 x    y  t0 x với t0  (2.1) Bằng cách xét tương tự ánh xạ E k: s k (s)  x  sy, ta nhận bất đẳng thức: x  s0 y với s0  (2.2) Nếu t0  s0  hai bất đẳng thức (2.1), (2.2) mâu thuẫn Nên t0  s0  từ (2.1) (2.2) ta nhận x  y Định lí 2.3.2 Giả sử A toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian Banach thực E nửa thứ tự theo nón K  E , nón K nón h  cực trị Khi đó, 46 Toán tử A có điểm bất động K (u0 ) x0 , y0  K  u0  , x0  y0 , cho x0  Ax0 , Ay0  y0 Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử x*  K  u0  điểm bất động toán tử A tập K (u0 ) Ta chọn x0  y0  x* x0 , y0  K  u0  , x0  y0 , x0  Ax0 , Ay0  y0 Điều kiện cần thỏa mãn Điều kiện đủ: Giả sử x0 , y0  K  u0  cho x0  y0 , x0  Ax0 , Ay0  y0 Đặt xn  Axn1 , yn  Ayn1  n  1, 2,  , ta có:  x0  Ax0  x1  Ax1  x2   Axn1  xn  y0  Ay0  y1  Ay1  y2   Ayn1  yn   x0  y0 , x1  Ax0  Ay0  y1 , , xn  Axn1  Ayn1  yn ,  n  1, 2,   x0  Axn1  xn  yn  Ayn1  y0 , n  * Ta nhận hai dãy điểm: Dãy  xn n1  K  u0  , không giảm bị chặn y0  K  u0  ; Dãy  yn n1  K  u0  , không tăng bị chặn x0  K  u0  Do K nón h  cực trị, nên  sup  xn n1  x*  K ,  inf  yn n1  y*  K Từ tính chất cận tính chất cận suy ra: x0  Axn1  xn  x*  y*  yn  Ayn1  y0 (2.3) Do x* , y*  K (u0 ) x*  y* * Đối với phần tử x ta có: xn  xn1  Axn  Ax*  x*  Ax* Tồn số dương  ,  cho:  u0  x0 , x*   u0 (2.4) 47  xn  x0   u0       u0  x*  xn  x*   ,  0,  n  1, 2,      (2.5) Với n  1, 2, ta xét ánh xạ: E h: t h(t )  xn  tx* h liên tục nhờ tính liên tục phép toán đại số không gian E Nón K tập đóng không gian E , nên h1 ( K ) tập đóng không gian với chuẩn thông thường Ta nhận thấy t  h 1 (K )  t  1, t  xn  tx*    xn  tx*  x* , mâu thuẫn với hệ thức (2.3) Kí hiệu tn  sup h1 ( K ),   1  tn  tn  h ( K )  Ta lại có: xn1  tn x*  xn  tn x*    tn  tn1  1, với n  1, 2, Do dãy số thực dương  tn n1 không giảm bị chặn số 1, nên  lim tn  t   0;1 n  Giả sử t  Khi c  c( x* , t )  cho n  1, 2, xn   A2 xn  A2tn x*  A2 tn * tn tx  Atx*  (1  c)tn , n  1, 2, t t Đặc biệt, x2 k 1  (1  c)t2 k 1   (1  c) k t1   k  1, 2,  Suy ra, t  lim tn  lim t2 k 1  , mâu thuẫn với điều giả sử t  Nên t  n  k  Mặt khác, tn Ax*  Atn x*  Axn  xn 1  x*  n  1, 2,   Ax*  lim tn Ax*  x* n  (2.6) 48 Kết hợp hệ thức (2.4), (2.6): Ax*  x* Bằng cách tương tự, ta chứng minh được, Ay*  y* Theo định lí 2.3.1, x*  y* Vậy, toán tử A có điểm bất động tập K (u0 ) 2.4 Áp dụng  Xét toán tử u0  lõm quy A mục 2.2.1 trên: x   xk k 1  n n , Ax   zk k 1  z n  xk  1, zk   0, k  I1 k  I2 Theo chứng minh A toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian Banach thực E nửa thứ tự theo nón K  E với K nón h  cực trị Ta toán tử A có điểm bất động K  u0  Thật vậy: Xét x*   xk*  n k 1  K (u0 ) theo mục 1.5.1.4 x*   xk*  n  K (u0 )  xk*  0, k  I ; xk*  0, k  I1 k 1 Giả sử x* điểm bất động toán tử A K  u0  , nghĩa Ax*  x* Ta lại có: Ax*  y*   yk*   {7 ∗ k 1 √𝑥𝑘 + n với 𝑘 ∈ 𝐼2 với 𝑘 ∈ 𝐼1  với k  I xk*  yk*  với k  I1 xk*  yk*  xk*  xk*   xk*  xk*   Xét hàm số: yk  f k  xk*   xk*  xk*  1, xk*  , k  I1 49 Ta có: yk'  f k'  xk*      x    Do đó: f k' xk*   xk* * k 1   xk*  7 Bảng biến thiên: xk*   16  yk'  yk  7   77 77   1  Từ bảng biến thiên ta thấy: f k  xk*    77  77  1  1  *   0,  x   ;   k 6 7     nên f k  xk*   vô nghiệm khoảng  ;  7     ;   hàm số đồng biến nên phương trình f k  xk*   Còn khoảng    có không nghiệm Ta thấy: yk  f k  xk*  liên tục   f k 1 f k  3  1      nên phương trình có nghiệm xk*    1;3 Theo mục 1.5.1.4 A có điểm bất động K  u0  là: 0, xk*    , k  I2 k  I1 Như điều kiện cần định lí 2.3.2 thỏa mãn, suy x0 , y0  K  u0  , x0  y0 , cho x0  Ax0 , Ay0  y0 50 Kết luận Sau thời gian nghiên cứu, tính toán hoàn thành luận văn với tất mục tiêu nghiên cứu đặt Một số kết thu tóm tắt sau:  Trình bày cách hệ thống kiến thức không gian Banach nửa thứ tự, tập hợp K  u0  không gian Eu0 , nón chuẩn tắc nón h  cực trị, nón không gian Banach n ,  Trình bày số định nghĩa tính chất toán tử u0  lõm quy tác dụng không gian n ,  Trình bày chứng minh tồn điểm bất động toán tử u0  lõm quy theo hướng bổ sung điều kiện cho nón 51 Tài liệu tham khảo A Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (1987), “Các vectơ riêng toán tử lõm quy”, Tạp chí toán học, tập 15 (số 2), trang 17 – 23 [2] Nguyễn Phụ Hy (1987), “Các điểm bất động toán tử lõm quy”, Tạp chí toán học, tập 15 (số 1), trang 27 – 32 [3] Nguyễn Phụ Hy (1989), “Về lớp phương trình phi tuyến”, Thông tin khoa học trường ĐHSP Hà Nội 2, (số 2), trang 23 – 30 [4] Nguyễn Phụ Hy (1991), “Một số định lý nón không gian định chuẩn”, Thông tin khoa học trường ĐHSP Hà Nội 2, (số 2), trang – [5] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [6] Nguyễn Phụ Hy (2007), Bài tập Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [7] Nguyễn Phụ Hy (2013), “Các vectơ riêng dương toán tử (K,u0) – lõm quy”, Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, (số 24), trang 118 – 127 B Tài liệu tiếng Nga [8] Bakhtin I.A (1959), “Về phương trình không tuyến tính với toán tử lõm lõm đều”, DAN Liên Xô, T, 126, (số 1), trang – 12 [9] Bakhtin I.A (1984), “Các nghiệm dương phương trình không tuyến tính với toán tử lõm”, Voronegiơ [10] Kraxnoxelxki M.A (1962), “Các nghiệm dương phương trình toán tử”, Maxkva, NXB Toán Lý [...]... bắc cầu Vậy quan h "  " xác định trong định nghĩa 1.1.4 ở trên là một quan h sắp thứ tự trong không gian E với nón K Khi đó ta nói E là không gian Banach nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach thực E cùng với quan h sắp thứ tự xác định trong định nghĩa 1.1.4 gọi là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K  E 1.1.2... nghĩa là, dãy  zn n1 không giảm và bị chặn trên bởi phần tử  u , nhưng theo trên dãy  zn n1 không h i tụ, điều này mâu thuẫn với tính chất của nón K  Vậy, nếu K là nón h  cực trị thì K là nón chuẩn tắc 1.5 Các không gian Banach nửa sắp thứ tự: 1.5.1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự n Kí hiệu n   k    x   xk k 1 : xk  , 2 n n 1.5.1.1 Không gian tuyến tính thực n n * 1  n 2 ,... chứng tỏ K là nón h  cực trị Theo định lí 1.1.5, không gian n cùng với nón K bao h m trong n là không gian Banach nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) được xác định bởi công thức (1.8) Nhận xét:  Với x   xk k 1  n n , y   yk k 1  n n ta có: x  y  y  x  K  yk  xk  0, k  1, n  xk  yk , k  1, n  Hai phần tử tùy ý trong có thể không có quan h "  " , n chẳng h n với x  1,0,0,... t2    F Trái giả thiết F không chứa  Nếu t1  t2  0 thì t1  t2  0  u0   , không đúng giả thiết Vậy, u0  K  F  Do đó K ( F ) là nón trong không gian định chuẩn E Định nghĩa 1.1.4 8 Với hai phần tử x, y  E ta viết x  y (hoặc y  x ), nếu y  x  K Định lí 1.1.5 Quan h "  " xác định trong định nghĩa 1.1.4 là một quan h sắp thứ tự trên không gian E Chứng minh : + x  E, x  x ... xn  x  E trong không gian E n  Cho m   trong h thức (1.6), ta được  u0  xn  x   u0 , n  n0  xn  x u0   , n  n0 , x  xn  Eu0 và x   x  xn   xn  Eu0 Vậy Eu0 là không gian Banach theo u0 – chuẩn 1.4.2 Nón h  cực trị và tính chất Định nghĩa 1.4.4 Nón K được gọi là h  cực trị, nếu với mỗi dãy điểm không giảm  xn n1  K  và bị chặn trên bởi phần tử u  K , nghĩa là 19... thứ tự theo nón K  E Định nghĩa 1.2.1 Giả sử x, y  E Phần tử x được gọi là thông ước với phần tử y nếu tồn tại hai số dương     x, y  ,     x, y  sao cho  y  x   y Định lí 1.2.2 Quan h thông ước là một quan h tương đương trên không gian E Chứng minh : + Tính chất phản xạ: Rõ ràng y  E , ta luôn có: 1 y  y  1 y  y thông ước với y + Tính chất đối xứng: Nếu x thông ước với y thì...   hay  x n k 1 (m) k  xk( p )    2 22   Chứng tỏ với mỗi k  1, n dãy xk m   là dãy số thực cơ bản nên tồn tại giới m 1  m h n: lim xk  xk , k  1, n m   Đặt x   x1, x2 , , xn  , ta được dãy điểm x  m  Nhưng sự h i tụ trong không gian Do đó n n  m 1 h i tụ theo tọa độ tới x tương đương với sự h i tụ theo tọa độ là không gian Banach  Nón trong không gian  n Tập h p... tại) của một tập h p là duy nhất + Cận dưới đúng (nếu tồn tại) của một tập h p là duy nhất: Giả sử w1, w2  E là các cận dưới đúng của M Khi đó: 10 w1, w2  E và thỏa mãn x  M đều có x  w1 và x  w2 nên theo định nghĩa cận dưới đúng thì w2  w1 , w1  w2  w1  w2 Vậy cận dưới đúng (nếu tồn tại) của một tập h p là duy nhất 1.2 Quan h thông ước giữa các phần tử Giả sử E là không gian Banach thực... tự cho trường h p x  y Nên ta có x  y u0  inf  t1  t3  thế thì Từ đó ta có x  y Vậy x u0 u0  x u0  y u0 u0 u0  inf  t2  t4  x, y  Eu0  max   x  ,   x  , x  E xác định một chuẩn trong Eu0 Chuẩn u xác định trong định lí 1.3.4 gọi là u0  chuẩn 0 1.4 Nón chuẩn tắc và nón h  cực trị 1.4.1 Nón chuẩn tắc và tính chất Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón. .. Do đó x  y  x  y Vậy công thức (1.7) xác định một chuẩn trên tương ứng kí hiệu là n n Không gian định chuẩn 1.5.1.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự n n là không gian Banach thực với chuẩn (1.7) Thật vậy, giả sử dãy cơ bản  x   m  m 1  m  1, 2, là một dãy cơ bản tùy ý trong n n   với x m   x1 m  , x2 m  , , xn m  , Khi đó theo định nghĩa dãy cơ bản ta có:   0, n0