SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,… Ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điều kiện cực trị Đây là dạng Toán khó, chỉ có chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học cao đẳng Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu thấy là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích có thể đưa bài toán về một bài toán quen thuộc Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn,với sự tích lũy qua một số năm trực tiếp giảng dạy, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu Được sự động viên, giúp đỡ của các thầy hội đồng bộ môn Toán của sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp tổ Toán – Tin học trường THPT Trần Phú Tôi mạnh dạn cải tiến và bổ sung chuyên đề “ Một số bài toán cực trị hình học giải tích lớp 12” II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Kiến thức được học, các bài tập được luyện tập nhiều - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy được khả sáng tạo, tự học và yêu thích môn học - Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh thực hiện chuyên đề - Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp Khó khăn - Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 1/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 - Nhiều học sinh bị mất kiến thức bản hình học không gian, không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp độ không gian - Đa số học sinh yếu môn hình học Số liệu thống kê Trong các năm trước, gặp bài toán liên quan đến Cực trị hình học số lượng học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau: Không Nhận biết, nhận không biết biết vận dụng được Số lượng Tỉ lệ ( %) 60 66,7 20 22,2 Nhận biết và biết vận dụng ,chưa giải được hoàn chỉnh 9,9 Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh 1.1 III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Cơ sở lý luận Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả tư Từ những kiến thức bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt kiến thức nâng cao) Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ không gian để giải các bài toán được đặt Nội dung 2.1 Nhắc lại một số dạng toán hay sử dụng a Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α) −Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α) −Viết phương trình đường thẳng MH(qua M và vuông góc với (α)) −Tìm giao điểm H của MH và (α) • Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α) ta tìm hình chiếu H của M lên (α), dùng công thức trung điểm suy tọa độ M’ b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 2/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 − Viết phương trình tham số của d − Gọi H ∈d có tọa độ theo tham số t r uuuu r − H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d ud MH = − Tìm t, suy tọa độ của H 2.2 Các bài toán cực trị liên quan đ ến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ và đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M đường thẳng d uuur uuuur uuuur hay mặt phẳng (α) cho k1 MA1 + k2 MA2 + + kn MAn có giá trị nhỏ nhất Lời giải: uur uuur uuur r − Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k IA + + k n IA n = − Biến đổi uuuu r uuuuu r uuuuur uuu r uuu r k1 MA1 + k MA + + k n MA n = (k1 + k + + k n )MI = k MI uuu r MI − Tìm vị trí của M đạt giá trị nhỏ nhất Ví dụ 1: Cho đường thẳng ( d ) : x- y+1 z = = và hai điểm A ( 0;1;5) , 1 B ( 0;3;3) Tìm điểm M d cho uuuu r uuur 1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất uuuu r uuur MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất 2) Giải: uur uu r r 1) Gọi điểm I thỏa IA + IB = I là trung điểm AB và I(0; 2; 4) uuuu r uuur uuu r uuur uuu r uu r uuu r MA + MB = MI + IA + MI + IB = MI Khi đó có giá trị nhỏ nhất uuu r MI nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d x = + t r  Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d: y = -1 + t z = t  uuu r Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) M là hình chiếu vuông góc uuu rr của I lên đường thẳng d IM.u = hay 3t – = t = Vậy M( 5; 0; 1) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 3/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 uur uur r 2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = Ta có: (0 –x; –y; – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0) =>x = 0; y = uuuu r 13 13 , z = , J(0; ; ) 5 uuur uuu r uur uuu r uur uuu r uuu r Khi đó MA - 4MB = MJ+ JA- 4(MJ + JB ) = −3MJ = MJ có giá trị nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳng d uuu r 18 17 JM = ( t+ 4; t ;t) M là hình chiếu Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), 5 uuu rr vuông góc của J lên đường thẳng d JM.u = hay 3t – = t = uuuu r uuur MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất Vậy M( 5; 0; 1) Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = và ba điểm A ( 1;0;1) , B ( -2;1;2 ) , C ( 1;-7;0 ) Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho : uuuu r uuur uuur 1) MA + MB + MC có giá trị nhỏ nhất uuuu r uuur uuur MA -2MB + 3MC có giá trị nhỏ nhất 2) Giải: uuur uuu r uuur r 1) Gọi điểm G thỏa GA + GB +GC = G là trọng tâm của tam giác ABC và G(0;-2;1) uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r Ta có MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC = MG có giá trị nhỏ nhất r M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α) MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto chỉ phương x = 2t  Phương trình tham số MG y = -2-2t z = 1+3t  Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = ⇔ 17t + 17 = ⇔ t = −1 uuuu r uuur uuur MA + MB + MC có giá trị nhỏ nhất Vậy với M(-2; 0; -2) uur uu r uur r 2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2IB + 3IC = Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0) 23 23 ⇒ x = 4; y = - ; z = - , I(4; − ; − ) 2 2 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 4/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 uuuu r uuur uuur uuu r uur uuu r uu r uuu r uur uuu r Ta có: MA -2MB + 3MC = MI+IA -2(MI + IB) + 3(MI + IC ) = 2MI có giá trị nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (α)  x = 4+2t  23  Phương trình tham số MI: y = − -2t   z = − +3t Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 73 73 23 2(4 + 2t) − 2( − − 2t) + 3( − + 3t) + 10 = ⇔ 17t + =0⇔ t=− 2 34 u u u u r u u u r u u u r 245 135 ;− ) MA -2MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất Vậy với M( − ; − 17 34 17 Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An và n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+ ….+ kn = k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) cho tổng T = k1MA12 + k2 MA22 + + kn MAn2 đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất Lời giải: uur uuur uuur r - Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k IA + + k n IA n = - Biến đổi : T = k1MA12 + k 2MA 22 + + k nMA 2n = uuu r uur uuur = (k1 + + k n )MI + k1IA12 + k 2IA 22 + + k nIA 2n + MI(k1 IA1 + + k n IA n ) = kMI2 + k1IA12 + k 2IA 22 + + k n IA 2n Do k1IA12 + k 2IA 22 + + k n IA 2n không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng Chú ý: - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất MI nhỏ nhất Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + = và ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) 1) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA - MB2 – MC2 có giá trị lớn Giáo viên:nhất Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 5/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Giải: uur uu r r 3 1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = I là trung điểm AB và I(2; ; − ) 2 uuu r uur uuu r uu r 2 Ta có: MA + MB = (MI + IA) +(MI + IB) uuu r uur uu r = IA + IB2 +2MI +2MI(IA + IB) = IA + IB2 +2MI Do IA + IB2 không đổi nên MA + MB2 nhỏ nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc củarI lên (α) Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp n α = (1; 2; 2)  x = 2+t   Phương trình tham số MI: y = + 2t   z = − +2t  Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 3 + t + 2( + 2t) + 2(− + 2t) + = ⇔ 9t + = ⇔ t = −1 2 ⇒ M (1; − ; − ) 2 Vậy với M (1; − ; − ) MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất 2 Nhận xét: AB 2 2 Với I là trung điểm AB thì MA + MB = 2MI + , AB2 không 2 2 đổi nên MA + MB nhỏ nhất MI có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α) uur uur uur r 2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa JA - JB -JB = Hay (1 − x; − y; −1 − z) − (3 − x;1 − y; −2 − z) − (1 − x; −2 − y;1 − z) = (0;0; 0)  −3 + x =  ⇔ 3 + y = ⇔ J(3; −3;0) z =  uuu r uur uuu r uur uuu r uur Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA) - (MJ + JB) − (MJ + JC) uuu r uur uur uur = J A − JB2 − JC − MJ + 2MJ(JA − JB − JC) = JA − JB2 − JC − MJ Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 6/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Do JA − JB − JC không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất MJ nhỏ nhất hay M là hình chiếu của J mặt phẳng (α) r Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp n α = (1; 2; 2) x = 3+t  Phương trình tham số MJ: y = -3+ 2t z = 2t  Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: + t + 2(−3 + 2t) + 2.2t + = ⇔ 9t + = ⇔ t = − 23 35 ;− ;− ) 9 23 35 Vậy với M ( ; − ; − ) MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất 9 ⇒ M( x-1 y-2 z-3 = = và các điểm Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình: A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất 2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất Giải: uur uu r r 1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2 IB = Hay: (−x;1 − y; −2 − z) − 2(2 − x; −1 − y; − z) = (0;0;0)  −4 + x =  ⇔ 3 + y = ⇔ I(4; −3;6) - 6+z =  uuu r uur uuu r uu r Ta có MA2 - 2MB2 = (MI + IA) − 2(MI + IB) uuu r uur uu r = IA − 2IB2 − MI + 2MI(IA − IB) = IA − 2IB2 − MI Do IA - IB2 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d x = 1+t r  Đường thẳng d có vtcp u = (1; 2;1) , phương trình tham số d: y = 2+ 2t z = 3+ t  Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 7/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 uuu r M ∈ d ⇒ M(1 + t; + 2t; + t) , IM = ( t-3; 2t + ; t - 3) M là hình chiếu uuu rr vuông góc của I lên đường thẳng d IM.u = 2 ⇔ 6t + = ⇔ t = − ⇒ M ( ; ; ) 3 3 Vậy với M ( ; ; ) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất 3 Nhận xét: Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí của điểm M Với M ∈ d ⇒ M(1 + t; + 2t; + t) Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2 = - 6t2 – 8t +5 Xét hàm số f (t ) = − 6t – 8t + 5, t ∈ R Có đạo hàm f '(t ) = − 12t – 8t , f '(t ) = ⇔ t = − Bảng biến thiên t −∞ f’(t) f(t) − + +∞ 23 −∞ −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất t = − 3r 3uuur uuur uuu Hay MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất M ( ; ; ) r 2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa GA + GB +GC = G là trọng tâm tam giác ABC và G(2; 1; 1) uuuu r uuur uuuu r uuu r uuuu r uuur Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA) + (MG + GB) +(MG + GC) uuuu r uuur uuur uuur = GA + GB2 + GC2 +3MG + 2MG(GA + GB + GC) = GA + GB2 + GC +3MG Do GA + GB2 + GC không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc uuuu r của G lên đường thẳng d M ∈ d ⇒ M(1 + t; + 2t; + t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 8/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 uuuu rr Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d GM.u = 1 ⇔ 6t + = ⇔ t = − ⇒ M ( ;1; ) 2 Vậy với M ( ;1; ) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất 2 Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = và hai điểm A,B không thuộc (α) Tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất Lời giải: Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < A, B nằm về hai phía với (α) Để MA + MB nhỏ nhất M thuộc AB hay M là giao điểm của (α) và AB Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 A, B nằm về một phía với (α) Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α) Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ nhất M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α) và A’B Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình:x – 2y – 2z + = và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất Giải: Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α) Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất uuurM là giao điểm của AB và (α) Đường thẳng AB qua điểm B, nhận AB = (1; −1;0) làm vecto chỉ phương x = + t  Phương trình tham số của AB:  y = −t z =  Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: + t – 2(-t)- 2.2 + = ⇔ 3t + = ⇔ t = − 3 Hay M( ; ; 2) là điểm cần tìm Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 9/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = và ba điểm A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất 2) MA - MC có giá trị lớn nhất Giải: 1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một phía của (α) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất M là giao điểm của A’B với (α) uur Đường thẳng AA’ qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận nα = (1; −1;2) làm vecto chỉ phương x = + t  Phương trình tham số AA’:  y = − t  z = −1 + 2t  Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A (α) ứng với t của phương trình 3 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = ⇔ 6t – = hay t = ⇒ H( ; ;0) 2 x A ' = 2x H − x A =  Do H là trung điểm AA’ nên y A ' =2y H − y A = ⇒ A '(2; 1; 1) z = 2z − z = H A  A' uuur A’B có vtcp A'B = (1;0; −3) x = + t  Phương trình tham số A’B: y = z = − 3t  Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: + t – + 2(1 – 3t) = ⇔ −5t + = ⇔ t = 13 hay M ( ;1; − ) 5 13 ;1; − ) MA + MB có giá trị nhỏ nhất 5 Vậy với M ( 2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α) Ta thấy MA - MC = MA' - MC ≤ A'C Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất M thuộc A’C phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 10/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Giải: Mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất (α) uuurqua hai điểm uA, uur B và vuông góc với mp(ABC) AB = (1; −1; −1) , AC = (−2; −3; −2) r uuur uuur (ABC) có véctơ pháp tuyến n = [AB, AC ] = (−1;4; −5) uur r uuur (α) có véctơ pháp tuyến nα = [n, AB] = ( −9 − 6; −3) = −3(3;2;1) Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = ⇔ 3x + 2y + z – 11 = Ví dụ 2: Cho hai dường thẳng d1 : x − y −1 z +1 x y − z −1 = = = , d2 : = −2 −2 −4 1) Chứng minh hai đường thẳng song song với 2) Trong các mặt phẳng chứa d1, viết phương trình mặt phẳng (α) cho khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất Giải: uu r 1) d1 qua M1(2; 1; -1), có vtcp u1 = (1; 2; −2) uur d2 qua M2(0; 3; 1), có vtcp u = (−2; −4;4) uur uu r Ta thấy u = −2u1 và M1 ∉ d nên hai đường thẳng song song với 2) Xét (α1) là mặt phẳng chứa d1 và d2 (α1) có véctơ pháp r u u r uuutuyến uuur uur n1 = [u1 , M1M ] = (8;2;6) = 2(4;1;3) = 2n Khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất (α) phải vuông góc với (α1u).u r uur Do đó (α) nhận [u1 , n ] = (8; −11; −7) là véctơ pháp tuyến, qua M1(2; 1; -1) Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = hay 8x – 11y – 7z – 12 = Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α) qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất Lời giải: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 19/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm (α) và vuông góc với AB Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) đó d(B; (α)) = BH ≥ BK Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất K ≡ H hay ∆ là đường thẳng qua hai điểm A, K Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = và điểm A (-3; 3; -3) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5) một khoảng : 1) Nhỏ nhất 2) Lớn nhất Giải: uur Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến nα = (2; −2;1) 1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α) x = + 2t  Phương trình BH: y = − 2t z = + t  Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình: 2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + + t + 15= ⇔ t = −2 hay H(-2; 7;u3) uur Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất ∆ qua hai điểm A, H AH = (1;4;6) là véc tơ chỉ phương của ∆ Phương trình của ∆: x+3 y-3 z +3 = = 2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất ∆ là đường thẳng nằm (α), qua A và vuông góc với AB uur uuur uur ∆ có véctơ chỉ phương u ∆ = [AB, nα ] = (16;11; −10) Phương trình của ∆: x+3 y-3 z +3 = = 16 11 −10 Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm C(2; -1; 3), vuông góc với đường thẳng d: x-3 y+2 z +5 = = và cách điểm D(4; -2; 1) một khoảng lớn nhất Giải: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 20/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 r Xét mặt phẳng (α) qua C và vuông góc với d, (α) nhận u d = (1;2; 3) làm véctơ pháp tuyến, ∆ nằm (α) Do d(D; ∆) lớn nhấtuukhi nằm r ∆ uuu r uur (α), qua C và vuông góc với CD ∆ có véctơ chỉ phương u ∆ = [CD, nα ] = (1; −8;5) Phương trình ∆: x-2 y+1 z -3 = = −8 x = + t  Ví dụ 3: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d: y = z = −t  1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua d và B 2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆1 lớn nhất 3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆2 nhỏ nhất Giải: r uuur 1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp u d = (1;0; -1) , MB = (−2;2;0) uur uuur uur [u d , MB] = (2;2;2) = 2(1;1;1) = 2nα uur (α) qua B nhận nα = (1;1;1) làm véctơ pháp tuyến Phương trình (α): x + y + z – = 2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), để d(A, ∆ 1) nhỏ nhất ∆1 qua hai điểm B,H x = + t  Phương trình tham số AH: y = + t z = −1 + t  Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình: + t + + t -1 + t – = ⇔ 3t + = ⇔ t = − uuu r −4 −4 BH = ( ; ; ) = uu 3r r Ta thấy u1 và u d −4 ⇒ H( ; ; ) 3 3 r uu r 4 uu (2; −1; −1) = u1 ⇒ ∆1 nhận u1 làm véc tơ chỉ phương 3 không cùng phương nên d và ∆ cắt (do cùng thuộc mặt phẳng (α)) Vậy phương trình ∆1: x+1 y-2 z = = −1 −1 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 21/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 ) lớn nhất u vuông góc với AB ur uK uur≡ B hay ∆2 nằm (α)và u ur uur Ta có [nα , AB] = (0; −4;4) = −4(0;1; −1) = −4u ⇒ ∆2 nhận u làm véc tơ chỉ uur r phương, mặt khác u và u d không cùng phương nên d và ∆2 cắt (do cùng thuộc mặt phẳng (α)) x = −1  Phương trình ∆2: y = + t z = −t  Chú ý : Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số đề giải ý và ý ví dụ Gọi ∆ là đường thẳng tuỳ ý qua Buu và ur cắt d, giả sử ∆ cắt d tại điểm N(1+t, 0;-t), đó ∆ có véc tơ chỉ phương NB = (−2 − t ;2; t ) uuur uuur uuur Ta có AB = (−3;1;1) , [NB, AB] = (2 − t ;2 − 2t; − t ) uuur uuur [NB, AB ] (2 − t ) + (2 − 2t ) + (4 − t ) 3t − 10t + 12 = uuur Và d(A;∆) = = NB t + 2t + (−2 − t ) + 22 + (t ) 16t − 64t 3t − 10t + 12 ∈ Xét hàm số f (t ) = có f '(t ) = 2 , với mọi t R ( t + t + 4) t + 2t + t = f '(t ) = ⇔  t = −2 Bảng biến thiên của f (t ) −∞ t f’(t) + -2 +∞ - 11 + f(t) 3 Từ bảng biến thiên ta thấy: •uuurd(A;∆) lớn nhất 11 t = -2 ⇒ N(-1; 0;2) NB = (0;2; −2) = 2(0;1; −1) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 22/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x = −1  và đường thẳng cần tìm có phương trình là: y = + t z = −t  • d(A;∆) nhỏ nhất t = ⇒ N(3; 0;-2) uuur NB = (−4;2;2) = −2(2; −1; −1) và đường thẳng cần tìm có phương trình là : x+1 y-2 z = = −1 −1 Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm (α) và không qua A Tìm đường thẳng ∆ nằm (α), qua A cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất Lời giải: Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao điểm của d với (α) Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vuông góc của B lên (P) và d1 Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là uur uu r uur BH và BH ≤ BI nên BH lớn nhất I ≡ H, đó ∆ có vtcp u ∆ = [BI, nα ] Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x-1 y-2 z -3 = = , mặt phẳng (α): 2x – y – z + −1 = và điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua A cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất Giải: uur r Đường thẳng d có vtcp u = (1; 2; -1), (α) có vtpt nα = (2; -1; 1) x = + t  Phương trình tham số d: y = + 2t z = − t  Gọi B là giao điểm của d và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: 2+ 2t – – 2t – 3+ t + = ⇔ t = -1 ⇒ B(0; 0; 4) Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 23/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x = −1 + t  Phương trình tham số đường thẳng d1: y = + 2t z = − t  Gọi I là hình chiếu vuônguurgóc của B lên d1 ⇒ I(-1 + t; + 2t; – t), BI = (-1 + t; + 2t;-5– t) uu rr Ta có BI.u = ⇔ -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = ⇔ t = -1 ⇒ I(-2; -1; 2) uur uu r uur Đường thẳng ∆ có vtcp u ∆ = [BI, nα ] = (-5; -10; 4) Phương trình ∆: x+1 y-1 z -1 = = −5 −10 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường thẳng ∆ : x+1 y z-4 = = Trong các đường thẳng qua A và song song −3 song với (P), viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất Giải: Mặt phẳng (α) qua A và song song với (P) có phương trình: x + y – z + 2= => d nằm (α) uur r Đường thẳng ∆ có vtcp u = (2;1;-3), (α) có vtpt nα = (1;1;-1) x = −1 + 2t  Phương trình tham số ∆: y = t z = − 3t  Gọi B là giao điểm của ∆ và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: -1+ 2t + t – (4- 3t) + = ⇔ t = 1 ⇒ B(0; ; ) 2 Xét ∆1 là đường thẳng qua A và song song với ∆ x = + t  Phương trình tham số đường thẳng ∆1: y = −1 + t z = − 3t  uuu r Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên ∆ ⇒ H(1 + 2t; -1 + t; – 3t), BH = (1 + 2t; t - ; -3t) uu rr Ta có BI.u = ⇔ + 4t + t - + 9t = ⇔ t = − 28 uuu r ⇒ BH =( 13 43 1 r ; − ; ) = (26; -43; 3) = u1 14 28 28 28 28 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 24/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 uur uu r uur u = [ u Đường thẳng d có vtcp d , nα ] = (40; 29; 69) x-1 y+1 z -2 = = Phương trình d : 40 29 69 Bài toán 5: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 phân biệt và không song song với Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ và tạo với ∆2 một góc lớn nhất Lời giải: Vẽ một đường thẳng bất kỳ ∆3 song song với ∆2 và cắt ∆1 tại M Gọi I là điểm cố định ∆3 và H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(α), kẻ IJ ⊥ ∆1 · Góc giữa (α) và ∆2 là góc IMH · Trong tam giác vuông HMJ có cos IMH = HM MJ ≥ không đổi IM IM · Suy góc IMH lớn nhất MJ = MI hay H ≡ · J, đó IMH =(∆1,∆2) và (α) là mặt phẳng chứa ∆1 đồng thời vuông r gócr vớir mặt phẳng (∆1,∆2) Khi đó (α) nhận [u ∆1 ,[u ∆1 , u ∆2 ]] làm véctơ pháp tuyến Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x-2 y+1 z-1 = = và hai điểm A( 3; -4; 2), B( 4; −1 -3; 4) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và tạo với d một góc lớn nhất Giải: r uuur Đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 1) có vtcp u = (2; −1; 1) , AB = (1;1;2) r uuur r => n = [u, AB] = (−3; −3;3) = −3(1;1; −1) r uuur Mặt phẳng (α) qua điểm A và nhận [n, AB] = (3; −3;0) = 3(1; −1;0) làm vecto pháp tuyến Phương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = hay x – y – = −1+ = Khi đó cos((α),d) = 5 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 25/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Ví dụ 2: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + = Trong các mặt phẳng qua A và vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với trục Oy góc lớn nhất Giải: uur Mp(p) có vecto pháp tuyến n P = (2; −1; 2) , Xét đường thẳng d qua uAur và vuông góc với (P), r d có véctơ chỉ phương n P = (2; −1; 2) , Oy có véctơ chỉ phương j = (0;1;0) nên d và Oy không song song Theo bài toán nếu (α) tạo với trục Oy góc lớn nhất (α) chứa r rd vàr vuông góc với mp(d,Oy) Do đó (α) nhận [n P ,[n P , j ]] = -2( 1; 4; 1) làm véctơ pháp tuyến Phương trình (α): 1(x -1) + 4(y -1) +1( z + 1) = hay x + 4y + z – = Bài toán 6: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α), qua A và tạo với d góc lớn nhất, nhỏ nhất Lời giải: Vẽ đường thẳng d1 qua A và song song với d Trên d1 lấy điểm B khác A là điểm cố định, gọi K, H là hình chiếu vuông góc của B lên (α) và ∆ · Ta có góc (d, ∆) = BAH BH BK · và sin(d, ∆) = sin BAH = ≥ Do góc AB AB (d, ∆) nhỏ nhất K ≡ H hay ∆ là đường thẳng AK uur uur uur Góc (d, ∆) lớn nhất 900 ∆ ⊥ d và ∆ có vtcp u ∆ = [ud , nα ] Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – = 0, điểm A(1; 2; -2) và đường thẳng d: x+2 y-1 z -3 = = 1 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua A và tạo với d một góc lớn nhất 2) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua A và tạo với d một góc nhỏ nhất Giải: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 26/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 r r (α) có vectơ pháp tuyến nα = (2;2; -1) , d có vectơ u d = (1;1;1) qua điểm r r M(-2; 1; 3) Ta thấy A ∈ (α) mặt khác nα u d ≠ nên d không song song hoặc nằm (α) ⊥ 1) ∆1 tạo với d một góc lớn nhất uu r khiuur∆1uurd Do đó ∆1 có vectơ chỉ phương u1 = [ud , nα ] = (-3; 3; ) = -3(1; -1; 0) x = + t  Phương trình tham số của ∆1: y = − t z = −2  2) Xét đường thẳng d1 qua A và song song với d Phương trình d1: x-1 y-2 z +2 = = , lấy điểm B(2; 3; -1) ∈ d1 1 Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) x = + 2t  Phương trình tham số của BK y = + 2t , tọa độ của K ứng với t là nghiệm z = −1 − t  của phương trình : 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) – (- – t) – = ⇔ 9t + = hay t = − 10 19 −5 ⇒ K( ; ; ) 9 9 uuur 1 13 ) 9 ∆2 tạo với d một góc nhỏ nhất nó qua hai điểm A và K, AK = ( ; ; uur uuur ∆2 qua A(1; 2; -2), có vectơ chỉ phương u = 9.AK = (1;1;13) Phương trình ∆2 : x-1 y-2 z +2 = = 1 13 Giải: Đường thẳng d có vectơ Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) và đường thẳng d: x-1 y-2 z -3 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông 1 góc với d và tạo với AB một góc nhỏ nhất r u d = (2;1;1) Xét mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với d ⇒ ∆ nằm (α) r (α) nhận u d = (2;1;1) làm vectơ pháp tuyến Phương trình (α): 2x + y + z – = r Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α), BH có vectơ u d = (2;1;1) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 27/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x = 2t  Phương trình tham số của BH y = −2 + t , tọa độ của H ứng với t là nghiệm z = t  của phương trình: 4t -2 + t + t – = ⇔ 6t – = ⇔ t = −4 hay H( ; ; ) 3 3 ∆ tạo với AB một góc nhỏ nhất nó qua hai điểm A và H, uuur −4 AH = ( ; ; ) 3 uur uuur ∆ qua A(1; 0; 0), có vectơ chỉ phương u ∆ = 3.AH = (1; −4;2) Phương trình ∆ : x-1 y z = = −4 2.3 Bài tập áp dụng Bài 1: Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 1; 2), C(2; 1; -2) và mặt phẳng (α) có phương trình x + 2y – 2z + = 1) Tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm điểm N (α) cho NA + NC có giá trị nhỏ nhất 3) Tìm điểm S (α) cho SA2 + SB2 – 3SC2 có giá trị lớn nhất uuu r uur uuu r PA +2PB − PC 4) Tìm điểm P (α) cho có giá trị nhỏ nhất Bài 2: Cho đường thẳng ( d ) : x-2 y + z+2 = = và hai điểm A(3; 1; 1), -1 B(-1; 2; -3) Hãy tìm điểm M d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Bài 3: Cho đường thẳng ( d ) : x-2 y - z-2 = = và hai điểm A(0; 1; 1), 2 B(1; 2; 3) Tìm điểm M d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất x = − 3t x-1 y-2 z +1  = = Bài 4: Cho đường hai thẳng d1: y = 2t d2: Trong các mặt z = − 2t  cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2, viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất Bài 5: Cho hai điểm C(1; -2; 2) và đường thẳng d có phương trình x-1 y- z +1 = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và khoảng cách từ −2 −1 C đến (P) là lớn nhất Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 28/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x = + t  Bài 6: Cho họ đường thẳng dm: y = + (1 − m)t , với t ∈ ¡ và m là tham số z = + mt  1) Chứng minh họ dm qua một điểm cố định và nằm một mặt phẳng cố định 2) Tìm m để khoảng cách từ dm đến gốc tọa độ lớn nhất, nhỏ nhất 3) Tìm m để khoảng cách từ dm và trục Oy lớn nhất 4) Tìm m để dm tạo với trục Ox góc lớn nhất, nhỏ nhất Bài 7: Cho hai điểm A(1; 3; -1), B( 0; 0; 2) và đường thẳng d có phương trình x-3 y+2 z -1 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm I(-1; 1; 0), −2 vuông góc với trục Oy và tạo với d một góc Nhỏ nhất Lớn nhất Bài 8: Cho điểm B(2; -1; -2), mặt phẳng (P): x – y + z + = và đường thẳng d: x-1 y-2 z -3 = = Trong các mặt phẳng qua B và vuông góc với (P), viết −1 phương trình mặt phẳng (α) tạo với d một góc lớn nhất Bài 9: Cho điểm A(0; -1; 1) và ba đường thẳng ∆ : d1: x y −1 z x+3 y+1 z-4 = = = = , d2: 1 −3 x+1 y z-4 = = , −3 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời song song với hai đường thẳng d1, d2 2) Trong các đường thẳng qua A và nằm (P), viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất Bài 10: Cho tứ diện ABCD với A(1;0;0), B(0; 1; 0),C(0; 0;1) và D(-2;-1;-2) uuuu r uuur uuur uuuu r 1) Tìm điểm M cho MA + MB + MC + MD có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm điểm N mặt phẳng (ABC) cho NA2 – NB2 – 2ND2 có giá trị lớn nhất 3) Cho (P) là mặt phẳng qua D và song song với (ABC), các đường thẳng qua D mp(P) Hãy viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách giữa d và trục Oz lớn nhất Bài 11: Cho hai điểm A(2; 1; -3), B(1; 2; 0) và đường thẳng d: x-1 y-2 z-3 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt d cho khoảng cách từ B đến ∆ là lớn nhất Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 29/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Bài 12: Cho hai điểm C(1; 1; -1), D(2; 2; 1) và đường thẳng d: x-2 y-2 z-3 = = 2 −1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua C, nằm mặt phẳng (P): x + y + z -1 = cho khoảng cách từ D đến ∆ là nhỏ nhất Bài 13: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (α): 2x – y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với (α) và tạo với Oz một góc lớn nhất Bài 14: Cho điểm A(2; -1; 0) và hai đường thẳng có phương trình ∆1: x-1 y+1 z-1 x-2 y-1 z+3 = = = = , ∆2: Trong các đường thẳng qua A và 1 −1 cắt ∆1 viết phương trình đường thẳng ∆ cho khoảng cách giữa ∆ và ∆2 là lớn nhất Bài 15: Trong các mặt cầu qua điểm E(1; 2; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2x – 2y + z – = Hãy viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất x y z Bài 16: Cho đường thẳng ( d ) : = = và hai điểm A ( 0;0;3) , B ( 0;3;3) 1 Tìm tọa độ điểm M ∈ ( d ) cho: 1) MA + MB nhỏ nhất 2) MA2 + 2MB nhỏ nhất uuur uuur 3) MA − 3MB nhỏ nhất 4) MA − MB lớn nhất Bài 17: Trên tia Ox, Oy,Oz vuông góc với đôi ,lấy lần lượt các điểm A,B,C cho OA = a;OB = b;OC = c 1) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) 2) Giả sử A cố định còn B,C thay đổi luôn thỏa OA=OB + OC Hãy xác định vị trí B,C cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất Bài 18: Cho tia Ox, Oy,Oz vuông góc với đôi ,một mặt phẳng (P) qua điểm N cố định cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C.Giả sử N nằm tam giác ABC và khoảng cách từ N đến các mp(OBC),(OCA) , (OAB) lần lượt là a,b,c 1) Chứng minh : a b C + + =1 OA OB OC 2) Tính OA,OB,OC để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất 3) Tính OA,OB,OC để tổng S = OA + OB + OC nhỏ nhất Bài 19: Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a ; SC ⊥ (ABC) ,tam giác ABC vuông tại A ,các điểm M thuộc SA , N thuộc BC cho AM = CN = t Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 30/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 (0 < t < 2a) 1) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn nhất 2) Khi MN ngắn nhất chứng minh MN là đường vuông góc chung của SA và BC Bài 20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có : AB = a ; AD = 2a ; AA'=a Trên AD lấy điểm M và gọi K là trung điểm của B’M Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M để thể tích khối tứ diện A’KID lớn nhất IV KẾT QỦA Chuyên đề này được thực hiện giảng dạy tham gia dạy 12NC và Luyện thi Đại học hai năm gần Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết quả sau thực hiện chuyên đề: Không Nhận biết, nhận không biết biết vận dụng được Số lượng Tỉ lệ ( %) 0.0 2.2 Nhận biết và biết vận dụng ,chưa giải được hoàn chỉnh 48 53.3 Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh 50 44.5 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng toán cực trị hình học giải tích không gian nói chung rất đa dạng và phong phú Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức học sẽ làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo Để đạt kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY Quá trình áp dụng Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 31/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải Hiệu quả sau sử dụng Sau học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức học, tạo nền tảng cho học sinh tự học và tự nghiên cứu Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy và vận dụng chuyên đề này, một số kinh nghiệm được rút là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinh Chuyên đề này chủ yếu đưa các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do đó giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác để phát triển tư của học sinh Kết luận Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm một lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ Do đó chỉ là một chuyên đề rất nhiều chuyên đề, một phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song khuôn khổ thời gian có hạn người viết chỉ được các ví dụ, bài toán điển hình Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 32/33 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 Hình học 12 nâng cao, Bài tập hình học 12 nâng cao – nhà XBGD năm 2008 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2010 Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 Các trang Web: hocmai.vn; Violet.vn… Long khánh,ngày 20 tháng 05 năm 2012 Người thực hiện Nguyễn Ngọc Duật Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 33/33