HOCMAI.VN KÌ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 ĐỀ THI THỬ LẦN 01 (Đề thi có 01 trang) Môn thi: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút) Câu (1 điểm) Cho hàm số y  x3  3x  , khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Câu (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số y  2x  Biết tiếp tuyến qua giao điểm x 1 đồ thị với trục tung Câu (1 điểm) a Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện z    4i   b Giải phương trình sau: log3 (3x  1) log3 (3x1  3)  ln x 1 x Câu (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng () : 2x  y  2z   đường Câu (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : x  1; x  e; y  0; y  thẳng d : x 1 y 1 z Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với hai mặt phẳng ()   2 Oxy Câu (1 điểm) a Giải phương trình cos2 x  6cos x  6cos x sin x   đoạn  0;   b Trong lớp học có bóng đèn, năm bóng có xác suất bị cháy Lớp học đủ sáng có 4 bóng sáng Tìm xác suất để lớp học đủ ánh sáng Câu ( điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, AA’ = a Gọi I giao điểm AB’ A’B Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’ khoảng cách hai đường thằng AB CI 45 Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có S ABCD  , đáy lớn CD nằm đường thẳng x  y   Biết đường chéo AC, BD vuông góc với I (2;3) Viết phương trình cạnh BC, biết điểm C có hoành độ dương Câu (1 điểm) Giải phương trình 2 3x  Câu 10 (1 điểm) Cho x, y  thoả mãn P   3x    3  x 1    Tìm giá lớn của: x y xy 3 3  2   2 y y y  x  1 x x x  y  1 Nguồn: Hocmai.vn HOCMAI.VN KÌ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ LẦN 01 Môn thi: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút) (Đáp án - Thang điểm gồm có 07 trang) Câu Đáp án Cho hàm số y  x  3x  , khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tập xác định D = R Đạo hàm y'  3x  x  y'   x      x  1 Điểm Vậy hàm số đồng biến khoảng  , 1 ; 1,   , nghịch biến  1,1 Giới hạn hàm số:  lim y   x   0.25 0.25 lim y   x  Bảng biến thiên Câu (2 điểm) 0.25 Đồ thị hàm số: 0.25 Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Viết phương trình tiếp tuyến hàm số y  2x  Biết tiếp tuyến qua giao điểm đồ thị với x 1 trục tung Ta có giao đồ thị với trục tung là: I  0, 1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm có hoành độ x có dạng: Câu (1 điểm) 2x  y  y'  x0  x  x0   y  x   x  x0    x0   x0  1 3 0.5 Tiếp tuyến qua điểm I  0, 1 nên: 3 x  1 2x0   1  x0  x0  0  x   0.5 Từ ta có tương ứng tiếp tuyến là:  y  3x  a Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: z    4i   Gọi M  a; b  biểu thị số phức z  a  bi,  a, b  R  Ta có z    4i   a    b   i Vậy z    4i    0.25  a  3   b   2 2   a  3   b    Câu (1 điểm) Do tập hợp điểm M biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy đường tròn tâm I (3; 4) bán kính R  b Giải phương trình sau: log3 (3x  1) log3 (3x1  3)  0.25 x  x  3   ĐK:  x    x  log 3   1  log3 (3x  1) log (3x 1  3)   log (3x  1) 1  log (3x  1)   0.5 t  3 t  log (3x  1)  t (t  1)    t  28  x  log  27   x2  log 10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : x  1; x  e; y  0; y  Câu (1 điểm) e ln x  dx x 0.5 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Gọi S diện tích cần xác định, ta có: S   Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt ln x 1 x ln x ln x 1  1 x x Bởi x  1; e  ln x   ln x ln x  ln x  e Do đó: S     1 dx   dx  x   dx   e  1 x x x  1 1 e e e dx  u  ln x  du  x Đặt  dx   dv    x  v  x Khi đó:  S   e  1  x ln x  0.5   e e2 x e  dx   e  1  x ln x  x  e   e (đvdt) 1 x Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng () : 2x  y  2z   đường thẳng d: x 1 y 1 z Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với hai mặt phẳng ()   2 Oxy Gọi I tâm mặt cầu (S) cần tìm, I   d   I  t  1; 2t  1; 2t  Theo giả thiết mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng () Oxy nên I cách hai mặt phẳng này, đó: d  I,(O xy)   d  I,( )   t  1   2t  1   2t    2t  Câu (1 điểm) 1  t  1  4t   2t   t     4t 0.5 Do ta có điểm I là: +) t  1  I  0; 1;  +) t  6 2  I ; ;  5 5 Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn đề bài: • Mặt cầu ( S1 ) có tâm I1 (0; 1; 2) , bán kính R1  z   S1  : 2 0.5 x  (y  1)  (z  2)   2   , bán kính R  z  5 5   •Mặt cầu (S2) có tâm I  , ,  6  7  2 (S2):  x     y     z    5  5  5 25  Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - a Giải phương trình cos2 x  6cos x  6cos x sin x   đoạn  0;   Phương trình cos2 x  6cos x  6cos x sin x    6cos3 x  cos x   0.25  (2cos x  1)(3cos x  2cos x  1)   cos x  x   k 2 ,  k   Như nghiệm PT đoạn  0;   là: 0.25  b Trong lớp học có bóng đèn, năm bóng có xác suất bị cháy Câu bóng sáng Tìm xác suất để lớp học đủ ánh sáng (1 điểm) Ta tìm xác xuất để lớp học không đủ sáng: Lớp học đủ sáng có 1 + Xác suất bóng cháy :   C53 4 1 + Xác suất bóng cháy :   C54 4 0.25 1 + Xác xuất bóng cháy:   C55 4 C53 C54 C55   43 44 45 0.25 845 Do xác suất để lớp học đủ sáng : p2   p1  1024 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, AA’ = a Gọi I giao điểm Câu AB’ A’B Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’ khoảng cách hai đường thằng AB (1 điểm) CI Vậy xác suất để lớp học không đủ sáng : p1  Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - H A' C' B' I K Gọi V thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ ta có: VACA ' B '  VB ' ACA '  VB ' ACC ' A ' 1 1  (V  VB ' ABC )  (V  V )  V  V 2 3 0.5 C A 1 a a  S ABC AA '  a  3 12 E B Gọi E trung điểm AB => CE  AB (1) IE đường trung bình tam giác ABB’=> IE // BB’ Mà BB’  AB => IE  AB (2) Từ (1) (2) => AB  (CIE) Trong mặt phẳng (CIE ) kẻ EK  IC => EK đoạn vuông góc chung AB IC Suy ra: d ( AB, IC )  IK a a ; EI  AA'= 2 Xét tam giác vuông CEI có: Ta có: EC  0.5 1 1 4 16 a  2       EK  2 2 EK EI EC a 3a 3a a a 3     2   Vậy khoảng cách hai đường thẳng AB IC a 45 , đáy lớn CD nằm đường thẳng x  y   Biết đường chéo AC, BD vuông góc với I (2;3) Viết phương trình cạnh BC, biết điểm C có hoành độ dương Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có S ABCD  Câu (1 điểm) Gọi M, N trung điểm CD, AB Do AC  BD =>Tam giác AIB CID tam giác vuông cân I => IN  NA  NB, IM  MC  MD 0.5 + d I ,CD   10  CD  10 + NI  x  AB  2x Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - S ABCD  AB  CD  MN   x  10  x   10  A 2 45  x  10  10 IN IB  x      * IM ID + MN qua I vuông góc với CD => MN: 3x  y   3x  y    Toạ độ M nghiệm hệ:   M  3;0  x  3y    B N  I C M D + PT đường tròn tâm M bán kính MI:  C  :  x  3  y  10 2 + C, D giao điểm đường tròn  C  với đường DC  x  32  y  10  D  0; 1    x  3y   C  6;1  0.5 (do xC  ) + Từ (*)  DI  2IB  B  3,5 =>PT đường thẳng qua B, C : x  y  27  Giải phương trình Điều kiện x  3 2 3x    3x    3  x  6x  3x    3  x   3x   3  x 3x  3x  2  a  3x  2, a  Đặt  b   x     b3 Câu   2a  3b (1 điểm) Khi ta có hệ phương trình:  a  2a  b   1  0.5 1  2 b  a b3  2a  3b   a  b   2a  b     a b  2a +) Với a  b  a3  2a2    a   x  +) Với b  2a , ta có  2a   2a    8a3  2a   * Vì a  nên áp dụng Cosi cho số a ; a ;1 ta có: a3  a3   3a2  2a3   3a2  2a3   2a2 Từ suy (*) vô nghiệm Vậy phương trình ban đầu có nghiệm là: x  Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt 0.5 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Cho x, y  thoả mãn 1    Tìm giá lớn của: x y xy 3 3 P     2 y y y  x  1 x x x  y  1 Đặt a  x  y, b  xy  a, b  0; 1 1   x  y   3xy  a   3b; a   3b    b  Từ   x y xy a  4b   3b  1  4b   9b  1 b  1   b  Ta có: P  3x  y  1  y  x  1 x  y  2 xy  x  1 y  1 x y 3xy  x  y    x  y   xy  x  y   xy   xy  xy  x  y  1 x2 y 2 Câu 10 (1 điểm)  0.5 3ab  3a  6b a  2b  b  b  a  1 b2  3b  1 b   3b  1  6b  3b  1  2b   b  b  3b  b2 2 5b  9b2  3b  27b2  18b   6b 36b  32b      2 4b 4b 4b 4b 4b Xét f (t )   , t  4t 4t  5t f ' t       0, t   Max f  t   f 1    4t 2t 4t 4 1 Vậy Max P  dấu “=” xảy xy  1,     x  y  x y xy  Nguồn: Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 0.5 Hocmai.vn - Trang | -