Chúc em học tốt vui vẻ Love MATH   TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA - NĂM 2017 - CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG (Phương pháp, ví dụ có giải chi tiết + tập luyện tập) Thông tin học sinh HỌ VÀ TÊN: MÃ HỌC SINH: LỚP: TRƯỜNG: Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718 Địa chỉ: Số – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P Trường Thi – TP Vinh Chúc em học tốt vui vẻ Love MATH   PHẦN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG DẠNG 1: DỰNG HÌNH CHIẾU VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH PHƢƠNG PHÁP CHUNG (P) *) Quy trình tìm hình chiếu O mặt phẳng (α) O Bước 1: Tìm mặt phẳng (P)  d với d đường thẳng nằm ( ) Bước 2: Tìm   ( P)  ( ) Bước 3: Từ O kẻ OH   H hình chiếu O ( ) H Khi đó, d(O;(α)) = OH *) Tính OH d (α) Dùng công thức diện tích, hệ thức lượng tam giác, tam giác đồng dạng để tính OH Với dạng ta lại có quy trình dựng cụ thể mà tìm hiểu Dạng 1.1 Khoảng cách từ O đến (α) chứa đƣờng cao hình chóp ( )  đáy Bước 1:  THỨC A – KIẾN CHUNG *) Dựng hình chiếu OH SI: đường cao S ( ) : ( SIB) Bước 1:   ( )  đáy Bước 2: Kẻ OH   Chứng minh OH  ( )  d (O;( ))  OH *) Tính OH Δ A B Dạng thường tính qua diện tích tam giác H I O C D Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718 Địa chỉ: Số – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P Trường Thi – TP Vinh Chúc em học tốt vui vẻ Love MATH   B – VÍ DỤ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với AB = 2a; BC = 3a ; AD =3a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm I BD Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) Giải: S *) Dựng hình chiếu CH SI: đường cao ( ) : ( SBD) ;  : BD Kẻ CH  BD, ( H  BD) Ta có: SI  ( ABCD)  SI  CH (1) Mà, CH  BD (2) Từ (1) (2) suy ra, A D CH  (SBD)  d(C;(SBD)) = CH *) Tính CH I Ta tính CH qua diện tích tam giác BCD SBCD  H 1 AB.BC  BD.CH 2  CH  AB.BC BD Trong : B BD  AB2  AD2  (2a)2  (3a)2  13a2  a 13 ; BC  C 3a 3a  3a  CH  a 13 13 2a Vậy, d(C;(SBD)) = 3a 13 C – BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a M trung điểm CD, hình chiếu vuông góc S lên (ABCD) trung điểm H AM Biết góc SD (ABCD) 600 Tính khoảng cách a Từ B đến (SAM) b Từ C đến (SAH) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A với AB = a ; AC = a Gọi I điểm BC cho BI  IC H trung điểm AI Biết SH  ( ABC ) góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính khoảng cách: a Từ B đến (SHC) b Từ C đến (SAI) Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718 Địa chỉ: Số – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P Trường Thi – TP Vinh Chúc em học tốt vui vẻ Love MATH   Dạng : Khoảng cách từ O chân đƣờng cao đến mặt phẳng (α) chứa cạnh mặt đáy A – KIẾN THỨC CHUNG *) Dựng hình chiếu OH Bước : Dựng mặt phẳng (P) qua O vuông góc với CD S SO: đường cao ( ) :( SCD); ( P) : ( SOM )  :SM cách kẻ từ S từ O đường vuông góc với CD Khi đó, (P) (SOM) Δ d Bước :   (SOM )  (SCD) Chứng minh OH  ( )  d (O;( ))  OH A D H *) Tính OH O Dạng thường dùng hệ thức lượng tam giác vuông M C B – VÍ DỤ B Ví dụ : (Đề thi thử trường THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc S mặt đáy điểm H thuộc đoạn AB cho BH=2AH Góc SC mặt phẳng đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) SH: đường cao Giải : *) Dựng hình chiếu HI ( ) :( SCD); ( P) : ( SHK )  :SK S Kẻ HK  CD ( K  CD) Ta có : SH  ( ABCD)  SH  CD I Mà HK  CD  (SHK )  CD Kẻ HI  SK ( I  HK ) (1) CD  (SHK )  CD  HI (2) Từ (1) (2) suy HI  (SCD)  d ( H ;(SCD))  HI *) Tính HI a 13 Ta có : BH = 2AH  BH  a  CH  3 B a 39 1 a 13 SH  Ta có :    HI  HI SH SK D A K H 60° C a 13 Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718 Địa chỉ: Số – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P Trường Thi – TP Vinh Vậy, d ( H ;( SCD))  Chúc em học tốt vui vẻ Love MATH   C – BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm cạnh AB HÌnh chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm H CI, góc đường thẳng SA mặt đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC) Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Biết SA  ( ABCD) , SC hợp với mặt phẳng ( ABCD) góc  với tan   , AB=3a, BC=4a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I có cạnh a, BAD  60o Gọi H trung điểm IB SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc SC mặt phẳng (ABCD) 45 Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) DẠNG : DỜI ĐIỂM VÀ DỰNG KHOẢNG CÁCH GIÁN TIẾP A – KIẾN THỨC CHUNG Trong số trường hợp việc dựng khoảng cách trực tiếp từ O trở nên khó khăn Do đó, ta dùng tính chất tỉ số khoảng cách để dời khoảng cách từ O khoảng cách từ điểm M đơn giản (về dạng 1.1 1.2 trên) Cụ thể : *) Tính chất - Nếu OM cắt mặt phẳng ( ) I ta có : d (O;( )) OI  d ( M ;( )) MI - Nếu OM / /( ) d (O;( ))  d (M ;( )) *) Chú ý : Một số phức tạp phải dời đến lần O để việc tính tỉ số đơn giản O M M I (α) (α) Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718 Địa chỉ: Số – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P Trường Thi – TP Vinh Chúc em học tốt vui vẻ Love MATH   B – VÍ DỤ Ví dụ : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật với AB =a, AD = a , hình chiếu vuông góc S lên (ABCD) trung điểm H OB với O tâm đáy Biết góc SC mặt phẳng (ABCD) 600 Tínhkhoảng cách từ B đến (SAC) Dời B H Giải : Thay dựng khoảng cách từ B đến (SAC) ta dựng khoảng cách từ H đến (SAC) (theo dạng 1.2) SH: đường cao S ( ) :(SAC ); ( P) : ( SHK )  :SK *) Dựng khoảng cách HI Kẻ HK  AC ( K  AC ) Ta có : SH  ( ABCD)  SH  AC Mà HK  AC  (SHK )  AC Kẻ HI  SK ( I  HK ) (1) I AC  (SHK )  AC  HI (2) A K Từ (1) (2) suy HI  (SAC )  d ( H ;(SAC ))  HI O H *) Tính HI Theo công thức trung tuyến tính : HC  60° B C CO  BC OB 7a a a 21    HC   SH  4 2 a a  HK  Kẻ BM  AC (M  AC )  BM  D 1 A D M K 128 a 42     HI  2 2 16 HI HK SH 21a O H  d ( H ;( SAC ))  a 42 16 B C *) Tính khoảng cách từ B Ta có : BH  (SAC) = O  Vậy, d ( B;( SAC ))  d(B;(SAC)) BO a 42 = =  d(B;(SAC)) = 2d(H;(SAC)) = d(H;(SAC)) HO a 42 Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718 Địa chỉ: Số – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P Trường Thi – TP Vinh Chúc em học tốt vui vẻ Love MATH   C-BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: (Đề thi thử THPT Bình Minh-Ninh Bình 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I có cạnh a, BAD  60 Gọi H trung điểm IB SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc SC mặt phẳng (ABCD) 45 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Bài (Đề thi thử THPT Chuyên Hùng Vương 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Cạnh bên SA  ( ABCD) ; cạnh bên SC tạo với đáy góc  với tan   Gọi M trung điểm BC , N giao điểm DM AC, H hình chiếu A SB Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDM) Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) SA = a O tâm hình vuông ABCD a Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC) b Tính khoảng cách từ O đến (SBC) Bài 4: (Đề thi thử THPT Đông Du – ĐăkLăk 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a Cạnh bên SA vuông với đáy, SC tạo với đáy góc 45o SC  2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718 Địa chỉ: Số – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P Trường Thi – TP Vinh Chúc em học tốt vui vẻ Love MATH   DẠNG : TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỂ TÍCH A – KIẾN THỨC CHUNG Trong số trường hợp việc dừng hình chiếu dời điểm ta tính khoảng cách thông 3V qua công thức thể tích : V  S h  h  Cụ thể : S S Bước 1: Tính thể tích hình chóp S.OAB ( Chọn đỉnh S;A B) Bước 2: Tính diện tích tam giác SAB +) Phát tam giác đặc biệt để tính diện tích đơn giản +) Nếu tam giác thường sử dụng hệ thức Herong : SΔSAB = p(p - SA)(p - SB)(p - AB) với p = SA + SB + AB B O 3V VS.MAB = d(M;(SAB)) SΔSAB  d(M;(SAB)) = S.MAB SΔSAB Bước 3: B-VÍ DỤ A Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a; SA vuông góc với đáy; BAD  120 ; SA  a Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) Giải: +) Ta có ABC tam giác cạnh a ( Vì AB = BC; BAC  60 ) +) SBCD  S 1 S ABCD  2.SABC  a 2 +) Tính VS BCD có h = SA = a 1 a a3 VS BCD  SBCD SA  a  3 +) Tính SSBC A D a 3 a BC  a; SB  SA2  AB    a    a 3 a SC  SA  AC    a    2  d(D;(SBC)) = 3VS.BCD S ΔSBC Vậy, d ( D;( SBC ))  B C a3 a = = a a Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718 Địa chỉ: Số – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P Trường Thi – TP Vinh Chúc em học tốt vui vẻ Love MATH   C-BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: (Đại học khối A;A1_2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SD  3a Hình chiếu vuông góc S lên đáy trung điểm đoạn thẳng AB Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) Bài 2: (Đề thi thử THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, Biết SA vuông với đáy, SC hợp với mặt phẳng đáy góc  với tan   , AB = 3a, BC = 4a Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Bài 3: (Đại học khối D_2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC) Biết SB  2a 3; SBC  30 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Trên đây, Love MATH vừa giới thiệu đến em học sinh phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hình chóp Với khoảng cách hai đường chéo (không vuông góc) ta quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thực cách giải Hi vọng tài liệu bổ ích cho em ôn thi THPT Quốc gia em học sinh lớp 11 Thời gian tới, Love MATH mắt tài liệu chi tiết hấp dẫn Để nhận giảng, tài liệu để tư vấn, giải đáp thắc mắc mời bạn truy cập fanpage : https://www.facebook.com/love.math.lh/ https://www.facebook.com/lien.phamthi.353 Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718 Địa chỉ: Số – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P Trường Thi – TP Vinh