Thông tin tài liệu
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Qstudy.vn H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang TUY N CH N B T Thay NG TH C N M 2016 Giáo MTH n Ng Quang B Tviên:NG C 2cBI N i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn §1: CÁC B T NG TH C i NG TH C PH CH NG MINH B T A B T Thay NG TH C I X NG Bài 1: Cho s th c x, y thay đ i th a x2 y2 Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a bi u th c P x3 y3 3xy Bài gi i P x y 3xy x y x xy y 3xy x y xy 3xy 3 K : t xy , t t = x + y t2 2 P t t 6t , v i t 2 t Xét f (t ) t t 6t [-2,2] f ' t 3t 3t 6; f ' t t 2 13 Ta có f 1 ; f 1; f 2 7 1 1 x x x y 13 13 max f t t = nên max P 2 2,2 2 x y y 1 y 1 2 x y 2 x y 1 f t 7 t = -2 nên minP = - 2 2,2 x y Bài 2: Cho x y th a u ki n x y Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P xy Bài gi i x y Ta có xy P f t t t t xy , u ki n t t t 2 1 f 't 2 t 1 t 1 t 1 B ng bi n thiên xy T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn x P/ Thay + P V y GTLN P Khi x 1; y Bài 3: Cho a , b th a mãn a b2 a 2b2 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P a b b 1 a 1 a b2 Ta có a b a b a b ab a b 2 Bài gi i 2 a b2 a b 2ab a b a b a b 1 2 a b2 a b 1 a b P 1 1 b 1 a 1 a b2 1 a b 1 2 a 1 b 1 a b2 a b 1 2 a b a b 1 t t a b , ta có a b 2a b 2 ab a b 16 a b 4 t 1 2; t ta đ t2 t 1 MinP M inf x x y Xét f t Bài 4: Cho x, y s th c d P c ng th a mãn xy x y Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: 3x 3y xy x2 y2 y 1 x 1 x y Bài gi i t t x y xy t; x2 y2 x y 2xy t t t 2t x y Ta có xy 3t t t i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Suy P x2 y2 x y Thay 12 xy x2 y2 t t x y t xy x y 12 Xét hàm s f t t t v i t t 2 Ta có f ' t 2t 0, t Suy hàm s t P f t f 2 V y giá tr l n nh t c a P b ng x y f t ngh ch bi n v i t Bài 5: Cho x, y hai s th c th a mãn u ki n ( x y) xy Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 3( x2 y2 )2 2( x y)2 xy(3xy 4) 2015 Bài gi i V i m i s th c x, y ta ln có ( x y) xy , nên t u ki n suy ( x y)3 ( x y)2 ( x y)3 4xy ( x y)3 ( x y)2 x y Ta bi n đ i P nh sau 3 ( x y ) ( x y ) 2( x y xy) xy(3 xy 4) 2015 2 3 ( x y ) ( x y ) 2( x y ) 2015 (3) 2 ( x y2 ) nên t (3) suy P ( x y ) 2( x y ) 2015 Do x y t x y t t (do x y 1) 9 1 Xét hàm s f (t ) t 2t 2015 v i t , có f ' (t ) t , v i t nên hàm s f(t) đ ng bi n 2 32233 ; Suy f (t ) f 1 16 2 2 t ; P 2 Do GTNN c a P b ng 32233 ,đ tđ 16 c ch x y Bài 6: Cho s d ng x, y Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: 1 P 2 2 x y 3x y x 3y Xét bi u th c P Tr x2 y2 c h t ta ch ng minh 3x2 y2 x 3y 2 Bài gi i x y 3x y 2 x y i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn x2 y2 1 2 2 3 x y x y x y2 3x2 y2 x2 y2 x y x2 y2 3x2 y2 x2 y2 2 2 2 2 2 x y 3x y x y x y 3x y x y 1 Th t v y, x2 y2 3x2 y2 Xét x 4 x y 3y 3x y x y 0 x 3y 2 3x y 2 D u “=” x y x = y 2 Nh v y, P x y x y 3 t, t ,t x y 2t f '(t ) 2t ; f '(t ) t 1 Xét hàm s f (t ) 2t B ng bi n thiên t f’(t) – – – + + – 4/3 f(t) t = V y, GTLN c a P x y T BBT ta th y GTLN c a f(t) Bài 7: V i moi sô th c x,y thoa man điêu kiên x2 y2 xy Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a bi u th c P x4 y4 xy Bài gi i t t xy Ta co: xy x y xy 4 xy xy 1 Va xy x y xy xy xy nên t x y Thay i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn x Suy ra: P y2 x2 y2 2 xy Thay 7t 2t 2t 1 t t t 7t 2t ; f 't Xet ham sô f t co f ' t 2t 1 2t 1 t 1 l 1 1 f f ; f 0 5 15 V y giá tr l n nh t b ng , giá tr nh nh t b ng 15 Bài 8: Gi s x, y s th c d bi u th c P ng th a mãn x y x2 y2 1 Tìm giá tr nh nh t c a x 2y 2x y 2 x y x y2 Bài gi i Ta co x 2y xy 3 xy x 2 2 x y x y x y y x y xy y x y x y x y y 2x y 2 2x y x y x y x y x y , vi bât đ ng th c t M t khac, ta cung co 2x y x y T ng t , ta cung co ng đ ng v i x2 y2 xy 2 , hay x y 2 x y xy T đo ta co P x y 2 Suy P x y x y 2x y x y x y x y x y (1) T gi thi t ta l i có x y x2 y2 x y 2 Suy x y , hay x y (2) T (1) (2) ta có P D u đ ng th c x y ch x y Vây gia tri l n nhât cua P b ng 2, đat đ c x y Bài 9: Cho hai sô d ng x, y thoa man x2 y2 Tim gia tri nho nhât cua biêu th c 1 1 P x 1 1 y 1 1 x y Bài gi i t 1 t 1 x y2 x y Biên đôi P x y 2t 2t 2 xy t 1 t 1 t 1 t2 Co x y xy t t x y t xy 2 i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay Lai co x, y x x2 , y y2 x y vây t Xet ham sô f t t Co f 2 43 n a khoang 1; t 1 Kêt luân: P f t 1; Bài 10: Cho x y hai s th c d ng thay đ i thu c n a kho ng (0;1] x+y=4xy Tìm gía tr l n 1 1 nh t nh nh t c a bi u th c: P= x2 y xy2 6 x y Bài gi i Ta có: xy x y xy xy x; y (0;1] (1 x)(1 y) ( x y) xy xy xy xy 1 1 ( x y) xy 4( xy) ( xy) xy P = x2 y xy2 xy( x y) y 6 x 6 t t = xy P = t 1 1 f (t ) v i t ; 3t 3 24t 1 1 1 1 0, t ; suy f (t ) ngh ch bi n đo n ; 2 3t 3t 3 3 1 1 Do f f (t) f , t ; 3 4 3 13 đ t đ c ch x y maxP = 12 1 11 minP = đ t đ c ch x 1; y ho c x ; y 3 f '(t ) 8t Bài 11: Cho hai s th c th a mãn x 1; y (x + y) = 4xy 1 1 Tìm gía tr l n nh t nh nh t c a bi u th c: P = x3 y3 x y Bài gi i 3x2 4x 3y f ( y) [1; ) có 4y3 t t xy x nên 3( x y) x y 3x2 3xy x2 y xy Có 3( x y) x y x f '( y) 3y (vì y ) Xét hàm s 4y3 9 0, y [1; ) f ( y) f (1) x (4 y 3) i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay 3x2 9 [1;3] g ( x) V y t [ ;3] 4 4x Khi P ( x3 y3 ) 1 3 x y 3xy( x y) ( xy)3 xy Xét hàm s g(x) xy 3 12 64 xy 64t 3 64t 4t 4t 1 1 3xy t 27 ( xy) 27 t 64t 12 64 4t v i t [ ;3] t 27 64t 12 8 12 8t 8t t 1 0, t [ ;3] Ta có P '(t ) t 9 t Xét hàm s P (t ) V y MaxP P (3) xy x x 280 t i t 3 ; x y y 1 y 304 MinP P t i t4 36 Bài 12: Cho cac sô th c d A xy xy x y x y ng x,y thoa man x y Tim gia tri nho nhât cua biêu th c 1 2 x y Bài gi i Ta co P xy 1 xy x y xy x y t t xy ta co t xy 2 31 31 33 Khi đo: P t 32t 31t 32.2 16 t 4 t Dâu đ ng th c xay va chi x y z 33 Vây A Bài 13: Cho s th c x, y th a mãn x y xy 32 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 2 A x3 y3 xy 1 x y Bài gi i Ta có x 4 y xy 32 x y x y x y 2 A x y x y xy x y 3 x y x y Xét hàm s : f t t t 3t đo n 0;8 i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Ta có f ' t 3t 3t 3, f ' t t Thay i 1 1 ho c t (lo i) 2 17 5 17 5 , f 398 Suy A 4 Ta có f 6, f Khi x y 1 17 5 d u b ng x y V y giá tr nh nh t c a A 4 ng a , b th a mãn a 5b ab5 ab 1 Tìm giá tr l n nh t c a Bài 14: Cho s th c d P 1 8ab 2 4ab 1 a 1 b Bài gi i Ta có (ab 1) a b b5 a ab(a b ) 2a 3b3 ab 1 2 ab 1 a 1 b 2 8ab 8t 1 P Xét hàm s f (t ) v i t ab; t ;1 t 4t ab 4ab 2 31 f (t ) max f ( ) Pmax a b 12 Khi ta có B T quen thu c : Bài 15: Cho x, y s th c thu c (0;1) th a mãn c a bi u th c P 1 x 1 y ( x3 y3 )( x y) (1 x)(1 y) Tìm giá tr l n nh t xy xy x2 y2 Bài gi i Ta có: (1 x)(1 y) Xét P 1 x2 x, y (0;1) ( x y )( x y) xy x y xy 3xy x y 3xy xy xy 1 y2 xy x2 y2 1 x2 1 y2 xy 1 x2 1 y2 xy 1 (*) 2 xy 1 x 1 y Th t v y (*) (2 x2 y2 )(1 xy) 2(1 x2 )(1 y2 ) ( x y)2 (1 xy) Ln x, y (0;1) Suy P 1 xy, xy 0; xy 9 Xét hàm s f (t ) 1 1 1 0, t 0; 2t , t 0; Có f (1 t ) t 1 t 9 9 56 V y P f 10 nên maxP = 56 10 x y T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Bài 15b: Cho s th c d c a bi u th c P ng a,b,c th a mãn u ki n a 5b ab5 ab 1 Tìm giá tr l n nh t 1 8ab 2 1 a 1 b 4ab Bài gi i Ta có (ab 1) a b b5 a ab(a b ) 2a 3b3 ab 1 2 ab 1 a 1 b 2 8ab 8t 1 P Xét hàm s f (t ) v i t ab; t ;1 t 4t ab 4ab 2 31 f (t ) max f ( ) Pmax a b 12 Khi ta có B T quen thu c : B B T NG TH C KHÔNG I X NG Bài 16: cho x, y s không âm th a mãn x2 y2 Tìm GTLN nh nh t c a: P 5( x5 y5 ) x2 y2 (5 xy xy 12) Bài gi i x ( x 2) Ta có x, y x3 y3 2( x2 y2 ) 2 y ( y 2) (1 )( x y ) ( x y) x y 2 2 Thay 2( x3 y3 ) ( x y)( x3 y3 ) ( x x3 y y3 )2 x3 y3 t t x3 y3 Ta có : t 2;2 Ta có ( x2 y2 )3 x6 y6 3x2 y2 ( x2 y2 ) x6 y6 x2 y2 ( x3 y3 )2 x2 y3 x2 y2 x3 y3 x2 y2 t 2( x3 y3 ) ( x3 y3 )( x2 y2 ) x5 y5 x2 y3 x3 y2 x5 y5 x2 y2 ( x y) x5 y5 x2 y2 ( x y) 2t P 5( x5 y5 ) x2 y2 (5 xy xy 12) 4 x3 y3 12 x2 y2 5( x5 y5 ) x2 y2 xy 2(2 x3 y3 x2 y2 ) 5( x5 y5 ) 5x2 y2 x2 y2 xy 2(t 8) x2 y2 xy x2 y2 ( x y) 2t 10t 16 f (t ) f / (t ) 4t 10; f / (t ) t 2; 2 57 Ta có: f (2) 28, f ( ) f (2 2) 20 2 57 V y MinP 2;2 f (t) f (2) 28 MaxP f ( ) 2 i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay i y2 14 yz z2 x 1 y 1 z 1 P 2 x z x y z y z Bài gi i z Do z x, y, z nên ta có x2 z2 x 2 Ta l i có z y y z y4 y3 z y2 z2 yz3 z4 y4 14 yz y2 y2 z2 y2 y2 14 yz z2 y z y2 14 yz z2 1 y y z y z y z y 2 x 1 y 1 z 1 1 Do ta có P 2 x y z z z x y 2 2 1 Ta có 2 z z x y z 2 z z x y x y 2 2 2 y 14 yz z 2 Và x 1 y 1 z 1 x y z xy yz zx xyz x y z xy yz zx L i có 1 x1 y1 z x y z xy yz zx xyz xy yz zx x y z xyz x y z P x y z 16 x y z x y z 16t v i t a b c t 0;3 t2 t 16 32 Ta có f ' t ; f ' t t f t f 10 t t 2 Xét hàm s f t V y giá tr nh nh t c a bi u th c P 10 , d u " " x y x y 1, z Câu 8: Cho s th c x, y, z thõa mãn xyz x y z Tìm GTLN c a bi u th c P x2 x y2 y z2 z x y z 2 xyz (Trích đ thi th l n th y Quang Baby) Bài gi i Ta có: x( x 1) x2 x x2 x x2 x x2 x x T ng t ta có: Do : P y2 y y 1; z2 z z 2x 1 y 1 2z 1 2( x y z) 2 ( x y z) xyz ( x y z) x y z x y z (x y z) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn i v i t x y z t t2 f t ngh ch bi n nên P f t f 3 Xét hàm s Hàm s Thay f t V y giá tr l n nh t c a bi u th c P 1, d u " " x y x y z Câu 9: Cho a , b, c , a (4 a b) c(a b) Tìm GTNN : P 1 a b 1 b c 1 c a 16a 16bc 64a (Trích đ thi th l n 16 th y Quang Baby) Bài gi i a , b, c a (4 a b) c(a b) 4a a ac bc ab (a b)(a c) 16a 16bc 64a 16(ab ac) (1 a b)(1 c a )(1 b c) (1 6a b c)(1 b c) 6a 2b 2c 6a (b c) (b c) P 6a 2b 2c 6a (b c) (b c) 16(ab ac) (2a 4a ) (b c) 2b 2c 10a (b c ) [2a ] 4a (b c) 2b 2c 10a (b c) Vi : a , b, c [2a ] a (b c), 4a (b c) 4a (b c), 2b 2c 2a (b c ) P a (b c) 4a (b c) 2a (b c) 10a (b c) 5 Câu 10: Cho a , b, c 0;1 Ch ng minh r ng a b c abc bc ac ab (Trích đ thi th tr ng THPT Duy T n m 2012) Bài gi i Khơng làm m t tính t ng qt c a tốn, ta có th gi s : a b c a b c b c bc abc bc bc bc ac ab bc bc bc bc bc bc V y nên: A bc Ta có: 1 b 1 c bc b c bc bc 1 t t ab 1 t đó: f t t f ' t :1 t f t đ ng bi n 1; 2 t t f t max f a b c Ta có: A Câu 11: Cho x, y, z 0; 2 ; xy yz zx Tìm P x2 y2 z2 10 xy yz zx (Trích đ thi th tr Bài gi i Ta có: P x y z x2 y2 z2 96 2 x y3 z 96 x y3 z ng THPT ô L ng 1) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay i x2 y2 z2 x x y y z z x y z x y z ; x3 y3 x y , z z 96 Khi đo: P x y z x y z x y z t t x y z t P 5t 8t 48 Pmin 28 x 2, y z t a b 5c 6abc abc Câu 12: Cho a , b, c 1,3 , a b c Tìm Max P ab bc ca (Trích đ thi th tr ng THPT ng Thúc H a) Bài gi i Ta đánh giá: a 1 a a 1 a b b 1 b b 1 a b 5a 5b P a b2 c 6abc ab bc ca abc a 1 b 1 c 1 abc ab bc ca abc 3 a b c Ta l i có P 6abc 73 V y Pmax abc 10 Pmax a b 1, c abc a b 1, c Câu 13: Cho s th c a,b,c th a mãn: a 0,1 , b 0, 2 , c 0,3 Tìm Max P b 2(2ab bc ac) 8b 2a b 3c b c b(a c) 12a 3b2 27c (Trích đ thi th tr Bài gi i 1 a b c 2a b 3c 2ab ca bc b a c Ta có b c a b c PTa có: 2 12a 3b 27c P 2ab bc ca 2a b 3c b 8b 2ab bc ca 2ab bc ca 2ab bc ca t t 2ab bc ca t 2t 16 16 Pmax a 1, b 2, c 1 t t 7 16 V y Pmax a 1, b 2, c P ng THPT Anh S n 2) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Toán Không Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Câu 14: Cho x, y, z 0,1 Ch ng minh r ng P (1 Thay i 1 1 )( x y z) xyz x y z (Trích đ thi th tr ng THPT Ngơ S Liên) Bài gi i Ta có: x 1 y 1 xy x y 1 1 1 1 1 1 2 xy x y xy yz zx x y z 1 1 1 Ta có: P 1 x y z x y z x y z xy yz zx xyz x y z P 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z P x y z dpcm x y z x y z x y z D u b ng x y x y z Câu 15: Cho x, y, z 1, 4 , x y z Tìm : P z x2 y2 8( x2 y2 ) xyz Bài gi i P z x y 1 z x y z 2 2 xyz xyz xyz x y z xyz 8 x y 8 x y 2 2 x 1 y 1 xy x y z 2 x y z 10 z 26 Ta có: P z 1 z 10 z 26 z z z 2 z z2 45 z 117 0 Ta ch ng minh: P z z z2 10 z 26 MaxP x y 1, z Câu 16: Cho a , b, c 0,1 Tìm GTLN c a bi u th c: P a b c 2(1 a )(1 b)(1 c ) bc ac ab (Trích đ thi th l n th y ng Thành Nam) Bài gi i Gi s c b a Ta có: 1 a 1 b ab a b Ta s ch ng minh: 2a 2b 2c a b c 2bc a b; 2ca a b; 2ab a b bc a b ca a b ab a b a b c 1 a 1 b 1 c 1 a b a b c 1 c P 2 1 a b 1 a b a b 1 a b 1 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay i D u b ng x y a b c ho c a b 1, c ( hoán v ) 1 a b c (1 a )(1 b)(1 c) Câu 17: Cho a , b, c 0, Tìm P b c 1 a c 1 a b 1 2 (Trích đ thi th l n 11 th y Bài gi i 5 1 a b a b 5 8 1 a b a b 2 27 Áp d ng AM - GM ta có: c a a b 2 5 5 c a b b a c a 2 2 1 a 1 b 1 c Ta có P 8 b c 1 5 5 c a b b a c a 2 1 a 1 b 1 c t: f a 8 b c 1 Ta có: f a min f , f Ta có ) f bc 3 7 b c b c c g b 32 32 32 8 1 1 Do c 0, c 0; f g b g 32 2 8 2 bc 1 ) f 8 b c V y Pmin a bc Câu 18: Cho a , b, c 1,3 , a b c Tìm max P abc(a b3 c3 )2 Bài gi i Ta có: a b3 c3 a b c a b b c c a 216 18 ab bc ca 3abc Ta có: a 3 b 3 c 3 ab bc ca a b c 27 abc 27 abc P 3 ab bc ca 27 216 18 ab bc ca 3 ab bc ca 27 P ab bc ca 9 135 ab bc ca P 7776 V y Pmax 7776 a 1, b 2, c hoán v ng Thành Nam) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Câu 19: Cho a , b, c 1, 2 , a b c Thay i 14 Tìm GTLN c a: P a c 21b2 12(a b3 ) 28b2 25 Bài gi i a 21a 20 a 1 a a c 21c 20 14 Ta có: P 21 a b c 40 2 28 a b c 3a 7a 3c 7c 13 29 a 1 b 1 c 1 ab bc ca t a b c t: t a b c V i c b a Câu 20: Cho a b 2c ab bc ca Tìm Giá tr l n nh t c a bi u th c: a 2b 4c ab bc ca b2 ab bc 3ac 2a 4b 8c 18 P Bài gi i T giã thi t ta s có: b a b c b ca b a c b2 ab bc 3ac b ab bc 3ac ab bc ca ab bc ca 2 M t khác ta l i có: a 1 b 2 c 2a 4b 8c 18 a b2 2c ab bc ca Suy ra: 2 2a 4b 8c 18 ab bc ca T ta s có: P ab bc ca ab bc ca 2 2 4 ab bc ca 2 2 a b c D u b ng x y ch khi: Câu 21: Cho s th c x, y, z 0;1 z x, y, z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P y z x z yz 1 y y z xy xz yz (Trích đ thi th l n th y Quang Baby) L i gi i V i nh ng tốn có u ki n biên x, y, z 0;1 s tìm cách khai thác , d đốn m r i s là: x y 1, z T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay i có ch a xy xz yz m u , h ng t có th g i ý cho d n bi n xy xz yz v xy xz yz H nn av i Ta có: x, 0;1 Suy xx , Áp d ng B T ph Cô-Si ng y z x y z x z x x z x2 y z x x z D u b ng A = B > Do đ đoán m r i A B AB c ta có : x = y = , z = nên kh n ng x = x + z y = y + z hồn tồn có th x y Ta có: x2 y z yz 1 yz 2y z y y z 2 x y z 2x z x x z 2 x2 y z yz 1 xy yz xz 1 2 Do P xy xz yz x y z 2x z xy xz yz 2y z 2 A2 B2 ( A B)2 , x y x y V i u ki n: x, y, z 0;1 , ta ln có: 1 x1 x1 x xy yz xz xyz x y z x y z Suy P x y z xy xz yz Áp d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có: x2 y z x y z x2 y2 z2 xy xz yz Mà x, y, z 0;1 , x y z x2 y2 z2 xy xz yz Suy P 2( xy xz yz) AM GM xy xz yz x y z D u “=” x y c x; y; z 1;1;0 V y giá tr nh nh t c a P MinP đ t đ Câu 22: Cho hai s th c x, y th a mãn u ki n x 2; y Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P x 2y y 2x x y y 3x x y 1 (Trích đ thi đ i h c kh i D n m 2014) Bài gi i Do x nên x 1 x 0, ngh a x x T Suy P ng t y2 y x 2y y 2x x y 3x y 3x y x y 1 x y x y 1 t t x y, suy t Xét f t t , v i t t t 1 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Ta có f ' t t 1 t 1 Thay i Suy f ' t t 11 53 7 ; f 3 ; f nên f t f 3 Do P 12 60 8 x 7 Khi x 1, y P V y Pmin 8 y Mà f Câu 23: Cho s th c a , b, c thu c đo n 1;3 th a mãn u ki n a b c Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P a 2b b c c a 12abc 72 abc ab bc ca (Trích đ thi thpt qu c gia n m 2015) Bài gi i 2 2 t t ab bc ca Ta có: 36 a b c a b b c c a 3t 3t Suy t 12 M t khác a 1 b 1 c 1 nên abc ab bc ca t 5; a b c nên 3t ab bc ca abc 27 t 22 Suy t 11 Khi P a 2b b 2c c a 12abc 72 abc ab bc ca ab bc ca 72 abc t 72 t t 5t 144 ab bc ca t 2 2t t 144 t 5t 144 Xét hàm s f t v i t 11;12 Ta có f ' t 2t 2t Do f ' t 0, t 11;12 , nên f ' t ngh ch bi n 11;12 Suy f t f 11 160 160 160 Do P Pmax a 1, b 2, c hoán v c a chúng 11 11 11 Câu 24: Cho x, y, z 1;3 Tìm Giá tr nh nh t c a bi u th c: 10 4608 P x y2 3z2 y z x y xy z Bài gi i a , b, c 1; 2 Tìm Giá tr nhó nh t c a bi u th c: a b c Câu 25: Cho P c 1 2abc 10c a b c 1 a b 1 13 4c 13 (Trích đ thi th l n 19 th y Quang Baby) Bài gi i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Qstudy.vn H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Thay i Câu 26: Cho a , b, c s th c thu c đo n 1; 4 th a mãn a b 2c Tìm GTLN c a P a b3 5c3 Bài gi i Ta có : (a 1)(b 1) ab (a b) 2c Khi : P a b3 5c3 (a b)3 3ab(a b) 5c3 (8 2c)3 3(7 2c)(8 2c) 5c3 L i có : a b 2c 2c (a b) (1 1) c Xét : f (c) (8 2c)3 3(7 2c)(8 2c) 5c3 v i c 1;3 f '(c) 9c 168c 294 a b BBT f (c)max max f (1); f (3) f (3) 137 c Câu 27: cho cac sô không âm a,b,c cho a , c [0;1] va ab bc ca tim gia tri nho nhât cua: P a (b c) c(a b) 3(a c) 2b b 2c b 2a 4(ac 3) (Trích đ th y M n Ng c Quang) Bài gi i a (b c) c(a b) 2ac(a b c) a c L u y la : m t khac: b 2c b 2a (b 2a )(b 2c) (b 2a )(b 2c) b 2b(a c) 4ac (b 2) 4b 2(ab bc ca ) 2ac 4b 2ac ac(b ac 1) a (b c) c(a b) a c 2b ac b 2c b 2a ac(b ac 1) ac ac(1 ac) (a 1)(c 1) Ma: a c 2b ac 2(2b ac 3) ac ac(1 ac)(2b ac 3) ac(1 ac) (a 1)(c 1) tiêp theo ta co đanh gia: 4(2b ac 3)(ac 3) 4(ac 3) Va a b c b ac (a 1)(c 1) ac b đo ac (a c 2) a c a c 2(2 a c ) 2(2 b c ) đo a c a c a c (2 a c) (b a c) (b a c) (1 a )(1 c) m t khac dê thây ac a c 1 nên: 16 4(ac 3) ba c (1 ac)(2b ac 3) 2(2 a c)(b a c) (b a c) => ac(1 ac)(2b ac 3) (b a c)2 4(2b ac 3)(ac 3) 4(ac 3) Lai co: 3(a c)2 2b2 4(ab bc ca 2) (b a c)2 (a c)2 28 2(b a c) T nh ng đanh gia ta co : P (ac 2) ac(1 ac) (b a c) 14 (b a c) (ac 2) ac(1 ac) 4(ac 3) 2(ac 3) 2(ac 3) 4(ac 3) ac T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn = Thay 13 (ac 1) 13 13 P= a=c=1 va b=2 4(ac 3) 4 Câu 28: Cho cac sô th c x, y, z 1,3 tim max P x y x y 18 z ( x y)(3z 3) z Bài gi i x y 18 z 3( x y)( z 1) (3 z x)(3 x) (3z y)(3 y) x2 y2 18 z 3( x y)( z 1) 2 x y 1 1 P 3( x y)(z 1) 3( x y)( z 1) z 3( z 1) z 3 2 1 1 : x y 3; z max P 3 Câu 29: Cho x, y, z s th c d P ng th a mãn x, y, z 1; 2 Tìm Giá tr nh nh t c a bi u th c: xyz x y 3 x3 x2 z2 xy2 x x2 xz Bài gi i T gi thi t ta có: x 1 x x 3 x x (1) T gi thi t ta l i có: y 1 y x 3 xy2 x 3x x y 3 (2) T (1) (2) ta có: P 1 xz x2 z2 x z x z x z x z MinP= " " x; y; z 1;1;1 ; 1; 2;1 x, y, z Câu 30: Cho xy Tìm Giá tr nh nh t c a bi u th c: 4 z2 x y x2 y2 xy P z z z z xy z2 z xy xy z xyz Bài gi i T gi thi t ta s có: z2 x y 1 x2 y2 xy xy 1 xy z2 x y x y z2 z x y z T ta suy ra: xy 1 z 1 xyz xy z T ta s có: z xy z2 xyz xy z xy xy xy z xyz z xy z Áp d ng (*) ta s có P 1 z xyz * z z xy xy 2 z z z z xy xy xy 1 xy xyz z xy xy xy z i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Xét hàm xy>=1 MinP=3, d u b ng x=y=z=1 x, y, z 0;1 Tìm Giá tr nh nh t c a bi u th c: xy yz zx Câu 31: Cho x y z 3 x2 y2 z2 x2 y2 z2 P ln x y z xyz Bài gi i T gi thi t ta s có: x 1 y 1 z 1 xyz x y z xyz xyz xyz x y z x y z x y z x2 y2 z2 xyz xyz 2 M t khác ta có: x y z x y z x2 z2 x y z x y z 3 x y z x y z 2 x y z 4( x y z) x y z x y z x y z T ta s có: P ln x y z x y z xy yz zx x y z xyz x y z Xét hàm x y ( hoán v ) z Suy P= ln d u b ng Câu 32: Cho cac sô th c a , b, c ;1 Tim gia tri l n nhât cua : 3 9(ab) 16b c 6a 6b P 2 2 a 3b c 2a 4b c 18ab 9a 9b Bài gi i Ap dung Bđt am_gm va cauchy_schwart ta co 16b c (2b c 1) va 9(ab) (a b 1) 2 Do đo P a b 1 a 3b c 2 2b c 1 6a 6b 2a 4b c 18ab 9a 9b 2 a b 1 a2 b2 M t khác ta có 2 2 a b b c b a 3b2 c Thay i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn (2b c 1) b2 c2 b2 2 2 2 2 2a 4b c a b b c 2b a 1 1 6a 6b Do đo P m t khac v i moi a,b d ng va a b 18ab 9a 9b 1 (ab 1)(a b)2 đung ngoai l u y r ng : a b2 ab (ab 1)(a 1)(b2 1) Thay i Và ta co: 18ab 9a 9b 2(3a 2)(3b 2) (3a 2) (3b 2) đo: 2 6a 6b 3a 3b 1 18ab 9a 9b 2 3a 3b suy P (3a 2)(3b 2) t cac đanh gia (3a 2)(3b 2) 2 (3a 2)(3b 2) 2 tiêp theo t (a 1)(a 2) a 3a t ab (3a 2)(3b 2) nhân vê vê suy ab 3a 3b t kêt luân P ng t b 3b dâu=khi a=b=c=1 Câu 33: Cho x, y, z 0; 2 th a mãn x y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 1 xy yz zx 2 x y y z z x2 2 Bài gi i Ta có x2 y2 x2 1 y2 1 x y ,….; 1 1 xy xy ,… Nên P xy yz zx 3 x y y z z x Ta có x y z xy yz zx xyz x y z xy yz zx x y y z y z z x x y z x x y y z z x x y z xy yz zx xyz 1 x y y z z x x y y z z x x y z xy yz zx x y z xy yz zx 27 x y y z z x x y z xy yz zx xy yz zx 1 27 27 xy yz zx xy yz zx 8 Suy P t t xy yz zx Do x, y, z 0; 2 x y z xy yz zx M t khác: xy yz zx x y z t V y t 2;3 xyz 2t 2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay 27 27 Ta có P t f t 8t Xét hàm s 8 f t v i t 0; 2 ta có f ' t 27 8t 27 t t 2;3 nên hàm s 8t 16t f t đ ng bi n 2;3 f t f 3 15 15 15 x y z Do P f t P Có P 4 15 V y giá tr nh nh t c a P đ t đ c x y z Câu 34: Cho a, b, c ba s thu c đo n [0; 1] Ch ng minh: a b c (1 a )(1 b)(1 c ) b c 1 a c 1 a b 1 Bài gi i Do vai trò a, b, c nh nên gi s a b c, đó: t S a b c b c S a S c; a c S c ; a b S c Ta có 1 a 1 b 1 a b 1 a b ab 1 a b b a b a 1 a (đúng) 1 c 1 a 1 b 1 c Sc Sc 1 c S c a b c a b c 1 a 1 b 1 c 1 Do b c 1 a c 1 a b 1 Sc Sc Sc Sc Sc Mà 1 a 1 b S c 1 a 1 b Câu 35: Cho s th ca, b, c thu c [4; 6] th a mãn u ki n a + b + c = 15 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: a 2b b c c a 30abc 180 P abc 20 ab bc ca Bài gi i Ta có ab bc ca a b b c c a 2abc a b c a 2b2 b2 c c a 30abc 2 ab bc ca 2 180 2 t t ab bc ca abc ab bc ca 20 Ta có a b c abc 16 a b c ab bc ca 64 abc 4t 176 Do P t 180 44 180 44 t t t t 5 Ta có a b c abc 36 a b c ab bc ca 216 abc 6t 324 P abc 4t 176 4t 176 6t 324 t 74 abc 6t 324 K th p 2 2 Ta có 152 a b c a b c ab bc ca a b b c c a ab bc ca i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay 152 3t t 75 t 74;75 180 44 180 4t 900 t ; f ' t t 15 v i t 74;75 f ' t t 5 t 5t f t f 15 35 a 4, b 5, c f t Xét hàm s Câu 36: Cho x, y, z 0; 2 th a mãn x y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 1 xy yz zx 2 x y y z z x2 2 Bài gi i Ta có: x2 y2 x2 1 y2 1 x y , ; xy 1 1 xy , Nên P xy yz zx 3 x y y z z x Ta có x y z xy yz zx 9xyz x y z xy yz zx x y y z y z z x x y z x x y y z z x x y z xy yz zx xyz 1 x y y z z x x y z xy yz zx x y y z z x x y y z z x x y z xy yz zx x y z xy yz zx 1 27 27 Suy P xy yz zx xy yz zx 8 t t xy yz zx 27 xy yz zx Do x, y, z 0; 2 x y z xy yz zx xyz 2t 2 M t khác: xy yz zx x y z t V y t 2;3 27 27 Ta có P t f t 8t 8 1 27 8t 27 Xét hàm s f(t) v i t 0; 2 ta có f ' t t 8t 16t 2;3 f t f 3 15 15 15 Có P x y z 4 15 đ t đ c x y z V y giá tr nh nh t c a P Do P f t P 0t 2;3 nên hàm s f(t) đ ng bi n i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com H c Tốn Khơng Ti n B , H c Th y Quang Qstudy.vn Thay Câu 36: Cho s th c x, y, z thu c đo n [1;4] th a mãn x y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c T z x2 y2 xyz x2 y2 Bài gi i Ta có T z x y 1 z x2 y2 2 2 xyz xyz xyz 8 x y 8 x y 2 x2 y2 2 xy 1 1 x 1 y 1 xy x y xy x y z xyz z z V i x, y, z thu c đo n [1;4] th a mãn x + y +z = ta có x2 y2 x y xy z xy z z z2 10 z 36 T 2 z z2 10 z 26 z z z 2 z z z 45 z 117 0z 1; 4 Xét hi u 2 z 10 z 26 z z z z z z 10 z 26 1 Do T V i x y 1, z T 2 V y giá tr nh nh t c a T MinT i
Ngày đăng: 10/08/2016, 14:40
Xem thêm: toanmath com phân dạng các bài toán bất đẳng thức và min max mẫn ngọc quang, toanmath com phân dạng các bài toán bất đẳng thức và min max mẫn ngọc quang