NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Bài giảng điện tử Nguyễn Hồng Lộc Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2013 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Đặt vấn đề Trong thực hành, thường gặp hàm số y = f (x) mà biểu thức giải tích cụ thể f chúng Thông thường, ta biết giá trị y0 , y1 , , yn hàm số điểm khác x0 , x1 , , xn đoạn [a, b] Các giá trị nhận thông qua thí nghiệm, đo đạc, Khi sử dụng hàm trên, nhiều ta cần biết giá trị chúng điểm không trùng với xi (i = 0, 1, , n) Để làm điều đó, ta phải xây dựng đa thức Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 thỏa mãn Pn (xi ) = yi , i = 0, 1, 2, , n Định nghĩa Pn (x) gọi đa thức nội suy hàm f (x), điểm xi , i = 0, 1, 2, , n gọi nút nội suy Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Về mặt hình học, có nghĩa tìm đường cong y = Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 qua điểm Mi (xi , yi ), i = 0, 1, 2, , n biết trước đường cong y = f (x) Định lý Tồn đa thức bậc nhỏ n qua n + điểm phân biệt cho trước Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Chứng minh: Giả sử ta có đa thức bậc n: Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n , đa thức qua n + điểm (xi , yi ), i = 0, 1, , n Do đó: Pn (xi ) = a0 + a1 xi + a2 xi2 + + an xin = yi , i = 0, 1, , n Xem a0 , a1 , , an biến, ta hệ gồm n + phương trình n + biến, với định thức ma trận hệ số: det(A) = x0 x02 x0n x1 x12 x1n xn xn2 x0n (xi − xj ) = i>j Vì điểm phân biệt nên xi = xj ⇒ det(A) = 0, hệ có nghiệm Kết luận: Mọi phương pháp nội suy đa thức có kết Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Ví dụ Xây dựng đa thức nội suy hàm số y = f (x) xác định x y -1 Giải Đa thức nội suy có dạng y = P(x) = a2 x + a1 x + a0 Thay điểm (xi , yi )(i = 1, 2, 3) vào đa thức ta hệ    0.a2 + 0.a1 + a0 =  a0 = 1.a2 + 1.a1 + a0 = −1 ⇔ a1 = − 19   9.a2 + 3.a1 + a0 = a2 = 76 19 Vậy đa thức nội suy P(x) = x − x + 6 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Lagrange Cho hàm số y = f (x) xác định sau: x x0 x1 x2 xn y y0 y1 y2 yn Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f (x) đoạn [x0 , xn ], n n Đa thức nội suy Lagrange có dạng sau Ln (x) = pnk (x).yk , k=0 pnk (x) = (x − x0 )(x − x1 ) (x − xk−1 )(x − xk+1 ) (x − xn ) (xk − x0 )(xk − x1 ) (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) (xk − xn ) Lagrange xây dựng đa thức bậc n với sở n đa thức bậc n: pnk (x) yk tọa độ tương ứng Chú ý: pnk (xk ) = 1; pnk (xi ) = 0, i = k ⇒ Ln (xk ) = yk Đa thức qua điểm (xk , yk ) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Lagrange Ví dụ Xây dựng đa thức nội suy Lagrange hàm số y = sin(πx) nút nội suy x0 = 0, x1 = 16 , x2 = 21 Giải x 16 12 y = sin(πx) 12 Công thức nội suy Lagrange hàm số y L2 (x) = x(x − 61 ) (x − 61 )(x − 21 ) x(x − 12 ) + + = x − 3x 1 1 1 (0 − )(0 − ) 6(6 − 2) ( − ) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Lagrange Đặt ω(x) = (x − x0 )(x − x1 ) (x − xk−1 )(x − xk )(x − xk+1 ) (x − xn ) ω(x) Khi pnk (x) = ω (xk )(x − xk ) Đa thức nội suy Lagrange trở thành n y n yk k = ω(x) , với Ln (x) = ω(x) ω (x )(x − x ) D k k k=0 k k=0 Dk = ω (xk )(x − xk ) x x0 x1 xn x0 x − x0 x0 − x1 x0 − xn D0 x1 x1 − x0 x − x1 x1 − xn D1 xn xn − x0 xn − x1 x − xn Dn ω(x) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Lagrange Ví dụ x Sử dụng đa thức y 1 -1 Lagrange tính gần giá trị hàm số y x = Cho hàm số y xác định Giải x =2 2−0 1−0 3−0 4−0 0−1 2−1 3−1 4−1 Do y (2) ≈ L3 (2) = Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) 0−3 1−3 2−3 4−3 0−4 1−4 3−4 2−4 D0 = (2 − 0)(0 − 1)(0 − 3)(0 − 4) = −24 D1 = (1 − 0)(2 − 1)(1 − 3)(1 − 4) = D2 = (3 − 0)(3 − 1)(2 − 3)(3 − 4) = D3 = (4 − 0)(4 − 1)(4 − 3)(2 − 4) = −24 ω(x) = (2 − 0)(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4) = 1 −1 + + + = −24 6 −24 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Newton Tỉ sai phân Cho hàm số f (x) xác định sau x x0 x1 x2 xn đoạn [a, b] = [x0 , xn ] y y0 y1 y2 yn Định nghĩa Trên đoạn [xk , xk+1 ] ta định nghĩa đại lượng f [xk , xk+1 ] = yk+1 − yk yk − yk+1 = = f [xk+1 , xk ] xk+1 − xk xk − xk+1 gọi tỉ sai phân cấp hàm đoạn [xk , xk+1 ] Tương tự ta có tỉ sai phân cấp hàm đoạn [xk , xk+2 ] f [xk , xk+1 , xk+2 ] = f [xk+1 , xk+2 ] − f [xk , xk+1 ] xk+2 − xk Quy nạp ta có tỉ sai phân cấp p hàm đoạn [xk , xk+p ] f [xk , xk+1 , , xk+p ] = Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) f [xk+1 , xk+2 , , xk+p ] − f [xk , xk+1 , , xk+p−1 ] xk+p − xk NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 10 / 35 Spline bậc Spline tự nhiên: c0 = cn =   0     h1 2(h1 + h2 ) 0     A=      2(hn−3 + hn−2 )   0 hn−2 0 hn−2 2(hn−2 + hn−1 )   y2 − y1 y1 − y0   −3 c1   h h    .Từ AC = B → C =  B=      yn − yn−1 yn−1 − yn−2  cn−1 −3 h h n−1 n−2   ak = yk    b = yk+1 −yk − hk (c k k+1 + 2ck ) hk ck+1 −ck  dk = 3h    g (x) = ak + b (x − x ) + c (x − x )2 + d (x − x )3 , x ≤ x ≤ x k k k k k k k k k k+1 2(h0 + h1 ) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) h1 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 21 / 35 Spline bậc Ví dụ Xây dựng Spline bậc tự nhiên nội suy bảng số x y Xấp xỉ giá 1 trị hàm x = Spline tự nhiên : c0 = c2 = ; A = [2(h0 + h1 )] ; y1 − y0 y2 − y1 −3 ];AC = B → C = [c1 ] = 10 B = [3 h1 h0 1 a0 = 1, b0 = − 51 , d0 = 20 ; a1 = 1, b1 = 25 , d1 = − 30 Vậy spline cần tìm: g (x) = − 15 (x − 0) + + 52 (x − 2) + 20 (x 10 (x Vậy y (3) ≈ g (3) = + 25 (3 − 2) + Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) − 0)3 − 2)2 − 10 (3 30 (x − 2)2 − NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM x ∈ [0, 2] − 2)3 , x ∈ [2, 5] 30 (3 − 2)3 = 1.6667 TP HCM — 2013 22 / 35 Spline bậc Spline ràng buộc: g (x0 ) = α, g (xn ) = β   2h0 h0 0  h0 2(h0 + h1 ) h1 0       h1 2(h1 + h2 ) 0    A=         0 2(hn−2 + hn−1 ) hn−1  0 hn−1 2hn−1   y1 − y0 − 3α     h0   c0 y − y y − y 1   −3    c1  h1 h0         B= Từ AC = B → C =     y −y    y − y  n n−1 n−1 n−2   cn−1  −3     hn−1 hn−2 cn   yn − yn−1 3β − hn−1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 23 / 35 Spline bậc Spline ràng buộc(n=2): x x0 x1 x2 y y0 y1 y2     2h0 h0  A =  h0 2(h0 + h1 ) h1 ; B =    h1 2h1 y1 − y0 − 3α h0 y2 − y1 y1 − y0 −3 h1 h0 y2 − y1 3β − h1       T AC  = B ⇒ C = (c0 ; c1 ; c2 )   ak = yk bk = yk+1hk−yk − h3k (ck+1 + 2ck )   d = ck+1 −ck k 3hk a0 + b0 (x − x0 ) + c0 (x − x0 )2 + d0 (x − x0 )3 , x0 ≤ x ≤ x1 g (x) = a1 + b1 (x − x1 ) + c1 (x − x1 )2 + d1 (x − x1 )3 , x1 ≤ x ≤ x2 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 24 / 35 Spline bậc Ví dụ x thỏa y điều kiện y (1) = 2, y (4) = Xấp xỉ giá trị hàm x = 1.5và x =      77  −9 − 12  ⇒ C =  23  h0 = 1, h1 = ; A =  ; B =  21 − 92 − 73 24 55 a0 = 2, b0 = 2, d0 = 41 12 ; a1 = 1, b1 = − 12 , d1 = − 48 Vậy spline cần tìm: Xây dựng Spline bậc ràng buộc nội suy bảng số g (x) = 77 + 2(x − 1) − 12 (x − 1)2 + 41 x ∈ [1, 2] 12 (x − 1) 23 55 − 12 (x − 2) + (x − 2) − 48 (x − 2)3 , x ∈ [2, 4] Vậy: y (1.5) ≈ g (1.5) = + ∗ 0.5 − 77 12 ∗ 0.5 + 23 55 y (3) ≈ g (3) = − 12 + − 48 = 3.1042 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) 41 12 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM ∗ 0.53 = 1.8230 TP HCM — 2013 25 / 35 Spline bậc Bài tập x 1.3 1.6 2.3 Sử dụng spline bậc g (x) thỏa điều y 2.2 4.3 6.6 kiện g (1.3) = 0.3, g (2.3) = 0.5 nội suy bảng số để xấp xỉ giá trị hàm x = 1.4 x = 2.1 Cho bảng số Giải g (1.4) = 2.5656, g (2.1) = 6.4460 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 26 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trong mặt phẳng xOy cho tập hợp điểm Mk (xk , yk ), k = 1, 2, , n, có điểm nút xi , xj khác với i = j n lớn Khi việc xây dựng đường cong qua tất điểm ý nghĩa thực tế Chúng ta tìm hàm f (x) đơn giản cho thể tốt dáng điệu tập hợp điểm Mk (xk , yk ), k = 1, 2, , n, không thiết qua tất điểm Phương pháp bình phương bé giúp ta giải vấn đề Nội dung phương pháp tìm cực tiểu phiếm hàm n (f (xk ) − yk )2 → g (f ) = k=1 Dạng đơn giản thường gặp thực tế f (x) f (x) = A + Bx, f (x) = A + Bx + Cx , Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 27 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx Khi n (A + Bxk − yk )2 g (A, B) = k=1 Bài toán quy việc tìm cực tiểu hàm biến g (A, B) Tọa độ điểm dừng hàm xác định hệ phương trình  n n  ∂  (A + Bxk − yk )2 = (A + Bxk − yk ) =  ∂A    ∂ ∂B n k=1 (A + Bxk − yk )2 n k=1 n     nA + n    Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) (A + Bxk − yk )xk = =2 k=1 ⇔ k=1 n xk k=1 n xk B= k=1 A+ k=1 xk2 B = NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM n yk k=1 xk yk k=1 TP HCM — 2013 28 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Ví dụ Tìm hàm f (x) = A + Bx xấp xỉ tốt bảng số x 1 2 3 y 2 4 5 n yk = 39, xk = 29, k=1 n n n Giải Ta có n = 10 k=1 k=1 xk2 = 109, xk yk = 140 Hệ phương trình để xác định A, B có dạng k=1 10A + 29B = 39 ⇔ 29A + 109B = 140 A = 0.7671 B = 1.0803 Do đường thẳng cần tìm f (x) = 0.7671 + 1.0803x Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 29 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx Khi n (A + Bxk + Cxk2 − yk )2 g (A, B, C ) = k=1 Bài toán quy việc tìm cực tiểu hàm biến g (A, B, C ) Tọa độ điểm dừng hàm xác định hệ phương trình                ∂ ∂A ∂ ∂B ∂ ∂C n n (A + Bxk + Cxk2 − yk )2 = k=1 (A + Bxk + k=1 n Cxk2 − yk )2 n Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) (A + Bxk + Cxk2 − yk ) = k=1 (A + Bxk + Cxk2 − yk )xk = =2 (A + Bxk + Cxk2 − yk )2 = k=1 n k=1 n (A + Bxk + Cxk2 − yk )xk2 = k=1 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 30 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm ⇔                n n xk nA + n n xk k=1 n k=1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) k=1 A+ xk2 A + B+ k=1 n k=1 xk2 B + xk3 B + n k=1 k=1 n k=1 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM xk2 C = xk3 C = xk4 C = n n yk k=1 xk yk k=1 n k=1 xk2 yk TP HCM — 2013 31 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Ví dụ Tìm hàm f (x) = A + Bx + Cx xấp xỉ tốt bảng số x 1 3 y 4.12 4.18 6.23 8.34 8.38 12.13 18.32 Giải Hệ phương trình để xác định A, B, C có dạng   7A + 19B + 65C = 61.70  A = 4.30  19A + 65B + 253C = 211.04 ⇔ B = −0.71   65A + 253B + 1061C = 835.78 C = 0.69 Do hàm số cần tìm f (x) = 4.30 − 0.71x + 0.69x Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 32 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = Ag (x) + Bh(x) Khi n (Ag (xk ) + Bh(xk ) − yk )2 g (A, B) = k=1 Bài toán quy việc tìm cực tiểu hàm biến g (A, B) Tọa độ điểm dừng hàm xác định hệ phương trình  n n  = 2g (x )  ∂ (Ag (x ) + Bh(x ) − y ) (Ag (xk ) + Bh(xk ) − yk ) =  k k k k ∂A    ∂ ∂B k=1 n (Ag (xk ) + Bh(xk ) − yk )2 k=1 n ⇔        (Ag (xk ) + Bh(xk ) − yk ) = = 2h(xk ) k=1 k=1 n g (xk ) A + k=1 n n n g (xk )h(xk ) B = k=1 n g (xk )h(xk ) A + k=1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) h2 (xk ) B = k=1 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM g (xk )yk k=1 n h(xk )yk k=1 TP HCM — 2013 33 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Ví dụ Tìm hàm f (x) = A cos x + B sin x xấp xỉ tốt bảng số x 10 20 30 40 50 y 1.45 1.12 0.83 1.26 1.14 Giải A = −0.1633; B = 0.0151 Hàm cần tìm f (x) = −0.1633 cos x + 0.0151 sin x Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 34 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Bài tập x 0.7 1.2 1.3 1.6 Sử dụng phương pháp bình y 3.3 4.5 2.2 6.1 √ phương bé nhất, tìm hàm f (x) = A x + B cos x xấp xỉ tốt bảng số Cho bảng số Giải A = 3.8784, B = −1.3983 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 35 / 35 [...]... )(x − xn ) + + f [x0 , x1 , , xn ](x − x1 )(x − x2 ) (x − xn ) Do tính duy nhất của đa thức nội suy, ta có với cùng 1 bảng số thì (1) (2) Ln (x) = Nn (x) = Nn (x) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 13 / 35 Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton Ví dụ Xây dựng đa thức nội suy Newton xk 1.0 f (xk ) 0.76 f [xk , xk+1 ] 0.62−0.76 1.3−1 1.3 1.6 1.9... 27 (x − 1.9)(x − 1.6)(x − 1.3) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 14 / 35 Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton Ví dụ Cho bảng giá trị của hàm số y = f (x) x 0 2 3 5 6 y 1 3 2 5 6 1 Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của hàm số y = f (x) 2 Dùng đa thức nội suy nhận được tính gần đúng f (1.25) Giải xk f (xk ) 0 1 Tỉ sai phân I Tỉ... HÀM TP HCM — 2013 16 / 35 Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton Bài tập x 0.1 0.3 0.6 0.9 sử dụng nội suy đa thức xấp xỉ y 2.6 3.2 2.8 4.3 đạo hàm cấp một của hàm tại x = 0.5 Cho bảng số Giải y (0.5) ≈ −1.7194 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 17 / 35 Spline bậc 3 Đặt vấn đề Việc xây dựng một đa thức đi qua các điểm nội suy cho trước trong trường hợp... Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 15 / 35 Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton Như vậy công thức nội suy Newton tiến là 3 2 (1) N4 (x) = 1 + 1.x + (− )x(x − 2) + x(x − 2)(x − 3) 3 10 11 x(x − 2)(x − 3)(x − 5) = 120 11 4 73 3 601 2 413 =− x + x − x + x + 1 120 60 120 60 − (1) f (1.25) ≈ N4 (1.25) ≈ 3.9312 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP... điệu) và đạo hàm cấp 2(khảo sát tính lồi,lõm) do vậy trong phần này chúng ta chỉ xét công thức nội suy spline bậc 3 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 18 / 35 Spline bậc 3 Định nghĩa x x0 x1 x2 xn , Một spline bậc 3 nội y = f (x) y0 y1 y2 yn suy hàm f (x) trên [x0 ; xn ] là hàm g (x) thỏa mãn các điều kiện sau: (a) g (x) đi qua các điểm nội suy: g (xk ) = yk (b) g (x)... không nhất thiết đi qua tất cả các điểm đó Phương pháp bình phương bé nhất giúp ta giải quyết vấn đề này Nội dung của phương pháp là tìm cực tiểu của phiếm hàm n (f (xk ) − yk )2 → min g (f ) = k=1 Dạng đơn giản thường gặp trong thực tế của f (x) là f (x) = A + Bx, f (x) = A + Bx + Cx 2 , Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 27 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp... TPHCM) 41 12 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM ∗ 0.53 = 1.8230 TP HCM — 2013 25 / 35 Spline bậc 3 Bài tập x 1.3 1.6 2.3 Sử dụng spline bậc 3 g (x) thỏa điều y 2.2 4.3 6.6 kiện g (1.3) = 0.3, g (2.3) = 0.5 nội suy bảng số trên để xấp xỉ giá trị của hàm tại x = 1.4 và x = 2.1 Cho bảng số Giải g (1.4) = 2.5656, g (2.1) = 6.4460 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 26 / 35 Bài toán xấp xỉ... xn−1 )(x − xn ) ta được (1) f (x) = Nn + Rn (x) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 12 / 35 Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton Định nghĩa (1) Công thức Nn (x) được gọi là công thức Newton tiến xuất phát từ điểm nút x0 của hàm số f (x) và Rn (x) được gọi là sai số của đa thức nội suy Newton Tương tự, ta có thể xây dựng công thức Newton lùi xuất phát từ... k=1 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM g (xk )yk k=1 n h(xk )yk k=1 TP HCM — 2013 33 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Ví dụ Tìm hàm f (x) = A cos x + B sin x xấp xỉ tốt nhất bảng số x 10 20 30 40 50 y 1.45 1.12 0.83 1.26 1.14 Giải A = −0.1633; B = 0.0151 Hàm cần tìm là f (x) = −0.1633 cos x + 0.0151 sin x Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 34 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Bài. .. 1.0 0.76 x y = − 61 −17 − −17 30 30 1.9−1.3 1.3 0.62 1.6 0.45 1.9 0.28 f [xk , xk+1 , xk+2 , xk+3 ] 0− −1 6 1.9−1 = 5 27 =0 0.28 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 11 / 35 Đa thức nội suy Newton Công thức của đa thức nội suy Newton Theo định nghĩa tỉ sai phân cấp 1 của f (x) trên đoạn [x, x0 ] là f (x) − y0 ⇒ f (x) = y0 + f [x, x0 ](x − x0 ) Lại áp dụng định f [x, x0 ] = x