BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Tham số hóa đường cong không gian sau Giao tuyến mặt phẳng z = 2y paraboloid z = x2 + y Giao tuyến trụ z = x2 trụ x2 + y = Giao tuyến mặt cầu x2 + y + z = mặt phẳng y = x Giao tuyến mặt cầu z = − x2 − y trụ x2 + y = 2x Giao tuyến paraboloid z = 2x2 + y mặt phẳng x + y = 1, lấy miền x ≥ 0, y ≥ Tính tích phân đường loại sau x2 + y dl, C phần tư đường tròn x2 + y = 2x từ (0, 0) đến (1, −1) C xdl, C cung parabol y = − x2 từ (0, 1) đến (−1, 0) C x − 2y √ dl C cung parabol , y = − x2 từ A(1, 0) đến B(−2, −3) + 4x2 I = C x2 dl, C đường cong y = ln x, ≤ x ≤ e I = C zdl, C giao tuyến nón z = C √ (0, 0, 0) đến (2, 2, 2) x2 + y trụ y = (zy − 2x)dl C giao tuyến mặt nón z = √ 2x, từ điểm từ x2 + y mặt phẳng y = x C lấy phần nằm mặt phẳng z = 3 Tính độ dài đường cong sau C cung parabol y = − x2 , −1 ≤ x ≤ 2 C cung cycloid x = 2(t − sin t), x = 2(1 − cos t), ≤ t ≤ π Tính tích phân đường loại hai theo cách tham số hóa đường cong I = (x + y)dx + (x − y)dy , C cung parabol y = 2x2 + x − 1, từ A(1, 2) C đến B(−3, 14) (1,−1) (x (−2,0) I = + y )dx + ydy, theo phần đường tròn x2 + y = −2y xydx − (x2 + y − 2x)dy, C nửa đường tròn (x − 1)2 + y = 4, I = C lấy ngược chiều kim đồng hồ √ x2 dx + xdy, C cung ellipse 3x2 + y = 9, từ điểm ( 3, 0) đến giao C √ điểm với đường y = 3x, lấy theo chiều KĐH I = I = (2x2 + y)dx − xdy, C biên miền D, giới hạn y = x2 − 2x, y = x, C lấy theo chiều kim đồng hồ x2 zdx + 2zdy − (x + y)dz, C giao tuyến 2mặt phẳng z = 3, x + y = từ I = C A(1, 0, 3) đến B(−1, 2, 3) x2 + y z mặt phẳng y = x, arctan dy, C giao tuyến paraboloid z = x C lấy phần z ≤ 3, ngược chiều KĐH nhìn từ Ox+ I = (x + y)dx + zdz, C giao tuyến trụ x2 + y = 2x mặt phẳng z = x, C lấy ngược chiều KĐH nhìn điểm (1, 0, 0) Tính tích phân sử dụng công thức Green định lý tích phân không phụ thuộc đường (3x − 2y)dx + (2x2 − 9y)dy, với C biên miền D : y = x2 − 2x, y = x, lấy ngược C chiều KĐH x3 y C lấy ngược chiều kim đồng hồ 3x2 (1 + ln y)dx − 2xy − dy, C đường tròn (x − 1)2 + (y − 1)2 = , y3 dx + (x2 + y ) dy, C biên định hướng âm miền D : x2 + y ≤ 2x, y ≥ 2xy + x2 y + xdy − y(1 + xy)dy, C nửa đường tròn x2 + y = 2y, từ điểm (2, 0) đến C điểm (0, 0) theo chiều kim đồng hồ x 2xy + e y dx + − C x y x e y dy, với C cung parabol y = − x2 từ điểm (−1, 3) đến điểm (1, 3) x 2x + e y dx + − C x y x e y dy, với C cung parabol y = − x2 từ điểm (−1, 3) đến điểm (0, 4) C x2 x y π π dy − dx, C cung y = cos x, x : − → 2 +y x +y 2 ex cos ydx+(−2xy−ex sin y)dy, với C biên tam giác ABC, O(−2, 0), B(1, −1), C(1, 1), C lấy ngược chiếu kim đồng hồ 6 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc đường Tìm số tự nhiên m, n để tích phân sau không phụ thuộc đường đi: xm y n+1 (3 − 2xy )dx + xm+1 y n (4 − 3xy )dy I= C Với m, n vừa tìm được, tính tích phân từ (−2, 3) đến (2, −1) Tìm hàm sô h = h(x) thỏa h(0) = để tích phân sau không phụ thuộc đường đi: y3 h(x)dx + (x2 + y ) h(x)dy C Với m, n vừa tìm được, tính tích phân từ (0, 0) đến (3, 1) 2xy + x2 y + I= Tìm hàm sô h = h(x2 + y ) để tích phân sau không phụ thuộc đường đi: (x − y) hdx + (x + y) hdy I= C