Chương 1: Biến cố xác suất Biến cố, hiểu đơn giản kiện xảy không xảy Các kí hiệu: Kí hiệu A biến cố _ _ A biến cố đối A: A xảy xảy A _ phải không xảy A không xảy A phải không Xét thêm biến cố B A+B: A xảy B xảy AB: A xảy B xảy A/B: A xảy B xảy ( có nghĩa B xảy ) Hầu hết trình bày giải qua ngôn ngữ biến cố, biến cố lại biểu diễn hoàn toàn qua kí hiệu Các công thức: Sách viết tựa chung lại có công thức đáng lưu ý: Công thức bản: Có tổng cộng n trường hợp xảy phép thử, có m trường m n hợp thuận lợi cho biến cố A, P(A) = Công thức cộng: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) Trường hợp đặc biệt: A B xung khắc, tức A xảy B không xảy ra, P(AB) = 0, ta có P(A+B) = P(A) + P(B) Lưu ý xung khắc khác với đối lập, đối lập chắn xảy ra, xung khắc không xảy Công thức nhân: P(AB) = P(A).P(B/A) Trường hợp đặc biệt: A B độc lập, tức A xảy không liên quan đến B xảy ra, P(B/A) = P(B), ta có P(AB) = P(A).P(B) Công thức xác suất đầy đủ: Xét H1 , H , , H n hệ biến cố đầy đủ ( đôi xung n ∑ P( H ) = khắc chắn có biến cố xảy i =1 i n P ( A) = ∑ P( H i ).P ( A / H i ) A biến cố Khi i =1 Công thức Bayes: Xét hệ công thức xác suất đầy đủ Ta có P( H i / A) = P ( H i ).P ( A / H i ) P ( A) Một số lưu ý để áp dụng: -Công thức dễ, quan trọng phân tích đề để áp dụng Đọc kĩ đề để biết biến cố xảy ra, biến cố xảy đủ Chú ý từ “có đúng”, “có”, “cả hai” hay “cả ba” … - Biểu diễn điều đề cho câu hỏi qua dạng biến cố, sử dụng kí hiệu biến cố đối biến cố cộng, nhân, phụ thuộc Lắp công thức vào Tiền đề cho phép tính công thức xác suất - Biến cố A/B áp dụng nào? Khi B xảy tác động đến việc A xảy Ví dụ, xét hộp có loại bóng đen đỏ, lấy bóng đồng thời, vai trò nhau, lấy lần lượt, việc lần bốc bóng đen hay đỏ tác động đến thành phần hộp, từ ảnh hưởng đến việc lần bốc - Có công thức sách có nói không liệt kê, công thức Bernuli Có thể đọc lại sách để biết nội dung Cách nhớ nhớ cách chứng minh: Đầu tiên chọn k lần để biến cố A xuất hiện, có C k n cách, k vị trí ấy, vị trí xác suất để A xuất p, n-k k k n −k C n p q vị trí lại, xác suất q Nhân hết lại với -Công thức xác suất đầy đủ dùng nào? Khi yếu tố xét toán có tính chất không liên quan tới nhau; biến cố cuối kết thực qua giai đoạn Ví dụ: Một bóng bốc từ lô I II, có màu đen trắng; hay chọn lô bóng từ lô cho trước, chọn bóng từ lô Chính có nhiều trường hợp xảy ra, trường hợp lại xảy theo xác suất khác nhau, đồng thời với trường hợp, xác suất xảy biến cố cần tìm lại khác nhau, nên dùng xác suất đầy đủ - Công thức Bayes trường hợp ngược lại xác suất đầy đủ Biến cố A trước tính theo hệ n biến cố H, ngược lại, ta biết chắn A xảy cần tìm xác suất xảy trường hợp H Lắp công thức tính - Nói chung quan trọng đọc kĩ đề đặt hệ biến cố Đặt phần lại dễ dàng Chương 2: Biến ngẫu nhiên Biến rời rạc liên tục Biến ngẫu nhiên cách biểu diễn khác biến cố, số Ví dụ gọi X số chấm xuất gieo xúc sắc, X nhận giá trị từ đến 6, với xác suất 1/6 X=1 tương đương với biến cố: “Gieo mặt chấm” Hiểu đơn giản biến rời rạc cho bảng, biến liên tục cho hàm, hàm liên tục Lập bảng phân bố xác suất làm xác suất nhiều trường hợp, có điều viết kết dạng số Bảng phân bố xác suất có lưu ý tổng xác suất hàng p phải Hàm phân bố xác suất Kí hiệu F(x) Định nghĩa quan trọng để làm F(x) = P(X