Giải hệ phương trình hai ẩn GV: Nguyễn Bá Vững Đề tài: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Theo hướng dẫn Bộ Giáo Dục Đào Tạo từ năm học 2011 Nội dung dạy học môn toán cấp THPT có thời gian giải hệ phương trình ẩn Trong đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng hàng năm có giải hệ phương trình Để tạo điều kiện cho học sinh khá, giỏi thích tìm tòi, khám phá học tập tạo tảng kỳ thi Đại học Cao đẳng Chính vậy, than chọn đề tài “Gỉai hệ phương trình hai ẩn” để trao đổi đồng nghiệp nhằm củng cố kiến thức phát huy tư sáng tạo học sinh trung học phổ thong, chắn đề tài có nhiều thiếu sót mong trao đổi góp ý đồng nghiệp Trang: Giải hệ phương trình hai ẩn GV: Nguyễn Bá Vững NỘI DUNG ĐỀ TÀI A./ CÁC LÝ THUYẾT LIÊN QUAN - Để giải hệ phương trình hai ẩn ta dung phương pháp quen thuộc phương pháp thay thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ - Tìm hai số biết tổng tích chúng suy x, y nghiệm phương trình X2 – SX + P = Điều kiện S2 – 4P ≥0 B./ MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỤ THỂ I./ Giải hệ phương pháp thay Tính x theo y từ phương trình thứ vào phương trình thứ hai tìm y Từ tìm x Ví dụ 1: Giải hệ : hay Ví dụ 2: Giải hệ : hay Ví dụ 3: Trang: Giải hệ phương trình hai ẩn GV: Nguyễn Bá Vững Giải hệ : hay II./ Giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải hệ : Đặt Điều kiện S2 – 4P ≥0 Ta có: (Lọai) hay Với suy x, y nghiệm phương trình X2 – 3X + = Giải hệ có hai nghiệm hay Ví dụ 2: Giải hệ : Đặt Điều kiện S2 – 4P ≥0 Ta có: (Lọai) hay Trang: Giải hệ phương trình hai ẩn Với GV: Nguyễn Bá Vững suy x, y nghiệm phương trình X2 – 2X = Giải hệ có hai nghiệm hay Ví dụ 3: Giải hệ : Đặt Điều kiện S2 – 4P ≥0 Ta có: suy S, P nghiệm phương trình X2 – 3X +2 = Giải hệ có hai nghiệm Với hay suy x, y nghiệm phương trình X2 – 2X+1 = Giải hệ có hai nghiệm Ví dụ 4: Giải hệ : Đặt điểu kiện x Điều kiện S2 – 4P ≥0, S Ta có: Trang: Giải hệ phương trình hai ẩn Với suy , GV: Nguyễn Bá Vững nghiệm phương trình X2 – 5X+6 = Giải hệ có hai nghiệm hay Hay hệ có nghiệm: hay III./ Giải hệ phương pháp biểu diễn x theo y Ví dụ 1: (ĐH Quốc gia) điểu kiện x≠0,y≠0 Giải hệ :  (x-y)(2+ (1) – (2) ta có 2(x-y)+  TH1: x= y Thế vào (1) ta có Vậy hệ có nghiệm   x2 =  x=±1   x2 =  x= ± hay TH2: Thế vào (1) ta có Vậy hệ có nghiệm hay Trang: Giải hệ phương trình hai ẩn GV: Nguyễn Bá Vững Kết luận hệ có nghiệm : hay hay Ví dụ 2: (ĐH Sư phạm TP HCM) điểu kiện x≥2,y≥2 Giải hệ : Ta có:   xy-2x+y-2=xy+x-2y-2  x= y Khi hệ tương đương Ta có:   ⇔ x=3 Vậy hệ có nghiệm: Ví dụ 3: (Trung tâm đào tạo cán y tế) Giải hệ : Lấy vế trừ vế ta được: Trang: Giải hệ phương trình hai ẩn GV: Nguyễn Bá Vững  (x-y)(x2+xy+y2+1)=0  Với x=y hệ trở thành x3-3x-2=0 Vậy hệ có nghiêm: hay Ví dụ 4: (ĐH thủy lợi) điểu kiện x≠0,y≠0 Giải hệ : Ta có: Hệ tương đương Lấy vế trừ vế ta được: (x-y)(2x2+3xy+y2)=0  Với x=y hệ trở thành 2x3+ x3=3x3=1 x=1 Vậy hệ có nghiệm: IV./ Giải hệ phương pháp cách đưa ẩn phụ vào Ví dụ 1: (Học viện ngân hang TP HCM) Giải hệ : Vì x=0 không nghiệm hệ nên ta đặt y=kx Khi hệ trở thành Trang: Giải hệ phương trình hai ẩn GV: Nguyễn Bá Vững  Ta có: (*) tương đương Thế vào phương trình lại ta được::  Vậy hệ có nghiệm: ( (- (3,2), (-3,-2) Ví dụ 2: (ĐH tin học TP HCM) Giải hệ : Vì x=0 không nghiệm hệ nên ta đặt y=kx Khi hệ trở thành Chia vế cho vế ta được: k2+11k-12=0  Với k=1 ta có: x2=1  Với k=-12 ta có: x2=53  Vậy hệ có nghiệm ( (-1,-1 ( Trang: , ), ( , ) Giải hệ phương trình hai ẩn GV: Nguyễn Bá Vững V./ Giải hệ phương pháp cách biểu diễn x theo y từ phương trình Ví dụ 1: (ĐH khối A) điểu kiện xy≠0 Giải hệ : Ta có:  (x-y)(1+  TH1: x=y  Ta có hệ tương đương   TH2: xy=-1  Ta có hệ tương đương   Hệ vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm: (1,1), ( ), ( Ví dụ 2: (ĐH Sư phạm Quy Nhơn) Giải hệ : điểu kiện x≠0 Trang: Giải hệ phương trình hai ẩn GV: Nguyễn Bá Vững  Ta có:  vào phương trình lại ta được: 2x+ 2x+ 2x- 2x2+5x-3=0  Vậy hệ có nghiệm: ( ), ( ) Ví dụ 3: (ĐH năm 2012) điểu kiện x,y Giải hệ : Từ phương trình : (  TH1: Thế vào phương trình lại hệ ta có: x3+x-2=0 (  TH2: y=2x+1 Thế vào phương trình lại hệ ta có:x(2x+1)+x-2=0 2   Vậy hệ có nghiệm: (1,1), ( Ví dụ 4: (ĐH năm 2008) Trang: 10 Giải hệ phương trình hai ẩn GV: Nguyễn Bá Vững Giải hệ : Ta có x=0 không nghiệm hệ Từ phương trình phương trình lại ta được: x4+12x3+48x2+64x=0x(x+4)3=0 Vậy hệ có nghiệm: (-4, C./ MỘT SỐ BÀI TẬP Giải hệ phương trình sau: 10 Trang: 11 vào Giải hệ phương trình hai ẩn GV: Nguyễn Bá Vững D./ KẾT LUẬN Việc giải hệ phương trình có nhiều dạng, tùy theo dạng có cách giải phù hợp Tuy nhiên cần phải vận dụng nhiều kiến thức toán học để giải nhiều học sinh giỏi hứng thú, tìm tòi cách giải, kích thích em sáng tạo tư Tuy nhiên em học sinh mức trung bình, trung bình yếu ngại giải hệ không bấm máy tính Với số suy nghĩ qua dạng tập trình bày mong góp ý đồng nghiệp nhằm không ngừng nâng cao chất lượng môn tóan tỉnh nhà Rất chân thành cám ơn./ Trang: 12 [...].. .Giải hệ phương trình hai ẩn GV: Nguyễn Bá Vững Giải hệ : Ta có x=0 không là nghiệm của hệ Từ phương trình phương trình còn lại ta được: x4+12x3+48x2+64x=0x(x+4)3=0 Vậy hệ có 1 nghiệm: (-4, C./ MỘT SỐ BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau: 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Trang: 11 thế vào Giải hệ phương trình hai ẩn GV: Nguyễn Bá Vững D./ KẾT LUẬN Việc giải hệ phương trình có nhiều dạng, tùy... nhiều dạng, tùy theo từng dạng có cách giải phù hợp Tuy nhiên cần phải vận dụng nhiều kiến thức toán học để giải rất nhiều học sinh khá giỏi rất hứng thú, tìm tòi cách giải, kích thích các em sáng tạo trong tư duy Tuy nhiên các em học sinh ở mức trung bình, hoặc trung bình yếu rất ngại khi giải hệ không bấm được máy tính Với một số suy nghĩ qua các dạng bài tập trình bày ở trên rất mong sự góp ý của