1 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Hình thành phát triển lực giải vấn đề cho học sinh mục tiêu quan trọng môn toán Mục tiêu giáo dục thời đại không dừng lại việc truyền thụ kiến thức, kỹ có sẵn cho HS mà điều đặc biệt quan trọng phải trang bị cho HS cách học bồi dưỡng cho HS lực sáng tạo, lực GQVĐ Nghị Trung ương khoá XI đổi toàn diện giáo dục đào tạo khẳng định: “Chuyển mạnh trình giáo dục chủ yếu từ trang bị kiến thức kĩ sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kĩ người học; khắc phục lối truyền thụ chiều ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kĩ năng, phát triển lực” [18] Ở nhiều nước giới, nhà giáo dục toán học nhấn mạnh giáo dục toán học phải lấy việc nâng cao lực GQVĐ làm trọng tâm thể rõ quan điểm trình bày kiến thức phương pháp dạy học thông qua chương trình sách giáo khoa Cụ thể: Năm 1980, Hội đồng Quốc gia GV toán (DT [114]) Mỹ đề nghị chương trình nghị họ “hoạt động GQVĐ phải trọng tâm toán học nhà trường” Chương trình giảng dạy đánh giá Toán Hội đồng Quốc gia GV Toán Mỹ yêu cầu HS THPT dạy xây dựng kiến thức toán học thông qua GQVĐ (DT [102]) Chuẩn môn Toán Bang New Jersey - Mỹ khẳng định tất HS phát triển khả đặt GQVĐ toán học, ngành khác sống hàng ngày (DT [67]) Báo cáo Cockerroft (DT [114]) Anh nhìn nhận khả GQVĐ mục tiêu có tính trọng điểm giáo dục toán học yếu tố quan trọng việc dạy toán cho lứa tuổi khả Chương trình giảng dạy lớp 11, 12 Canada [120] coi GQVĐ trung tâm học tập Toán nên trở thành trụ cột giảng dạy Toán Năm 2001, Bộ Giáo dục Singapore (DT [102]) khẳng định, mục tiêu chương trình giảng dạy toán học giúp HS phát triển khả GQVĐ Toán học (GQVĐ toán học bao gồm sử dụng áp dụng toán học vào nhiệm vụ thực tế, vấn đề thực tế sống toán học) HS Sách giáo khoa Singapore tập trung vào GQVĐ, chủ đề sâu đưa phương pháp hữu ích để hiểu khái niệm toán học GQVĐ đề cập đến chương trình nhiều nước, cụ thể: Chương trình toán phổ thông bang Quebec, Canada; Chương trình New Zealand (chú trọng đến phương pháp tiếp cận để giải vấn đề liên quan đến toán học, phát triển khả tư duy, suy luận hợp lý); Chương trình toán Pháp (nhấn mạnh tới yếu tố GQVĐ học toán); Chương trình toán Úc (đề cập tới: Sự hiểu biết kiến ​ ​ thức, kĩ toán học; GQVĐ; Lập luận) (DT [39]) Vương Dương Minh [54] khẳng định phương pháp phát GQVĐ có giá trị to lớn có khả vận dụng rộng rãi nhà trường để trở thành phương pháp chủ đạo Trần Luận [44] đề xuất: Nội dung toán nhà trường phổ thông phải môi trường rèn luyện lực GQVĐ ứng dụng toán học sống ngày Nghiên cứu mối quan hệ nội dung môn toán trường phổ thông Việt Nam lực chung cần hình thành phát triển cho HS, Trần Kiều [35] xác định lực GQVĐ lực đặc thù môn toán cần hình thành phát triển cho HS Như vậy, GQVĐ có ý nghĩa quan trọng giảng dạy toán đưa vào chương trình giảng dạy toán nhiều nước giới Năng lực GQVĐ lực quan trọng cần hình thành phát triển cho HS dạy học toán Do đó, bồi dưỡng lực GQVĐ nhiệm vụ quan trọng dạy học toán nhà trường phổ thông nước ta 1.2 Giải tích nội dung có nhiều tiềm để bồi dưỡng lực giải vấn đề Giải tích ngành đóng vai trò chủ đạo toán học Nguồn gốc đời giải tích để giải toán lớn tìm tiếp tuyến đường cong, tìm độ dài đường cong, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng, tìm vận tốc gia tốc chuyển động theo thời gian Giải tích đời trình tìm tòi, phát hiện, xây dựng công cụ để giải tình có vấn đề, toán đặt vật lí, khoa học kĩ thuật nội toán học Các kiến thức giải tích có mối liên hệ chặt chẽ với Kiến thức giải tích xây dựng thông qua trình tìm tòi, phát mối liên hệ kiến thức có để biến đổi đối tượng nhằm giải tình có vấn đề đặt Chẳng hạn, khái niệm đạo hàm định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn, đạo hàm công cụ để khám phá tính chất hàm số, nguyên hàm xây dựng thông qua tình tìm giải pháp toán ngược tìm hàm số biết đạo hàm Các tính chất, định lí giải tích xây dựng thông qua giải tình có vấn đề Như vậy, nội dung giải tích chứa đựng nhiều bối cảnh nảy sinh tình có vấn đề khai thác để bồi dưỡng lực GQVĐ 1.3 Thủ pháp hoạt động nhận thức có vai trò quan trọng học sinh lĩnh hội kiến thức toán học, giải vấn đề đặt học toán Trong nói chuyện Polya (DT [10]), ông cho rằng: Việc học kết thúc việc hình thành thói quen suy nghĩ tích cực mục đích chung cho giáo dục toán học phát triển nhiều tốt thói quen suy nghĩ có giá trị việc đương đầu với loại thử thách, vấn đề Ông nhận định, cần phải có luật chiến thuật giải loại vấn đề khác điểm cốt yếu giáo dục toán học phải phát triển chiến thuật GQVĐ Như vậy, nói Polya khẳng định dạy chiến thuật (gọi TPHĐNT) phát triển khả GQVĐ cho HS Thực tế dạy học toán, cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng mang tính độc đáo, khéo léo để tìm kiếm giải pháp đắn, tìm kiếm giải pháp tối ưu giúp HS cảm nhận vẻ đẹp toán học, hình thành cho HS cảm xúc thẩm mỹ, khơi dạy niềm say mê hứng thú học toán Những cách thức có vai trò phương tiện, công cụ giúp HS chiếm lĩnh trọn vẹn tri thức toán học giải thành công vấn đề học toán Và cách thức xem TPHĐNT Nếu HS trang bị TPHĐNT giải vấn đề tốt hơn, HS thành công GQVĐ Tuy nhiên, GV chưa quan tâm đến trang bị TPHĐNT cho HS Trong dạy học toán, GV thường trọng cung cấp kiến thức cho HS mà chưa quan tâm nhiều đến cung cấp cho HS cách thức hiệu để lĩnh hội vận dụng kiến thức Vì vậy, trang bị TPHĐNT cho HS việc làm cần thiết xem đường góp phần hình thành phát triển lực GQVĐ Xuất phát từ vấn đề lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Dạy học Giải tích trường Trung học Phổ thông theo hướng bồi dưỡng lực giải vấn đề thông qua trang bị số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh” Tổng quan vấn đề nghiên cứu 2.1 Một số nghiên cứu thủ pháp thủ pháp hoạt động nhận thức *) Nghiên cứu nước - Quan niệm “tactic” tiếng Anh, Pri-om tiếng Nga số nghiên cứu khác thủ pháp Những nghiên cứu nước nay, có nhiều quan điểm khác thủ pháp, TPHĐNT, cụ thể: Shufelt Smart (DT [2]) cho thủ pháp liên quan đến GQVĐ Len Frobisher, Backhouse, Robert Mills Gragne (DT [3]) cho thủ pháp khái niệm thuộc lĩnh vực phương pháp, cách thức mà người ta làm, xử lí sử dụng hiệu thông tin Việc xử lí sử dụng hiệu thông tin đòi hỏi lối suy nghĩ riêng biệt, linh hoạt, khéo léo, độc đáo Thủ pháp vận dụng GQVĐ Hầu hết thủ pháp độc lập với nội dung toán học bổ ích vấn đề có liên quan lĩnh vực môn học D.N.Perkins (DT [2]) cho thủ pháp thuộc lĩnh vực phương pháp thành tố trí thông minh biểu diễn sơ đồ sau: Trí thông minh = Năng lực + Thủ pháp + Trình độ chuyên môn Thủ pháp vận dụng người ta cần giải nhiệm vụ D.N Perkins [105] khẳng định thủ pháp (tactic) quan trọng nên cần phải xác định thuật ngữ rõ tốt Và ông cho thuật ngữ thủ pháp (tactic) thông thường hiểu mơ hồ có nghĩa hẹp phạm vi định khuyến khích việc giới thiệu suy nghĩ thuật ngữ cải thiện hơn, định nghĩa cách hướng dẫn quy trình tổ chức hỗ trợ trình suy nghĩ Ông cho phương pháp để nâng cao tư phụ thuộc phần lớn vào tập để nâng cao tư duy, tìm kiếm cách dạy thủ pháp nội dung để nâng cao tư Khi dạy thủ pháp, chiến lược để thực nhiệm vụ, người có trí tuệ phát triển chậm làm gần người bình thường Việc hướng dẫn tỉ mỉ thủ pháp lựa chọn kỹ lưỡng nâng cao đáng kể hiệu Cơ hội tốt giáo dục trang bị kiến thức có tính thủ pháp cho HS Như vậy, thủ pháp hỗ trợ, nâng cao hiệu tư va mang lại lợi ích phát triển trí tuệ TPHĐNT nhà Tâm lý học Xô viết nghiên cứu phát triển, ứng dụng Tâm lý học nhà Sư phạm Liên bang Nga vận dụng phát triển giáo dục học môn môn toán có Itova Irina Itova Irina [118] cho hoạt động học tập HS gồm: hình thành kiến thức trình hình thành thủ pháp làm việc với tài liệu học tập Itova Irina khẳng định rằng: “TPHĐNT cách thức mà người học dùng để thực (thủ pháp trừu tượng, tổng hợp,…) mà thể loạt hành động” TPHĐNT thường có tính hướng dẫn quy định, khuyến cáo cách làm để tiến hành hoạt động nhận thức, quy trình cần có việc giải số nhiệm vụ cụ thể Việc nắm vững thủ pháp thể chỗ sử dụng thủ pháp cách có ý thức giải nhiệm vụ Trong nghiên cứu yêu cầu giáo dục việc phát triển hoạt động nhận thức, việc phát triển trí tuệ HS, bà cho rằng: Mục đích hoạt động nhận thức HS nắm bắt kiến thức; Để dạy trẻ em học cách thông minh cần hình thành cách thức suy nghĩ hợp lý hay thủ pháp, trở thành “công cụ" độc lập chiếm lĩnh tài liệu học tập TPHĐNT nên dạy cho HS giúp HS tiếp thu đầy đủ nội dung học tập L.M.Phơritman, E.N.Turetxki, V.Ia.Xtetxencô (DT [46]) cho tìm kiếm lời giải toán, toán không chuẩn hành động theo hai hướng: Tách từ toán chia nhỏ thành toán nhỏ dạng chuẩn (thủ pháp chia nhỏ); Diễn đạt toán theo cách khác, dẫn đến toán dạng chuẩn (thủ pháp mô hình hóa); Việc dẫn toán dạng không chuẩn đến toán dạng chuẩn thủ pháp chia nhỏ mô hình hóa nghệ thuật, mà lĩnh hội kết phân tích sâu sắc thường xuyên hành động giải toán thường xuyên luyện tập giải toán khác Xét từ phương diện xem thủ pháp có tính “nghệ thuật” nghĩa đòi hỏi linh hoạt, tài tình khéo léo riêng người sử dụng kết đạt mang tính đặc biệt, độc đáo - Về đặc điểm dạy học môn Toán Toán học hình thành kết suy diễn có hệ thống kết tìm tòi, sáng tạo thông qua thực nghiệm quy nạp Toán học trình hình thành phát triển, có trình tìm tòi phát minh, có thực nghiệm quy nạp Phương pháp toán học thống suy đoán suy diễn Descartes (DT [66]) thử tự tìm phát minh tài tình mà không đọc công trình trình bày phát minh thấy phát minh theo quy tắc định Như vậy, HS nắm “quy tắc” tài tình phát minh em thực hiệu hoạt động nhận thức Toán học Đặc điểm môn Toán trường THPT không nằm đặc điểm Toán học Khi dạy học tình Toán học điển hình, GV cần ý cho HS nhìn thấy kiến thức trình hình thành phát triển phát sinh Trong dạy học toán, cần trang bị cho HS tri thức phương pháp, đặc biệt tri thức phương pháp có tính chất tìm đoán Tùy thuộc vào tình dạy học, mà GV trang bị cho HS cách thức tìm hiểu, biến đổi linh hoạt phù hợp với tình cụ thể để lĩnh hội khái niệm, định lý, tính chất giải tập toán Những cách thức biến đổi linh hoạt, tài tình hay “quy tắc” tài tình giúp cho hoạt động nhận thức đạt hiệu cao gọi TPHĐNT - Về tư tưởng sư phạm Pôlya Shuard (DT [2]) khẳng định “mối quan tâm lớn thủ pháp xuất phát từ công trình Polya GQVĐ toán học” Công trình nghiên cứu Pôlya công trình nghiên cứu Ơritxtic, thể mong muốn tìm cách lôi HS vào giải toán, thúc HS suy nghĩ phương pháp, cách thức sử dụng dạy cho HS cách suy nghĩ có tính chất động, linh hoạt, không theo khuôn mẫu cứng nhắc Pôlya cho rằng: nhà trường không cung cấp cho HS kiến thức toán học mà phải rèn luyện cho họ kĩ vận dụng, tính độc lập, độc đáo khả sáng tạo [64] Cuốn sách “Giải toán nào” thể phương pháp dạy học giải toán thông qua bảng hệ thống câu hỏi lời khuyên để phát triển kĩ Ơritxtic cho HS Pôlya khẳng định phương pháp đưa đến lời giải toán nói chung phức tạp có nhiều khía cạnh khác Khi giải toán, ta xét khía cạnh nó, lật lật lại vấn đề trí óc, cần thiết phải biến đổi toán Biến đổi toán cách phân chia tổ hợp lại yếu tố toán, sử dụng phương tiện phép tổng quát hóa, phép tương tự, Để phân chia, tổ hợp toán cần phải có khéo léo để đạt hiệu *) Nghiên cứu nước - Về nghĩa cụm từ “thủ pháp” cách dùng tiếng Việt Theo đại từ điển Tiếng Việt: “Thủ pháp cách thức tiến hành việc gì, thực ý định Thủ pháp làm việc phải kết hợp nhiều thủ pháp khác” [98] Theo [119] đặt khái niệm thủ pháp dạy học mối quan hệ với phương pháp dạy học: “Phương pháp dạy học cách thức làm việc thầy giáo HS, nhờ mà HS nắm vững kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, hình thành giới quan lực Thủ pháp dạy học cách thức giải vấn đề cụ thể thuộc phương pháp định hay nói khác đi, thủ pháp thao tác phận phương pháp” Nếu phương pháp ý tới trình thủ pháp việc ý chủ yếu tới thời điểm định trình Trong văn học, nhà văn thường sử dụng hình ảnh, từ ngữ, lối ví von,… cách khéo léo, tài tình để đạt dụng ý nghệ thuật, cách thức sử dụng gọi chung thủ pháp nghệ thuật (như so sánh, ẩn dụ, hoán dụ, nhân hóa, xưng, …) Việc sử dụng thủ pháp nghệ thuật ghi dấu ấn cá nhân nhà văn Như vậy, từ nghĩa từ “thủ pháp” tiếng Việt cách sử dụng từ “thủ pháp” tình tiếng Việt, thấy thủ pháp cách thức thực có tính chất khéo léo, độc đáo khác biệt với thông thường để thực nhiệm vụ cụ thể - Về thủ pháp hoạt động nhận thức dạy học toán: Có số nghiên cứu đề cập đến TPHĐNT, đáng ý kết nghiên cứu Trần Luận Trần Luận [46] đưa hướng dạy học sáng tạo thông qua việc trang bị TPHĐNT cho HS Ông liệt kê tên gọi số thủ pháp không đưa khái niệm thủ pháp Ông số thủ pháp quan trọng thủ pháp phân chia dấu hiệu không khái niệm, thủ pháp xem xét đối tượng nhiều góc độ khác (cùng đoạn thẳng tam giác cân xem đường cao, đường phân giác trung tuyến), thủ pháp tạo lập hình ảnh ghi nhớ tưởng tượng (khác với khái niệm hình ảnh biểu thị mà HS hình dung đầu) Ông cho thông qua việc bồi dưỡng cho HS mà phát triển lực trí tuệ HS Ông khẳng định “các thủ pháp cần thiết cho việc độc lập giải nhiệm vụ lĩnh hội kiến thức” Các thủ pháp đóng vai trò yếu phát triển trí tuệ HS Tác giả nhận định để HS lĩnh hội tốt đẹp tri thức, họ cần phải lĩnh hội thủ pháp Như vậy, từ số nghiên cứu TPHĐNT cho thấy trang bị TPHĐNT việc nắm bắt vấn đề hiệu hơn; TPHĐNT vận dụng trình GQVĐ; TPHĐNT công cụ hiệu để đưa khái niệm, tri thức kĩ vào GQVĐ; HS không cần phải “học” TPHĐNT mà cần có khả chọn xem TPHĐNT thích hợp thời điểm trình GQVĐ Nghiên cứu trang bị TPHĐNT để bồi dưỡng lực GQVĐ vấn đề cần thiết 2.2 Một số nghiên cứu bồi dưỡng lực giải vấn đề dạy học giải tích trường Trung học Phổ thông - Trong năm gần đây, nước ta có số nghiên cứu [96], [91], [94], [99], dạy học toán theo hướng bồi dưỡng lực GQVĐ trường THPT, cụ thể: Luận án tiến sĩ Nguyễn Anh Tuấn (2002), với đề tài “Bồi dưỡng lực phát GQVĐ cho HS THCS dạy học khái niệm toán học (thể qua số khái niệm mở đầu đại số THCS)” [96], quan điểm hoạt động dạy học gồm hai hoạt động phát vấn đề GQVĐ, xem lực phát GQVĐ gồm nhóm lực phát vấn đề nhóm lực GQVĐ, xác định quy trình dạy khái niệm mở đầu đại số để bồi dưỡng lực phát GQVĐ Luận án tiến sĩ Nguyễn Thị Hương Trang (2002), với đề tài “Rèn luyện lực giải toán theo hướng phát GQVĐ cách sáng tạo cho HS giỏi trường Trung học phổ thông” [91], xây dựng tiến trình giải toán, nhằm rèn luyện lực giải toán cho HS giỏi theo hướng phát GQVĐ cách sáng tạo Luận án tiến sĩ Từ Đức Thảo (2012), với đề tài “Bồi dưỡng lực phát GQVĐ cho HS Trung học phổ thông thông qua dạy học hình học” [94], xem lực phát GQVĐ dạy học hình học gồm lực phát vấn đề học hình học lực GQVĐ học hình học, đưa biện pháp bồi dưỡng thành tố lực phát GQVĐ Luận án tiến sĩ Phan Anh Tài (2015), với đề tài“Đánh giá lực GQVĐ HS dạy học toán lớp 11 trung học phổ thông” [81], cho lực GQVĐ có bốn thành tố (năng lực hiểu vấn đề, lực phát triển khai giải pháp GQVĐ, lực trình bày giải pháp GQVĐ, lực phát giải pháp khác GQVĐ, phát vấn đề mới) - Ở nước ta có số nghiên cứu dạy học giải tích, dạy học khái niệm giải tích, dạy học hàm số liên tục, cụ thể: Luận án tiến sĩ Nguyễn Mạnh Chung (2001) với đề tài “Nâng cao hiệu dạy học khái niệm toán học biện pháp sư phạm theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh (thông qua dạy học khái niệm “hàm số” “giới hạn” cho học sinh trường trung học phổ thông” [9], đưa quy trình dạy học khái niệm “hàm số” “giới hạn” Luận án tiến sĩ Nguyễn Phú Lộc (2006) với đề tài “Nâng cao hiệu dạy học môn Giải tích nhà trường trung học phổ thông theo hướng tiếp cận số vấn đề phương pháp luận toán học” [42], nghiên cứu áp dụng sở nguyên lí mối liên hệ phổ biến phép biện chứng vật, phạm trù riêng - chung, phương pháp phân tích phép tương tự vào xây dựng mô hình dạy học giải tích Luận án tiến sĩ Phạm Sĩ Nam (2013), “Nâng cao hiệu dạy học số khái niệm giải tích cho học sinh trung học phổ thông chuyên Toán sở vận dụng lí thuyết kiến tạo” [55], đưa quy trình dạy học khái niệm giải tích cho học sinh THPT chuyên toán sở vận dụng lí thuyết kiến tạo Luận án tiến sĩ Trần Anh Dũng (2013), “Dạy học hàm số liên tục trường trung học phổ thông” [16], nghiên cứu chuyên biệt hàm liên tục tảng số công cụ lý thuyết Didactic kết nối với quan điểm lí thuyết kiến tạo Nhìn chung, công trình nghiên cứu: Về GQVĐ tập trung vào mô tả thành tố lực phát GQVĐ nhằm bồi dưỡng cho HS; Về giải tích khai thác quy trình dạy học khái niệm giải tích, mô hình dạy học giải tích; Chưa có công trình đề cập đến dạy học giải tích theo hướng tiếp cận lực GQVĐ thông qua trang bị TPHĐNT THPT Như vậy, dạy học theo định hướng hình thành phát triển lực xu hướng giáo dục Việt Nam Đã có nghiên cứu thực ý nghĩa dạy học toán nói chung, dạy học đại số, dạy học hình học nói riêng theo hướng bồi dưỡng lực GQVĐ trường THPT Giải tích môn học khó HS, quan trọng có nhiều ứng dụng, có công trình nghiên cứu dạy học giải tích trường THPT, chưa có nghiên cứu dạy học giải tích theo định hướng phát triển lực GQVĐ TPHĐNT sử dụng GQVĐ Vấn đề nghiên cứu dạy học giải tích theo hướng tiếp cận lực giải vấn đề thông qua trang bị số 10 TPHĐNT bỏ ngỏ, chưa có công trình đề cập đến, luận án nghiên cứu vấn đề Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề xuất biện pháp trang bị số TPHĐNT cho HS dạy học cho HS nhằm bồi dưỡng lực GQVĐ góp phần nâng cao hiệu dạy học môn Giải tích nhà trường THPT Khách thể, đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 3.1 Khách thể nghiên cứu: Hoạt động dạy học môn giải tích trường THPT 3.2 Đối tượng nghiên cứu: Một số TPHĐNT dạy học toán giải tích để bồi dưỡng lực GQVĐ cho HS THPT 3.3 Phạm vi nghiên cứu: Nội dung giải tích chương trình sách giáo khoa THPT Giả thuyết khoa học Nếu xác định trang bị số TPHĐNT phù hợp cho HS dạy học giải tích bồi dưỡng lực GQVĐ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn giải tích cho HS Nhiệm vụ nghiên cứu Luận án có nhiệm vụ nghiên cứu vấn đề sau: - Làm rõ hoạt động giải vấn đề toán học; Làm rõ khái niệm lực GQVĐ; Các thành tố lực GQVĐ; Mối quan hệ hoạt động giải vấn đề lực giải vấn đề - Tổng hợp số nghiên cứu liên quan đến thủ pháp; Đề xuất quan niệm TPHĐNT toán học; Đề xuất số TPHĐNT toán học cụ thể cần trang bị cho HS - Nghiên cứu nội dung chương trình môn toán nói chung giải tích nói riêng THPT - Nghiên cứu thực trạng dạy học giải tích theo hướng trang bị số TPHĐNT cho HS THPT - Đề xuất biện pháp sư phạm dạy học giải tích theo hướng bồi dưỡng lực GQVĐ cho HS thông qua trang bị số TPHĐNT - Thực nghiệm sư phạm để bước đầu kiểm tra tính khả thi tính hiệu biện pháp sư phạm luận án đề xuất xxxi Phụ lục 7: GIÁO ÁN TỰ CHỌN Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TIẾP XÚC TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I Mục tiêu học Kiến thức - Phương pháp tiếp xúc để chứng minh bất đẳng thức Kĩ năng: - Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai đồ thị hàm số để tìm bất đẳng thức trung gian Một số yêu cầu cần đạt - Trang bị thủ pháp đồ thị hàm số, thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian, thủ pháp so sánh, thủ pháp chia nhỏ, thủ pháp kết hợp - Học sinh tự sáng tạo toán mới, hứng thú, tích cực phát huy tính độc lập học tập II Chuẩn bị giáo viên học sinh - Giáo viên sử dụng thủ pháp đồ thị, biểu tượng hóa, tạo tình huống, sử dụng yếu tố trung gian,… thiết kế giảng - Sử dụng đồ tư hệ thống lại toán phương trình đồ thị phương pháp giải II Tiến trình dạy học HĐ Hình thành phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động GV HS GV: Yêu cầu HS nêu điều kiện để hai đồ Ví dụ a) Tìm hàm số g ( x )  Ax  B, A  có đồ thị tiếp thị hàm số tiếp xúc với xúc với đồ thị hàm số f ( x)  điểm x0  ; b) Chứng minh c) Cho HS: Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm x với tiếp  x2 3 B  A GV: Vẽ hình ảnh hai đồ thị y  f ( x ) x 3  x , x  (0;1) 1 x số dương a, b, c y  g ( x ) tiếp xúc với điểm x0 thỏa mãn Hướng dẫn HS nhận xét mặt hình đồ thị vị trí hai đồ thị đưa bất đẳng a  b  c  Chứng minh rằng: thức so sánh f ( x ) g ( x) khoảng a b c 3    2 b c c a a b (0;1) HS: Chứng minh câu b) biến đổi đại Lời giải a) Đồ thị hàm số g ( x )  Ax  B, A  tiếp xúc với xxxi số GV: Yêu cầu HS tìm điều kiện xxxii đồ thị hàm số f ( x)   x0  x với điểm x0  1 x a, b, c ? Áp dụng b) để chứng minh bất đẳng thức?  f ( x)  g ( x) hệ phương trình  có nghiệm HS: Tìm điều kiện: f '( x )  g '( x )   a, b, c  Tìm A  Vậy g ( x )  3 B  Áp dụng câu b) để chứng minh câu c) 3 x b) Với x  (0;1) , ta có: x 3  x 1 x  ( x  1) ( x  2)  (Đúng với x  (0;1) ) Vậy x 3  x , x  (0;1) , dấu xảy 1 x x  c) Do a  b2  c  , nên bất đẳng thức cho thành: a b c 3    2 1 a 1 b 1 c Theo giả thiết, ta có:  a, b, c  Áp dụng câu b) ta được: a b c 3    (a  b  c ) 2 1 a 1 b 1 c Hay a b c 3    2 1 a 1 b 1 c Dấu xảy a  b  c  HĐ Phát biểu phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động GV HS *) Quy trình chứng minh bất đẳng thức GV: Yêu cầu HS từ ví dụ xây dựng phương pháp tiếp xúc phương pháp tiếp xúc để chứng minh bất B1 Tìm điều kiện biến dự đoán dấu đẳng thức Và GV xác lại quy trình xảy xxxii xxxiii B2 Từ bất đẳng thức xây dựng hàm đặc trưng y  f (x) GV: Yêu cầu HS xây dựng quy trình B3 Tìm hàm số y  g ( x ) có đồ thị tiếp xúc với đồ tương tự cho toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức thị hàm số y  f ( x ) điểm xảy dấu B4 Với x thỏa mãn điều kiện biến, so phương pháp tiếp tuyến sánh f ( x ) g ( x) Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức cho HĐ Vận dụng phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động GV HS Ví dụ Cho số thực dương a, b, c, d , e thỏa mãn GV: Nêu ví dụ HS: Tìm điều kiện biến 1 1      Chứng minh 4a 4b 4c 4d 4e a, b, c, d , e  dự đoán dấu xảy rằng: a  b  c  d  e  a b c d e     1 2 2 4a 4b 4c 4d  e2 HS: Xác định hàm đặc trưng: f ( x)  Lời giải *) Điều kiện: a, b, c, d , e  *) Nhận xét: HS: Tìm hàm số g ( x )  x   , x  4 x 4 x A  B có đồ 4 x thị tiếp xúc với đồ thị hàm số Thậy vậy, với x  , ta có: f ( x)  x   4 x 4 x  ( x  1) ( x  1)  (Luôn với x  ) x  x2 HS Tìm g ( x )    4 x GV: Yêu cầu HS sử dụng biến đổi đại số Dấu xảy x  chứng minh bất đẳng thức đặc trưng: *) Áp dụng nhận xét ta có: x   , x  4 x 4 x a b c d e     2 2 4a 4b 4c 4d  e2 1 1    3        4a 4b 4c 4d 4e Hay x  x2 HS: Áp dụng bất đẳng thức đặc trưng chứng minh bất đẳng thức cho a b c d e     1 2 2 4a 4b 4c 4d  e2 Dấu xảy a  b  c  d  e  Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn GV: Nêu ví dụ yêu cầu HS vận dụng quy trình giải toán a  b  c  Chứng minh rằng: HS: xxxiii xxxiv +  a   b   c  ( a  b  c)  định hàm đặc trưng f ( x)   x  x Lời giải *) Nhận xét: + Xác định điều kiện  a, b, c  11  x  x   x  , x  (0; 3) (1) 8 dấu xảy a  b  c  + Tìm hàm số g ( x )  Ax  B, A  có Dấu xảy x  đồ thị tiếp xúc với đồ thị hàm số f ( x ) 11  x  x   x2  8 Thật vậy, 11 điểm x  g ( x )   x  8  3( x  1)  2(4  x  x  7)   3( x  1)   Xác 2( x  1) 3 x  x7 ( x  1) 3 x  x7 12 GV: Hướng dẫn HS sử dụng thủ pháp so 0 sánh, chia nhỏ kết hợp để chứng minh:  11  x  x   x  , x  (0; 3) 8  x  x  19  (Bất đẳng thức với x  (0; 3) ) HS: Áp dụng vào chứng minh bất đẳng Dấu xảy x  thức *) Từ giả thiết suy ra:  a, b, c  GV: Yêu cầu HS nhận xét dạng biểu Áp dụng (1), ta có: thức bất đẳng thức cần chứng minh HS: Có dạng tổng hàm số  a   b   c  ( a  b  c) 33   (a  b  c )  8 Hay  a   b   c  ( a  b  c)  Dấu xảy a  b  c  Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn GV: Nêu ví dụ HS: Tìm điều kiện biến a, b, c  1    Chứng minh rằng: a b c 2a  3a   2b  3b   2c  3c   xác định dấu xảy a  b  c  HS: Xác định hàm đặc trưng f ( x)  Lời giải *) Nhận xét: 2x 1 3x   31  , x  16 x 16 Thật vậy, x  ta có: 2x 1 3x   31  16 x 16 2x 1 3x  HS: Tìm hàm số g ( x)  A  B có đồ thị x tiếp thị xúc f ( x)  với 2x 1 3x  đồ hàm số điểm x  HS: Điều kiện tiếp xúc hệ sau có  32 x  16  (31x  7) x  xxxiv xxxv  32( x  1)  31( x  1)(2   32( x  1)  x  1)  6(3x   93( x  1) 2  3x   x  1)  54( x  1) 3x   x  0 93 54    ( x  1)  32   0  x  3x   x     32 x   29    ( x  1)  0 3x   x     3x  54 Luôn với x  nghiệm x  : A  2x 1  3x   x  B   6x 1 A   x  x  Tìm A   Và g ( x )   31 B  16 16 31  16 x 16 Dấu xảy x  GV: Hướng dẫn HS sử dụng thủ pháp *) Áp dụng nhận xét ta có: phân nhỏ, thủ pháp kết hợp, thủ pháp so 2a  3a  Hay  2b  3b  2a  3a    2c  3c  2b  3b         93   16  a b c  16 2c  3c   sánh chứng minh bất đẳng thức đặc trưng: 2x 1 3x  Dấu xảy a  b  c   31  , x  16 x 16 HS: Áp dụng bất đẳng thức đặc trưng chứng minh bất đẳng thức cho Ví dụ Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc  GV: Nêu ví dụ Chứng minh rằng: HS: Xác định điều kiện a, b, c  dự 1  log a log b log c     3    a b c b c   a đoán dấu xảy a  b  c  3 HS: Xác định hàm đặc trưng Lời giải *) Ta có: abc   log a  log b  log c  f ( x)  log x 3 x x *) Nhận xét: GV: Hướng dẫn HS đưa điều kiện log x 1  3   log x  , x  x x dạng tổng log a  log b  log c  HS: Tìm hàm số g ( x )  A log x  B Thật vậy, x  , ta có: cho đồ thị tiếp xúc với đồ thị hàm log x 1  3   log x  x x số f ( x )  log x điểm x  3 3 x x  (1  3log x)( 3  x)  (*) HS: Tìm được: Xét hàm số h( x)  (1  3log x)( 3  x) với x  g ( x)   log x  Ta có: h( x)   x  3 Hàm số h( x) liên tục khoảng (0; 3) ( 3; ) xxxv GV: Hướng dẫn HS chứng minh bất đẳng thức đặc trưng: khoảng giá trị làm cho hàm số triệt xxxvi tiêu Do khoảng hàm số giữ nguyên dấu Do (*) log x 1  3   log x  , x  x x *) Áp dụng nhận xét, ta được: HS: Áp dụng bất đẳng thức đặc trưng a  b Hay  c 3  log a  a log b  log c b c    3 (log a  log b  log c)  chứng minh bất đẳng thức cho 1  log a log b log c     3    a b c b c   a Dấu xảy a  b  c  3 HĐ Củng cố kiến thức tập nhà 1) Sử dụng đồ tư củng cố lại phương pháp tiếp xúc chứng minh bất đẳng thức 2) Đưa nhận xét đặc điểm toán sử dụng phương pháp tiếp xúc 3) Giải toán sau: Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng:  1 1      ( a  b  c)  a b c Bài Cho số dương a, b, c, d thỏa mãn a  b2  c  d  Chứng minh rằng: 1 1     2( a  b  c  d )  12 a b c d Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn 1 15    (a  b  c)  Chứng minh a b c 2 a  b2  c  Chứng minh rằng: Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2a  a 2b  b 2c  c   1 4a  2a  4b  2b  4c  2c  Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 3a  b  c  3 Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: a 1 a  b 1 b  c 1 c  2 4) Sưu tầm, phân loại xây dựng toán sử dụng phương pháp tiếp xúc 5) Nghiên cứu đề xuất phương pháp giải Mở rộng phương pháp giải toán (Phương pháp nghiệm bội, Phương pháp hàm đặc trưng) xxxvi xxxvii Phụ lục 8: HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC Hệ thống toán có tình sử dụng tính chất liên tục hàm số để hình thành phương pháp giải bất phương trình dạng A( x)  Bài Giải bất phương trình: ( x  2) x   x  Bài Giải bất phương trình: Bài Giải bất phương trình: Bài Giải bất phương trình: 5 x2 x    x  x  5x  0 x 1      2.x   x   log  x  5     0 x  4x  3.2 x2   x  17 log ( x  4)  log ( x  7)    x2  Bài Giải bất phương trình: x  x  3x  Bài Giải bất phương trình: x log7 11  3log7 x  x Bài Giải phương trình: 2013x  2015x  2014 x x  Bài Giải bất phương trình: log 22 x  x log ( x  3)  log x  log ( x  3)  2  Bài Giải bất phương trình: 2( x  2)( x   x  2)  x  Bài 10 Giải bất phương trình: x   x  x   x Bài 11 Giải bất phương trình: x   Bài 12 Giải bất phương trình 4x  2x  1  ( x  1)( x  2x)  x 1   x  2 Hệ thống toán có tình sử dụng tính đơn điệu hàm số để phát triển phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Bài Giải phương trình x  2x   ( x  1)( x   2) x  2x+3  x  3x  9x  22  y  3y2  y  Bài Giải hệ phương trình  2 x  y  x  y    x  x  13x  y  y  10 Bài Giải hệ phương trình   x  y    x  y  x  x  10 y   x   x   y   y Bài Giải hệ phương trình  2  x  2x( y  1)  y  y   xxxvii xxxviii  xy   (2 y  x ) x  y  Bài Giải hệ phương trình  , biết y  ( y  x)( y  1)  ( y  2) x    x  y  y  x  x  y y  1( x  x ) Bài Giải hệ phương trình   x  x  x   x ( y  1)3   x( x  y )  x  y  y ( y  1) Bài Giải hệ phương trình  2  x y  5x  7( x  y )   xy  x   x  y  x  x  y  y y  1( x  x ) Bài Giải hệ phương trình   x  x  x   x ( y  1)3   x  3x  5x   y  Bài Giải hệ phương trình  y  3y2  5y   z  z  3z  5z   x  Bài 10 Chứng minh với a  , hệ phương trình sau có nghiệm nhất: e x  e y  ln(1  x )  ln(1  y )  y  x  a Bài 11 Cho số thực x, y thỏa mãn  x  y   Chứng minh ( x  x) sin y  ( y  y ) sin x Hệ thống toán sử dụng chiều biến thiên hàm số hình thành phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số Bài Tìm m để phương trình phân biệt x  x  24  x   x  m có nghiệm thực   Bài Tìm m để phương trình x 1993  1995  x  m có nghiệm thực phân biệt Bài Tìm m để phương trình mx  x   m  có nghiệm Bài Tìm m để phương trình x  m  m x  có nghiệm thực phân biệt  Bài Tìm m để phương trình x x  x  12  m  x   x  có nghiệm Bài Tìm m để phương trình x  x  x   x  x  m có nghiệm Bài Tìm m để phương trình x  2m  x   x có nghiệm Bài Tìm m để phương trình sin x  cos x x   m cos x  sin  có nghiệm khoảng [0; 2   ] xxxviii xxxix Bài Chứng minh phương trình x (4 x  1)  có nghiệm thực phân biệt Hệ thống toán sử dụng chiều biến thiên hàm số phát triển phương pháp đánh giá thông qua sử dụng hàm số Bài Giải phương trình:  2015 x   2015 x  x   x 1 Bài Giải phương trình:  2014 2014 x  2014 x 1  1007(2015 x  2015  x ) Bài Giải phương trình: x  3x  x  40  4 x    x (4 x  1)  y (2 y  1)  y  32  Bài Giải hệ phương trình:  2 x  y  x  y    4x  ( x2   1)( x2  y3  y  2)  Bài Giải hệ phương trình:   x2 x  ( y  1)  2(1  )  y   12  x   y Bài Giải hệ phương trình:    y  y   x  2   x    y  x Bài Giải hệ phương trình:  1 (x  )  y   x  xy  y   y  x   y  3x  Bài Giải hệ phương trình:  (1  y) 2x  y  2( x  1)  (2x  y  1) y Hệ thống toán sử dụng đồ thị hàm số xây dựng phương pháp tiếp xúc chứng minh bất đẳng thức Bài Cho số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c   a  b  c  Chứng minh rằng: a b c    2  a  b  c 10 Bài Cho bốn số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a  b  c  d  Chứng minh rằng: a b c d     2 2  3a  3b  3c  3d Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1    a  b2  c2 a b c xxxix xl Bài Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x2  1  y   z   82 x y z Bài Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x  y  z  12 Chứng minh rằng: 8 x  8 y  8 z  Bài Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1  a b c  b  c  3 a  b  c  a 3 3 3  Bài Cho a, b, c số thực dương a  b  c  Chứng minh : a2  b2  c2    5 2a  (b  c) 2b  (c  a) 2c  ( a  b) Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: (2a  b  c) (2b  c  a) (2c  a  b)   8 2a  (b  c) 2b  (c  a) 2c  ( a  b) Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: (b  c  a) (c  a  b) (a  b  c)    (b  c)  a (c  a)  b (a  b)  c Bài 10 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1       4    a b c a b c a b b c c a  Phụ lục 8: KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HS Nhóm lớp đối chứng lớp thực nghiệm trước thực nghiệm sư phạm đợt Bảng 3.1 Thống kê kết học tập HS nhóm lớp thực nghiệm nhóm lớp đối chứng trước thực nghiệm sư phạm đợt Tổng số HS xi 48 f i (TN) 12 10 49 f i (ĐC) 11 12 Biểu đồ 3.1 Đa giác đồ lớp thực nghiệm lớp đối chứng trước thực nghiệm sư phạm đợt xl xli Nhìn vào biểu đồ 3.1, ta thấy đỉnh hai đa giác đồ gần ngang nhau, điều chứng tỏ chất lượng nhóm lớp thực nghiệm nhóm lớp đối chứng tương đương Phụ lục 9: KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HS Nhóm lớp đối chứng lớp thực nghiệm trước thực nghiệm sư phạm đợt Bảng 3.2 Thống kê kết học tập HS lớp đối chứng lớp thực nghiệm trước thực nghiệm sư phạm đợt Tổng số HS xi 6,5 7,5 8,5 9,5 10 51 f i (TN) 14 13 2 52 f i (ĐC) 2 13 14 10 Biểu đồ 3.2 Đa giác đồ lớp thực nghiệm lớp đối chứng trước thực nghiệm sư phạm đợt Nhìn vào biểu đồ 3.2 ta thấy đỉnh hai đa giác đồ gần ngang nhau, điều chứng tỏ chất lượng nhóm lớp thực nghiệm nhóm lớp đối chứng tương đương Phụ lục 10: ĐỀ KIỂM TRA Thực nghiệm sư phạm đợt thực nghiệm sư phạm đợt Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ Bài kiểm tra Thời gian: 120 phút xli xlii Bài Cho hàm số y  x  2(m  3) x  (m  5) x  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (0;1) a) Em hãy: Tính đạo hàm bậc xác định dạng đồ thị hàm đa thức bậc hai? b) Dựa vào hình ảnh hàm đa thức bậc hai, xác định cách giải toán? c) Trình bày cách giải toán? d) Tìm cách giải khác: Sử dụng chiều biến thiên; Sử dụng tam thức bậc hai? 1 Bài Cho hàm số f ( x)  mx  (m  2) x  (2  m) x  Tìm m để hàm số có cực 3 đại bé cực tiểu a) Em hãy: Tính đạo hàm bậc xác định dạng đồ thị hàm đa thức bậc 3? b) Dựa vào dạng hình ảnh đồ thị hàm số đa thức bậc ba, xác định cách giải toán? c) Trình bày cách giải toán? d) Mở rộng toán: Tìm điều kiện để hàm đa thức bậc ba cực trị; Tìm điều kiện để hàm đa thức bậc ba có cực trị phụ thuộc điều kiện? Bài Chứng minh bất đẳng thức 3 2 52   x  2x2  9x  5x   x  11  , x   ;3  15 21   a) Bài toán có giải biến đổi đại số thông thường không? Đưa toán tìm giá trị lớn hàm số f ( x)  3 2 x  2x  9x  5x   x  11 15 21   khoảng   ;3    b) Giải phương trình f '( x)  c) Trình bày cách giải toán? d) Đưa phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng chiều biến thiên hàm số? Bài Giải bất phương trình nghiệm thực sau x  16   x  x  x  3x   x   0 a) Bài toán có đưa toán xét dấu biểu thức trái bất phương trình hay không? b) Hãy so sánh dấu biểu thức sau: x  16   x  x  x  x  xlii xliii x   x   x  c) Trình bày cách giải? d) Tìm giải pháp khác (gợi ý dựa vào tính liên tục xét dấu hàm số)? Bài Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x2 y2 z2    x 1 y 1 z 1 a) Tìm điều kiện x, y, z ? Dự đoán dấu xảy ra? Biểu thức điều kiện có dạng nào? Biểu thức vế trái bất đẳng thức dạng tổng hàm số nào? b) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số f ( x)  bất đẳng thức x2 điểm x  ? Chứng minh x 1 x2 5x  , x  (0; ) xét dấu xảy  x 1 c) Trình bày cách giải? d) Tìm cách giải khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki? Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ hai Bài kiểm tra số GV HS vấn đáp tìm giải pháp giải toán sau: Bài Tìm m để đồ thị hàm số y  x  mx  cắt trục hoành điểm + Tìm hiểu toán: Xác định dạng đồ thị hàm đa thức bậc ba? + Tìm giải pháp: Quan sát đồ thị hàm số xác định cách giải toán? + Thực giải pháp: Trình bày cách giải toán? + Tìm cách giải khác: Viết phương trình hoành độ giao điểm? Đưa phưuơng trình dạng g ( x)  m ? Lập bảng biến thiên hàm số g ( x) tìm m ? + Đưa phương pháp sử dụng chiều biến thiên toán tìm điều kiện có nghiệm phương trình bất phương trình? Bài Tìm m để đồ thị hàm số y  x 1 cắt đường thẳng d có hệ số góc m qua x 1 A(2; 2) hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị + Tìm hiểu toán: Xác định phương trình đường thẳng d ? Xác định biến đổi phương trình hoành độ giao điểm? + Tìm giải pháp: Xét phương trình hoành độ giao điểm quan sát dạng đồ thị hàm số xác định cách giải toán? Sử dụng chiều biến thiên tìm điều kiện? + Thực giải pháp: Trình bày cách giải toán? + Tìm cách giải khác: Đặt ẩn phụ t  x  xác định toán tương đương? xliii xliv Bài Giải phương trình nghiệm thực sau: 15 x  30x  18 x  x  8( x  2) 15x   35  + Tìm hiểu toán: Đưa biểu thức 15 x  30x dạng tích; So sánh với 8( x  2) 15x  biến đổi phương trình? + Tìm giải pháp: Đưa phương trình dạng hai hàm số f ( 15x  1)  g ( x ) Xét biến thiên hai hàm số tìm nghiệm? + Thực giải pháp: Trình bày cách giải toán? + Tổng quát toán: Phương pháp chiều biến thiên giải phương trình? Bài kiểm tra số Thời gian: 120 phút Bài Cho hàm số y  (m  1) x  (m  2m  8) x  m Tìm m để hàm số có cực trị, có cực đại cực tiểu a) Xác định thông tin liên quan đến toán: Đạo hàm bậc nhất; Các dạng đồ thị hàm đa thức bậc bốn? b) Quan sát dạng hình ảnh đồ thị hàm đa thức bậc bốn xác định cách giải toán? b) Trình bày cách giải toán? c) Mở rộng toán: Xác định điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu, hàm số có cực đại Bài Cho hàm số y  x  3mx  m Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ lớn 1 a) Xác định thông tin liên quan đến toán: Phương trình hoành độ giao điểm có nhẩm nghiệm không? Vẽ dạng đồ thị hàm đa thức bậc ba hệ số a dương hình ảnh trục Ox ? b) Quan sát hình ảnh đồ thị hàm số bậc ba xác định cách giải? c) Trình bày cách giải? d) Mở rộng toán: Dựa vào hình ảnh đồ thị hàm số, tìm cách giải toán “Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d , a  cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ lớn x0 ”? e) Tìm cách giải khác: Sử dụng chiều biến thiên hàm số? Bài Tìm điểm A thuộc trục tung cho qua A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y  2 x  x  xliv xlv a) Xác định thông tin: Điểm thuộc trục trung có hoành độ mấy? Nêu tính chất đối xứng hàm đa thức bậc bốn trùng phương? b) Nêu tính chất tiếp tuyến qua A Tìm điều kiện cần để hàm số có ba tiếp tuyến? c) Thực giải pháp? d) Đề xuất toán cách giải? Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  3a  1  b3  3b   c  3c   2 2 a) Tìm điều kiện a, b, c ? Dự đoán dấu xảy ra? Biểu thức điều kiện có dạng nào? Biểu thức vế trái bất đẳng thức dạng tổng hàm số nào? b) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số f ( x )  x  3x  Chứng minh bất đẳng thức x  3x  điểm x  ? 1  2x  , x  [0;1] xét dấu xảy ra? 2 c) Trình bày cách giải? d) Tìm cách giải khác: Tìm bất đẳng thức x  3x   ax  b, x  [0;1] theo cách khác? Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  2abc Tìm giá trị nhỏ P  1   2 a (2a  1) b(2b  1) c(2c  1) a) Tìm điều kiện a, b, c ? Dự đoán dấu xảy ra? Biến đổi biểu thức điều kiện dạng tổng hàm? Biểu thức vế trái bất đẳng thức dạng tổng hàm số nào? b) Đặt ẩn phụ x  1 , y  , z  đưa toán toán ẩn Chọn “hàm số a b c đặc trưng” viết phương trình tiếp tuyến điểm xảy dấu bằng? Xác định chứng minh bất đẳng thức đặc trưng? c) Trình bày cách giải? d) Tìm cách giải khác (Sử dụng phương pháp tiếp xúc)? xlv [...]... quả dạy học giải tích - Các biện pháp sư phạm dạy học giải tích theo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ thông qua trang bị một số TPHĐNT là khả thi và hiệu quả 10 Cấu trúc của luận án Luận án gồm phần Mở đầu, Kết luận và 3 chương: Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2 Một số biện pháp dạy học Giải tích ở trường THPT theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt. .. quyết vấn đề và năng lực giải quyết vấn đề Năng lực không mang tính chung chung, khi nói về năng lực là gắn với một hoạt động cụ thể nào đó, chẳng hạn năng lực Toán học của hoạt động học tập hay nghiên cứu Toán học, năng lực giảng dạy của hoạt động giảng dạy, năng lực GQVĐ trong dạy học Toán của hoạt động GQVĐ trong dạy học Toán, Giữa hoạt động GQVĐ và năng lực GQVĐ có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, năng. .. chướng ngại và giúp HS giải quyết những khó khăn chướng ngại trong thực hiện hoạt động nhận thức Toán học 1.2.5 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức Toán học cụ thể Trên bình diện tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động, luận án đề xuất một số nhóm TPHĐNT Toán học sau đây: 1.2.5.1 Thủ pháp hoạt động nhận thức thuộc tri thức về phương pháp thực hiện hoạt động trí tuệ chung a) Thủ pháp chia nhỏ đối tượng... lực GQVĐ trong dạy học giải tích - Đề xuất các biện pháp sư phạm làm sáng tỏ cách dạy học nội dung giải tích theo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ thông qua trang bị một số TPHĐNT 12 8.2 Về mặt thực tiễn - Chỉ ra một số hạn chế trong dạy học giải tích do GV chưa chú ý đến trang bị một số TPHĐNT - Đưa ra các hướng dẫn sư phạm cụ thể cho việc trang bị một số TPHĐNT trong dạy học nội dung Giải tích Cung cấp... mới, năng lực phát triển giải pháp Sơ đồ sau đây mô tả các thành tố của năng lực GQVĐ: Quá trình GQVĐ Thành tố năng lực GQVĐ Tìm hiểu và nhận biết vấn đề Năng lực hiểu vấn đề Tìm giải pháp Năng lực tìm ra giải pháp Thực hiện giải pháp Năng lực thực hiện giải pháp Nghiên cứu sâu giải pháp Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp Hình 1.1 Các thành tố của năng lực GQVĐ 1.1.3.5 Mối quan hệ giữa hoạt động giải quyết. .. quả dạy học môn Toán ở trường THPT - Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, chứng minh cho tính khả thi của dạy học Giải tích theo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ thông qua trang bị một số TPHĐNT 9 Nội dung đưa ra bảo vệ - Quan niệm về TPHĐNT, ý nghĩa của TPHĐNT, vai trò của TPHĐNT, tình huống sử dụng TPHĐNT, một số TPHĐNT cụ thể - Trang bị TPHĐNT toán học có vai trò quan trọng trong dạy học giải. .. dạy học giải tích ở trường THPT Cơ hội hình thành và phát triển năng lực GQVĐ qua dạy học giải tích, mối quan hệ giữa trang bị TPHĐNT và năng lực GQVĐ trong dạy học giải tích - Quá trình trang bị TPHĐNT đã bồi dưỡng được các thành tố của năng lực GQVĐ thông qua các tình huống cụ thể như học khái niệm, học định lý, học quy tắc, học phương pháp và vận dụng kiến thức giải tích, đồng thời quan tâm hợp... đề và trong tình huống này là vấn đề trong tình huống khác lại không là vấn đề Vấn đề trong toán học, gồm: Vấn đề thuần túy toán học; Vấn đề ứng dụng Các vấn đề khác nhau được giải quyết theo nhiều cách khác nhau Ở nội dung toán THPT, vấn đề xuất hiện trong tất cả các tình huống dạy học điển hình: dạy học khái niệm, dạy học định lý, dạy học quy tắc phương pháp, dạy học giải bài tập dưới dạng những câu... thành phần là năng lực xây dựng kế hoạch và năng lực trình bày giải pháp và điều chỉnh *) Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp: Là khả năng của cá nhân xem xét, kiểm nghiệm để đưa ra giải pháp mới và vấn đề mới trên cơ sở các thông tin có được từ GQVĐ Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp gồm các thành phần: năng lực đề xuất giải 23 pháp mới, năng lực xây dựng vấn đề mới, năng lực vận dụng giải pháp vào tình... chất, bài toán có thuật toán, bài toán chưa có thuật giải, bài toán tìm tòi, bài toán chứng minh Từ phân tích các quan niệm về “bài toán” và vấn đề , trong luận án quan niệm: Bài toán trong dạy học toán THPT là một yêu cầu đặt ra, HS nhận thức được sự cần thiết, mong muốn và tích cực suy nghĩ tìm cách thức để giải quyết Vấn đề trong dạy học toán THPT là một bài toán mà HS chưa biết cách giải quyết nhưng