Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Môn Toán trường phổ thông giữ vị trí, vai trò quan trọng Là môn học bản, môn học công cụ Nếu học tốt môn toán tri thức với phương pháp làm việc toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ toán học cần thiết; môn toán rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo bồi dưỡng óc thẩm mĩ Trong chương trình toán học bậc trung học phổ thông, phương trình vô tỉ toán mà học sinh thường gặp nhiều khó khăn làm, nhiều em mặc định bỏ qua thi kì thi Quốc Gia Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư môn toán tập trung khai thác chức máy tính bỏ túi (Trong phần trình bày sang kiến kinh nghiệm sử dụng máy tính Casio fx570vn, máy tinh tương đương làm tương tự) Với hướng sử dụng công cụ máy tính bỏ túi quen thuộc với học sinh, em thấy điểm xuất phát toán từ định hướng giải phương trình vô tỉ Đó lí để chọn đề tài: “ Định hướng giải phương trình vô tỉ máy tính bỏ túi” II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận vấn đề: Như ta biết phương trình f ( x) = có nghiệm x1 , x2 , x3 , f ( x) phân tích theo nhân tử: ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) Do dựa vào chức qr(Shift solve) ta tìm vài nghiệm phương trình từ ta dự đoán nhân tử phương trình Cơ sở thực tiễn vấn đề: Xuất phát từ thực tế giảng dạy học sinh thường khó hình dung phải làm toán phương trình vô tỉ đề thi Quốc Gia đại đa số em bị động trước dạng toán phương trình vô tỉ Vấn đề trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh có cách nhìn hướng phương trình vô tỉ đề thi Quốc Gia Từ giúp em chủ động lĩnh hội đơn vị kiến thức III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Các kĩ thuật sử dụng máy tính có liên quan 1.1 Nhớ giá trị vào biền nhớ Ví dụ: Ta cần nhớ số vào biến A Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Ta thực sau:s2qJz Màn hình xuất → A 1.2 Tìm nghiệm phương trình Ví dụ: Tìm nghiệm phương trình x5 + 3x = x + Để thuận tiện cho việc tính toán ta nên đưa hết vế Khi phương trình tương đương với x5 + 3x − x − = Ta thực sau: B1 Nhập nhớ biểu thức: Q)^5$+3Q)dp2Q)p3= B2 Tìm nghiệm nhớ nghiệm: qr10=qJz (Với điểm xuất phát x = 10 ta nghiệm 1,0965… nhớ vào A) Eqrp10=qJx (Gọi lại biểu thức giải với x = −10 ta nghiệm -1,4314…được nhớ vào B) 1.3 Kỹ thuật quét nghiệm phương trình Thông thường ta gán giá trị x khác ta vài nghiệm Vấn đề đặt phương trình hết nghiệm chưa? Ta giải vấn đề sau: x5 + 3x − x − E!)a(J)pJz)(J)pJx)Eor1=== (Chèn nhớ biểu thức ) ( x − A)( x − B ) qr===qJc (Ta nghiệm -0,7601… nhớ vào biến C E!!(J)pJc)r1==== x5 + 3x − x − (Gọi lại biểu thức, chèn nhớ biểu thức ) ( x − A)( x − B )( x − C ) qr==== (Tiếp tục giải máy báo Can’t Solve) Vậy phương trình cho có nghiệm Kiểm tra lại phần mềm vẽ đồ thị thấy phương trình có nghiệm 1.4 Chú ý - Khi sử dụng máy tính lạ ta nên đư máy trạng thái mặc định ( q93==) để tránh lỗi - Máy báo chưa tìm nghiệm Ví dụ:Khi giải phương trình x5 − 3x + x − = với x = máy báo Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Điều có nghĩa máy chưa tìm nghiệm phương trình với giá trị ban đầu x = máy hỏi có tiếp tục để máy tính tiếp không Kinh nghiệm nên thay giá trị ban đầu khác (Khi máy tính đến thời gian mà không nghiệm máy báo “Continue” – có tiếp tục tính ấn dấu = Ở L – R có nghĩa vế trái trừ vế phải giá trị x hiển thị) Các toán minh họa 2.1 Phương trình vô tỉ có nghiệm hữu tỉ Phương pháp chung: Tìm nhân tử tách theo nhân tử để nhân liên hợp Ví dụ 1: Giải phương trình 3x + − − x + 3x − 14 x − = (trích đề khối B2010) a Tính toán máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện − ≤ x ≤ s3Q)+1$ps6pQ)$+3Q)dp14Q)p8= (Nhập nhớ biểu thức) qr0= (Giải phương trình với x = máy báo nghiệm) $qr6= (Giải phương trình với x = máy báo nghiệm) $qr3= (Giải phương trình với x = phương trình có nghiệm x = (Lưu ý: Khi phương trình có điều kiện nằm khoảng (đoạn) không nên cho điểm xuất phát gần hai đầu mút ) !)aQ)p5Eoqr3= (quét nghiệm phương trình ta phương trình hết nghiệm) b Tìm nhân tử Phương trình có nghiệm x = nên ta có nhân tử x − 3( x − 5) = x + − 16 = ( x + 1) − Do ta có  2  −( x − 5) = − x − = ( − x ) − Như phương trình viết lại ( x + − ) − ( − x − 1) + x − 14 x − = (Ở việc nhóm số hạng với hai biểu thức dễ) Nhân lượng lên hợp ta x −5 5− x 1   − + ( x − 5)(3 x + 1) = ⇔ ( x − 5)  + + (3 x + 1) ÷ = 3x + + − x +1 − x +1  3x + +  c Lời giải chi tiết ĐK: − ≤ x ≤ Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh pt ⇔ ( 3x + − ) − ( − x − 1) + 3x − 14 x − = x−5 5− x ⇔ − + ( x − 5)(3x + 1) = 3x + + − x +1 1   ⇔ ( x − 5)  + + (3 x + 1) ÷ = − x +1  3x + +  x − = ⇔ 1  + + (3 x + 1) = − x +1  x + + * * x − = ⇔ x = ( n) 1 + + (3 x + 1) = (VN ) 3x + + − x +1 Vì với − ≤ x ≤ ta có 1 + + (3 x + 1) > 3x + + − x +1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ2: Giải phương trình x − x + − 21x − 17 + x − x = a Tính toán máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện x ≥ 17 21 s2Q)dpJ)+3$ps21J)p17$+J)dpJ) (Nhập biểu thức) qr2= (Giải phương trình với x = ta nghiệm x = ) qr10= ( Giải phương trình với x = 10 ta nghiệm x = ) !)aQ)p2Eoqr10= (quét nghiệm phương trình ta nghiệm x = ) !Rr3=!!!!!($$$)(Q)p1)qr10= (tiếp tục quét nghiệm phương trình ta phương trình hết nghiệm) b Tìm nhân tử Phương trình có nghiệm x = 1, x = nên ta có nhân tử ( x − 1)( x − 2) = x − 3x + 2  2 2  x − 3x + = x − x + − ( x + x + 1) = ( x − x + ) − ( x + 1) Do ta có   x − 3x + = ( x − x ) − x + Như phương trình viết lại  x − x + − ( x + 1)  + (3 x − 1) − 21x − 17  + ( x − x + 2) = (Ở việc nhóm số hạng với 21x − 17 tương đối phức tạp nên ta dùng phần bù ) Nhân lượng lên hợp ta x − 3x + 2 x − x + + ( x + 1) + x − 27 x + 18 + ( x − 3x + 2) = (3 x − 1) + 21x − 17 Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh   ⇔ ( x − x + 2)  + + 1 =  x − x + + ( x + 1) (3 x − 1) + 21x − 17  c Lời giải chi tiết ĐK: x ≥ 17 21 pt ⇔  x − x + − ( x + 1)  + (3 x − 1) − 21x − 17  + ( x − x + 2) = x − 3x + x − 27 x + 18 ⇔ + + ( x − x + 2) = 2 x − x + + ( x + 1) (3x − 1) + 21x − 17   ⇔ ( x − 3x + 2)  + + 1 =  x − x + + ( x + 1) (3 x − 1) + 21x − 17   x − 3x + =  ⇔ + +1 =  x − x + + ( x + 1) (3x − 1) + 21x − 17  *  x = ( n) x − 3x + = ⇔   x = ( n) * x − x + + ( x + 1) Vì với x ≥ 17 ta có 21 + (3 x − 1) + 21x − 17 x − x + + ( x + 1) + + = (VN ) (3 x − 1) + 21x − 17 +1 > Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1; x = Nhận xét: Khi giải phương trình vô tỉ có biểu thức bậc cần tìm nghiệm phân tích phương trình vô tỉ có biểu thức bậc hai tìm nhân tử bậc hai giúp ta phân tích nhân tử dễ dàng Mở rộng cho bất phương trình vô tỉ Ví dụ 3: Giải bất phương trình 32 x − 16 x − x − x − + ≥ (Trích đề thi thử số năm 2016 báo THTT số 459 tháng 9/2015) a Tính toán máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện x ≥ 32Q)^4$p16Q)dp9Q)p9s2Q)p1$+2= (Nhập nhớ biểu thức) Qr10=(Giải phương trình với x = 10 phương trình có nghiệm x = !)aQ)p1Eoqr10=qr2=qr0 5= (quét nghiệm phương trình máy báo không tìm nghiệm) w732Q)^4$p16Q)dp9Q)p9s2Q)p1$+2==0.5=10==$RRRRRRRRRR (Kiểm tra chức table thấy hết nghiệm) Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh b Tìm nhân tử Ta nhẩm nghiệm nghiệm x = nên ta có nhân tử x − Do ta có 2( x − 1) = x − − = ( x − ) − 12 Như bất phương trình viết lại −9 ( x − − 1) + 32 x − 16 x − x − ≥ Nhân lượng lên hợp phân tích nhân tử ta 2x − + ( x − 1)(32 x + 32 x + 16 x + 7) ≥ x −1 + 18   ⇔ ( x − 1)  32 x + 32 x + 16 x + − ÷≥ 2x −1 +1   −9 c Lời giải chi tiết ĐK: x ≥ bpt ⇔ −9 ( x − − 1) + 32 x − 16 x − x − ≥ 2x − ⇔ −9 + ( x − 1)(32 x + 32 x + 16 x + 7) ≥ 2x −1 +1 18   ⇔ ( x − 1)  32 x + 32 x + 16 x + − ÷≥ 2x −1 +1   Xét hàm f ( x) = 32 x + 32 x + 16 x + − f ′ = 96 x + 64 x + 16 + (*) 18 1   ; +∞ ÷ 2x −1 +1 2  18 1  ≥ ∀x ∈  ; +∞ ÷ 2 x − 2( x − + 1) 2  1 1  ⇒ f ( x) ≥ f  ÷ = > ∀x ∈  ; +∞ ÷ 2 2  (*) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥1 Vậy bất phương trình có nghiệm x ≥ 2.2 Phương trình vô tỉ có nghiệm vô tỉ Nhận xét: Do chương trình phổ thông có phương pháp giải phương trình bậc hai nên nghiệm vô tỉ nghiệm phương trình bậc hai Từ ta dẫn tới hướng giải tìm nhân tử bậc hai nghiệm vô tỉ Chú ý: Theo định lí đảo định lí Vi-et ta có: u + v = S Nếu hai số u, v thỏa mãn  u, v nghiệm phương trình uv = P x − Sx + P = Phương pháp chung: Tìm nhân tử tách theo nhân tử để nhân liên hợp Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Ví dụ 1: Giải phương trình x − x + − x − + x − x + = a Tính toán máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện x ≥ s5Q)dp5Q)+3$ps7Q)p2$+4Q)dp6Q)+1r1= (Nhập nhớ biểu thức) qr=qJz (Giải phương trình với x = nghiệm x = 1,39 nhớ vào A) Eqr10=(Giải phương trình với x = 10 nghiệm A) !)a(J)pJz)Eor1==qr==qJx (quét nghiệm phương trình ta nghiệm x = 0,35 nhớ vào B) !!(J)pJx)r1===qr=== (Tiếp tục quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm) b Tìm nhân tử Phương trình có nghiệm A, B dễ thấy 7(CQz+Qx=)   A + B =   AB = ($$$o=)  nên ta có nhân tử x − x +  x − x + = x − x + − ( x + x + 1) = ( x − x + 3) − ( x + 1) Do ta có  2 2  x − x + = x − (7 x − 2) = (2 x) − ( x − 2) Như phương trình viết lại ( ) x − x + − ( x + 1) + ( x − x − ) + x − x + = Nhân lượng liên hợp ta    x2 − x +  x2 − x + 2  ÷+  ÷+ x − x + =  x − x + + ( x + 1)   x + x −  1   ⇔ (4 x − x + 2)  + + 1÷ =  x − x + + ( x + 1) x + x −  c Lời giải chi tiết ĐK: x ≥ Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi pt ⇔ ( Trần Văn Minh ) x − x + − ( x + 1) + ( x − x − ) + x − x + =    4x2 − x +  x2 − x + 2 ⇔ ÷+  ÷+ x − x + =  x − x + + ( x + 1)   x + x −  1   ⇔ (4 x − x + 2)  + + 1÷ =  x − x + + ( x + 1) x + x −  4 x2 − x + =  ⇔ 1 + +1 =  x − x + + ( x + 1) x + x − *  + 17 (n) x = x2 − x + = ⇔   − 17 (n) x =  * x − x + + ( x + 1) Vì với x ≥ ta có + + = (VN ) 2x + 7x − x − x + + ( x + 1) + +1 > 2x + 7x − Vậy phương trình cho có nghiệm x = ± 17 Ví dụ 2: Giải phương trình x − ( 15 − x + x ) = 15 − 15 x − x − x (Trích đề thi thử năm 2015 trường THPT Cao Bá Quát - QN) a Tính toán máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện ≤ x ≤ 15 Q)dp2(s15pJ)d$+J))p15+3s15J)pJ)qd$+4sQ)r1= (Nhập nhớ biểu thức) qr=qJz (Giải phương trình với x = nghiệm x = 2,35 nhớ vào A) E!)aJ)pJzEor1==qr== (quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm) b Tìm nhân tử Trong trường hợp máy cho ta nghiệm vô tỉ nghiêm liên hợp bị loại vi phạm điều kiện Mặt khác phương trình có nhiều nên việc mở rộng diều kiện phương trình tương đối khó Ở ta khác phục chức Table (w7) sau w7Jzd+JzJ)=p14=14== (Nhập biểu thức f ( x) = A2 + AX với A nghiệm vừa tìm tính với x ∈ [ −14;14] ) $RRRRRRRRRRRRRRRRRR 10 Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh (Dò giá trị f ( x) tìm giá trị hữu tỉ) Ta thấy với f (4) = 15 hay ta có A2 + A = 15 ⇔ A2 + A − 15 = Suy ta có nhân tử x + x − 15  −( x + x − 15) = 15 − x − x = ( 15 − x ) − (2 x ) Do ta có   − x( x + x − 15) = 15 x − x − x = ( 15 x − x ) − (2 x) Như phương trình viết lại −2 ( 15 − x − x ) + ( 15 x − x − x ) + x + x − 15 = Nhân lượng lên hợp ta −2 15 − x − x 15 − x + x +3 15 x − x − x 15 x − x + x + x + x − 15 = 3x   ⇔ ( x + x − 15)  − + 1÷ = 15 x − x + x   15 − x + x c Lời giải chi tiết ĐK: ≤ x ≤ 15 pt ⇔ −2 ( 15 − x − x ) + ( 15 x − x3 − x ) + x + x − 15 = 15 − x − x ⇔ −2 15 − x + x +3 15 x − x3 − x 15 x − x + x + x + x − 15 = 3x   ⇔ ( x + x − 15)  − + 1÷ = 15 x − x + x   15 − x + x  x + x − 15 =  ⇔ 2−3 x  15 − x + x + =  * *  x = −2 + 19 (n) x + x − 15 = ⇔   x = −2 − 19 (l ) 2−3 x 15 − x + x + = ⇔ 15 − x + (2 − x ) = (VN ) Vì với ≤ x ≤ 15 ta có ≤ x < ⇔ x < Vậy phương trình cho có nghiệm x = −2 + 19 Nhận xét: Như phương trình bất phương trình cho ta đủ hai nghiệm lên hợp việc tìm nhân tử theo định lí Vi – ét dễ dàng Tuy nhiên phương trình cho ta nghiệm vô tỉ ta tìm nhân tử nhờ chức Table Mở rộng cho bất phương trình vô tỉ 11 Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Ví dụ 3: Giải phương trình x2 + Trần Văn Minh 19 x x +1 − − 6x −1 ≥ (Trích đề thi thử năm 2015 trường THPT Hồng Quang - HD) a Tính toán máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện x ≥ Ta biến đổi bất phương trình thành x + 38 x − − x − − x − ≥ s4Q)d+38Q)p1$p2s6Q)p1$pQ)p1r1= (Nhập nhớ biểu thức) qr=qJz(Giải phương trình với x = nghiệm x = 0,58 nhớ vào A) qr=qJzEqr10=qJx (Giải phương trình với x = 10 nghiệm x = 3, 41 nhớ vào B) E!)a(J)pJz)(J)pJx)Eor1===qr=== (quét nghiệm máy không tìm nghiệm giá trị x → +∞ phương trình hết nghiệm) b Tìm nhân tử A + B =  AB = Phương trình có nghiệm A, B dễ thấy  nên ta có nhân tử x − x + Do ta có 4( x − x + 2) = x + 38 x − − (54 x − 9) = ( x + 38 x − 1) − (3 x − 1) Như phương trình viết lại ( x + 38 x − − x − ) + x − − ( x + 1) ≥ Nhân lượng lên hợp ta 4( x − x + 2) x + 38 x − + x − + x − − ( x + x + 1) ≥0 x − + ( x + 1)   ⇔ ( x − x + 2)  − ≥0 x − + ( x + 1) ÷  x + 38 x − + x −  c Lời giải chi tiết ĐK: x ≥ bpt ⇔ x + 38 x − − x − − x − ≥ ⇔ ( x + 38 x − − x − ) + x − − ( x + 1) ≥ ⇔ 4( x − x + 2) x + 38 x − + x − + x − − ( x + x + 1) ≥0 x − + ( x + 1)   ⇔ ( x − x + 2)  − ÷≥ x − + ( x + 1) x + 38 x − + x −   12 (*) Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Do x ≥ nên ta có [ 4( x + 1)] − (4 x + 38 x − 1) = 12 x − x + 17 > ⇒ 4( x + 1) > x + 38 x − Ta có x + 38 x − + x − = Trần Văn Minh ( − = x − + ( x + 1) x − + 4( x + 1) − x + 38 x − x − + ( x + 1) ) ( x + 38 x − + x − ) > ∀x ≥ x ≥ + bpt (*) ⇔ x − x + ≥ ⇔   x ≤ − ≤ x ≤ − 2; x ≥ + Kết hợp điều kiện ta nghiệm bất phương trình 2.3 Chú ý Ngoài cách tìm nhân tử tách theo nhân tử để nhân liên hợp dạng phương trình, vô tỉ làm theo cách tách thành phương trình tích (Phương pháp ép tích) Ví dụ 1: Giải phương trình ( x − 1) 3x − = x − x + (Trích đề số – hướng dẫn ôn tập kì thi THPTQG năm 2014 – 2015) a Tính toán máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện x ≥ (J)p1)s3J)p1$p2Q)d+4Q)p1 r1= (Nhập nhớ biểu thức) qr=qJz(Giải phương trình với x = nghiệm x = 0.38 nhớ vào A) Eqr10=qJx (Giải phương trình với x = 10 nghiệm x = 2, 61 nhớ vào B) EE!)a!R(J)pJz)J(J)pJx)$or10===qr===qJc (quét nghiệm phương trình ta nghiệm x = 0.35 nhớ vào C ) E!!(J)pJc)r10====qr==== (Tiếp tục quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm) b Tìm nhân tử Ta thấy A + B = 3, AB = A B hai nghiệm liên hợp cho ta nhân tử Ở ta dung chức Table (w7) để tìm nhân tử sau w7s3Jzp1$+JzJ)=p5=== (Nhập biểu thức x ∈ [ −5;5] ) A − + AX với A nghiệm vừa tìm tính với 13 Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh $RRRR (Dò giá trị f ( x ) tìm giá trị hữu tỉ) Ta thấy với f (−1) = hay ta có 3x − − x nhân tử Tương tự với nghiệm C C$$$oJc$$$$$oJc==== $RRRRRRR Ta thấy với f (2) = hay ta có 3x − + x − nhân tử Do phương trình có tích ( 3x − − x ) ( 3x − + x − 1) c Lời giải chi tiết ĐK: x ≥ pt ⇔ (2 x − − x ) x − = x(2 x − 1) − (3 x − 1) ⇔ (2 x − 1) ( x − − x ) − x − ( x − x − ) = ⇔ ( x − − x ) ( x − + x − 1) =  3x − = x ⇔  x − = − x * 3x − = x ⇔ x − = x ⇔ x − x + = ⇔ x = *  x ≤ 3x − = − x ⇔  ⇔ 2 3 x − = x − x +  3± (do x ≥ )  x ≤ ⇔  4 x − x + =  Vậy phương trình cho có nghiệm x =   x ≤ − 17 ⇔ x=   x = ± 17  3± − 17 ,x = Ví dụ 2: Giải phương trình (5 x + 7) x − = x + x + a Tính toán máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện x ≥ 1; x ≤ −1 (5J)+7)sJ)dp1$p4J)dp5J)p1r1= (Nhập nhớ biểu thức) qr=qJz(Giải phương trình với x = nghiệm x = nhớ vào A) Eqr10=(Giải phương trình với x = 10 nghiệm A) qrp10=qJx (Giải phương trình với x − 10 nghiệm x = −1,18 nhớ vào B) qrp1=(Giải phương trình với x − nghiệm x = −1 ) EE!)a(J)pJz)(J)pJx)9(J)p1)Eoqr==p10= 14 Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh (Quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm) b Tìm nhân tử Ta thấy phương trình có nghiêm hữu tỉ vô tỉ theo kinh nghiệm ta nên phân tích theo nghiệm vô tỉ w7sJxdp1$+JxJ)=p5=== (Nhập biểu thức x ∈ [ −5;5] ) B − + BX với B nghiệm vừa tìm tính với $RRR (Dò giá trị f ( x ) tìm giá trị hữu tỉ) Ta thấy với f (−2) = hay ta có x − − x − nhân tử Theo ví dụ ta tách x + theo x + c Lời giải chi tiết ĐK: x ≥ 1; x ≤ −1 pt ⇔ (4 x + + x + 1) x − = ( x + 1)(2 x + 3) + x − ⇔ ( x + 1) ( x − − x − 3) + x − ( x + − x − ) = ⇔ ( x − − x − 3) ( x + − x − ) =  x2 −1 = x + ⇔  x − = x + * *  x≥− 3    −6 + x ≥ − x ≥ −  x2 − = 2x + ⇔  ⇔ ⇔ ⇔x= 2  x − = x + 12 x + 3 x + x + 10 =  x = −6 ±     x ≥ −1  x = −1   x ≥ −1  x ≥ −1   x = −1  2 x −1 = x + ⇔  ⇔ ⇔  ⇔ x = 5  x − = x + x + 3x − x − =  x =    Vậy phương trình cho có nghiệm x = −6 + ; x = −1; x = 3 Mở rộng cho bất phương trình vô tỉ Ví dụ 3: Giải bất phương trình x − 3( x + 1) x + ≤ a Tính toán máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện x ≥ − 2Q)dp3(J)+1)s2J)+1r0= (Nhập nhớ biểu thức) qr=qJz(Giải phương trình với x = nghiệm x = 6.46 nhớ vào A) 15 Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Eqr10=(Giải phương trình với x = 10 nghiệm A) !)a(J)pJz)Eor1==qr==qJx (Quét nghiệm phương trình nghiệm x = −0.46 nhớ vào B) E!!(J)pJx)r1===qr=== (tiếp tục quét nghiệm may báo hét nghiệm) b Tìm nhân tử Ta thấy AB = A + B = nên A, B cho ta nhân tử Với nghiệm A ta có w7s2Jzp1$po+JzJ)=0=== (Nhập biểu thức x ∈ [ 0;5] ) A − + AX với A nghiệm vừa tìm tính với $RRRRR (Dò giá trị f ( x) tìm giá trị hữu tỉ) Ta thấy giá trị thỏa mãn Cp====$RRRRR (Sửa biểu thức thành − A − + AX tính với x ∈ [ 0;5] ) không thỏa mãn C$2====$RRRRR (Sửa biểu thức thành −2 A − + AX tính với x ∈ [ 0;5] ) lần ta f (1) = −1 Vậy nhân tử là: x + − x − c Lời giải chi tiết ĐK: x ≥ − bpt ⇔ ( x + 1) − 4( x + 1) ) x + + 2( x + 1) − (4 x + 2) ≤ ⇔ 2( x + 1) ( x + − x + ) + x + ( x + − x + ) ≤ ⇔ ( x + − 2x + 1) ( 2x + + x + 1) ≤ ⇔ 2x +1 ≥ x +1 ⇔ 8x + ≥ x2 + 2x + 1   Do x + + x + = x + + x + + > ∀x ≥ − ÷  2 1   Do x ≥ − ÷  2 ⇔ x2 − 6x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ + ( n) Vậy nghiệm bất phương trình − ≤ x ≤ + IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI - Với việc áp dụng phương pháp vào giảng dạy thấy hứng thú học học sinh làm tạp dạng nâng cao nhiều Các em học sinh 16 Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh đa biết đường hướng dể làm không bị động gặp dạng toán Một số em chủ động tìm kiếm thêm tập để làm - Trong trình ôn thi học sinh giỏi 12 năm câu phương trình, bất phương trình vô tỉ em chủ động làm khác với năm trước em vất vả làm câu phương trình bất phương trình vô tỉ V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài có phạm vi áp dụng thực tế đạt hiệu nhóm ôn thi học sinh giỏi lớp 12 Trên sở đó, đề xuất đưa dụng thực tiễn cho toàn học sinh khối12 trường 17 [...]... Eqr10= (Giải phương trình với x = 10 được nghiệm A) qrp10=qJx (Giải phương trình với x − 10 được nghiệm x = −1,18 và nhớ vào B) qrp1= (Giải phương trình với x − 1 được nghiệm x = −1 ) EE!)a(J)pJz)(J)pJx)9(J)p1)Eoqr==p10= 14 Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi Trần Văn Minh (Quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm) b Tìm nhân tử Ta thấy phương trình có cả nghiêm hữu tỉ và vô tỉ và theo kinh... phương trình đã cho có nghiệm x = −6 + 6 5 ; x = −1; x = 3 3 Mở rộng cho bất phương trình vô tỉ Ví dụ 3: Giải bất phương trình 2 x 2 − 3( x + 1) 2 x + 1 ≤ 0 a Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện x ≥ − 1 2 2Q)dp3(J)+1)s2J)+1r0= (Nhập và nhớ biểu thức) qr=qJz (Giải phương trình với x = 0 được nghiệm x = 6.46 và nhớ vào A) 15 Định hướng giải phương trình vô. .. nghiệm của bất phương trình là 6 2.3 Chú ý Ngoài cách tìm nhân tử và tách căn theo nhân tử để nhân liên hợp dạng phương trình, vô tỉ còn có thể làm theo cách tách thành phương trình tích (Phương pháp ép tích) Ví dụ 1: Giải phương trình ( x − 1) 3x − 1 = 2 x 2 − 4 x + 1 (Trích đề số 8 – hướng dẫn ôn tập kì thi THPTQG năm 2014 – 2015) a Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm của phương trình chú... vừa tìm được ở trên và tính với 13 Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi Trần Văn Minh $RRRR (Dò giá trị f ( x ) tìm giá trị hữu tỉ) Ta thấy với f (−1) = 0 hay ta có 3x − 1 − x là nhân tử Tương tự với nghiệm C C$$$oJc$$$$$oJc==== $RRRRRRR Ta thấy với f (2) = 1 hay ta có 3x − 1 + 2 x − 1 là nhân tử Do đó phương trình có tích ( 3x − 1 − x ) ( 3x − 1 + 2 x − 1) c Lời giải chi tiết ĐK: x ≥... Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1   x ≤ 2 7 − 17 ⇔ x=  8  x = 7 ± 17  8 3± 2 7 − 17 ,x = 2 8 Ví dụ 2: Giải phương trình (5 x + 7) x 2 − 1 = 4 x 2 + 5 x + 1 a Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện x ≥ 1; x ≤ −1 (5J)+7)sJ)dp1$p4J)dp5J)p1r1= (Nhập và nhớ biểu thức) 5 qr=qJz (Giải phương trình với x = 1 được nghiệm x = và nhớ vào A) 3 Eqr10= (Giải phương. .. 3 ≤ 0 ⇔ 3 − 2 3 ≤ x ≤ 3 + 2 3 ( n) Vậy nghiệm của bất phương trình là 3 − 2 3 ≤ x ≤ 3 + 2 3 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI - Với việc áp dụng phương pháp này vào giảng dạy tôi thấy hứng thú học của học sinh khi làm bài tạp dạng này được nâng cao hơn nhiều Các em học sinh 16 Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi Trần Văn Minh đa biết đường hướng dể làm bài không còn bị động khi gặp dạng toán này... không còn bị động khi gặp dạng toán này Một số em còn chủ động tìm kiếm thêm bài tập để làm - Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi 12 năm nay thì các câu phương trình, bất phương trình vô tỉ các em đều chủ động làm khác với năm trước các em khá vất vả khi làm câu phương trình bất phương trình vô tỉ V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài có phạm vi áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả tại nhóm.. .Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi Do x ≥ 1 2 nên ta có [ 4( x + 1)] − (4 x 2 + 38 x − 1) = 12 x 2 − 6 x + 17 > 0 ⇒ 4( x + 1) > 4 x 2 + 38 x − 1 6 4 Ta có 4 x + 38 x − 1 + 3 6 x − 1 2 = Trần Văn Minh ( − 1 =... (J)p1)s3J)p1$p2Q)d+4Q)p1 r1= (Nhập và nhớ biểu thức) qr=qJz (Giải phương trình với x = 1 được nghiệm x = 0.38 và nhớ vào A) Eqr10=qJx (Giải phương trình với x = 10 được nghiệm x = 2, 61 và nhớ vào B) EE!)a!R(J)pJz)J(J)pJx)$or10===qr===qJc (quét nghiệm phương trình ta được nghiệm x = 0.35 và nhớ vào C ) E!!(J)pJc)r10====qr==== (Tiếp tục quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm) b Tìm nhân tử Ta thấy A + B =... 2Q)dp3(J)+1)s2J)+1r0= (Nhập và nhớ biểu thức) qr=qJz (Giải phương trình với x = 0 được nghiệm x = 6.46 và nhớ vào A) 15 Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy bỏ túi Trần Văn Minh Eqr10= (Giải phương trình với x = 10 được nghiệm A) !)a(J)pJz)Eor1==qr==qJx (Quét nghiệm phương trình được nghiệm x = −0.46 và nhớ vào B) E!!(J)pJx)r1===qr=== (tiếp tục quét nghiệm may báo hét nghiệm) b Tìm nhân tử Ta thấy AB = 3 và