Chun đề giải phương trình vơ tỉ CHUN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Bài tập tổng hợp: PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA I-KIẾN THỨC: 1/  f ( x) ≥  f ( x) = g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥  f ( x) = g ( x)   g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x ) 2/  f ( x) ≥  3/ f ( x) + g ( x) = h( x) ⇔  g ( x) ≥   f ( x ) + g ( x) + f ( x).g ( x) = h( x)  f ( x) ≥  g ( x) ≥  (n ∈ N * ) (n ∈ N * ) 4/ n f ( x) = n g ( x) ⇔  g ( x) ≥ 5/ n f ( x) = g ( x) ⇔  2n  f ( x) = g ( x)  f ( x) = g ( x )  6/ n +1 f ( x) = n +1 g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) (n ∈ N * ) II-BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình: x + = x − (1) 7/ n +1 f ( x) = g ( x ) ⇔ f ( x) = g n +1 ( x) (n ∈ N * ) x − ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x=3   2 x =  x + = (x − 1)  x − 3x = Bài 2: Giải phương trình: x − x + = HD:Ta có: x − x + = ⇔ x + = x x ≥ x ≥ x ≥  ⇔ ⇔ ⇔   x = −1 ⇔ x = 2 x + = x x − 2x − =  x =  HD: (1) ⇔  Bài 3:Giải pt: x + − − x = − x HD: Ta có: x + − − x = − x ⇔ x + = − x + − x 1 − x ≥  ⇔ 1 − x ≥   x + = − x + − x + (1 − x)(1 − x)  x≤    x ≤ ⇔ ⇔ 2 x + ≥ 2 x + = x − 3x + (2 x + 1) = x − 3x +     −1 ≤x≤  −1   ≤x≤ 2 ⇔ ⇔ x=0 ⇔ x=0  x + 7x =     x = −7 x − ≥ Bài 4: Giải phương trình: x − − x − =  ⇔ x − − ( x − 2)( x + 2) = ⇔ x − − x + = ⇔    ( ⇔ x ≥ (1) x − ≥ x = x−2 =0 ⇔ (2)  x = −17 1− x + =  HD:ĐK:  ) ( ) Kết hợp (1) (2) ta được:x = Chun đề giải phương trình vơ tỉ Bài Giải pt : 3−x = x 3+x HD:Đk: ≤ x ≤ pt đã cho tương đương: 3  10 10 −  = ⇔ x = x + 3x + x − = ⇔  x + ÷ 3 3  Bài Giải phương trình sau : x + = x − x − HD:Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : x =  x + + = 3x 2 + + x = 9x ⇔  ⇔  x = −5 − 97  x + + = −3 x  18 ( ) Bài Giải pt sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) HD: pt ⇔ Bài Giải và biện luận phương trình: x − = x − m x ≥ m ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 x ≥ m ⇔ HD: Ta có: x − = x − m ⇔  2 2  x − = x − 4xm + m 2mx − (m + 4) = – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2 + m2 + – Nếu m ≠ 0: x = Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ ≥m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ ⇔ < m ≤ + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ ⇔ m ≤ –2 m2 + Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm x = 2m – Nếu –2 < m ≤ hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm Bài Giải biện luận phương trình với m tham số: x − = x − m x ≥ m x ≥ m ⇔  x − = x + m − 2mx 2mx − (m + 3) = HD: Ta có: x − = x − m ⇔  2 – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2 + m2 + ≥m Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ ⇔ ≤ m ≤ + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ ⇔ m ≤ − m2 + Tóm lại: – Nếu ≤ m ≤ hoặc m ≤ − Phương trình có một nghiệm: x = 2m – Nếu − < m ≤ hoặc m > : phương trình vô nghiệm Bài 10 Giải và biện luận pt: x − x = m − m HD: Điều kiện: x ≥ – Nếu m ≠ 0: x = – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x − 1) = ⇒ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 =  x − m =0 – Nếu m > 0: Pt đã cho tương đương với ( x − m)( x + m − 1) = ⇔   x = − m + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1 − m) + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m III-Bài tập áp dụng: Bài 1:Giải phương trình sau: 1/ x + x − = 13 2/ x + 34 − x − = 5/ x + = − x − 4/ + x x + = x + 7/ x − x − − x − + x + = 8/ x−2 −5 = 3/ x + − 3x − = 6/ x + − x − = 12 − x 9/ = 6x − x 2 Chun đề giải phương trình vơ tỉ 10/ 5x − + =0 11/ − x + = 19 12/ 13/ 16 x + 17 = x − 23 14/ 3x + + − x = Bài 2: Giải phương trình: b) x − x + = a) x − = x − d) + x + − x = e) 3x − + x − = g) x + = − x + h) 3x + − x + = x + Bài 3: Giải phương trình sau: a/ x − x − − = d/ x − − x − + x − = −17 b/ 2x − = e/ x − − 8− x −5 = 15/ 20 − − x = x − c) x + x + = f) + x − − x = i) x − x − = g/ x −2 = 6− x x −4 7− x h/ x + − x − = x − 27 + x − 12 = −1 c/ 3x − x + = i/ −5 x + x + 12 = f) ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC:  f ( x ) = g ( x) ( f ( x ) ≥ 0)  f ( x ) = − g ( x ) ( f ( x) < 0) Sử dụng đẳng thức sau: f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) ⇔  II-BÀI TẬP: Bài 1: Giải pt: x − 4x + + x = (1) HD: (1) ⇔ (x − 2) = − x ⇔ |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1) ⇒ – x = – x (vô nghiệm) – Nếu x ≥ : (1) ⇒ x – = – x ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 2: Giải phương trình: x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + (2)  x + ≥ HD: (2) ⇔   x + + x + + + x + − 2.3 x + + = x + − x + +  x ≥ −1 ⇔ (*)  x + + 1+ | x + − |= 2.| x + − | Đặt y = x + (y ≥ 0) ⇒ phương trình(*) đã cho trở thành: y + 1+ | y − |= | y − 1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y ⇔ y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – ⇔ y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = ⇔ x + = ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 3:Giải phương trình: x − + x − + x + + x − = 2 x − + = 14 HD:ĐK: x ≥ PT ⇔ x − + 2 x − + + x − + x − + = 14 ⇔ x − + + ⇔ x − = ⇔ x = 15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15 Bài 4:Giải phương trình: x + x − + x − x − = HD:ĐK: x ≥ Pt ⇔ x − + x − + + x − − x − + = ⇔ x − + + x − − = Nếu x > pt ⇔ x − + + x − − = ⇔ x = (Loại) Nếu x ≤ pt ⇔ x − + + − x − = ⇔ x = (Luôn với ∀x ) Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { x ∈ R | ≤ x ≤ 2} III-Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1/ x + x + = 2/ x − x + = 3 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ 3/ x − x + = x − 5/ x − x + + x + x + = 7/ x − x + + x + x + = x − x + 9/ x + x − + x − x − = 11/ x + − x + + x + 11 − x + = 13/ x + x − x + x + − = 15/ x − x + + x = 10 17/ 19/ x+ x+ 1 + x+ = 2 x + x −1 + x − x −1 = 4/ 6/ x − x + − x − x + = 10 8/ x2 − x + + x2 − x + = 10/ x − − x − + x − x − = 12/ x − + x − + x + + x − = 14/ x + + x − + x − − 2 x − = 16/ x − x + + x = 18/ x+3 21/ ( x − 1) + − x − + x − − x − + = x + x + = 5x + 2 x + x +1 − − = 20/ x − x + = − x 22/ x + − x − = 4 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường  Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt t = f ( x ) ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng ta giải phương trình theo t việc đặt phụ xem “hồn tồn ” Bài Giải phương trình: Nhận xét HD:Điều kiện: x ≥ x − x2 − + x + x2 − = x − x − x + x − = 1 Đặt t = x − x − phương trình có dạng: t + = ⇔ t = Thay vào tìm x = t HD:Điều kiện: x ≥ − Bài Giải phương trình: x − x − = x + Đặt t = x + 5(t ≥ 0) x = t2 − Thay vào ta có phương trình sau: t − 10t + 25 − (t − 5) − = t ⇔ t − 22t − 8t + 27 = ⇔ (t + 2t − 7)(t − 2t − 11) = 16 Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2 = −1 ± 2; t3,4 = ± Do t ≥ nên nhận gái trị t1 = −1 + 2, t3 = + Từ tìm nghiệm phương trình l: x = − vaø x = + Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện x − x − ≥ Ta được: x ( x − 3) − ( x − 1) = , từ ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản ta đặt : y − = x + đưa hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa hệ) Bài Giải phương trình sau: x + + x − = HD:Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt y = x − 1( y ≥ 0) phương trình trở thành: y + y + = ⇔ y − 10 y − y + 20 = ( với + 21 −1 + 17 (loaïi), y = 2 11 − 17 Từ ta tìm giá trị x = y ≤ 5) ⇔ ( y + y − 4)( y − y − 5) = ⇔ y = ( )( Bài Giải phương trình sau : x = 2004 + x − − x Đặt y = − x phương trình trở thành: ( − y ) (y = 3x + x 1 Chia hai vế cho x ta nhận được: x + x − = + x x ) HD: ĐK: ≤ x ≤ + y − 1002 ) = ⇔ y = ⇔ x = HD:Điều kiện: −1 ≤ x < Bài Giải phương trình sau : x + x x − x Đặt t = x − , ta giải Bài Giải phương trình : x + x − x = x +  1 HD: x = nghiệm , Chia hai vế cho x ta được:  x − ÷+ x − = x x  Đặt t= x − 1± , Ta có : t + t − = ⇔ t = ⇔ x = x Bài 7.Giải phương trình: 3x + 21x + 18 + x + x + = HD:Đặt y = x + x + ; y ≥ Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ −5  y=  ⇔ y =1 Phương trình có dạng: 3y + 2y - = ⇔  y =1  x = −1 Với y = ⇔ x + x + = ⇔  Là nghiệm phương trình cho  x = −6 Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ giải lớp đơn giản, đơi phương trình t lại q khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến :  Chúng ta biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u Xét v ≠ phương trình trở thành :  ÷ + α  ÷+ β = v v v = thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1)  a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x )  α u + β v = mu + nv Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : a A ( x ) + b.B ( x ) = c A ( x ) B ( x )  P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Như pt Q ( x ) = α P ( x ) giải phương pháp nếu:  Xuất phát từ đẳng thức : x + = ( x + 1) ( x − x + 1) ; ( )( x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ) x4 + = x2 − x + x2 + 2x + ; x + = ( x − x + 1) ( x + x + 1) Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như: x − 2 x + = x + Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at + bt − c = giải “ nghiệm đẹp” Bài Giải phương trình : ( x + ) = x3 + HD: Đặt u = x + (u ≥ 0) ; v = x − x + (v ≥ ) u = 2v ± 37 phương trình trở thành : ( u + v ) = 5uv ⇔  Tìm được: x = u = v 2  x + x + (*) Bài Giải phương trình : x − 3x + = − 4 2 2 HD:Dễ thấy: x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) 2 Ta viết α ( x + x + 1) + β ( x − x + 1) = − (x + x + 1) ( x − x + 1) Đồng vế trái với (*) ta : −3 ( x + x + 1) + ( x − x + 1) = − (x + x + 1) ( x − x + 1) 3 3   2 Đặt : u = x + x +  u ≥ ÷ ; v = x − x +  v ≥ ÷  4 4  phương trình trở thành :-3u+6v=- uv ⇒ u = 3v Từ ta tìm x Bài 3: Giải phương trình sau : x + x − = x − (*) HD:Đk: x ≥ Nhận xét : Ta viết α ( x − 1) + β ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) Chun đề giải phương trình vơ tỉ Đồng vế trái với (*) ta : ( x − 1) + ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) v = 9u Đặt u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được: 3u + 2v = uv ⇔  Ta : x = ± v = u  Bài Giải phương trình : x − 3x + ( x + 2) − 6x = HD:Nhận xét : Đặt y = x + ta biến pt phương trình bậc x y : x = y x − x + y − x = ⇔ x − xy + y = ⇔  Pt có nghiệm : x = 2,  x = −2 y x = 2−2 Bài 5:Giải phương trình: 10 x3 + = ( x + ) HD:ĐK: x ≥ −1 Pt ⇔ 10 x + x − x + = 3( x + 2) u = x + u = 3v (u , v ≥ 0) Pt trở thành:10uv = 3(u2+v2) ⇔ ( 3u − v ) ( u − 3v ) = ⇔   v = 3u v = x − x + Đặt  Nếu u = 3v ⇔ x + = x − x + ⇔ x − 10 x + = (vô nghiệm)  x = − 33 2 Nếu v = 3u ⇔ x − x + = x + ⇔ x − 10 x − = ⇔   x = + 33 nghiệm b).Phương trình dạng : α u + β v = mu + nv Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế đưa dạng Bài Giải phương trình : x + x − = x − x + u = x ( u, v ≥ 0; u ≥ v ) phương trình trở thành : u + 3v = u − v HD:Ta đặt :  v = x −  hay: 2(u + v) - (u - v)= ( u + v ) ( u − v ) Bài 2.Giải phương trình sau : x + x + x − = 3x + x + HD:Đk x ≥ Bình phương vế ta có : (x + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1) u = x + x ta có hệ : v = x − Ta đặt :   1− v u =  uv = u − v ⇔  1+ v u =  1+ 1+ v ⇔ x2 + 2x = Do u, v ≥ u = ( x − 1) 2 Bài Giải phương trình : x − 14 x + − x − x − 20 = x + ( x − x − 20 ) ( x + 1) − x + = α ( x − x − 20 ) + β ( x + 1) ta HD:Đk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x − x + = Nhận xét : Không tồn số α , β để : x 2 u = x − x − 20 đặt :  v = x + 2 Nhưng may mắn ta có : ( x − x − 20 ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − x − ) Chun đề giải phương trình vơ tỉ Ta viết lại phương trình: ( x − x − ) + ( x + ) = ( x − x − 5)( x + 4) Đến toán giải Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn ( )( ) ( )( )  Từ phương trình tích x + − x + − x + = , x + − x x + − x + = Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau ) ( 2 Bài Giải phương trình : x + − x + x = + x + t = HD:Đặt t = x + ; t ≥ , ta có : t − ( + x ) t − + 3x = ⇔  t = x −1  Bài Giải phương trình : ( x + 1) x − x + = x + HD:Đặt : t = x − x + 3, t ≥ Khi phương trình trở thnh : ( x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn : 2 t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔  t = x − Bài 3:Giải phương trình: x + 3x + = ( x + 3) x + HD:Đặt t = x + 1; t ≥ t = x Phương trình trở thành:t2 - (x + 3)t + 3x = ⇔ (t - x)(t - 3) = ⇔  t = Nếu t = x ⇔ x + = x (Vô lý) Nếu t = ⇔ x + = ⇔ x = ±2 Vậy: x = ±2 Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích  Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vơ tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức ( a + b + c ) = a + b3 + c3 + 3( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta có a + b3 + c3 = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = Từ nhận xét ta tạo phương trình vơ tỉ có chứa bậc ba x + − x2 − x − + x − 8x + = 3x + + − x + x − − x − = Bài Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x HD:ĐK: x ≤ u = − x ; u ≥ ( u + v ) ( u + w ) = 2 − u = uv + vw + wu    Đặt v = − x ; v ≥ , ta có : 3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v ) ( v + w ) = , 5 − w2 = uv + vw + wu    ( v + w ) ( u + w ) =  w = − x ; w ≥ 30 239 ⇔x= giải hệ ta được: u = 60 120 Bài Giải phương trình sau : x − + x − 3x − = x + x + + x − x + Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ a =  b = HD:Ta đặt :  c =  d = 2x2 − x − 3x − 2x + 2x + a + b = c + d , ta có :  2 2 a − b = c − d ⇔ x = −2 x2 − x + Bài Giải phương trình sau : x + x + − x − x + = x −  a = x + x + HD:Đặt  b = x − x + ( a; b ≥ )  a − 4b = x − Ta hệ phương trình:   a − 2b = x −  a = 2b  a = − 2b Từ ta có: a2 - 4b2 = a - 2b ⇔ (a - 2b)(a + 2b - 1) = ⇔  Nếu a = 2b ⇔ x + x + = x − x + ⇔ x = (thoả mãn) Nếu a = - 2b ⇔ x + x + = − x − x + (*) Ta có : VT(*) ≥ (1) VP(*) = − x − x + = −  x − ÷ + ≤ − < (2) 2  Từ (1) (2) suy phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau : x + x ( − x ) + ( − x ) = − x + x + x ( − x ) Đặt ẩn phụ đưa hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường  Đặt u = α ( x ) , v = β ( x ) tìm mối quan hệ α ( x ) β ( x ) từ tìm hệ theo u,v ( ) 3 3 Bài Giải phương trình: x 35 − x x + 35 − x = 30 HD:Đặt y = 35 − x3 ⇒ x3 + y = 35  xy ( x + y ) = 30 , giải hệ ta tìm 3  x + y = 35 ( x; y ) = (2;3) = (3;2) Tức nghiệm phương trình x ∈ {2;3} −1 − x + x = Bài Giải phương trình: HD:Điều kiện: ≤ x ≤ −  − − x = u ⇒0≤u≤ − 1,0 ≤ v ≤ − Đặt   x = v  u = −v   u + v =  ⇔ Ta đưa hệ phương trình sau:  u + v = −  − v  + v = −  ÷   Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau:  Chun đề giải phương trình vơ tỉ   Giải phương trình thứ 2: (v + 1) −  v + ÷ = , từ tìm v thay vào tìm nghiệm 2  2 phương trình Bài Giải phương trình sau: x + + x − = HD:Điều kiện: x ≥ Đặt a = x − 1, b = + x − 1(a ≥ 0, b ≥ 5) ta đưa hệ phương trình sau: a + b = ⇒ (a + b)(a − b + 1) = ⇒ a − b + = ⇒ a = b −  b − a =  11 − 17 Vậy x − + = + x − ⇔ x − = − x ⇒ x = − 2x + 2x + = Bài Giải phương trình: 5− x 5+ x HD:Điều kiện: −5 < x < ( ) Đặt u = − x , v = − y < u, v < 10 (u + v) = 10 + 2uv u + v = 10   Khi ta hệ phương trình:  4 2 8⇔  − − + 2(u + v) = (u + v) 1 − ÷ =  u v  uv   Bài Giải phương trình: 629 − x + 77 + x = HD:ĐK: −77 ≤ x ≤ 629  u = 629 − x Đặt   v = 77 + x (u; v ≥ 0) ⇒ u + v = 8, u + v = 706 Đặt t = uv  t = 15 ⇒ t − 128t + 1695 = ⇔  t = 113 Với t = 15 ⇒ x = Với t = 113 ⇒ x = 548 Bài Giải phương trình: x3 + x − + x + x + = HD:Với điều kiện: x3 + x − ≥ ⇒ x3 + x + > (1)  u = x + x − Đặt  Với v > u ≥ v = x + x + Phương trình (1) trở thành u + v = Ta có hệ phương trình  u+v =3 u + v =  u =  x3 + x − =  u+v =3  x + x − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  2 v − u = (v + u )(v − u ) =  v − u = v = x + x + =  x3 + x + = ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 2) = ⇔ x = (do x + x + > ∀x) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {1} 2  Bài Giải phương trình: − x =  − x  3  1 − x ≥  −1 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ≤ x ≤1 HD: Điều kiện:   x≥0  x≥0 2 Với điều kiện (*),đặt u = x ; v = − x , với u ≥ 0, v ≤ (*) 10 Chun đề giải phương trình vơ tỉ  1− x2  Ta có:  −  = 1− u4  x  = v2  Do dó ta có hệ   2   u+v = u + v = u + v =   u + v =   3 ⇔  ⇔ ⇔  2  − u4 = v2 u + v = ( u + v ) − 2u v =  ( u + v ) − 2u.v  − 2u 2v =        u + v =    − 194  u+v = u.v = u+v =    18    ⇔ ⇔ ⇔   − 2u.v  − 2u v =  2u v − 16 u.v − 65 = u + v =  ÷     9 81     + 194  u.v = 18  ⇒ u v nghiệm phương trình  2 − 194 = 0(a ) y − y + 18   y − y + + 194 = 0(b)  18 • (b) vơ nghiệm • (a) có nghiệm 97 −3 1+ y1 = ; y2 = u1 = y1 u = y Do đó: v = y ∨  v = y   1− Vì u ≥ nên ta chọn 97 −3 1+ u = y2 = 97 −3 1+ ⇒ x= 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1 +  Bài Giải phương trình: 18 + x + 64 − x =  1+ 97  −3 ⇒ x =     97 − 3   97 −3        2 HD:Với điều kiện  18  18 + x ≥ x ≥ − 18 64 ⇔ ⇔− ≤x≤  64 5 64 − x ≥ x≤   (*) Đặt u = 18 + x , v = 64 − x , với u ≥ 0, v ≥ u = 18 + x v = 64 − x Suy  Phương trình cho tương đương với hệ: 11 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ  u+v =4 u+v =    2 u + v = 82 ⇔  u + v − 2(uv) = 82  v ≥ 0, v ≥  v ≥ 0, v ≥   ( ) Đặt A = u + v P = u.v, ta có: S =4   S =4 S =4   2   ( S − P ) − P = 82 ⇒  p − 32 P + 87 = ⇔  P = ∨ P = 29    P≥0 P≥0 P ≥ 0, S ≥    (1) Với S = 4, P = u v nghiệm phương trình: y =1 y2 − y + = ⇔  y = u = u = ∨ Do ta có:  v =  v =  18 + x =  18 + x = ∨ Suy  4  64 − x =  64 − x =  18 + x = 18 + x = 81 ⇔ ∨ 64 − x = 81  64 − x = 17 63 ⇔x=− ∨x= thoả mãn (*) 5 (2) Với S = 4, P = 29 ⇒ không tồn u v Vậy phương trình cho có nghiệm là: 17   x1 = −   x = 63  5.2 Giải phương trình vơ tỉ cách đưa hệ đối xứng loại II  Ta tìm nguồn gốc tốn giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II ( x + 1) = y +  Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau :  ( y + 1) = x + đơn giản Bây ta biến hệ thành phương trình cách đặt y = f ( x ) (1) (2) việc giải hệ cho (2) ln , y = x + − , ta có phương trình : ( x + 1) = ( x + − 1) + ⇔ x + x = x + 2 Vậy để giải phương trình : x + x = x + ta đặt lại đưa hệ ( α x + β ) = ay + b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc :  , ta xây dựng ( α y + β ) = ax + b phương trình dạng sau : đặt α y + β = ax + b , ta có phương trình : a β ( α x + β ) = ax + b + b − α α a β n Tương tự cho bậc cao : ( α x + β ) = n ax + b + b − α α Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng : n ( α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ đặt α y + β = n ax + b để đưa hệ , ý dấu α ??? 12 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ n Việc chọn α ; β thông thường cần viết dạng : ( α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ chọn Bài 1: Giải phương trình: x − x = 2 x − HD:Điều kiện: x ≥ Ta có phương trình viết lại là: ( x − 1) − = 2 x −  x − x = 2( y − 1) Đặt y − = x − ta đưa hệ sau:   y − y = 2( x − 1) Trừ hai vế phương trình ta ( x − y )( x + y ) = Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x = + Cách 2: Đặt x − = t + a ⇒ x − = t + 2at + a Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x - 2  x − x = 2t − kết hợp với đầu ta có hệ phương trình:  t − 2t = x − Giải hệ ta tìm x Bài Giải phương trình: x − x − = x + HD:Điều kiện x ≥ − Ta biến đổi phương trình sau: x − 12 x − = x + ⇔ (2 x − 3) = x + + 11 (2 x − 3) = y + ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = Đặt y − = x + ta hệ phương trình sau:  (2 y − 3) = x +  Với x = y ⇒ x − = x + ⇒ x = + Với x + y − = ⇔ y = − x ⇔ −2 x − = x + (vơ nghiệm) Kết luận: Nghiệm phương trình x = + Bài 3:Giải phương trình: x − x + = HD:ĐK: x ≥ −5 Pt ⇔ x − = x + ; x ≥ (*) Đặt x + = t + a ⇔ x + = t + 2at + a Chọn a = ta được:t2 - = x kết hợp với (*) ta hệ phương trình:  x − = t 2 từ ta tìm nghiệm t − = x 4x + ( x > 0) Bài 4:Giải phương trình: 7x2 + 7x = 28 4x + 4x + = t + 2at + a =t+a ⇒ HD:Đặt 28 28 4x + 1 = t + t + ⇒ 7t + 7t = x + Chọn a = ta được: 28  x + x = t +  Kết hợp với đầu ta hệ phương trình:  7t + 7t = x +  Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm Bài tập áp dụng: Giải phương trình: x + x + = x + 13 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I-KIẾN THỨC: 1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: Cho hai số : ( a , b), (x , y) ta có: (ax + by)2 ≤ (a + b )( x + y ) a b Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ x = y 2.Bất đẳng thức cơsi: a) Với hai số a, b ≥ ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b a+b ≥ ab b) Với ba số a, b, c ≥ ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b = c a+b+c ≥ abc c) Với bốn số a, b, c, d ≥ ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b = c = d e) Với n số a1, a2,…, an ≥ ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a1 = a2 = = an 3.GTLN,GTNN biểu thức: a/ A = m + f2(x) ≥ m a+b+c+d ≥ abcd a1 + a2 + + an n ≥ a1.a2 an n b/ A = M - g2(x) ≤ M ⇒ A≥m ⇒ MinA = m ⇒ A≤ M ⇒ MaxA = M Dấu ''='' xảy ⇔ f(x) = Dấu ''='' xảy ⇔ g(x) = Dùng đẳng thức : Từ đánh giá bình phương : A2 + B ≥ , ta xây dựng phương trình dạng A2 + B = Từ phương trình ( ) ( 5x − − x + ) − 5x − + x − = ( ta khai triển có phương trình : x + 12 + x − = x x − + − x ) Dùng bất đẳng thức  A ≥ m (1)  B ≤ m (2) Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức:  dấu (1) (2) đạt x0 x0 nghiệm phương trình A = B Ta có : + x + − x ≤ Dấu x = x +1 + x = Vậy ta có phương trình: − 2008 x + + 2008 x = ≥ , dấu x +1 + 1+ x x +1  A = f ( x )  A ≥ f ( x ) A = B ⇔ Đôi số phương trình tạo từ ý tưởng :  :   B ≤ f ( x)  B = f ( x )  Nếu ta đốn trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá II-BÀI TẬP: Bài Giải phương trình : HD:Đk: x ≥ 2 + x = x+9 x +1 14 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ 2   x     = x+9 + x +1  +   x +  x + ÷      1 ⇔ x= x +1  2  + x÷ ≤  2 Ta có :    x +1   Dấu ⇔ 2 = x +1 ( ) Bài Giải phương trình : 13 x − x + x + x = 16 HD:Đk: −1 ≤ x ≤ ( Biến đổi pt ta có : x 13 − x + + x ) = 256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( 13 13 − x + 3 + x ) ≤ ( 13 + 27 ) ( 13 − 13 x + + x ) = 40 ( 16 − 10 x ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x ( 16 − 10 x 2 )  16  ≤  ÷ = 64  2   x= + x2   1− x = ⇔ Dấu ⇔   10 x = 16 − 10 x x = −   3` Bài Giải phương trình: x − 3x − x + 40 − 4 x + = HD:Ta chứng minh : 4 x + ≤ x + 13 x − 3x − x + 40 ≥ ⇔ ( x − 3) ( x + 3) ≥ x + 13 Bài 4: Giải phương trình: − x + x − = x − 12 x + 38 HD:Ta có :VT2=( − x + x − )2 ≤ (1 + 1).(7- x + x - 5) = Nên : < VT ≤ Mặt khác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2 ≥ Theo giả thiết dấu ''='' xảy khi:x = Vậy x = nghiệm phương trình cho Bài 5: Giải phương trình: − x + 3x − + x + = HD:ĐK: x ∈ [ 1; 2] (1) PT ⇔ − x + 3x − = − x + (2) Từ (2) ta có: − x + ≥ ⇔ x + ≤ ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ (3) Từ (1) (3) Ta có x = vào (2) thoả mãn.Vậy :x = Bài 6:Giải phương trình : HD: Điều kiện x > x 4x − + =2 x 4x − 1 Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: x 4x − + Theo giả thiết dấu xảy khi: 4x − ≥2 x x x 4x − = × 4x − = x 4x − x 4x − ⇔ x − 4x + = ⇔ (x − 2) = ⇔ x = ± Dấu “=” xảy ⇔ x = 4x − ⇔ x − 4x + = ⇔ x − 4x + − = ⇔ (x − 2) = ⇔ x − = ± ⇔ x = ± (Thoả mãn) Vậy : x = ± Bài 7:Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − HD: Cách điều kiện x ≥ Với x ≥ thì: Vế trái: x − < 5x − ⇒ vế trái âm Vế phải: 3x − ≥ ⇒ vế phải dương 15 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có: x − = 5x − + 3x − ⇔ x − = 8x − + (5x − 1)(3x − 2) ⇔ − 7x = (5x − 1)(3x − 2) Vế trái là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ ⇒ phương trình vô nghiệm Bài 8:Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x (1) 4 9   HD: Ta có (1) ⇔  x + 2x + + ÷ +  x + 2x + + ÷ = −(x + 2x + 1) +  3  5 ⇔ 3(x + 1) + + 5(x + 1) + = − (x + 1) Ta có: Vế trái ≥ + = + = Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 Bài 9:Giải phương trình : x+7 + = 2x + 2x − HD: điều kiện x ≥ x +1 Dễ thấy x = là một nghiệm của phương trình – Nếu ≤ x < : VT = – Nếu x > 2: VP = 2x2 + + < + Mà: VP > + x +1 2x − > 2.22 + = + VT < + 1+ x > ⇒ x +1 > +1 ⇒ 1+ 6 < 1+ =3 x +1 +1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm nhất là x = + =6 3− x 2−x HD: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = nghiệm phương trình Ta cần chứng minh 8 < 6 Tương tự với < x < 2: 3− x 2−x Bài 10:Giải phương trình : Bài 11:Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 1 + + + ×××+ = 1.2 2.3 3.4 x ( x + 1) 4−x +4 4− x +5 HD:ĐK: x ≤ (1) Ta có: − x + = − ⇔ − x = x − (*) 4− x +5 Ta có: VP(*) = x − ≥ ⇒ x ≥ (2) Từ (1) (2) ta có:x = nghiệm III-BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Giải phương trình sau : − 2x + + 2x = − 2x + 2x + + 2x − 2x 2x4 + = 4 + x4 + x4 − x 3` − 3x − x + 40 − 4 x + = x + 1− x + x − 1− x = + Bài 2: Giải phương trình sau : 1/ x - + - x = x - 8x + 24 − x2 + − 1  = 4−x+ ÷ x x  16 x + = x + x + x + 64 − x3 = x − x + 28 x − + − x = x − x + 18 2/ x − + − x = x − 10 x + 27 16 Chun đề giải phương trình vơ tỉ 3/ − x + x + = x − x + 13 5/ x − + − x = x − 12 x + 14 4/ − x + + x = 6/ x − + 10 − x = x − 12 x + 40 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x) = k Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) Bước 3: Nhận xét: • Với x = x0 ⇔ f ( x) = f ( x0 ) = k x0 nghiệm • Với x > x0 ⇔ f ( x) > f ( x0 ) = k phương trình vơ nghiệm • Với x < x0 ⇔ f ( x) < f ( x0 ) = k phương trình vơ nghiệm • Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 2: Thực theo bước Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x) = g ( x) Bước 2: Dùng lập luận khẳng định f ( x) g(x) có tính chất trái ngược xác định x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bước 3: Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng f (u ) = f (v) Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi f (u ) = f (v) ⇔ u = v ( ) ( ) 2 Ví dụ: Giải phương trình : ( x + 1) + x + x + + x + x + = ( HD:pt ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( ) ( + = ( −3 x ) + ) ( −3 x ) ) + ⇔ f ( x + 1) = f ( −3x ) Xét hàm số f ( t ) = t + t + , hàm đồng biến R, ta có x = − Ví Dụ 2: Giải phương trình: x + + x + + x + = HD: nhận thấy x = -2 nghiệm phương trình Đặt f ( x ) = x + + x + + x + Với x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) hàm số f(x) đồng biến R Vậy x = -2 nghiệm phương trình Bài tập áp dụng: Giải phương trình: c) x − = + x − x e) a) x − + x − = b) x − = − x3 − x + d) x = − x + x − x3 f) x −1 + x + = 2x − + x2 + = − x PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm x0 phương trình ln đưa dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = ta giải phương trình A ( x ) = chứng minh A ( x ) = vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía A ( x ) = vơ nghiệm Bài 1:Giải phương trình: x ( x + ) + x ( x − 1) = x (1) HD: C1: ĐK x ≤ −2; x ≥ 17 Chun đề giải phương trình vơ tỉ ( 1) ⇔ x2 − x − x2 − 2x x ( x − 1) − x ( x + ) =2 x ⇔ −3 x x ( x − 1) − x ( x + ) ( 2) =2 x −3 ⇒ x ( x − 1) = x + −3 x ( x + 2) = 2x   x ( x − 1) − Nếu x ≥ ta có   x ( x − 1) +    x ( x − 1) − Nếu x ≤ -2 ta có   x ( x − 1) +  x ≤ − 2; x ≥1 C2: ĐK: x ( x + 2) = x ( x + 2) = x ( x + ) = −2 x ⇒ x ( x − 1) = −2 x + ( 3) Giải (3) ta tìm x ( ) Giải (4) ta tìm x Nếu x ≥ ta chia hai vế cho x ta được: ( x + ) + ( x − 1) = x Bình phương hai vế sau giải phương trình ta tìm x Nếu x ≤ -2 Đặt t = -x ⇒ t ≥ Thay vào phương trình ta −t ( −t + ) + −t ( −t − 1) = ( −t ) ⇔ t ( t − ) + t ( t + 1) = (t) Chia hai vế cho t ta ( t − ) + ( t + 1) = t Bình phương hai vế tìm t Sau tìm x Trong C1 ta sử dụng kiến thức liên hợp Còn C2 ta vận dụng kiến thức miền xác định ẩn phương trình.nhìn chung việc vận dụng theo C2 đơn giản x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − x + Bài Giải phương trình sau : 2 2 HD: Ta nhận thấy : ( x − x + 1) − ( x − x − 3) = −2 ( x − ) v ( x − ) − ( x − 3x + ) = ( x − ) −2 x + Ta trục thức vế : x − x + + ( x − x + 1) 3x − = x − + x − 3x + Dể dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình Bài Giải phương trình sau: x + 12 + = x + x + 5 Ta nhận thấy : x = nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng ( x − ) A ( x ) = , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : x2 − x2 − x + 12 − = x − + x + − ⇔ = 3( x − 2) + x + 12 + x2 + + HD: Để phương trình có nghiệm : x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥   x+2 x +1 ⇔ ( x − 2)  − − 3÷= ⇔ x = 2 x2 + +   x + 12 + x+2 x+2 − − < 0, ∀x > Dễ dàng chứng minh : x + 12 + x2 + + Bài Giải phương trình : x − + x = x − HD :Đk x ≥ Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình   ( x − 3) ( x + x + ) x+3   3 x − − + x − = x − − ⇔ ( x − 3) 1 + = 3 x2 − x3 − + ( ) + x − +   Ta chứng minh : x+3 1+ (x − 1) + x − + = 1+ ( x+3 < < x + 3x + x2 − + + x3 − + ) Vậy pt có nghiệm x = 18 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Bài 5:Giải phương trình sau: x2 + x+ x + + x2 − x− x − =x HD:ĐK: x ≥ Nhân với lượng liên hợp mẫu số phương trình cho ta được: (x ⇒ ) )( ) )( ( − x + x − − x + x − x − = 3.x (x − ) + (x + ) = 3.x x >  ⇒  x − ( ) +( x + ) +2 (x − 3) = 27 x   x > x > ; x ( − 2x ) ≥ ⇒ ⇒ Giải hệ ta tìm x = 4 4  ( x − 3) = x ( − x ) 4( x − 3) = x ( − x )  x2 x ≥ − = x + 2 Bài 6:Giải phương trình: HD:ĐK:  − + 2x  x ≠ Pt ⇔ ( ( + 2x ) 2x2 + (3− + 2x ) (3+ ) + 2x ⇔ + 2x = ⇔ x = − ) 3x x + 10 ( x 18 + x + + x 4x ) = x+9 nghiệm Bài tập vận dụng: 1) x ( x − 3) + x ( x − ) = x 3) = x+9 ⇔ 2) ( x + 3) ( x + ) + ( x + 3) ( x − 1) = ( x + 3) = 3x + − BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm tất số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn: x1 − 12 + x2 − 22 + + 2005 x2005 − 20052 = Bài 2: Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: ( x1 + x2 + + x2005 ) x + y −1 + z − = ( x + y + z) Bài 3: Giải phương trình sau: x − + 2x − = 3( x − x + 1) = ( x + x − 1) x − + x +1 = x2 − x + = ( x + 48 = x − + x + 35 2( x + 2) = x + ) x −3 4− x = 9− x − x = x 27 x10 − x + 864 = x − − x − = −1 ( x + 2)( x + 4) + 5( x + 2) x + 17 − x + x 17 − x = − 10 − x = x − )( x+4 =6 x+2 − x − 3x − = x2 + x + − x2 − x + = x2 + x − + x − x2 + = x2 − x + 3+x 3x + x = x + x + − x x + 24 + = x + x + Bài 4: Giải phương trình sau: 25 − x − 10 − x = ( − x) − x + ( x − 5) x − 7− x + x−5 ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 2x + = x x2 − 4x + + x2 − 4x + + x2 − x + = + =2 ( x − 3) ( x + 1) − ( x − 3) x +1 +3= x −3 x + x + 20 = x + 10 x2 + x + = 2 x + 19 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ x − + = x − 20 − 3x + 3x − x + x = + x + 1− x = x + x − x − 12 = 48 + x 2x 2x − = +1 5− 3 +1 1     x + ÷−  x + ÷+ = x  x  2+ x 2− x + + 2+ x 4x + + = x−5 − x − 45 = x − 20 + − 2− x x− x −5 ( − x) = − x + x2 − =4 − x + ( x − 5) x − 7− x + x−5 9x + + x= x4 + x + 2005 = 2005 =2 3−x 3+x a + b − x = + a − b − x (a , b > 0) 64x6 - 112x4 + 56x2 - = − x x + x + − x + x + 28 = Bài 5: Ký hiệu [x] phần nguyên x 3 Giải phương trình sau:   +   + +  x −  = 855 Bài 6:Cho phương trình: x 6− x + x + = x x + 62− x Gọi tổng nghiệm phương trình S,tính S15 Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a/ x + y = 1960 b/ x + y = 1980 c/ x − y = 48 Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: + x−2 d/ x + y = 2000 1225 + = 74 − x − − y − − z − 771 y −1 z − 771 Bài 9:Giải phương trình sau : x − 14 x + − x − x − 20 = x + x −1 1 2x + = 1− + x − x x x x + = x3 − x − 15 30 x − x ) = 2004 ( ( x − 1) x − x − 10 = x − x − 10 ( x3 + = x3 + x + ) ( x + − = x + 3x + x + ) ( x + x + 12 x + = 36 ( + x ) + 3 − x2 + ( − x ) = 2008 x − x + = 2007 x − x = (2004 + x )(1 − − x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x 3 ) 30060 x + + x − + x3 + x + x + = + x − ( x + ) + 16 ( − x ) + 16 ( − x ) = x + 16 x + + x = + x3 + x x + 3x + = x x + + 2 x − x + 16 x + 18 + x − = x + 12 x + x − = x + x − + 3x3 − = x − 2 x − 11x + 21 − 3 x − = ( − x) ( − x) = x+ ( − x ) ( 10 − x ) x2 + = x − + 2x − x + + 3x + = x + + x + x + x + = ( x + 3) x + x −1 + x +1 = x 3 x3 + (1− x ) = x − 2x2 x + x + = 2x + 3x + 3x + 2 x +x+2 = 3x + Bài 10: Giải phương trình: 20 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ a) x + x + x + = 12 − x b) x − x + x + = −3 x − d) 3x + 15 x + x + x + = c) x − x + = x − x + 12 e) ( x + 4)( x + 1) − x + x + = f) g) x + 3x + − 2 x + x + = − Bài 11: Giải phương trình: (1− x ) x3 + x+ x x −1 = x2 + 5x + − 2 x2 + 5x − = h) x + x + 11 = 31 + − x2  ( − x ) −  = x ( − x2 ) 35 12 ( x − 3) ( x + 1) + ( x − 3) − x − 2x − x2 − x2 + = ( 1+ x)  = + − x2  x +1 = −3 x−3 64 x − 112 x + 56 x − = − x Bài 12: Cho phương trình: + x + − x + ( + x ) ( − x ) = m a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm 1 + =m x − x2 Giải phương trình với m = + Bài 13: Cho phương trình: a) b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình: ( x − x ) + x − x − − m = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 15:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: y = x + x −1 + x − x −1 x+ x+ x+ x = y y2 = + − x2 − 4x y = x + x + + x +1 y = x + 2x − + x − 2x − y = x −1 − x − + x + − x − Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x + x + x + + x = y nếu: a/ Vế trái có 100 dấu b/ Vế trái có n dấu Bài 17:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x + x + x + + x + x = x (Vế trái có 100 dấu căn) Bài 18:Tìm số hữu tỉ a b thoả mãn: Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn: ( a+b x2 + − x )( − a−b = − 20 ) y + − y = Tính x + y Bài 20:Giải phương trình: x + + x = Bài 21:Cho số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện: Bài 22:Cho số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b − c = a + b − c Chứng minh rằng: 2010 a + 2010 b − 2010 c = 2010 a + b − c x − y + y − z + z − x2 = Chứng minh rằng: x + y + z = Bài 23:Giải phương trình nghiệm nguyên: y = + 199 − x − x 21 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Bài 24:Tìm số hữu tỉ a b biết: a − b = 11 − 28 Bài 25:Giải phương trình: x + − x2 =1 − x2 Bài 26:Tìm số nguyên k thoả mãn: 1+ Bài 27:Giải phương trình: 1/ + x − + − x − = 2/ 1 1 1 20092 − + + + + + + + + = 2009 12 2 2 32 k ( k + 1) x + x2 + x − x2 = x + 3/ x − x 30 − 2007 30 + x 2007 = 30 2007 4/ x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 5/ x + + x + + x + + + 100 x + 100 = 165 6/ 7/ 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x x + 25 x + 125 x + 45 − 16 x + 80 + − =9 12 16 8/ x + 712671620 − 52408 x + 26022004 + x + 712619213 − 56406 x + 26022004 = 9/ 2009 + 2010 x + x + = 20 + 2009 − 2010 x + x + Bài 28:Giải phương trình sau: 15 x − x − = x − 15 x + 11 10/ ( x + 5)(2 − x) = x + 3x ( x + 5)(2 − x) = x + x (1 + x)(2 − x) = + x − x x + 17 − x + x 17 − x = 3x − + x − = x − + 3x − x + x + x + 11 = 31 n (1 + x) + n − x + n (1 − x) = ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x x = (2004 + x )(1 − − x ) − x2 + − x2 = 22 Chun đề giải phương trình vơ tỉ 23