BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Gv Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng, TP Huế CHUN ĐỀ LƯỢNG GIÁC 11 Cơ nâng cao * Phân loại phương pháp giải tập * Các tập xếp từ đến nâng cao * Các tốn luyện thi đại học * Đề thi đại học năm Huế, tháng 7/2014 MỤC LỤC Trang CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DẠNG 1: Tập xác định 15 DẠNG 2: Tính chẵn lẻ 15 DẠNG 3: Tìm GTLN GTNN hàm số lượng giác .16 DẠNG 4: Chứng minh hàm số tuần hồn xác định chu kỳ 18 DẠNG 5: Vẽ đồ thị hàm số lượng giác 20 BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 29 BÀI 3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 38 DẠNG 1: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: 38 DẠNG 2: Phương trình bậc theo sinx cosx 42 DẠNG 3: Phương trình bậc hai sinx cosx 47 DẠNG 4: Phương trình đối xứng 52 BÀI TẬP BỔ SUNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 58 ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO .71 Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội PHẦN 1: CHƯƠNG MỞ ĐẦU NHẮC LẠI CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Định nghĩa giá trị lượng giác: sin tang HỆ THỨC CƠ BẢN OP  cos a OQ  sin a AT  tan a BT '  cot a Q O B T T' cotang M  p A cosin Nhận xét:  a,   cos a  1;   sin    tana xác định a    k , k  Z ,  cota xác định a  k , k  Z Dấu giá trị lượng giác: Cung phần tư I II II IV sina + + – – cosa + – – + tana + – + – cota + – + – Giá trị lượng giác Hệ thức bản: sin2a + cos2a = 1; t anx.cot x  1  tan2 a  cos a ;  cot a  sin2 a Cung liên kết: Cung đối Cung bù Cung phụ cos( a)  cos a sin(  a)  sin a   sin   a   cos a 2  sin( a)   sin a cos(  a)   cos a   cos   a   sin a 2  tan( a)   tan a tan(  a)   tan a   tan   a   cot a 2  cot( a)   cot a cot(  a)   cot a   cot   a   tan a 2  Cung  Cung  sin(  a)   sin a   sin   a   cos a 2  cos(  a)   cos a   cos   a    sin a 2  tan(  a)  tan a   tan   a    cot a 2  cot(  a)  cot a   cot   a    tan a 2  Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội Bảng giá trò lượng giác góc (cung) đặc biệt 2 3  3 2 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 2 3 2 –1 2 2 –1 3 3 3     00 300 450 sin cos tan 0 cotg   2  –1 3 –1  0 Đường tròn lượng giác y t - - /3 -1 u' 2 /3 3 /4 5 /6 x'  -1 B /2 /3 u  /3  /4 /2 /2  /6 /3 1/2 1/2 - /2 - /2 -1/2 /2 /2 A (Điểm gốc) x O -1/2 - /6 - /2 - /3 - /4 - /2 -1 - /2 y' -1 - /3 t' - II CƠNG THỨC CỘNG Cơng thức cộng: sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b  tan a.tan b tan a  tan b tan(a  b)   tan a.tan b tan(a  b)  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b    tan x    tan x tan   x   , tan   x   4   tan x 4   tan x Hệ quả: III CƠNG THỨC NHÂN 1.Cơng thức nhân đơi: sin2a = 2sina.cosa cos 2a  cos2 a  sin a  cos2 a    2sin a cot a  tan 2a  ; cot 2a  cot a  tan2 a tan a Cơng thức hạ bậc: Cơng thức nhân ba:  cos 2a  cos 2a cos2 a   cos 2a tan2 a   cos 2a sin2 a  sin 3a  3sin a  4sin3 a cos3a  cos3 a  3cos a 3tan a  tan3 a tan 3a   3tan2 a a Cơng thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan : Đặt: t  tan a 2t (a    2k ) thì: sin a  ;  t2 cos a   t2 1 t ; tan a  2t  t2 IV CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI Cơng thức biến đổi tổng thành tích: sin a  sin b  2sin ab ab cos 2 Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội tan a  tan b  sin(a  b) cos a.cos b sin a  sin b  cos ab ab sin 2 cos a  cos b  cos ab ab cos 2 cos a  cos b   2sin ab ab sin 2 tan a  tan b  sin(a  b) cos a.cos b cot a  cot b  sin(a  b) sin a.sin b cot a  cot b  sin(b  a) sin a.sinb     sin a  cos a  2.sin  a    2.cos  a   4 4       sin a  cos a  sin  a     cos  a    4  4 Công thức biến đổi tích thành tổng:  cos(a  b)  cos(a  b) 2 sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b) sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  cos a.cos b  CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Hàm số y=sinx - Có tập xác định D   ; - Là hàm số lẻ; - Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 , sin  x  k 2   sin x ; - Do hàm số y  sin x hàm tuần hồn với chu kỳ 2 nên ta cần khảo sát hàm số đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn đoạn   ;   Khi vẽ đồ thị hàm số y  sin x đoạn   ;   ta nên để ỷ : Hàm số y  sin x hàm số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Vì vậy, ta vẽ đồ thị hàm số y  sin x đoạn  0;   Bảng biến thiên: x y  sin x   0 Đồ thị hàm số y  sin x đoạn  0;   Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội Lấy đối xứng phần đồ thị qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y  sin x đoạn   ;   Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải đoạn có độ dài 2 , 4 ,6 , ta tồn đồ thị hàm số y  sin x Đồ thị gọi đường hình sin Hàm số 5π 4π 3π 2π π π 2π 3π 4π 5π      3 y  sin x đồng biến khoảng   ;  nghịch biến khoảng  ;  2 2   Từ      tính tuần hồn với chu kì 2 , hàm số y  sin x đồng biến khoảng    k 2 ;  k 2      3  k 2  nghịch biến khoảng   k 2 ; 2  Hàm số y=cosx - Có tập xác định D   ; - Là hàm số chẵn; - Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 ; - Do hàm số y  cosx hàm tuần hồn với chu kỳ 2 nên ta cần khảo sát hàm số đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn đoạn   ;   Khi vẽ đồ thị hàm số y  cosx đoạn   ;   ta nên để ý : Hàm số y  cosx hàm số chẵn, đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Vì vậy, ta vẽ đồ thị hàm số y  cosx đoạn  0;   Bảng biến thiên: x y  sin x   -1 Đồ thị hàm số y  cosx đoạn  0;   Lấy đối xứng phần đồ thị qua trục Oy lập thành đồ thị hàm số y  cosx đoạn   ;   Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội t   3(loai) t2 – 2t – =   t   Với t = - , giải ta được:  x     x    2 6   arcsin    k 2      2 6 5  arcsin    k 2     (k  ) Vậy nghiệm phương trình cho là:    x  k 2   2 6   x   arcsin    k 2           x  5  arcsin     k 2       Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội (k  ) 57 BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG I Bài Giải phương trình: (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = Hướng dẫn: Phương trình cho tương đương với phương trình :  2sin x    sin x  sin x  cos x     sin x  cos x   Bài Giải phương trình:  3cos x  cos2 x  cos3 x  4sin x.sin x Hướng dẫn: PT  3cos x  cos2 x  cos  x  x   4sin x.sin x  3cos x  cos2 x   cos x.cos2 x  sin x.sin x   4sin x.sin x  3cos x  cos2 x   cos x.cos2 x  sin x.sin x    3cos x  cos2 x  cos x   cos x  cos2 x  Bài Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = Hướng dẫn: Phương trình cho tương đương với 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + – 2sin2x =  6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) =  6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) =   Bài Giải phương trình: cos2   x   cos x  cos2 x  4  Hướng dẫn: 58   Phương trình tương đương với   cos   x   cos x  cos2 x  2     sin x  cos x  2 cos2 x  1  sin x  cos x  cos2 x 2    cos  x    cos2 x 6    Bài Giải phương trình: cosx = 8sin3  x     Hướng dẫn pt  cosx =  s inx+cosx   3 sin3 x  9sin xcosx +3 s inxcos2 x  cos3 x  cosx = (3) Ta thấy cosx = khơng nghiệm Khi (3)  3 tan3 x  8t an2 x + 3 t anx = Bài Giải phương trình: cos5 x.cos3 x  sin x  cos8 x , (x  R) Hướng dẫn PT  cos2x + cos8x + sinx = cos8x  2009  2 Bài Giải phương trình: cos2 x  2 sin  x    cos x sin x  4sin x cos x   Hướng dẫn Phương trình cho  cos2 x  sin x  2(sin x  cos x )  4sin x.cos x (sin x  cos x ) Bài Giải phương trình:   tan x 16 cos ( x  )   2sin x  tan x Hướng dẫn Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội 59 Điều kiện cosx   x    k PT  4(1  sin x )2  4cos2x-2sin4x  (1-sin2x)2  cos2x(1-sin2x)  (1-sin2x)(1-sin2x-cos2x)=0 Bài Tìm x  (0; ) thoả mãn phương trình: cotx – = cos2 x  sin2 x  sin x  tan x Hướng dẫn sin x  sin x  ĐK:   sin x  cos x  tan x  1 pt   cos x  sin x cos2 x.cos x   sin2 x  sin x cos x sin x cos x  sin x cos x  sin x  cos2 x  sin x cos x  sin x  sin x cos x sin x  cos x  sin x  sin x (1  sin x )  (cos x  sin x )(sin x cos x  sin x  1)   2  Bài 10 Tìm giá trị m để phương trình sau cĩ nghiệm đoạn  0;   3 sin6x + cos6x = m ( sin4x + cos4x ) Hướng dẫn: Xét phương trình : sin6x + cos6x = m ( sin4x + cos4x ) (2) 1  Vậy giá trị cần tìm m :  ;   10  60     sin 2 x  m   sin 2 x  (1)    2  Đặt t = sin22x Với x   0;  t   0;1 Khi đĩ (1) trở thành :  3 2m = 3t  với t   0;1 t2 sin x   t Nhận xét : với t   0;1 ta cĩ :   sin x  t sin x  t  2  Để (2) cĩ nghiệm thuộc đoạn  0;   3  3 t   ;1  t   ;1 4  Dưa vào đồ thị (C) ta cĩ : y(1)< 2m ≤ y(3/4)   2m  1  Vậy giá trị cần tìm m :  ;   10  Bài 11 Giải phương trình: x x  x sin s inx-cos sin2 x   2cos2 (  ) 2 Hướng dẫn x x pt  sin s inx-cos sin2 x    s inx 2  s inx=0  x x x  sinx(2sin  sin  1)   sin   2  x x 2sin2  sin   VN  2  x  k Bài 12 Giải phương trình lượng giác Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội 61 Hướng dẫn ĐK: Bài 13 Giải phương trình sin x  sin x  1   cot x 2sin x sin x Hướng dẫn (pt)   cos22x  cosxcos2x = 2cos2x sin2x   cos2 x  v cos2 x  cos x   0(VN )  cos2x =  x      k  x   k Bài 14 Giải phương trình: 2sin3x – cos3x = sinx – sin2x.cosx Hướng dẫn pt sinx(2sin2x – 1) =  cos2x(sinx + cosx(cos2x – sin2x) cosx) =   Bài 15 Giải phương trình cos x  cos3 x   sin  x   4  Hướng dẫn Error! Objects cannot be created from editing field codes Bài 16 Giải phương trình : 2sin2 x  sin x  sin x  cos x   Hướng dẫn 2sin x  sin x  sin x  cos x    2sin x  (2 cos x  1)sin x  cos x   62   (2 cos x  1)2  8(cos x  1)  (2 cos x  3)2 Vậy sin x  0,5 sin x  cos x  Với sin x  0,5 ta cĩ x   5  2k  x   2k  6     Với sin x  cos x  ta cĩ sin x  cos x  1  sin  x      sin    , suy 4   4 x  k  x  3  2k    Bài 17 Tìm m để phương trình sin x  cos4 x  cos x  2sin x  m  cĩ nghiệm    0;    Hướng dẫn 1  3sin2 x  2sin x   m   Đặt t  sin x Ta cĩ x   0;   x   0;    t   0;1  2 Suy f  t   3t  2t   m, t   0;1   10 Phương trình cho cĩ nghiệm  0;    m   2 Bài 18 Giải phương trình:  cos x  cos2 (  x )   sin x  3cos( x  )  sin x 3 Hướng dẫn Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội 63  2cosx+ cos2 x   sin x  3s inx+ sin x 3  6cosx+cos2 x   6s inx.cosx-9sinx+sin2 x  6cosx(1-sinx)-(2sin x  9s inx+7)   6cosx(1-sinx)-2(s inx-1)(s inx- )  1  s inx=0 (1)   x   k 2;(k  Z )  (1-sinx)(6cosx-2sinx+7)    6cosx-2sinx+7=0(2) (p/t (2) vơ nghiệm) Bài 19 Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = Hướng dẫn Phương trình cho tương đương với 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + – 2sin2x =  6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) =  6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) =  5  Bài 20 Giải phương trình : 2 cos   x  sin x   12  Hướng dẫn    5  5  5  2cos   x  sin x   sin  x    sin   12  12   12      5  5  5   5  sin  x    sin   sin  sin  x    sin  sin  12  12 12  12         cos sin     sin     12   12     5  x   k 2x     k 2      5  12 12  sin  x    sin       k   12   x  3  k  2 x  5  13  k 2   12    12 12 64 sin x  cos4 x Bài 21 Giải phương trình lượng giác:  cos4 x   tan(  x ).tan(  x ) 4 Hướng dẫn ĐK: x     k ,k  Z      )tan(  x )tan(  x )  tan(  x )cot(  x )  4 4 1 sin x  cos4 x   sin x   cos2 x 2 pt  cos x  cos x   Bài 22 Giải phương trình: cos x   2sin x   2(cotg x  1) sin x Hướng dẫn Phương trình cho tương đương với:    tg2 x   3tg2 x    2cotg x sin x 2(sin2 x  cos2 x )   2cotg x sin x cos x  3tg2 x  2tg x   Bài 23 Giải phương trình tan4x +1 = (2  sin 2 x )sin x cos4 x Hướng dẫn ĐK: cosx   sinx   Ta cĩ phương trình  sin4x + cos4x = ( – sin22x)sin3x  ( – sin22x)(1 – sin3x) =  sin3x = ( ( – sin22x  1) Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội 65 Bài 24 Giải phương trình sin(2 x  17 x  )  16  3.s inx cos x  20sin (  ) 2 12 Hướng dẫn Biến đổi phương trình cho tương đương với  cos2 x  sin x  10cos( x  )      cos(2 x  )  5cos( x  )      2cos2 ( x  )  5cos( x  )   6  Bài 25 Giải phương trình 2cos3x.cosx+ 3(1  s in2x)=2 3cos2 (2 x  ) Hướng dẫn    PT  cos4x+cos2x+ 3(1  sin x )    cos(4x+ )     cos4x+ sin x  cos2x+ sin x     sin(4 x  )  sin(2 x  )  6    x  k   18  2sin(3 x  ).cosx=0    x=   k   66 ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM ĐẠI HỌC A-2012 Giải phương trình sin x  cos2 x  cos x  Hướng dẫn: pt  sin x cos x  cos2 x   cos x   cos x sin x  cos x       ĐẠI HỌC B-2012 Giải phương trình cos x  sin x cos x  cos x  sin x  Hướng dẫn: pt  cos2 x  sin x  cos x  sin x ĐẠI HỌC D-2012 Giải phương trình sin3 x  cos3 x  sin x  cos x  cos2 x   pt  2sin x  cos x  cos2 x  CAO ĐẲNG 2012 Giải phương trình cos2 x  sin x  sin x Hướng dẫn: cos2 x  sin x  sin3 x  cos2 x   sin x  sin3 x   ĐẠI HỌC A-2011 Giải phương trình  sin x  cos2 x  cot x  sin x sin x Hướng dẫn: Điều kiện: sinx ≠ pt sin x (1  s in2x  cos2 x )  2 sin x cos x   sin x  cos2 x  2 cos x  cos x  2sin x cos x  2 cos x   cos x (cos x  sin x  2)   cosx = hay cosx + sinx =      cosx = hay sin  x     x =  k  hay x =  k 2 (k  Z) 4  Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội 67 ĐẠI HỌC B-2011 Giải phương trình sin x cos x  sin x cos x  cos2 x  sin x  cos x Hướng dẫn: pt  2sin x cos2 x  sin x cos x  cos2 x  sin x  cos x  sin x 1  cos2 x   sin x cos x  cos2 x  sin x  cos x  sin x cos2 x  sin x  sin x cos x  cos2 x  sin x  cos x  cos2 x  sin x  1  cos x  sin x  1  ĐẠI HỌC D-2011 Giải phương trình sin x  cos x  sin x  tan x  0 Hướng dẫn: Điều kiện cos x  0;tan x   pt  sin x  cos x  sin x    cos x  sin x  1   sin x  1   Giải đối chiếu điều kiện ta x=  k 2, k   CAO ĐẲNG 2011 Giải phương trình cos x  12sin x   Hướng dẫn: pt  cos2 x   1  cos2 x    ĐẠI HỌC A-2010 Giải phương trình 1  sin x  cos2 x  sin  x  4   tan x    cos x Hướng dẫn: Điều kiện cos x  0;tan x  1 pt  1  sin x  cos2 x  sin  x  4   tan x    cos x    sin  x   1  sin x  cos2 x   1  tan x  cos x 4  sin x  cos x   sin x  cos x 1  sin x  cos2 x   cos x  sin x  cos2 x  cos x 68 ĐẠI HỌC B-2010 Giải phương trình  sin x  cos2 x  cos x  cos2 x  sin x  Hướng dẫn:  2sin x cos x  cos2 x  cos x  cos2 x  sin x   2sin x cos2 x  cos2 x cos x  cos2 x  sin x     sin x cos2 x   cos2 x  cos x     sin x cos2 x  cos2 x  cos x    ĐẠI HỌC D-2010 Giải phương trình sin x  cos2 x  3sin x  cos x   Hướng dẫn:   pt  2sin x cos x   2sin x  3sin x  cos x     2sin x  1 cos x  2sin x  3sin x     2sin x  1 cos x   2sin x  1 sin x      2sin x  1 cos x  sin x    CAO ĐẲNG-2010 Giải phương trình cos 5x 3x cos   8sin x  1 cos x  2 Hướng dẫn: pt  cos x  cos x  8.2sin x cos x  cos x    cos x  8sin x   ĐẠI HỌC A-2009 Giải phương trình 1  2sin x  cos x  1  2sin x 1  sin x  Hướng dẫn: Điều kiện s inx  1,s inx  pt  1  2sin x  cos x  1  2sin x 1  sin x    cos x  sin x   sin x  2sin x   cos x  sin x   sin x  cos2 x   cos x  sin x  sin x  cos2 x Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội 69   ĐẠI HỌC B-2009 Giải phương trình sin x  cos x sin x  cos3 x  cos x  sin3 x Hướng dẫn:   pt  sin x  2sin2 x  cos x sin x  cos3 x  cos x  sin x cos2 x  cos x sin x  cos3 x  cos x  sin x  cos3 x  cos x ĐẠI HỌC D-2009 Giải phương trình cos5 x  2sin x cos2 x  sin x  Hướng dẫn: pt  cos5 x   sin x  sin x   sin x   cos5 x  sin x  2sin x CAO ĐẲNG D-2009 Giải phương trình 1  2sin x  cos x   sin x  cos x Hướng dẫn: pt   sin x  1 2sin x  1  70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Đình Cư (2011) Bài giảng chun đề luyện thi đại học phần phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng (2010) Bài giảng chương 1, lớp 11 Bài giảng luyện thi đại học phương trình lượng giác Trung tâm luyện thi Vĩnh Viễn Các đề thi đại học Bộ Giáo dục Đào tạo Nguyễn Tất Thu (2011) 17 Chủ đề đại số giải tích 11 Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội 71 [...]... Thì hàm số y  f1 ( x )  f2 ( x ) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 Các dấu hiệu nhận biết hàm số khơng tuần hồn Hàm số y  f ( x ) khơng tuần hồn khi một trong các điều kiện sau vi phạm  Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn 18  Tồn tại số a sao cho hàm số khơng xác định với x  a hoặc x  a  Phương trình f ( x )  k có vơ số nghiệm hữu hạn  Phương trình f ( x )  k có vơ số nghiệm... tức chứng minh T0 là số dương nhỏ nhất thỏa (1) và (2) Giả sử có T sao cho 0  T  T0 thỏa mãn tính chất (2)   mâu thuẫn với giả thiết 0  T  T0 Mâu thuẫn này chứng tỏ T0 là số dương nhỏ nhất thỏa (2) Vậy hàm số tuần hồn với chu kỳ cơ sở T0 Một số nhận xét: - Hàm số y  sin x , y  cos x tuần hồn chu kỳ 2 Từ đó y  sin  ax  b  , y  cos  ax  b  có chu kỳ T0  - 2 a Hàm số y  tan x , y ... và so sánh f ( x ) với f ( x ) - Nếu f ( x )  f ( x ) thì f ( x ) là hàm số chẵn trên D (2) - Nếu f ( x )   f ( x ) thì f ( x ) là hàm số lẻ trên D (3) Chú ý: - Nếu điều kiện (1) khơng nghiệm đúng thì f ( x ) là hàm khơng chẵn và khơng lẻ trên D; - Nếu điều kiện (2) và (3) khơng nghiệm đúng, thì f ( x ) là hàm khơng chẵn và cũng khơng lẻ trên D Lúc đó, để kết luận f ( x ) là hàm khơng chẵn và. .. Chứng minh hàm số tuần hồn và xác định chu kỳ của nó Phương pháp Muốn chứng minh hàm số tuần hồn f(x) tuần hồn ta thực hiện theo các bước sau:  Xét hàm số y  f ( x ) , tập xác định là D  Với mọi x  D , ta có x  T0  D và x  T0  D (1) Chỉ ra f ( x  T0 )  f ( x ) (2) Vậy hàm số y  f ( x ) tuần hồn Chứng minh hàm tuần hồn với chu kỳ T0 Tiếp tục, ta đi chứng minh T0 là chu kỳ của hàm số tức chứng... - Có tập giá trị là  ; - Là hàm số lẻ; 2  10 - Hàm số tuần hồn với chu kỳ  , tan  x  k   tan x ; Do hàm số y  tan x là hàm tuần hồn với chu kỳ  nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên    đoạn có độ dài  , chẳng hạn trên đoạn   ;  2 2      Khi vẽ đồ thị của hàm số y  tan x trên đoạn   ;  ta nên để ý rằng : Hàm số y  tan x 2 2   là hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc... 4 6 8 Hàm số y  cot x nghịch biến trên khoảng  0;   Từ đó do tính tuần hồn với chu kỳ  nên hàm số y  cot x đồng biến trên khoảng  k ;   k  Đồ thị hàm số y  cot x nhận mỗi đường thẳng x  k làm một đường tiệm cận (đứng) 14 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP DẠNG 1: Tập xác định Phương pháp: Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau  u( x ) có nghĩa khi và chỉ khi... khi k   d) Hàm số f ( x )  tan x khơng tuần hồn vì khoảng cách giữa các nghiệm (khơng điểm) liên tiếp của nó dần tới   k  1 2  2  k 2   khi k   Bài 3 Cho hàm số y  f ( x ) và y  g( x ) là hai hàm số tuần hồn với chu kỳ lần lượt là T1 , T2 Chứng minh rằng nếu T1 f (x) là số hữu tỉ thì các hàm số f ( x )  g( x ); f ( x ).g( x ); T2 g( x )  g( x )  0  là những hàm số tuần hồn DẠNG... tơ v  k T0 i về bên trái  và phải song song với trục hồnh Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox) 2/ Một số phép biến đổi đồ thị: a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hồnh a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hồnh a đơn vị nếu a < 0 b) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y  f ( x  a) bằng cách... đồ thị hàm số y  tan x trên đoạn  0;  2   Bảng biến thiên: x 0   4 2 y  tan x  1 0 Đồ thị hàm số y  tan x trên  0;   Lấy đối xứng phần đồ thị này qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y  tan x trên đoạn     2 ; 2    Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội 11 Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài  ,2 ,3 , thì ta được tồn bộ đồ thị hàm số y  tan x... 2 4 6 8    Hàm số y  tan x đồng biến trên khoảng   ;  Từ đó do tính tuần hồn với chu kỳ   2 2      k ;  k  2  2  nên hàm số y  tan x đồng biến trên khoảng   Đồ thị hàm số y  tan x nhận mỗi đường thẳng x   2  k làm một đường tiệm cận (đứng) 4 Hàm số y=cotx 12 - Có tập xác định là D   \ k | k    ; - Có tập giá trị là  ; - Là hàm số lẻ; - Hàm số tuần hồn với chu