Tuyển tập Bất Đẳng Thức trong kỳ thi Olympic Toán Học 10

15 703 0
  • Loading ...
1/15 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 13/07/2016, 16:52

30 BÀI TOÁN BĐT - Cực Trị Đề thi OLYMPIC Toán Học 10 Bài Toán (THPT Quốc Học Huế) Cho số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện ax − b y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F = a + b + x + y + bx + a y Lời giải b Ta có:F = x + 2 a −b −a + (a + b ) Đặt:M = (x; y), A = ; , (∆) : ax − b y = 2 b a Ta có: M A = x + + y+ Mà M ∈ (∆) nên M A ≥ [d (A; ∆)]2 = 2 a + b2 Dấu ‘=’ xảy M hình chiếu A (∆) 3 3 Suy F ≥ + (a + b ) ≥ (a + b ) = 2 a +b a +b Vây Mi n F = đạt chẳng hạn (a; b; x; y) = 2; 0; ; 2 + y+ (THPT Chu Văn An - Ninh Thuận) Bài Toán Cho x, y, z dương Chứng minh rằng: x 25y 4z + + > y +z z +x x +y Lời giải   b +c −a   x= a, b, c >           b +c > a a = y +z  a +c −b Do x, y, z dương =⇒ Đặt: b = z + x =⇒ y =    a +c > b        c =x+y    a +b > c z = a +b −c (1) Khi ta có: x 25y 4z b + c − a 25(a + c − b) 4(a + b − c) + + = + + y +z z +x x +y 2a 2b 2c c 25c 2b b 25a 2a = + + + + + − 15 ≥ + 2.1 + 2.5 − 15 2b 2a c 2b c 2a b 25a   =     2a 2b    c  b = 5a a b c a + 2c 2a Đẳng thức xảy ⇐⇒ c = 2a ⇐⇒ = = = =   5 2a c     5c = 2b  25c 2b   = b c (AM −G M ) =⇒ b = a + 2c > a + c mâu thuẫn với (1) =⇒ Dấu ‘=’ không xảy x 25y 4z Vậy + + > (Dpcm) y +z z +x x +y (THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang) Bài Toán Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn : ≥ a ≥ b ≥ c > 0; 3abc ≤ min{6a + 8b + 12c; 72}; 2ab ≤ mi n{3a + 4b; 24} Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a + b + c + a + b + c Lời giải 4+3+2 = c 4 + + + (b − c) + + (a − b) a b c a b a 24 12 + (b − c).2 + (a − b) abc ab ≥ 3c + 2(b − c) + (a − b) = a + b + c ⇒ a +b +c ≤ (1) Dấu ‘=’ xảy a = 4; b = 3; c = ≥ c.3 Ta lại có: 2 32 42 32 22 2 2 + + + (b − c ) + + (a − b ) a2 b2 c a2 b2 a2 42 32 22 3 12c + 6a + 8b ≥3 + + ≥ + + = a2 b2 c a b b c a c abc 42 32 4b + 3a + ≥2 + ≥ = a2 b2 a b ab Suy ra: 42 + 32 + 22 ≥ 3c + 2(b − c ) + (a − b ) = a + b + c (2) Từ (1) (2) ta suy ra:P ≤ 38.Dấu ‘=’ xảy ⇐⇒ a = 4, b = 3, c = Vậy M ax P = 38 Đạt a = 4, b = 3, c = 42 + 32 + 22 = c (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa) Bài Toán Cho x > 1; y > 2; z > 3; + + = Chứng minh rằng: x y z x +y +z ≥ x −1+ y − + z − Lời giải Ta có: x −1+ y −2+ z −3 = x x −1 + x y −2 + z y y Theo BĐT BCS suy ra: x −1+ y −2+ z −3 ≤ x + y + z x −1 y −2 z −3 + + x y z + + x y z ⇐⇒ x −1+ y −2+ z −3 ≤ x + y + z ⇐⇒ x −1+ y −2+ z −3 ≤ x + y + z (Dpcm) 3− z −3 z Bài Toán (THPT Chuyên Tiền Giang-Tiền Giang) Cho số thực a, b, c, d thỏa: a + b = 1; c + d = Chứng minh rằng: ac + bd + cd ≤ 9+6 Lời giải Goi M (a; b), N (c, d ) Vì a + b = nên điểm M nằm đường tròn (C ) : x + y = Vì c + d = nên N nằm đường thẳng ∆ : x + y − = Ta có:M N = (c − a)2 + (d − b)2 = a + b + c + d − 2ac − 2bd = a + b + (c + d )2 − 2cd − 2ac − 2bd = 10 − 2(ac + bd + cd ) MN2 Kẻ OH ⊥∆,OH ∩ (C ) = K Suy ra: ac + bd + cd = − HK Ta thấy M N ≥ H K ⇒ ac + bd + cd ≤ − 3 2 11 − ; , H ; nên H K = Do K 2 2 Suy ac + bd + cd ≤ − 11 − + = (Dpcm) 4 Bài Toán (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP.HCM) Cho a, b, c dộ dài cạnh tam giác thỏa mãn: a + b + c + = 2(ab + bc + c a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 9(a + b + c ) − 2ab − 2bc − 14c a Lời giải   x = b +c −a z +x x+y y +z Đặt: y = c + a − b =⇒ x, y, z > 0; a = ;b = ;c =  2  z = a +b −c Ta có: a + b + c + = 2(ab + bc + c a) y +z z +x x+y y +z z +x z +x x +y x +y y +z + + +1 = + + 2 2 2 2 ⇐⇒ x y + y z + zx = z +x x+y y +z z +x y +z z +x y +z x +y y +z P =9 + + −2 −2 − 14 = 4(x + z ) + y 2 2 2 2 2 Với α > ta có: y2 y2 α α α α αx + ≥2 x y; αz + z y (x + z ) ≥ xz 2 2 2 α α α =⇒ α + (x + z ) + y ≥ x y + y z + zx = (1) 2 Ta  tìm α thỏa mãn:    α > α > α 33 − 17 − 33 ⇐⇒ ⇐⇒ = ⇐⇒ α = α α α   4 α+ 2 =4 + −4 = 2 ⇐⇒ 33 −     x, y, z >      x=z=   x y + y z + zx =     2α + ⇐⇒ Dấu ‘=’ xảy 2αx = y   2α     2   y= 2αz = y     2α +  x=z 33 − Vậy Mi n P = Suy (1) trở thành: P ≥ (THPT Chuyên Bến Tre - Bến Tre) Bài Toán Cho x + y − x y = Tìm Min Max biểu thức: M = x + y − x y Lời giải 2 Ta có: x + y − x y = =⇒ = x + y − x y ≥ 2x y − x y = x y =⇒ −1 ≤ xy ≤ = (x + y) − 3x y ≥ −3x y Mặt khác x + y − x y = ⇐⇒ x + y = + x y nên: M = (x + y ) − 3x y = −2x y + 2x y + Đặt t = x y =⇒ M = −2t + 2t + Vậy cần tìm Min Max tam thức bậc hai: −1 ;1 f (t ) = −2t + 2t + đoạn        x = x = − x + y −xy =    −1 3 = Đạt Ta có: Mi n M = f ⇐⇒ hay −1    3 xy =     y =− y = 3    3+   x = x + y −xy = 1 Ta có: M ax M = f ⇐⇒ = Đạt   x y = −1 2   y = 3− 2 Bài Toán (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị) Cho hai số dương a b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: A=x a + y + y a + x Với x, y số thực không âm x + y = b Lời giải Áp dụng BĐT BCS ta có: A2 = ( x =⇒ A ≤ ax + x y + y a y + x y) ≤ (x + y)(ax + a y + 2x y) = b(ab + 2x y) ≤ ab + 2b b 4a + 2b b b 4a + 2b Dấu ‘=’ xảy x = y = Vậy M ax A = 2 x+y 2 = b2 (2a + b) A = x a + y + y a + x − (x + y) a + b a = x( a + y − a) + y( a + x − a) + b a ≥ b a (Do x, y số thực không âm) x =0 x =b Dấu ‘=’ xảy hay Vậy Mi n A = b a y =b y =0 Bài Toán (THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Cần Thơ) 2 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn : a + b + c = Tìm Max biểu thức: P= a +b +c 2a + b + c + a + 3b + c + a + b + 4c Lời giải Không tính tổng quát,chuẩn hóa a + b + c = Khi ta có: P = a + + 2b + + 3c + Đặt: m = a + + 2b + + 3c + 1, c = a + 1, y = 2b + 1, z = 3c + Suy ra:m = + 2(x y + y z + zx) + b + 2c ≥ + 2(x y + y z + zx) => 2(x y + y z + zx) ≤ m − Ta có: (x − 1)(y − 1) + (y − 1)(z − 1) + (z − 1)(x − 1) ≥ (1) ⇐⇒ 2(x y + y z + zx) − 4m + ≥ ⇐⇒ 2(x y + y z + zx) ≥ 4m − (2) Từ (1) (2) suy ra: m − 4m + ≥ ⇒ m ≥ + ⇒ P ≤ 2+ Dấu ‘=’ xảy a = 1; b = c = Vậy M ax P = 2+ Bài Toán 10 (THPT Chuyên Thăng Long - Đà Lạt Lâm Đồng) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z +x +z = y Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x2 + − y2 + + z2 + Lời giải x z Ta có: x y z + x + z = y ⇔ xz + + = Vì x, y, z > nên tồn góc A, B,C ∈ (0; π) y y A B C cho A + B +C = π x = tan , = tan , z = tan Từ ta có: y 2 2B 2tan 2 A B C P= − + = 2cos2 − 2sin2 + 3cos2 A B C 2 tan2 + tan2 + tan2 + A −B C C A −B + = −3 sin − cos + cos2 +3 2 3 A −B 10 =⇒ P ≤ cos2 +3 ≤ 3 A=B 10 Dấu ‘=’ xảy Vậy M ax P = C  sin = 3 = cos A + cos B − 3sin2 Bài Toán 11 (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Dương) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c ∈ N ∗ thỏa mãn phương trình: a n + b n = c n với n ∈ N ∗ min(a, b) ≥ n Lời giải Có thể giả sử a ≤ b nên mi n (a, b) = a Suy c > b Vậy c ≥ b + =⇒ c n ≥ (b + 1)n = b n + nb n−1 + + =⇒ c n ≥ b n + nb n−1 =⇒ a ≥ n Bài toán chứng minh Bài Toán 12 (THPT Bạc Liêu - Bạc Liêu) 2 Cho hai số dương a, b thỏa a + b = Tìm giá trị lớn P = b(a + b) Lời giải a = sin α π cho b = cos α 1 π sin 2α + Suy ra: P = cos α(sin α + cos α) = sin α cos α + cos2 α = (sin 2α + cos 2α + 1) = + 2 π π π 5π Vì α ∈ 0; nên < 2α + ≤ suy < sin 2α + ≤ 4 π π π Do đó: P ≤ + Dấu ‘=’ xảy 2α + = ⇐⇒ α = Vậy M ax P = + 2 2 Do a > 0, b > 0, a + b = nên tồn α ∈ 0; Bài Toán 13 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định) Cho hai số thực dương a, b có a ≥ 2a + 3b ≥ 12 Tìm Min biểu thức: A = a a + b b Lời giải a Do a ≥ =⇒ A= a ≥ 2.2 +      b a ≥ 1;2a + 3b ≥ 12 =⇒ =3 a + a +2 b 2 3   b 2 b + ≥2 a =2 3 + + (3 − 2).1 ≥ b + (3 − 2) a = b ; 3 + (3 − 2) = 3 + 2   Vậy Mi n A = 3 + 2 đạt a = 3; a 2a + 3b = 12 ⇐⇒ a =3 b=2 (THPT TX Sa Đéc-Đồng Tháp) Bài Toán 14 Cho x > 0; y > 0; z > Chứng minh 9y 16z x + + > y +z z +x x +y Lời giải Có thể giải tương tựnhư Bài  b +c −a  x = a, b, c >        a = y + z    b +c > a   a +c −b Đặt: b = z + x =⇒ y = Do x, y, z dương =⇒  a +c > b         c =x+y   a + b − c  a +b > c z = (1) Khi ta có: x 9y 16z b + c − a 9(a + c − b) 16(a + b − c) + + = + + y +z z +x x +y 2a 2b 2c b 9a c 8a 9c 8b = + + + + + − 13 ≥ + 2.2 + 2.6 − 13 = 2a c 2b c 2a 2b 9a b   =      b = 3a  2a 2b   a b c a + 2c c 8a ⇐⇒ c = 2a ⇐⇒ = = = Đẳng thức xảy =   3 2a c     3c = 2b  9c 8b   = 2b c =⇒ b = a + 2c > a + c mâu thuẫn với (1) =⇒ Dấu ‘=’ không xảy x 9y 16z Vậy + + > (Dpcm) y +z z +x x +y (AM −G M ) Bài Toán 15 Cho a, b, c > 0, a + b + c = Chứng minh: a b c + + + c a b abc ≥ 10 9(a + b + c ) Lời giải a a c 3a a + + ≥3 = (1)‘ c c b bc abc c c b 3c b b a 3b Tương tự: + + ≥ (2), (3) + + ≥ b b a a a c abc abc a b c Cộng vế theo vế (1),(2) (3) ta có: + + ≥ c a b abc a b c 8 10 3 Suy ra: + + + abc ≥ + abc = + + abc ≥ + = c a b 3(a + b + c) 3 abc abc abc 10 10 10 Mặt khác: = ≥ (**) 3(a + b + c)2 9(a + b + c ) Từ (*) (**) ta suy điều phải chứng minh Dấu ‘=’ xảy a = b = c = Áp dụng BĐT AM-GM ta có: (*) (THPT Quốc Học Huế - Thừa Thiên Huế) Bài Toán 16 Xét a, b, c > tùy ý Tìm giá trị lớn của: T= abc (1 + a)(1 + a + b)(1 + a + b + c) Lời giải a b c ;v = ;w = ;s = 1+a (1 + a)(1 + a + b) (1 + a + b)(1 + a + b + c) 1+a +b +c Khi ta có: u + v + w + s = T = uv w s 1 u +v +w+s =⇒ T ≤ Áp dụng BĐT AM-GM,ta có : T ≤ = 256 16 Đặt: u = Dấu ‘=’ xảy :    a=    a b c 1 = = = = ⇐⇒ b =  + a (1 + a)(1 + a + b) (1 + a + b)(1 + a + b + c) + a + b + c     c =2 Vậy M ax T = 16 (THPT Chuyên Bến Tre - Bến Tre) Bài Toán 17 Cho a, b, c số dương thỏa mãn + + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c T = a + b + c Lời giải Vì + + = nên : a b c T = a + b + c = (a + b + c) 3b 2a 3c a b 2c + + = + + + + + +6 a b c a b a c c b ≥ + + 2 + = + 2( + 1) + ( + 1) = Dấu  ‘=’ xảy : 3+ 2+1 3b 2a   =    a b      a =c   3c a    a = 3+ 3+    =    a c ⇐⇒ b = c ⇐⇒ b = + +    b 2c     =     + + = c = 1+ 2+    c b  c c c     + +1 =1 a b c Vậy M ax T = + + (THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng) Bài Toán 18 Cho a, b, c > : abc = 1.Tìm GTLN của: P= 2a + b + c + + a + 2b + c + + a + b + 2c + Lời giải 1 1 ≤ + ,ta có : a +b a b 1 1 = ≤ + 3 3 3 3 2a + b + c + a + b + + a + c + a + b + a + c + 1 1 ≤ + (1) 3 3 2a + b + c + a + b + a + c + 1 1 Tương tự: ≤ + (2) 3 3 a + 2b + c + a + b + b + c + 1 1 ≤ + (3) 3 3 a + b + 2c + a + b + a + c + 1 1 Cộng vế theo vế (1),(2) (3) ta suy ra: P ≤ + + a3 + b3 + b3 + c + a3 + c + Áp dụng BĐT quen thuộc sau : (*) Mặt khác: Ta có: a + b ≥ ab(a + b) =⇒ a + b + ≥ ab(a + b) + abc =⇒ a + b + ≥ ab(a + b + c) 1 c =⇒ ≤ =⇒ ≤ 3 a + b + ab(a + b + c) a +b +1 a +b +c a b ≤ ; ≤ Tương tự: 3 b + c + a + b + c c + a3 + a + b + c 1 Suy ra: + + ≤ (**) 3 a + b + b + c + a + c3 + 1 Từ (*) (**) ta suy ra: P ≤ Dấu ‘=’ xảy a = b = c = Vậy M ax P = (THPT Chuyên Lý Tự Trọng-Cần Thơ) Bài Toán 19 2007 c +1 Cho 3số thực dương a, b, c thỏa: + ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu a + 2008 + b 2007 + c thức: P = (a + 1)(b + 1)(c + 1) Lời giải Đăt: x = a + 1; y = b + 1; z = c + Khi đó: 2007 c +1 2007 z 2007 2006 + ≤ =⇒ + ≤ ⇐⇒ + + ≤ (1) a + 2008 + b 2007 + c x + 2007 + y 2006 + z x + 2007 + y 2006 + z Từ (1) áp đụng BĐT AM-GM ta có: x 2007 2006 = 1− ≥ + ≥2 x +1 x + 2007 + y 2006 + z Tương tự: y ≥2 2007 + y 2006 (3) x + 2006 + z 2007 2006 x =⇒ ≥2 2007 + y 2006 + z x +1 z ≥2 2006 + z 2007 2006 (2) 2007 + y 2006 + z 2007 (4) 2007 + y x + Nhân vế theo vế (1),(2) (3) ta có: x y z ≥ 8.2006.2007 =32208336  x =2   a =  2007 2006 Dấu ‘=’ xảy khi: = = = ⇐⇒ y = 4014 =⇒ b = 4013   x + 2007 + y 2006 + z   c = 4011 z = 4012 Vây Mi n P = 32208336 Bài Toán 20 (THPT Chuyên Lê Khiết-Quảng Ngãi) Chứng minh rằng:∀a, b thỏa mãn a + b > 0, a = b ta có: 22007 (a 2008 + b 2008 ) > (a + b)2008 (1) Lời giải Ta có: (1) ⇔ a 2008 + b 2008 a +b > 2 2008 Xét BĐT tổng quát sau: a +b an + bn ≥ 2 n (*) ∀n ≥ Ta chứng minh (*) quy nạp Thật vậy: Với n = ,(*) đúng.Dấu ‘=’ không xảy a + b > 0, a = b a + b k ak + bk < Ta chứng minh BĐT với n = k + 2 a + b k+1 a k+1 + b k+1 a + b k+1 a + b k a + b ak + bk a + b Tức chứng minh: < Thật vậy: = < 2 2 2 a k + b k a + b a k+1 + b k+1 Ta cần chứng minh: < 2 ⇐⇒ a k + b k (a + b) < 2a k+1 + 2b k+1 ⇐⇒ a k+1 − a k b + b k+1 − b k a > ⇐⇒ (a − b)(a k − b k ) > (2) Giả sử BĐT với n = k tức (2) a = b , a − b a k − b k dấu Bài toán chứng minh Bài Toán 21 (THPT Chuyên Trà Vinh-Trà Vinh) Cho số thực dương thay đổi x, y, z thỏa mãn điều kiện: 24 1 1 1 + + ≤ 1+2 + + x y z x y z P= (∗) Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 + + 30x + 4y + 2008z 30y + 4z + 2008x 30z + 4x + 2008y Lời giải 1 1 ≥0⇔ ≥ − − (1) Dấu ‘=’ xảy x = x x 3x 36 1 Tương tự: ≥ − (2) Dấu ‘=’ xảy y = y 3y 36 1 ≥ − (3) Dấu ‘=’ xảy z = z 6z 36 Ta có: Cộng vế theo vế (1),(2) (3) ta được: 1 1 1 1 1 1 1 + 2+ 2≥ + + − ⇒ 24 + + ≥ + + − (4) x y z x y z 12 x y z x y z 1 1 1 1 1 Từ (*) (4) ta suy ra: + + − ≤ + + + ⇔ + + ≤ x y z x y z x y z 10 Áp dụng BĐT AM-GM cho 2042 số dương ta có: 30x + 4y + 2008z ≥ 2042 2042 x 30 y z 2008 30 2008 + + ≥ 2042 2042 30 2008 x y z x y z (5), (6) Nhân vế theo vế (5) (6) ta được: 30 2008 1 30 2008 + + ≥ 20422 ⇔ ≤ + + x y z 30x + 4y + 2008z 2042 x y z 30 2008 Tương tự: ≤ + + (8) 30y + 4z + 2008x 20422 y z x 30 2008 1 ≤ + + (9) 30z + 4x + 2008y 2042 z x y 1 1 + + ≤ Cộng vế theo vế (7),(8) (9) ta suy ra: P ≤ 2042 x y z 4084 Dấu ‘=’ xảy x = y = z = Vậy M ax P = 4084 30x + 4y + 2008z (7) Bài Toán 22 (THPT Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk) Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a3 b3 + a + (b + c)3 b + (c + a) c3 + c + (a + b)3 ≥ Lời giải Theo AM-GM với x ≥ 0ta có: Áp dụng: a3 a + (b + c)3 = b3 Tương tự: b + (c + a)3 + x3 = 1+ ≥ b+c a (1 + x)(1 − x + x ) ≤ + ≥ b2 a2 + b2 + c 1 + 21 b+c a ≥ + b a+c 2 c3 (2), c + (a + b)3 x2 = a2 a2 + b2 + c (1) ≥ c2 a2 + b2 + c (3) Cộng vế theo vế (1),(2) (3) ta suy ra: a3 b3 + b + (c + a) Dấu ‘=’ xảy a = b = c a + (b + c) + c3 c + (a + b)3 (THPT Chuyên Thăng Long Đà Lạt-Lâm Đồng) Bài Toán 23 Cho số thực a = Chứng minh: a2 + a + + a2 < ≥ (Dpcm) 1 + + 16a + + 16a Lời giải Đăt:x = a , x2 = a2 + a , , x n = a2 + a + + 11 a2 (n dấu căn) a2 + (với x i = a + + a i số dấu căn) (1) Do a > 0nên ta có:x n > x n−1 Từ (1) suy ra:x n2 = a + x n−1 ⇒ x n2 < a + x n ⇒ x n2 − x n − a < ⇒ x n < Áp dụng BĐT + 4 (a + a )2 + (b + b )2 ≤ + a2 + 16 + (a + a)2 ≤ Từ (1) (2) ta suy ra: x n < Hay a2 + a + + + 41 a2 < a 12 + b 12 + + a2 = 16 + + 4a 2 (1) a 22 + b 22 với a , a , b , b ∈ R,ta có: + 16a + + 16a + 4a = (2), + 16a + + 16a 2 1 + + 16a + + 16a (Dpcm) (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước) Bài Toán 24 Cho số x, y, z số thực dương thỏa mãn: x + y + z = Chứng minh rằng: x2 + x y + y + 4y z + y + y z + z2 + 4xz + z + zx + x 3 ≥ 4x y + Lời giải ∗)Với a, b dương ta có: a + ab + b = 3 (a − b)2 + (a + b)2 ≥ (a + b).Dấu ‘=’ xảy a = b 4 ∗) Ta có BĐT quen thuộc:4ab ≤ (a + b)2 Áp dụng: x2 + x y + y y + y z + z2 z + zx + x x+y y +z z +x + + ≥ + + 4y z + 4xz + 4x y + 4y z + 4xz + 4x y + x+y y +z z +x + + 2 2 (y + z) + (z + x) + x + y +1 y + y z + z2 z + zx + x x+y y +z z +x + ≥ + + 2 4xz + 4x y + (y + z) + (z + x) + x + y +1 ≥ =⇒ x2 + x y + y + 4y z + (1) Đặt a = x + y, b = y + z, c = z + x ta có: a, b, c > a + b + c = Khi (1) trở thành: x2 + x y + y + 4y z + y + y z + z2 + 4xz + z + zx + x b c a ≥ + + 2 4x y + b +1 c +1 a +1 (2) Ta có: a b c ab bc c a2 (a + b + c)2 ≥ 3− + + = a +b +c − + + (ab +bc +c a) ≥ 3− = (3) b2 + c + a2 + b2 + c + a2 + x2 + x y + y y + y z + z2 z + zx + x 3 Từ (2) (3) ta suy ra: + + ≥ (Dpcm) 4y z + 4xz + 4x y + (THPT Chuyên Bạc Liêu-Bạc Liêu) Bài Toán 25 30 30 30 30 x y z t + + + 4 y z t x Trong x, y, z, t số thực dương thỏa mãn: x + y + z + t = 2008 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 12 Lời giải Áp dụng BĐT AM-GM cho 30 số dương ta có: x 30 y 502 y 30 + 4y + 25.502 ≥ 30x 25 z 30 t 50225 z 50225 t 30 + 4t + 25.502 ≥ 30z x 50225 + 4z + 25.502 ≥ 30y + 4x + 25.502 ≥ 30t Cộng vế theo vế BĐT ta có: x 30 y 30 z 30 t 30 x 30 y 30 z 30 t 30 25 + + + ≥ 2008.502 ⇐⇒ + + + ≥ 4.50226 y4 z4 t4 x4 y4 z t x Dấu ‘=’ xảy x = y = x = t = 502 Vậy giá trị M ax cần tìm 4.50226 Bài Toán 26 (THPT Chuyên Huỳnh Thúc Kháng-Quảng Nam) Cho a, b, c cạnh tam giác x, y, z số thực thỏa mãn ax + b y + c z = Chứng minh rằng: x y + y z + zx ≤ Lời giải Từ ax + b y + cz = ⇐⇒ z = − ax + b y c (1) ax + b y (x + y) ≤ ⇐⇒ c x y − (ax + b y)(x + y) ≤ ⇐⇒ ax + x y(a + b − c) + b y ≥ c ∗.Xét y = (2) ⇐⇒ ax ≥ suy (2) Dấu ‘=’ xảy khi:x = y = z = x x ∗.Xét y = (2) ⇐⇒ a + (a + b − c) + b ≥ (3) y y x x x Xét tam thức bậc hai: f =a + (a + b − c) + b (a > 0) y y y 2 2 Có: ∆ = (a + b − c) − 4ab = a + b + c − (2ab + 2bc + 2c a) (4) Do a, b, c cạnh  tam giác:   a − 2ab + b < c    |a − b| < c  =⇒ |b − c| < a =⇒ b − 2bc + c < a =⇒ a + b + c < 2ab + 2bc + 2c a (5)      c − 2c a + a < b |c − a| < b ⇐⇒ x y − (2) x > (do (a > 0) ) =⇒ (3) y Vậy toán chứng minh Dấu ‘=’ xảy x = y = z = Từ (4) (5) suy ra:∆ < =⇒ f Bài Toán 27 (THPT Chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên) Cho x, y, z số thực không âm Tìm giá trị lớn biểu thức: y2 z2 x2 P= + + 4x + 3y z + 4y + 3zx + 4z + 3x y + Lời giải Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 4x + = 2(x + x + 1) ≥ 2.3 x x = 6x Dấu ‘=’ xảy x = Tương tự: 4y + ≥ 6y Dấu ‘=’ xảy y = 4z + ≥ 6z Dấu ‘=’ xảy z = 13 Nếu ba số x, y, z P = Nếu hai ba số x, y, z ,chẳng hạn y = z = P = Dấu ‘=’ xảy x = 1; y = z = Nếu ba số 0,chẳng hạn z = 0, P = x2 ≤ 4x + x2 y2 + ≤ 3 4x + 4y + Dấu ‘=’ xảy x = y = 1; z = Nếu ba số dương ta có: x2 y2 z2 1 1 + + = + + y z zx 6x + 3y z 6y + 3zx 6z + 3x y + 2 + y 2 + x 2y x z yz zx xy Đặt: a = , b = , c = a, b, c > abc = Khi đó: x y z 1 1 12 + 4(a + b + c) + ab + bc + c a P≤ + + = (2) 2+a 2+b 2+c + 4(a + b + c) + 2(ab + bc + c a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:ab + bc + c a ≥ ab.bc.c a = (Do abc = ) Suy ra: + 4(a + b + c) + 2(ab + bc + c a) ≥ 12 + 4(a + b + c) + ab + bc + c a (3) Từ (2) (3) suy ra:P ≤ Dấu ‘=’ xảy a = b = c = ⇒ x = y = z = Vậy M ax P = Đạt số x, y, z có hai số số lại 0,hoặc ba số P≤ Bài Toán 28 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-TP Hồ Chí Minh) Cho x, y, z ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện:x + y + z = Tìm Min Max biểu thức: P = x y + y z + zx − 2x y z Lời giải Ta có:P = x y(1 − z) + xz(1 − y) + y z ≥ 0.Do x, y, z ≥ x +y +z =1 nên 1−z ≥ 1− y ≥ Dấu ‘=’ xảy số x, y, z có hai số số Vậy Mi n P = Áp dụng BĐT quen thuộc sau: (x + y − z)(y + z − x)(x + z − y) ≤ x y z ⇐⇒ (1 − 2x)(1 − 2y)(1 − 2z) ≤ x y z ⇐⇒ − 2(x + y + z) + 4(x y + y z + zx) − 8x y z ≤ x y z ⇐⇒ 4(x y + y z + zx) ≤ 9x y z + 9x y z 9x y z xyz ⇐⇒ x y + y z + zx ≤ + =⇒ P ≤ + − 2x y z = + (1) 4 4 4 1 Ta có: x + y + z ≥ 3 x y z ⇐⇒ x y z ≤ ⇐⇒ x y z ≤ (2) 27 Từ (1) (2) suy ra:P ≤ 27 x =y =z ≥0 Dấu ‘=’ xảy ⇐⇒ x = y = z = Vậy M ax P = 27 x +y +z =1 14 Bài Toán 29 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-TP Hồ Chí Minh) Chứng minh với số nguyên dương n với số thực x ∈ (0; 1) ta có: n x − x ≤ 2n 2n + 1 n 2n + Lời giải 2n 2n Ta có:(1) ⇐⇒ x (1 − x) ≤ 2n + 2n + x x x Áp dụng BĐT AM-GM cho 2n + 1số dương , , , , − x ta được: 2n 2n 2n x 2n 2n + − x x 2n x 2n 2n+1 (1 − x) ≤ = =⇒ (1 − x) ≤ 2n 2n + 2n + 2n (2n + 1)2n+1 2n 2n 2n 2n 2n (2n) 2n = =⇒ x (1 − x) ≤ ⇐⇒ x 2n (1 − x) ≤ 2n+1 2n + 2n + 2n + 2n + (2n + 1) 2n n =⇒ x − x ≤ n (Dpcm) 2n + 2n + 2n Bài Toán 30 Cho a, b, c ba số thực dương.Chứng minh rằng: (THPT Lưu Văn Việt-Vĩnh Long) a + abc b + abc c + abc + + ≥ a3 + b3 + c b +c c +a a +b (1) Lời giải Giả sử a ≥ b ≥ c ,ta có: (1) ⇐⇒ b c a (a − b)(a − c) + (b − a)(b − c) + (c − a)(c − b) ≥ b +c c +a a +b (2) a b ≥ (a − b)(a − c) ≥ 0,nên: b +c c +a a b b b b (a − b)(a − c) + (b − a)(b − c) ≥ (a − b)(a − c) + (b − a)(b − c) ≥ (a − b)2 ≥ b +c c +a c +a c +a c +a c a b c Mà: (c − a)(c − b) ≥ Vậy: (a − b)(a − c) + (b − a)(b − c) + (c − a)(c − b) ≥ a +b b +c c +a a +b Dấu ‘=’ xảy a = b = c Mặt khác,do Suy (2) chứng minh Bài toán chứng minh 15 [...]... Đạt khi trong 3 số x, y, z có hai số bằng 1 và số còn lại bằng 0,hoặc cả ba số đều bằng 1 P≤ Bài Toán 28 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-TP Hồ Chí Minh) Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện:x + y + z = 1 Tìm Min và Max của biểu thức: P = x y + y z + zx − 2x y z Lời giải Ta có:P = x y(1 − z) + xz(1 − y) + y z ≥ 0.Do x, y, z ≥ 0 x +y +z =1 nên 1−z ≥ 0 1− y ≥ 0 Dấu ‘=’ xảy ra khi trong 3... x y − (2) x > 0 (do (a > 0) ) =⇒ (3) đúng y Vậy bài toán được chứng minh Dấu ‘=’ xảy ra khi x = y = z = 0 Từ (4) và (5) suy ra:∆ < 0 =⇒ f Bài Toán 27 (THPT Chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên) Cho x, y, z là các số thực không âm bất kì Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y2 z2 x2 P= 3 + + 4x + 3y z + 2 4y 3 + 3zx + 2 4z 3 + 3x y + 2 Lời giải 3 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 4x 3 + 2 = 2(x 3 + x 3 + 1) ≥ 2.3 x... z2 z 2 + zx + x 2 3 3 Từ (2) và (3) ta suy ra: + + ≥ (Dpcm) 4y z + 1 4xz + 1 4x y + 1 4 (THPT Chuyên Bạc Liêu-Bạc Liêu) Bài Toán 25 30 30 30 30 x y z t + 4 + 4 + 4 4 y z t x Trong đó x, y, z, t là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z + t = 2008 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 12 Lời giải Áp dụng BĐT AM-GM cho 30 số dương ta có: x 30 y 4 502 y 30 + 4y + 25.502 ≥ 30x 25 z 30 t 4 50225 z 4 50225 t... Tương tự: 4y 3 + 2 ≥ 6y 2 Dấu ‘=’ xảy ra khi y = 1 4z 3 + 2 ≥ 6z 2 Dấu ‘=’ xảy ra khi z = 1 13 Nếu cả ba số x, y, z đều bằng 0 thì P = 0 Nếu hai trong ba số x, y, z bằng 0 ,chẳng hạn y = z = 0 thì P = Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 1; y = z = 0 Nếu một trong ba số bằng 0,chẳng hạn z = 0, thì P = 1 x2 ≤ 3 4x + 1 6 x2 y2 1 + ≤ 3 3 4x + 2 4y + 2 3 Dấu ‘=’ xảy ra khi x = y = 1; z = 0 Nếu cả ba số đều dương... tam thức bậc hai: f =a + (a + b − c) + b (a > 0) y y y 2 2 2 2 Có: ∆ = (a + b − c) − 4ab = a + b + c − (2ab + 2bc + 2c a) (4) Do a, b, c là 3 cạnh của  một tam giác:   a 2 − 2ab + b 2 < c 2    |a − b| < c  =⇒ |b − c| < a =⇒ b 2 − 2bc + c 2 < a 2 =⇒ a 2 + b 2 + c 2 < 2ab + 2bc + 2c a (5)      c 2 − 2c a + a 2 < b 2 |c − a| < b ⇐⇒ x y − (2) x > 0 (do (a > 0) ) =⇒ (3) đúng y Vậy bài toán. .. (1) ≥ c2 a2 + b2 + c 2 (3) Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta suy ra: a3 b3 + 3 b 3 + (c + a) Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c a 3 + (b + c) + 3 c3 c 3 + (a + b)3 (THPT Chuyên Thăng Long Đà Lạt-Lâm Đồng) Bài Toán 23 Cho số thực a = 0 Chứng minh: a2 + a 2 + + a2 < ≥ 1 (Dpcm) 1 1 + 2 8 1 + 16a 2 + 9 + 16a 2 Lời giải Đăt:x 1 = a 2 , x2 = a2 + a 2 , , x n = a2 + a 2 + + 11 a2 (n dấu căn) a2 + (với x i = a 2... 2 2 (1) a 22 + b 22 với a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ R,ta có: 1 + 16a 2 + 9 + 16a 2 1 + 4a 2 = (2), 1 + 16a 2 + 9 + 16a 2 2 1 1 + 2 8 1 + 16a 2 + 9 + 16a 2 (Dpcm) (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước) Bài Toán 24 3 2 Cho các số x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = Chứng minh rằng: x2 + x y + y 2 + 4y z + 1 y 2 + y z + z2 + 4xz + 1 z 2 + zx + x 2 3 3 ≥ 4x y + 1 4 Lời giải ∗)Với a, b dương... (9) 2 30z + 4x + 2008y 2042 z x y 1 1 1 1 1 + + ≤ Cộng vế theo vế (7),(8) và (9) ta suy ra: P ≤ 2042 x y z 4084 1 Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 6 Vậy M ax P = 4084 30x + 4y + 2008z (7) Bài Toán 22 (THPT Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk) Cho a, b, c là các số thực không âm Chứng minh rằng: a3 b3 + a 3 + (b + c)3 b 3 + (c + a) c3 + 3 c 3 + (a + b)3 ≥ 1 Lời giải Theo AM-GM với x ≥ 0ta có: Áp dụng: a3... BĐT trên ta có: x 30 y 30 z 30 t 30 x 30 y 30 z 30 t 30 25 + + + ≥ 2008.502 ⇐⇒ + 4 + 4 + 4 ≥ 4.50226 y4 z4 t4 x4 y4 z t x Dấu ‘=’ xảy ra khi x = y = x = t = 502 Vậy giá trị M ax cần tìm là 4.50226 Bài Toán 26 (THPT Chuyên Huỳnh Thúc Kháng-Quảng Nam) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác còn x, y, z là 3 số thực thỏa mãn ax + b y + c z = 0 Chứng minh rằng: x y + y z + zx ≤ 0 Lời giải Từ ax + b y + cz... + (1) 4 4 4 4 4 4 1 1 Ta có: x + y + z ≥ 3 3 x y z ⇐⇒ 3 x y z ≤ ⇐⇒ x y z ≤ (2) 3 27 7 Từ (1) và (2) suy ra:P ≤ 27 x =y =z ≥0 1 7 Dấu ‘=’ xảy ra khi ⇐⇒ x = y = z = Vậy M ax P = 3 27 x +y +z =1 14 Bài Toán 29 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-TP Hồ Chí Minh) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n và với mọi số thực x ∈ (0; 1) ta đều có: n x 2 1 − x ≤ 2n 2 2n + 1 1 n 2n + 1 Lời giải 2n 2n 1 Ta có:(1) ⇐⇒
- Xem thêm -

Xem thêm: Tuyển tập Bất Đẳng Thức trong kỳ thi Olympic Toán Học 10, Tuyển tập Bất Đẳng Thức trong kỳ thi Olympic Toán Học 10, Tuyển tập Bất Đẳng Thức trong kỳ thi Olympic Toán Học 10

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn