Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 Nguồn gốc : Xin đề từ em học sinh thi học sinh giỏi cấp Tỉnh ngày 24/02/2016 ,tôi đánh máy ,biên soạn thành giải hoàn thiện SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Ngày thi: 24/02/2016 Môn thi : Toán(Thời gian làm : 150 phút) Bài 1: (4,0 điểm) a) Tìm ba số nguyên tố đôi khác nhau, biết tích ba số năm lần tổng chúng b) Tìm tất cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn đẳng thức : x  y  3xy  x  y   2b 2c 2a c) Tìm số a,b,c biết a  ;b  ;c   b2  c2  a2 Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình x   x 1  1   1 2  x y b) Giải hệ phương trình   x   y   xy   Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho x,y,z số thực thỏa mãn điều kiện x+y+z+xy+yz+zx=6 Chứng minh x2  y  z  b) Cho a,b,c số dương Chứng minh b số trung bình cộng a c 1   a b b c c a Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R Vẽ hai đường kính AB CD vuông góc với Lấy điểm E cung nhỏ AD Nối E với C cắt OA M; nối E với B cắt OD N a) Tính CM CE  BD2 theo RR OM OD số AM DN OM OD c) Tìm vị trí điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ Tính giá trị  AM DN b) Chứng minh tích Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABCABC có độ dài ba cạnh ba số nguyên liên tiếp (cùng đơn vị đo) Tìm độ dài cạnh tam giác đó, biết A  2B  1800 b) Cho tam giác nhọn ABC có BAC  600 , BC  Bên tam giác cho 2017 điểm Chứng minh 2017 điểm tìm 169 điểm mà khoảng cách chúng không lớn 1cm Bài làm Bài 1: (4,0 điểm) a) Tìm ba số nguyên tố đôi khác nhau, biết tích ba số năm lần tổng chúng Bài làm Ta có 5(a+b+c )=a.b.c (1) Từ (1) suy a,b,c ba số phải có số chia hết cho Gỉa sử c chia hết cho mà c số nguyên tố nên c=5 Với c=5 ta có : 5(a+b+5 )=a.b.5 nên (1-b)(1-a)=6 TH1: 1-b=2 1-a=3 nên b=-1 a=-2 (trường hợp không thỏa mãn ) TH2: 1-b=3 1-a=2 nên b=-2 a=-1 (trường hợp không thỏa mãn ) TH3: 1-b=-3 1-a=-2 nên b=4 a=3 (trường hợp không thỏa mãn ) TH4: 1-b=-1 1-a=-6 nên b=2và a=7 (trường hợp thỏa mãn ) TH5: 1-b=-6 1-a=-1 nên b=7 a=2 (trường hợp thỏa mãn ) TH6: 1-b=-2 1-a=-3 nên b=3 a=4 (trường hợp không thỏa mãn ) Vậy c=5;b=2,a=7 c=5;a=2,b=7 b) Tìm tất cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn đẳng thức x  y  3xy  x  y   Bài làm Từ đề ta có (x-2y)(x-y+2)=-3=(-1).3=(-3).1 TH1: x-2y=3 x-y+2=-1 nên y=-6 x=-9 (trường hợp không thỏa mãn ) TH2: x-2y=-3và x-y+2=1 nên y=2 x=1 (trường hợp thỏa mãn ) TH3: x-2y=-1 x-y+2=3 nên y=2 x=3 (trường hợp thỏa mãn ) TH4: x-2y=1 x-y+2=-3 nên y=-6 x=-11 (trường hợp không thỏa mãn ) Vậy tất cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn (1;2) (3;2) c)Tìm số a,b,c biết a  2b 2c 2a b  c  ; ;  b2  c2  a2 Bài làm Từ giả thuyết đề ta có a,b,c >0 2b Từ giả thuyết a  ta suy a  b  b2 Từ giả thuyết b  2c ta suy b  c  c2 Từ giả thuyết c  2a ta suy c  a  a2 Lúc a=b=c Thay a=b=c vào phương trình ta có : a=b=c =1 Vậy a=b=c =1 Bài 2: (4,0 điểm) a)Giải phương trình x   x 1  Bài làm Điều kiện x  1 Đặt a  x  Phương trình cho viết lại : a  a3    (3  a)  a   a  6a   a   (a  6)(a  1)   a  ( a    với a )  x  1  x  1  x3 Vậy nghiệm phương trình x=3 1    1(1)  x y b) Giải hệ phương trình   x   y   xy  2(2)  Bài làm  x 1  y 1 Điều kiện  xy  2 ,  x  1  y  1 Ta có phương trình (1) biến đổi 1    x  y  x y (3) x y Từ phương trình (2) biến đổi : x   y   xy   ( x   y  1)  ( xy  2)  x  y   x y  x  y   xy   xy  1  x y  xy      xy   x2  y  (4)  xy    x2  y   (5)    xy  1 Giải hệ phương trình (4) ta có x  y  x  y  2 Hệ phương trình (5) vô nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình cho : x  y  x  y  2 Bài 3: (4,0 điểm) a)Cho x,y,z số thực thỏa mãn điều kiện x+y+z+xy+yz+zx=6.Chứng minh x2  y  z  Bài làm Ta có 2( x2  y  z )  2( xy  yz  zx)(1) Và x2   x(2) y   y(3) z   z (4) Cộng vế bất đẳng thức (1) ,(2),(3) (4) ta có x2  y  z  Dấu = xảy x  y  z  b)Cho a,b,c số dương Chứng minh b số trung bình cộng a c 1   a b b c c a Bài làm Ta có : 1 b a c b b a c  b 2( c  a )        ba c b c b c b ca a b b c c a Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R Vẽ hai đường kính AB CD vuông góc với Lấy điểm E cung nhỏ AD Nối E với C cắt OA M; nối E với B cắt OD N a) Tính CM CE  BD2 theo RR OM OD số AM DN OM OD c) Tìm vị trí điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ  AM DN b) Chứng minh tích Bài làm C M A O B N E D a) Ta có Xét ΔCMO ΔCDE có : MEO  DCE COM  CED  900 Nên ΔCMO ഗ ΔCDE (g.g) suy :⇒ CO CM   CM CE  CO.CD  2R CE CD Lại có BD2  2R2 Nên : CM CE  BD2  4R2 b)Do AB CD hai đường kính vuông góc với nên CEA  CAO  ACO  450 Ta có Xét ΔAMC ΔEAC có : CEA  CAO  450 ACM  ACE Nên ΔAMC ഗ ΔEAC (g.g) suy : AC AM  CE AE Mà AC  CO (do ACO vuông cân O)  AM 2CO  AE CE Mà ΔCMO ഗ ΔCDE (g.g) suy :   AM 2CO   AE CE 2OM  AM.ED = ED Vì BON ഗ BEA  BO ON  BE EA CO OM 2CO 2OM    CE ED CE ED OM.AE Vì BND ഗ BDE   DN BD 2BO   DE BE BE DN ON ON DN ON EA      DE EA EA DN DE DE Ta có : AM.ED = OM.AE  OM ON OM ED    AM DN AM EA OM ON OM ON  2 2  AM DN AM DN Dấu "=" xẩy khi: OM ON ED EA     ED  EA AM DN 2EA 2ED c) Ta có  E điểm cung nhỏ AD OM ON   Vậy giá trị nhỏ AM DN  E điểm cung nhỏ AD Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABCABC có độ dài ba cạnh ba số nguyên liên tiếp (cùng đơn vị đo) Tìm độ dài cạnh tam giác đó, biết 3BAC  ABC  1800 Bài làm Ta có 3BAC  ABC  1800  BAC  ABC  ACB  1800 Nên ACB  ABC  BAC (1) Vậy ACB góc lớn đồng nghĩa với việc AB cạnh lớn tam giác Giả dụ AB>BC>AC C A T B Đặt AC=a, BC=a+1 AB=a+2 Lấy điểm T AB cho TB=a+1, TA=1 (AB>BC) Tam giác BCT cân B TCB  CTB  BCA  BCT  TCA   2TCA  CAB(2) Từ (1) (2) suy ACT  CBT  ΔACT ഗ ΔABC (g.g) suy : AC TA a    a2 AB AC a a2 Vậy AC=2 ,AB=4,BC=3 Giả dụ AB>AC>BC C B A T Đặt AC=a+1, BC=a AB=a+2 Lấy điểm T AB cho TA=a+1, TB=1 (AB>AC) Tam giác BCT cân B ACT  CTA  BCA  BCT  ACT   2BCT  CBA(3) Từ (1) (3) suy BCT  BAC  ΔBCT ഗ ΔBAC (g.g) suy : BC BT a    a2 AB BC a2 a Vậy BC=2 ,AB=4,AC=3 b) Cho tam giác nhọn ABC có BAC  600 , BC  Bên tam giác cho 2017 điểm Chứng minh 2017 điểm tìm 169 điểm mà khoảng cách chúng không lớn 1cm A Bài làm F E I N P H G O B M C Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M, N, P trung điểm BC, CA, AB Do tam giác ABC nhọn nên O nằm tam giác ABC Vì BAC  600 nên MOC  600 , suy OA  OB  OC  MC  sin 600 Vì O nằm tam giác ABC OM  BC, ON  AC, OP  AB Suy tam giác ABC chia thành tứ giác ANOP, BMOP, CMON nội tiếp đường tròn có đường kính (đường kính OA, OB, OC) Theo nguyên lí Diriclet tồn tứ giác có chứa 673 điểm, giả sử tứ giác ANOP Gọi E, F, G, H trung điểm NA, AP, PO, ON I trung điểm OA, suy IA=IP=IO=IN=1 Khi tứ giác ANOP chia thành tứ giác AEIF, FIGP, IGOH, IHNE nội tiếp đường tròn có đường kính Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tứ giác chứa điểm điểm cho, giả sử tứ giác AEIF chứa điểm X, Y số 2017 điểm cho Vì X, Y nằm tứ giác AEIF nên X, Y nằm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, XY không lớn đường kính đường tròn này, nghĩa khoảng cách X, Y không vượt