Đang tải... (xem toàn văn)
Chia sẻ tài liệu kỹ thuật xử lý tín hiệu số chương3.
Chương III Chương PHÂN TÍCH HỆ RỜI RẠC LTI DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI Z Phép biến đổi Z cơng cụ quan trọng việc phân tích hệ rời rạc LTI Trong chương ta tìm hiểu phép biến đổi Z, tính chất ứng dụng vào việc phân tích hệ rời rạc LTI Nội dung chương là: - Phép biến đổi Z - Phép biến đổi Z ngược - Các tính chất phép biến đổi Z - Phân tích hệ rời rạc LTI dựa vào hàm truyền đạt - Ưng dụng biến đổi Z để giải phương trình sai phân 2.1 PHÉP BIẾN ĐỔI Z (Z-Transform) Phép biến đổi Z rời rạc hóa phép biến đổi Laplace Laplace transform : F ( s ) = ∫ ∞ −∞ ∞ z -transform : F ( z ) = ∑ f (t )e − st dt f [ n] z − n n =−∞ Thật vậy, xét tín hiệu liên tục f (t ) lấy mẫu nó, ta được: ∞ ∞ f s (t ) = f (t ) ∑ δ (t − nT ) = ∑ n =−∞ f (nT )δ (t − nT ) n =−∞ Biến đổi Laplace tín hiệu lấy mẫu (còn gọi rời rạc) là: ∞ ∞ ⎡ ∞ ∞ ⎤ L[ f s (t )] = ∫ ⎢ ∑ f (nT )δ (t − nT ) ⎥ e − st dt = ∑ ∫ f (nT )δ (t − nT )e− st dt −∞ −∞ n =−∞ ⎣ n =−∞ ⎦ = ∞ ∑ f (nT ) ∫ ∞ −∞ n =−∞ δ (t − nT )e− st dt = ∞ ∑ f (nT )e− snT n =−∞ Cho f [n] = f (nT ) z = e , ta có: sT F ( z) = ∞ ∑ f [ n] z − n n =−∞ ∞ F ( z )|z =esT = ∑ f [n]e− sTn n =−∞ ∞ = ∑ f (nT )e− snT n =−∞ = L[ f s (t )] Như vậy, biến đổi Z với z = e sT biến đổi Laplace tín hiệu rời rạc 3.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Z - 50 - Chương III Như vừa trình bày trên, phép biến đổi Z hai phía (bilateral Z-Transform) h[n] là: H ( z ) = Z [ h[n]] = ∞ ∑ h[n]z −n n =−∞ Ta có định nghĩa phép biến đổi Z phía (unilateral Z-transform ) là: ∞ H ( z ) = ∑ h[n]z − n n=0 Phép biến đổi Z hai phía dùng cho tất tín hiệu, nhân không nhân Theo định nghĩa ta thấy: X(z) chuỗi luỹ thừa vô hạn nên tồn giá trị z mà X(z) hội tụ Tập biến z mà X(z) hội tụ gọi miền hội tụ X(z)ký hiệu ROC (Region of Convergence ) Ta thấy có tín hiệu khác có biến đổi Z trùng Điểm khác biệt miền hội tụ Ta cần lưu ý đến hai khái niệm liên quan đến biến đổi Z- điểm khơng (zero) điểm cực (pole) Điểm khơng điểm mà X(z) = điểm cực điểm mà X(z) = ∞ Do ROC tập z mà X(z) tồn nên ROC khơng chứa điểm cực Ví dụ: Tìm biến đổi Z, vẽ ROC biểu diễn điểm cực-không: x1[n] = a nu[n] and x2 [n] = −(a n )u[− n − 1] Ta thấy hai tín hiệu khác có biến đổi Z trùng ROC khác - 51 - Chương III 3.1.2 Miền hội tụ phép biến đổi Z x[n] lệch phải x[n] = 0, n < n0 X ( z) = ∞ ∑ x[n]z −n n = n0 ∞ ∑ X ( z) = n = n0 ⎛1⎞ x[n]⎜ ⎟ ⎝z⎠ n Khi n → ∞ , cần (1/z ) n → để tổng hội tụ Như vậy, điều kiện hội tụ thỏa với giá trị z nằm đường tròn qua điểm cực xa gốc nhất, nghĩa | z |> rmax x[n] lệch trái x[n] = 0, n > n0 X ( z) = n0 ∑ x[n]z −n n =−∞ ∞ Khi n → −∞ , cần (1/z ) → hay z → để tổng hội tụ Vậy ROC miền nằm đường tròn qua điểm cực gần gốc nhất, nghĩa | z |< rmin n Lưu ý trường hợp tín hiệu x[n] = với n > n0 > x[n0 ] ≠ , ROC không chứa điểm Chẳng hạn với x[n] = u[−n + 1] X ( z) = ∑ n =−∞ ∞ z − n = z −1 + ∑ z n n=0 không hội tụ z = nên z = khơng nằm ROC Tín hiệu x[n] lệch hai phía ROC có dạng: r1 < z < r2 (hình vành khăn rỗng) Tín hiệu x[n] dài hữu hạn ROC toàn mặt phẳng z ngoại trừ z = và/hoặc z = ∞ - 52 - Chương III δ [n − 1] ↔ z ,| z |> −1 δ [n + 1] ↔ z,| z |< ∞ Ví dụ: Tìm biến đổi Z ROC của: x[n] = a|n| where | a |< Ví dụ: Tìm biến đổi Z ROC của: x[n] = 3n u[−n − 1] + 4n u[−n − 1] - 53 - Chương III Ví dụ: Tìm biến đổi Z ROC của: δ [n − 1] + 3δ [n + 1] Ví dụ: Tìm biến đổi Z của: h[n] = (.5) n u[n − 1] + 3n u[− n − 1] Hệ biểu diễn đáp ứng xung có ổn định BIBO khơng? Ví dụ: Tìm biến đổi Z của: x[n] = r n sin(bn)u[n] - 54 - Chương III 2.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC – IZT 2.2.1 Biểu thức tính IZT Biểu thức tính IZT xây dựng dựa định lý tích phân Cauchy Định lý sau: ⎧1, n = n −1 ∫ z dz = ⎨0, n ≠ 2πj C ⎩ với C đường cong kín bao quanh gốc tọa độ theo chiều dương nằm mặt phẳng z Nhân vế biểu thức tính ZT với z l−1 lấy tích phân theo đường cong C, ta có: 2πj ∞ ∞ 1 X(z)z l−1dz = x[n ]z −n +l−1dz = ∑ x[n ] z −n +l−1dz ∫ ∫ n∑ 2πj C 2πj C =−∞ 2πj ∫ n = −∞ C Áp dụng định lý tích phân Cauchy ta rút được: X(z)z l−1dz = x[l] 2πj ∫ C Thay l = n, ta có biểu thức tính IZT sau: x[n ] = n −1 ∫ X(z)z dz 2πj C Từ ta thấy tính IZT trực tiếp từ cơng thức vừa tìm Cách tính dựa vào định lý giá trị thặng dư (xem sách) Tuy nhiên, cách tính phức tạp nên không sử dụng thực tế Sau ta xét hai phương pháp tính IZT dùng thực tế: 2.2.2 Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa (Power Series Expansion) Ta tính IZT cách khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa: ∞ X ( z ) = ∑ x[k ]z − k = x[0] + x[1]z −1 + x[2]z −2 + L k =0 ∞ x[n] = ∑ x[k ]δ [n − k ] = x[0]δ [n] + x[1]δ [ n − 1] + x[2]δ [n − 2] + L k =0 Ta có: z δ [n − k ] ←→ z − k Sau đồng hệ số chuỗi luỹ thừa với x[n] Ví dụ: Tìm IZT của: X ( z ) = + z −1 + 3z −2 - 55 - Chương III Ví dụ: Tìm IZT của: X(z) = , ROC : z > a − az −1 Ví dụ: Tìm IZT biết: X ( z) = z − 19 , | z |> z − 5z + Cách khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa có điểm khơng thuận tiện khó/khơng thể biểu diễn x[n] dạng tường minh - 56 - Chương III 2.2.3 Phương pháp khai triển riêng phần (Partial Fraction Expansion) Phương pháp tương tự tính biến đổi Laplace ngược biết Giả sử cần tính IZT{X(z)} Ta khai triển X(z) thành dạng sau: X(z) = X p (z) + ∑ X i (z) i Trong Xp (z) có dạng đa thức, Xi(z) có dạng phân thức với bậc tử số nhỏ bậc mẫu số Tuỳ điểm cực mà Xi(z) có dạng sau: Nếu pi điểm cực đơn: X i (z) = ri với z − pi ri = (z − p i )X(z) z = pi s ck k k =1 ( z − p i ) Nếu pi điểm cực bội bậc s: X i (z) = ∑ với ck = [ d s−k ⋅ s− k (z − p i ) s X(z) (s − k )! dz ] z = pi Sau khai triển X(z) ta sử dụng bảng 3.1 để suy IZT δ( n ) ↔ δ( n − m ) ↔ z − m z a n u[n ] ↔ z−a az na n u[n ] ↔ (z − a ) az(z + a ) n a n u[n ] ↔ (z − a ) z(z − a cos Ω) a n cos(Ωn )u[n ] ↔ z − 2z cos Ω + a az sin Ω a n sin(Ωn )u[n ] ↔ z − 2z cos Ω + a Kz K *z | K | a n cos(βn + α)u[n ] ↔ + , p = ae jβ & K =| K | e jα z − p z − p* Bảng 3.1 Các cặp x[n] – X(z) thơng dụng Ví dụ: Tìm IZT của: X ( z ) = z − 5z ,| z |> ( z − 2)( z − 3) Ta khai triển X ( z) 2z − = z ( z − 2)( z − 3) - 57 - Chương III Ví dụ: Tìm IZT của: X(z) = 2z , (z − 2)(z − 1) z >2 Ví dụ: Tìm IZT của: X ( z) = z z − 0.5z + 0.25 - 58 - Chương III 2.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z Trong phần này, ta xét tính chất quan trọng phép biến đổi Z 2.3.1 Tuyến tính Z ax[n] + by[n] ←→ aX ( z ) + bY ( z ) Miền hội tụ phụ thuộc vào miền hội tụ X ( z ) Y(z) , giao hai miền hội tụ R x ∩ R y Tuy nhiên, tổ hợp aX(z) + bY(z) làm khử số điểm cực X(z) Y(z) miền hội tụ mở rộng ra, nên: R′ ⊇ Rx ∩ Ry 2.3.2 Dịch chuyển thời gian Z x[n − n0 ] ←→ z − n0 X ( z ) miền hội tụ giống miền hội tụ Rx , thêm vào bớt điểm gốc hay điểm vơ tùy n0 dương hay âm Ví dụ: Tìm w[n] biết: W ( z) = z −4 ,| z |> z2 − 2z − - 59 - Chương III Tính chất tuyến tính dịch thời gian hiệu hệ thống mô tả phương trình sai phân tuyến tính hệ số 2.3.3 Tổng chập Z y[n] = x[n] ∗ h[n] ←→ X ( z ) H ( z ) miền hội tụ Ry ⊇ Rx ∩ Rh Tính chất tổng chập biến đổi Z giúp ta tính tốn tổng chập tuyến tính rời rạc cách đơn giản Tính chất sử dụng nhiều Chứng minh: Z y[n] = x[n] ∗ h[n] ←→ ∞ ∞ ∑ [ ∑ x[k ]h[n − k ]]z −n n =−∞ k =−∞ Thay đổi thứ tự lấy tổng, ta có: y[n] = ∞ ∑ k =−∞ ∞ x[k ] ∑ h[n − k ]z − n n =−∞ Đặt m = (n − k ) , ta có: y[n] = ∞ ∑ k =−∞ = ∞ ∞ x[k ][ ∑ h[m]z − ( m + k ) ] m =−∞ ∞ ∑ x[k ]z ∑ h[m]z −k k =−∞ −m m =−∞ = X ( z)H ( z) Miền hội tụ phụ thuộc vào miền hội tụ X ( z ) H ( z ) , giao hai miền hội tụ Rx ∩ Rh Tuy nhiên, thừa số X(z) H(z) có điểm khơng, điểm khơng ′ khử điểm cực thừa số miền hội tụ mở rộng ra, nên Ry ⊇ Rx ∩ Rh Ví dụ: Cho h[n] = a n u[n] , ( | a |< ) x[n] = u[n] Tìm y[n] = x[n] ∗ h[n] Nếu x[n] = u[n − 2] y[n] thay đổi nào? - 60 - Chương III Ví dụ: Tìm đầu y[n] với đầu vào x[n] = u[n] hệ LTI có đáp ứng xung: h[n] = −3n u[− n − 1] - 61 - Chương III 2.3.4 Định lý giá trị đầu giá trị cuối Định lý giá trị đầu giá trị cuối thường liên quan đến biến đổi Z phía, chúng với biến đổi Z hai phía tín hiệu x[n] = với n < Định lý giá trị đầu(initial value theorem) Biểu diễn: ∞ F ( z ) = ∑ f [n]z − n = f [0] + f [1]z −1 + f [2]z −2 + …, n=0 Lấy giới hạn lim F ( z ) , ta giá trị đầu f[n]- f[0] z →∞ Định lý giá trị cuối(final value theorem) Nếu giá trị cuối f[n] tồn thì: lim f [n] = f [∞] = lim( z − 1) F ( z ) n →∞ z →1 Ví dụ: Tìm giá trị đầu giá trị cuối tín hiệu f [n] , biết rằng: F ( z) = z z − 2.4 PHÂN TÍCH HỆ RỜI RẠC LTI Ta biết miền thời gian, biểu diễn hệ rời rạc LTI sơ đồ, tổng chập, đáp ứng xung, đáp ứng bước phương trình sai phân Sau ta xét cách khác - hiệu để biểu diễn hệ thống rời rạc LTI Đó biểu diễn hàm truyền đạt (transfer function) hay gọi hàm hệ thống (system function) 2.4.1 Định nghĩa hàm truyền đạt Từ tính chất tổng chập ZT từ quan hệ tín hiệu vào x[n], tín hiệu y[n] với đáp ứng xung h[n], ta có: Y(z) = X(z).H(z) X(z) biến đổi Z x[n], Y(z) biến đổi Z y[n] H(z) biến đổi Z đáp ứng xung h[n] Dựa vào đáp ứng xung h[n], ta biết đặc tính hệ thống, rõ ràng dựa vào H(z) ta biết đặc tính hệ thống Nói cách khác, H(z) biểu diễn hệ thống miền z Ta gọi H(z) hàm truyền đạt hay hàm hệ thống Ta xác định H(z) đơn giản dựa vào phương trình sai phân: - 62 - Chương III N ∑a k =0 M k y[n − k ] =∑ b r x[n − r ] r =0 Lấy biến đổi Z hai vế, sử dụng tính chất tuyến tính dịch thời gian, ta được: N M k =0 r =0 ∑ a k z −k Y ( z) =∑ b r z −r X (z) Suy hàm truyền đạt sau: M Y(z) H ( z) = = X(z) ∑b z r =0 N ∑a k =0 −r r k z −k Dựa vào hàm truyền đạt, ta biết đặc tính hệ thống, gồm tính nhớ, tính khả đảo, tính nhân quả, tính ổn định BIBO 2.4.2 Tính nhớ Hệ khơng nhớ phải có đáp ứng xung có dạng: h[n] = K δ [n] H(z) = K Vậy hệ có nhớ có hàm truyền đạt số 2.4.3 Tính khả đảo h[n] ∗ hi [n] = δ [n] ⇒ H ( z ) H i ( z ) = đây: z z hi [n] ↔ H i ( z ) đảo h[n] ↔ H ( z ) Ví dụ: Tìm hệ đảo hi [n] hệ: h[n] = a nu[n] Kiểm tra kết cách tính tổng chập h[n] với hi [n] - 63 - Chương III Ví dụ: Tìm hệ đảo hệ h[n] nhân biết: H ( z) = z−a z −b 2.4.4 Tính nhân h[n] = 0, n < ROC: | z |> rmax Hệ nhân có miền hội tụ H(z) nằm ngồi đường trịn ngang qua điểm cực xa gốc 2.4.5 Tính ổn định BIBO ∞ ∑ h[k ] < ∞ k =−∞ H(z) = ∞ ∑ h[n]z −n ⇒| H(z) |≤ n = −∞ ∞ ∞ n = −∞ n = −∞ ∑ | h[n]z −n | = ∑ | h[n] || z −n | Khi ta tính đường trịn đơn vị (tức |z| = 1) thì: | H (z) |≤ ∞ ∑ | h[n] | n = −∞ Như vậy, hệ thống ổn định BIBO đường trịn đơn vị nằm ROC Điều ngược lại Kết hợp với tính nhân vừa xét 2.4.4 ta có kết luận: Hệ nhân ổn định BIBO tất điểm cực H(z) nằm bên đường tròn đơn vị mặt phẳng z: | p k |< 1, ∀k Ví dụ: Hệ có đáp ứng xung u[n] có nhân khơng? Có ổn định BIBO khơng? - 64 - Chương III Ví dụ: Xét tính nhân ổn định hệ có đáp ứng xung là: h[n ] = (.9) n u[n ] Ví dụ: Xét tính nhân ổn định BIBO hệ có hàm truyền đạt là: H ( z) = 2z2 − z ,