ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ LÝ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH PHẢN ỨNG BELOUSOV-ZHABOTINSKII VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY CHUẨN Hà Nội – Năm 2014 Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Không gian H¨lder o 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Bộ ba không gian 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng nửa song tuyến tính 1.2.3 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính 1.2.4 Toán tử quạt không gian L2 1.2.5 Toán tử quạt không gian tích 1.3 Bài toán Cauchy 1.3.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính 1.3.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Mô hình Field-Noyes 2.1 Nghiệm địa phương 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 2.1.2 Nghiệm địa phương không âm 2.2 Nghiệm toàn cục 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 2.2.2 Sự tồn nghiệm toàn cục Mô hình Keener-Tyson 3.1 Nghiệm địa phương 3.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 3.1.2 Nghiệm địa phương không âm 3.2 Nghiệm toàn cục 3.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 3.2.2 Sự tồn nghiệm toàn cục KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 6 10 10 13 14 15 18 18 18 19 28 29 29 32 35 35 37 38 39 39 42 44 44 46 47 48 MỞ ĐẦU Vào năm 1968, lần giới biết phản ứng hóa học kỳ lạ biểu tính tự tổ chức hai nhà khoa học Nga, Belousov Zhabotinsky thực Đây thí nghiệm hóa học thú vị, hấp dẫn đầy thách thức không dẫn đến cân hóa chất Khi trộn lẫn số hóa chất bao gồm axit malonic CH2 (CO2 H)2 (công thức cấu tạo HOOC-CH2 -COOH), kali bromat KBrO3 chất oxi hóa mạnh, kali bromua KBr (hoặc natri bromat NaBrO3 , natri bromua NaBr), cerium amonium nitrate (NH4 )2 Ce(NO3 )6 , axit sulfuric H2 SO4 axit vô manh, chất thị màu Ferroin nước bình chứa Lúc nhiệt độ tăng cao tới mức đó, xuất cấu trúc gồm dao động tuần hoàn di chuyển theo vòng đồng tâm hay xoắn ốc, tồn bền vững phản ứng không ngừng tác động, tiếp tục phát sinh nhiều dao động thêm Vào năm 1974, Field-Noyes trình bày mô hình toán học mô tả phản ứng Belousov-Zhabotinskii sau   ∂u  = a∆u + (qw − uw + u − u2 ) Ω × (0, ∞),   ∂t ε   ∂v Ω × (0, ∞),  ∂t = b∆v + u − v    ∂w   = d∆w + (−qw − uw + cv) Ω × (0, ∞), ∂t δ u mật độ HBrO2 , v mật độ Ce4+ w mật độ Br− bình miêu tả Ω Với a, b, d số khuếch tán dương Các số dương δ, ε, q, c tham số, đặc biệt δ, ε, q xét nhỏ Phát triển từ mô hình Field-Noyes, Keener-Tyson đưa mô hình toán đơn giản cách giả sử δ đủ nhỏ so với ω sử dụng vài tỉ lệ thích hợp Trong luận văn, ta nghiên cứu mô hình Field-Noyes mô hình KeenerTyson với điều kiện biên Neumann MỞ ĐẦU Luận văn chia thành ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương cung cấp lý thuyết sở cho hai chương sau Bao gồm không gian bản, định nghĩa toán tử quạt, cách chuyển dạng nửa song tuyến tính toán tử quạt, cuối toán Cauchy cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Chương Mô hình Field-Noyes Chương trình bày mô hình toán học mà Field-Noyes đưa để mô tả phản ứng Belousov - Zhabotinskii Ta chứng minh tồn địa phương, xây dựng đánh giá tiên nghiệm chứng minh tồn nghiệm toàn cục toán Chương Mô hình Keener-Tyson Tương tự Chương 2, nội dung Chương chứng minh tồn nghiệm toàn cục mô hình KeenerTyson Các kết luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [5] Trong có dựa đóng góp tác giả tài liệu [1], [2], [3] [4] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Lê Huy Chuẩn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập Nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Lý Bảng kí hiệu Rn = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n , Rn = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n − 1, xn > , + C([a, b]; X) = f : [a, b] → X, f liên tục [a, b] , C m ([a, b]; X) = f : [a, b] → X, f khả vi liên tục đến cấp m , L(X, Y ) = f : X → Y : f tuyến tính liên tục , |f (x)|p dx < +∞ , p ≥ 1, f đo Ω : Lp (Ω) = Ω L∞ (Ω) = f đo Ω : ess sup|f | < +∞ Ω với ess sup|f | = inf {k : µ {x ∈ Ω : f (x) > k} = 0} , µ độ đo Lebesgue Ω, Ω Lp (Ω) = f đo Ω : f ∈ Lp (Ω ), ∀Ωcompact ⊂ Ω loc Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Không gian H¨lder o Định nghĩa 1.1 Cho tập mở Ω ⊂ Rn < γ ≤ a) Hàm số u : Ω → R gọi liên tục H¨lder bậc γ tồn số o C > cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , x, y ∈ Ω Khi γ = 1, hàm số u gọi liên tục Lipschitz b) Nếu u : Ω → R bị chặn liên tục, ta định nghĩa u C(Ω) = sup |u(x)| x∈Ω c) Nửa chuẩn H¨lder bậc γ u : Ω → R o [u]C 0,γ (Ω) = sup x=y |u(x) − u(y)| |x − y|γ x,y∈Ω chuẩn H¨lder bậc γ o u C 0,γ (Ω) = u C(Ω) + [u]C 0,γ (Ω) Định nghĩa 1.2 Không gian H¨lder C k,γ (Ω) gồm tất hàm số u ∈ C k (Ω), o mà chuẩn u C k,γ (Ω) Dα u = C(Ω) |α|≤k [Dα u]C 0,γ (Ω) + |α|=k hữu hạn Chương Kiến thức chuẩn bị Như vậy, không gian C k,γ (Ω) gồm tất hàm số u cho đạo hàm riêng cấp k bị chặn liên tục H¨lder bậc γ Hơn nữa, không gian H¨lder o o C k,γ (Ω) không gian Banach với chuẩn C k,γ (Ω) Không gian hàm liên tục H¨lder có trọng F β,σ ((a, b]; X) o Cho X không gian Banach, với hai số mũ < σ < β ≤ 1, định nghĩa không gian hàm F β,σ ((a, b]; X) gồm hàm F (t) : (a, b] → X liên tục (a, b] (tương ứng [a, b]) < β < (tương ứng β = 1) thỏa mãn ba tính chất sau: Khi β < 1, (t − a)1−β F (t) có giới hạn hữu hạn t → a F liên tục H¨lder với số mũ σ với trọng (s − a)1−β+σ , nghĩa o (s − a)1−β+σ F (t) − F (s) (t − s)σ a≤s