ne t ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TÀI LIỆU TOÁN THPT Môn: TOÁN NGÀY 12.10.2012 http://www.k2pi.net ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu (2 điểm) Cho hàm số y = 2x + x −1 (C ) Câu (2 điểm) k2 pi a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (c) b) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Xác định tọa độ điểm M có hoành độ dương nằm đồ thị (C ) cho tiếp tuyến M cắt hai đường tiệm cận (C ) A, B đồng thời hai điểm với điểm I tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính 10 cos 2x + + cos2 x tan x = + sin2 x cos x   x + y 25 − 4x y = 105 + 4x + 17y b) Giải hệ phương trình 4x + 4y + 4x − 4y = a) Giải phương trình Câu (1 điểm) Tính tích phân I= π + tan2 x x − (x − tan x) cos2 x + cos 2x dx ww Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABC D hình bình hành, mặt phẳng (SB D) vuông góc với đáy, đường thẳng S A, SD hợp với đáy góc 30o Biết AD = a 6, B D = 2a góc ADB = 45o Tính thể tích khối chóp S.ABC D khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (S AD) theo a Câu (1 điểm) Cho số thực không âm x, y thỏa mãn : x 2x + 2y − + y y − + = Tìm giá trị lớn 2 nhỏ biểu thức : P = x y − x + + x y − y + PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn /w Câu 6a (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Ox y , cho hình vuông ABC D có đỉnh A (−1; 2) , C (3; −2) Gọi E trung điểm cạnh AD, B M đường thẳng vuông góc với C E M ; N trung điểm của B M P giao điểm AN với D M Biết phương trình đường thẳng B M : 2x − y − = Tìm tọa độ điểm P b) Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Ox y z , cho mặt cầu (S) : x + y + z − 2x − 4y + x +1 y +2 z −1 = = Xác định tọa độ điểm M đường thẳng d 1 cho từ M kẻ tiếp tuyến M A, M B, MC đến mặt cầu (S) ( A, B,C tiếp điểm ) Sao cho AM B = 60o ; B MC = 90o ; C M A = 120o 6z − 13 = đường thẳng d : Câu 7a (1 điểm) htt p:/ Cho số phức z ; z đồng thời thỏa mãn điều kiện: z + 3z z = (−1 + i ) z z1 + z1 + z2 2z − z = −3 + 2i Tìm mô-đun số phức w = z2 B Theo chương trình nâng cao Câu 6b (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Ox y cho tam giác ABC vuông A ngoại tiếp hình chữ nhật M N PQ Biết điểm M (−3; −1) N (2; −1) thuộc cạnh BC , Q thuộc cạnh AB , P thuộc cạnh AC , đường thẳng AB có phương trình: x − y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC b) Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Ox y z , cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + y − + (z − 2)2 = 12 điểm A (4; 4; 0) Xác định tọa độ điểm B thuộc mặt cầu (S) biết tam giác BO A cân B có diện tích Câu 7b (1 điểm) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số chẵn có chữ số khác nhỏ 4321 đồng thời chữ số có mặt đứng cạnh ———————————————–Hết—————————————————- Cho hàm số y = 2x + x −1 (C ) ne t Câu a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (c) b) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Xác định tọa độ điểm M có hoành độ dương nằm đồ thị (C ) cho tiếp tuyến M cắt hai đường tiệm cận (C ) A, B đồng thời hai điểm với điểm I tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính 10 a) Lời giải (hungchng): đạo hàm y = D, −3 −3 2x + = Và ta có phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M : y − (x − x ) (∆) x0 − (x − 1)2 Không giảm tính tổng quát ta giả sử A, B giao điểm ∆ với tiệm cận đứng, tiệm cận ngang với đồ thị (C ) 2(x + 2) Suy A 1; , B (2x − 1; 2) Và I A = , I B = 2|x − 1| x0 − |x − 1| Vì hai tiệm cận vuông góc với nên I A I B vuông góc hay ∆I AB vuông I Do bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆I AB = AB Vậy để ∆I AB có bán kính đường tròn ngoại tiếp 10 AB = 10 Mà theo định lí Pitago I A + I B = AB nên I A + I B = 40 36 Hay + 4(x − 1)2 = 40 ⇐⇒ [(x − 1)2 − 1][(x − 1)2 − 9] = (x − 1)2 Suy x = x = (do x > 0) (thỏa mãn) * Nếu x = → y = Suy M (2; 5) * Nếu x = → y = Suy M (4; 3) Vậy có điểm M thỏa mãn M (2; 5) M (4; 3) htt p:/ / ww Hàm số: y = Câu 2.a Giải phương trình cos 2x + + cos2 x tan x = + sin2 x cos x Lời giải (Love Math): ĐK : cos x = PT tương đương với : cos 2x + (sin x − cos x) + sin x cos x(cos x − sin x) = ⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x + sin x cos x − 1) = ne t cos x − sin x = cos x + sin x + sin x cos x − = PT thứ đặt sin x + cos x = t , |t | ≤ π Giải ta x = k2π, x = + k2.π(k ∈ Z )   x + y 25 − 4x y = 105 + 4x + 17y Câu 2.b Giải hệ phương trình 4x + 4y + 4x − 4y = w k2 pi Lời giải (hahahaha1): −6b + 9b = 6a + 14a − 20(1) 3a − 3b + Đặt x = ;y = Lúc hệ trở thành: 2 a + b2 = Ta có (1) ⇔ 3b (3 − 2b) = (a − 1)(6a + 6a + 20) ⇔ 3(1 − a )(3 − 2b) = (a − 1)(6a + 6a + 20) ⇔ (a − 1)(6a + 6a + 20 + − 6b + 9a − 6ab) = +) với a = ⇒ b = ⇒ x = 1; y = +) Với 6a + 29 + 15a − 6b − 6ab = (2) ta có: V T (2) ≥ 6a + 29 − 15 − − = 6a + > nên TH pt vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = 1; Lời giải (Hồng Vinh): Từ pt(2) ta tìm −2 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 17 + 21y 17 Thay 4x − 4y = − 4x − 4y ta : 4y − 21y + 18y + 4x + 18x = khảo sát hai hàm số : f (x) = 4x + 18x, −2 ≤ x ≤ g (y) = 4y − 21y + 18y, −1 ≤ y ≤ 17 Dấu "=" xảy x = 1, y = Ta có : f (x) + g (y) ≤ Vậy hệ có nghiệm 1, Câu Tính tích phân Lời giải (hungchng): ww Biến đổi pt(1) thành (x + y)[25 − 4(x y + x − y)] = I= π + tan2 x x − (x − tan x) cos2 x + cos 2x p:/ / + tan2 x x − (x − tan x) cos2 x + cos 2x = = = = dx x + x tan2 x − x cos2 x + tan x cos2 x + cos 2x x sin2 x + x tan2 x sin x cos x + + cos 2x + cos 2x 2 x tan x(cos x + 1) sin 2x + x −1 + cos 2(3 + cos 2x) x tan2 x sin 2x + 2(3 + cos 2x) htt 1 Do I = − x + x tan x + ln | cos x| − ln |3 + cos 2x| 2 π = π π2 1 − + ln − ln 64 4 Câu Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABC D hình bình hành, mặt phẳng (SB D) vuông góc với đáy, đường thẳng S A, SD hợp với đáy góc 30o Biết AD = a 6, B D = 2a góc ADB = 45o Tính thể tích khối chóp S.ABC D khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (S AD) theo a Lời giải (dan_dhv): T K A D H w k2 pi C B ne t S Gọi O tâm khối chóp Hạ SH ⊥ B D ⇒ SH ⊥ (ABC D) suy S AH = SD H = 30o suy H A = H D nên tam giác AH D vuông cân H ⇒ H A = H D = AD = a ⇒ SH = H D tan(30o ) = a Ta có Diện tích đáy S = AD.B D sin(45o ) = 2a nên VS.ABC D = Ta có: d (C ; (S AD)) = 2d (O; (S AD)) = 2a 3 d (H ; (S AD)) Gọi K trung điểm AD AD a = 2 1 a 15 + = ⇒ HT = Áp dụng hệ thức lượng tam giác SHK ta có : 2 SH HK HT a 15 2a Vây d (C ; (S AD)) = = 5 suy H K ⊥ AD ⇒ AD ⊥ (SH K ) Hạ H T ⊥ SK suy H T = d (H ; (S AD)) Ta có : H K = ww Câu Cho số thực không âm x, y thỏa mãn : x 2x + 2y − + y y − +3 = Tìm giá trị lớn 2 nhỏ biểu thức : P = x y − x + + x y − y + Lời giải (hahahaha1): Giả thiết viết lại thành: (x + y − 1)(x + y − 2) = −(x − 1)2 Từ ta có được: ≤ x + y ≤ Mặt khác giả thiết viết lại dạng: 2(x − 1)2 + (y − 1)2 = x + y − 2x y ⇒ x + y ≥ 2x y ⇒ ≥ x y p:/ / MIN Ta lại có biểu thức P viết thành: a − 2ab + 2b − 2a + 2b + = P ⇐⇒ a − 2a(b + 1) + 2b + 2b + − P = (1) Trong a = x + y (1 ≤ a ≤ 2); b = x y (2 ≥ a ≥ 2b) Coi (1) phương trình bậc theo a để tồn a; b ta phải có: ∆ ≥ ⇔ P ≥ b2 + ⇒ P ≥ Vậy P = đạt a = 1; b = ⇒ x = 1; y = MAX Xét hàm số f (a) = a − 2a(b + 1) + 2b + 2b + Ta chi làm TH nhỏ sau: ta xét hàm số [2b; 2] Dễ thấy hàm số đạt max f (2) f (2b) (mà f (2) = f (2b) = 2(b − b + 1) Do đó: f (a) ≤ 2(b − b + 1) = 2[b(b − 1) + 1] ≤ Vậy TH max P = x = y = 1 +) Nếu b ≤ ta xét hàm số [1; 2] Hàm số đạt max f (2) (vì f (2) ≥ f (1)) nên ta có giá trị max TH Kết luận: max P = x = y = htt +) Nếu b ≥ −1 −1 D x N w k2 pi E ne t Câu 6a.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Ox y , cho hình vuông ABC D có đỉnh A (−1; 2) , C (3; −2) Gọi E trung điểm cạnh AD, B M đường thẳng vuông góc với C E M ; N trung điểm của B M P giao điểm AN với D M Biết phương trình đường thẳng B M : 2x − y − = Tìm tọa độ điểm P Lời giải (hungchng): A y B 2 P M −2 C −3 Gọi I trung điểm AC nên I (1; 0), B thỏa AB = C B B ∈ B M nên tọa độ B thỏa (x + 1)2 + (y − 2)2 = (x − 3)2 + (y + 2)2 y = x −1 ⇐⇒ 2x − y − = ⇐⇒ y = 2x − B (3; 2) suy D(−1; −2) (vì I trung điểm B D ) − → Theo giả thiết E trung điểm AD nên E (−1; 0) C E = (−4; 2)   11 ; − N ; 5 5 ww  x +1 = y −2  16/5 P ∈ AN P ∈ D M nên tọa độ P thỏa x + −8/5 y +2   = 12/5 4/5 19 ;− Vậy P 5 y =2 x =  ⇐⇒  y = − x +1 = y M ∈ C E M ∈ B M nên tọa độ M thỏa −4 2x − y − = suy M x =3  x = 19  ⇐⇒  y = − Câu 6a.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Ox y z , cho mặt cầu (S) : x + y + x +1 y +2 z −1 = = Xác định tọa độ điểm M 1 đường thẳng d cho từ M kẻ tiếp tuyến M A, M B, MC đến mặt cầu (S) ( A, B,C tiếp điểm ) Sao cho AM B = 60o ; B MC = 90o ; C M A = 120o p:/ / z − 2x − 4y + 6z − 13 = đường thẳng d : Lời giải (dan_dhv): M d a K B htt A H a C O Gọi O tâm mặt cầu Do A, B,C tiếp điểm kẻ từ M đến mặt cầu nên ta có M A = M B = MC = a A, B,C nội tiếp đường tròn Từ gt ⇒ AB = a, BC = a 2, AC = a suy tam giác ABC vuông B Gọi H trung điểm AC K trung điểm AB AB ⊥ M K AB ⊥ H K ⇒ AB ⊥ M H ; M H ⊥ AC ⇒ M H ⊥ (ABC ) ne t Ta có Suy M , H ,O thẳng hàng MC tiếp tuyến nên MC ⊥ OC ,OC = R = 27 Áp dụng hệ thức lượng tam giác OMC ta có : 1 + = ⇒ a = ⇒ MO = M ∈ d ⇒ M (t − 1; t − 2; t + 1);O(1; 2; −3) a 27 3a suy (t − 2)2 + (t − 4)2 + (t + 4)2 = 36 ⇒ t = 0; t = −2 suy M (−1; −2; 1); ; ; 3 w k2 pi Khi C H = a Câu 7a Cho số phức z ; z đồng thời thỏa mãn điều kiện : z + 3z z = (−1 + i ) z z1 + z1 + z2 2z − z = −3 + 2i Tìm mô-đun số phức w = z2 Lời giải (Love Math):  z  z + 3z z = −1 + i  + 3z = −1 + i z + 3z z = (−1 + i ) z z2 ⇒ ⇒ z2  2z − z = −3 + 2i 2z − z = −3 + 2i 2z − z = −3 + 2i z1 z1 ⇒ + 3z − (2z − z ) = (−1 + i ) − (−3 + 2i ) ⇒ + z + z = − i ⇒ |w| = z2 z2 ww Câu 6b.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Ox y cho tam giác ABC vuông A ngoại tiếp hình chữ nhật M N PQ Biết điểm M (−3; −1) N (2; −1) thuộc cạnh BC , Q thuộc cạnh AB , P thuộc cạnh AC , đường thẳng AB có phương trình : x − y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải (dan_dhv): A Q M N C p:/ / B P Phương trình đường thẳng d vuông góc BC qua M (−3; −1) x + = 0; −→ − − − → suy tọa độ Q Q(−3; 2) Ta có M N = QP ⇒ P (2; 2) − Đường thẳng AC qua P (2; 2) nhận → = (1; 1) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình: x+y −4 = n Vậy A −1 ; ; B (−6; −1);C (5; −1) 2 Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Ox y z , cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + y − + (z − 2)2 = 12 điểm A (4; 4; 0) Xác định tọa độ điểm B thuộc mặt cầu (S) biết tam giác BO A cân B có diện tích Lời giải (dan_dhv): Nhận thấy: A,O thuộc mặt cầu Gọi M trung điểm AO suy M (2; 2; 0) − − → −→ − Gọi B (a, b, c) Ta có : O A(4; 4; 0); M B (a − 2; b − 2; c) − − → −→ − Do tam giác ABO cân B nên O A ⊥ M B ⇒ a + b = (1) htt Câu 6b.b 1 2 Do B ∈ (I ; R) nên (a − 2)2 + (b − 2)2 + (c − 2)2 = 12 Ta có : = S ABO = AO.B M = 2B M ⇒ B M = ⇒ (a − 2)2 + (b − 2)2 + c = (3) (2) 23 ;2− 23 −1 ; ;B 2− 23 ;2+ 23 −1 ; ; ne t Từ (1)(2)(3) ta suy B + Lời giải (miketu): Gọi B (a, b, c) B ∈ (s) ⇐⇒ (a − 2)2 + (b − 2)2 + (c − 2)2 = 12 (1) Tam giác ABO cân B ⇐⇒ B A = BO ⇐⇒ B A = BO ⇐⇒ (4 − a)2 + (4 − b)2 + c = a + b + c w k2 pi − −→ − − → Lại có: S ABO = |[O A; OB ]| = ⇐⇒ 2c + (b − a)2 = (3) 23 23 −1 23 23 −1 Từ (1)(2)(3) ta suy B + ;2− ; ;B 2− ;2+ ; ; 8 8 (2) htt p:/ / ww Câu 7b Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số chẵn có chữ số khác nhỏ 4321 đồng thời chữ số có mặt đứng cạnh Lời giải (Tú Anh): Giả sử số : abcd TH1: a, b chữ số Sẽ có 2! cách chọn a, b Lúc chọn d có : cách chọn c có cách TH có : 2.4.4 = 32 số TH2 : b, c chữ số Sẽ có 2! cách chọn b, c +) Nếu d = chọn a có : cách TH có : 2.1.2 = số +) Nếu d = chọn d có : cách, chọn a có : cách TH có : 2.2.2 = số Vậy có : 32 + + = 44 số ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TÀI LIỆU TOÁN THPT http://www.k2pi.net Môn: TOÁN NGÀY 12.10.2012 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 2x + , có đồ thị (C ) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Xác định tất điểm M đồ thị (C ) cho đồ thị hàm số (C ) tiếp xúc với đường tròn tâm I (1; 2) M Câu (2 điểm) Cho hàm số y = Câu (2 điểm) cos 3x cos x − = sin 5x sin 3x cos 5x cos 3x b) Giải bất phương trình x +6 x 2x + 26x + − ≥ x 2x + x + 33 a) Giải phương trình e x − ln x + Câu (1 điểm) Tính tích phân Câu (1 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC A B 1C có BC = 2AB AB ⊥ BC Gọi M , N trung điểm A B I= x x + ln x dx BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B 1C 2a Góc hai mặt phẳng (AB 1C ) (BCC B ) 60o Tính thể tích khối chóp M ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B ANC theo a Câu (1 điểm) Cho số thực x, y, z không âm cho số đồng thời Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = (x y + y z + zx) 1 + + x2 + y y + z2 z2 + x2 PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn (I ) : x + y − 4x + 2y − 11 = đường thẳng d : 4x−3y+9 = Gọi A, B hai điểm thuộc đường thẳng d , C điểm thuộc đường tròn (C ) Biết điểm H 22 11 ; 5 trung điểm cạnh AB Xác định tọa độ 5 điểm A, B,C biết diện tích tứ giác AH I K 24 hoành độ điểm A dương b) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Ox y z , cho hai điểm A (−1; −3; −2) ; B (0; −2; 2) mặt cầu (S) : (x + 1)2 + y + +(z + 3)2 = 14 Gọi (P ) mặt phẳng qua A đồng thời cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn có bán kính nhỏ Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P ) cho tam giác ABM vuông cân A giao điểm AC với đường tròn (I ), điểm K − ; Câu 7A (1 điểm) Tìm n ∈ N ∗ thỏa mãn: n 3.C n + 4C n + 5C n + + (n + 3)C n = (n + 6) 35 n + 2013 12 B Theo chương trình nâng cao Câu 6B (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Ox y cho điểm A (1; 0) đường tròn (C ) : x + y = 2; (C ) : x + y = Tìm tọa độ điểm B C nằm (C ) (C ) để tam giác ABC có diện tích lớn b) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Ox y z , cho đường tròn (C ) : x + y + z + 4x − 6y + 4z + = có x + 2y − 2z − = x −3 y +2 z +1 = = Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng AI , bán −1 x −1 y −3 z +2 kính R = 26 tiếp xúc với đường thẳng ∆ : = = , biết A thuộc đường tròn (C ) đường −2 thẳng d vuông góc với đường thẳng AI tâm I đường thẳng d : Câu 7B (1 điểm) Cho số phức z ; z đồng thời thỏa mãn điều kiện : z + 2z số thực, 2z − z số ảo 2 3z + z = − 5i Tìm Mô đun số phức w = z + 3z z ———————————————–Hết—————————————————- TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN 2x + , có đồ thị (C ) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Xác định tất điểm M đồ thị (C ) cho đồ thị hàm số (C ) tiếp xúc với đường tròn tâm I (1; 2) M Câu Cho hàm số y = a) Lời giải (hungchng): TXĐ D = R\{1}; đạo hàm y = D, −4 Với điều kiện ta đặt t = x, t > Lúc bất phương trình cho tương đương với bất phương trình : t (t + 6) 2t + 26t + ≥ 2t + 3t + 33t + (1) Tiếp tục đặt u = 2t + 26t + 8, u ≥ 2 Khi bất phương trình (1) viết lại thành bất phương trình tương đương sau : t (t + 6) 2x + 26t + ≥ (2t + 26t + 8) + 3t + 7t − ⇔ t (t + 6)u ≥ u + 3t + 7t − ⇔ u − (t + 6t )u + 3t + 7t − ≤ (2) Để ý ta xem phương trình (2) phương trình bậc hai theo u phương trình (2) có biệt số ∆ = (t + 6t )2 − 4(3t + 7t − 4) = (t + 4)2 Khi cách suy nghiệm kết hợp nhân tử ta đưa bất phương trình (2) bất phương trình sau : u − t − 3t − · (u − t + 2) ≤ (3)