200 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ 2015-2016 Câu Cho x,y thay đổi thỏa mãn x  y  Tìm GTLN GTNN biểu thức : P= 2( x  xy )  xy  y Câu Cho a, b > a + b  Tìm GTNN biểu thức S= Câu Cho x, y > thỏa mãn x  y  P= 1   a  b a b ab  xy  Tìm GTLN xy 2   2  x  y  xy Câu Cho x, y, z số thực dương thay đổi cho x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : F = x  y  z  xyz Câu Cho a, b, c > Tìm giá trị lớn biểu thức P= 2 a  b  c 1  (a  1)(b  1)(c  1) Câu Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= 24  13a  12 ab  16 bc a bc Câu Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm GTLN biểu thức x2 yz  yz   P= x  yz  x  x  y  z  (A, A1 2014) Câu Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b3  c Nguyễn Thành Hiển Trang Câu (A-2011) Cho x, y, z số thực thuộc đoạn [1; 4] x  y, x  z Tìm GTNN biểu thức P x y z   2x  y y  z z  x Câu 10 (D - 2012) Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) Câu 11 (B-2011) Cho a b số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2)  a3 b3   a b2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =        a  b a  b Câu 12 (Sở - GD-ĐT – Bình Dương - 2015) Cho a, b, c ba số thực dương thoả a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 32   2 2 a  a b b  a b (1  c)3 Câu 13 (THPT – Chu Văn An – An Giang - 2015) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  a  b2  c2  121 14(ab  bc  ca ) Câu 14 (THPT – Chí Linh – Hải Dương - 2015) Với a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ( a  2)(b  2)(c  2)  1296 a bc Câu 15 (THPT – Trần Thị Tâm – Quảng Trị - 2015) ) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: 5(x  y  z )  9(xy  2yz  zx ) Tìm giá trị lớn biểu thức P x  y z (x  y  z )3 Câu 16 (THPT – Bến Cát – Bình Dương - 2015) Cho số thực x; y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x2  y  x   x2  y  x   y  Câu 17 (THPT – Nguyễn Viết Xuân – Phú Yên - 2015) Cho x, y số thực dương thỏa mãn xy  x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức Nguyễn Thành Hiển Trang 3x 3y xy     x2  y  y 1 x 1 x  y P Câu 18 (THPT – Lương Thế Vinh – Lần -2015) Cho số thực a, b dương thỏa mãn ab  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 1 32   1 a 1 b 2a (1  a )  2b(1  b)  Câu 19 (THPT – Thạch Thành – Thanh Hoá - 2015) Cho a, b số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P    a  b a  4b  ab ab Câu 20 (THPT – Nghĩa Hưng - 2015) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy  y  5( x  y )  24 8( x  y )  ( x  y  3) Câu 21 (THPT – Nam Đàn – Nghệ An - 2015) Cho x số thực thuộc đoạn [  1, ] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P   4x   x  4x   x  Câu 22 (THPT – Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - 2015) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh :      a  b   b  c   c  a    3(a  b  c)     Câu 23 (THPT – Nguyễn Huệ - Quảng Nam - 2015) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  b  ab  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 b2 ab P   b 1 a 1 a  b Câu 24 (THPT – Chuyên Vĩnh Phúc – Lần - 2016) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị lớn biểu thức P 4 1      a b bc c a a b c Câu 25 (THPT – Nguyễn Huệ - Nam Định – Lần - 2015) Cho x, y, z số thực dương thoả y  z  x(y  z ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Nguyễn Thành Hiển 1    2 (1  x) (1  y ) (1  z ) (1  x )(1  y)(1  z) Trang Câu 26 (Sở GD-ĐT Thanh Hoá – Lần - 2015) Cho x, y, z số thực thỏa mãn   2  x  1  2 , y  0, z  x  y  z  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1   2 ( x  y) ( x  z)  ( y  z)2 Câu 27 (THPT – Nguyễn Thị Minh Khai - 2015) Cho x,y số thực thỏa mãn x +16y +  2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau P=x  x +3 +2y  4y +3 Câu 28 (THPT- Lê Hồng Phong – Phú Yên-2015) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x  y   z Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x y z2    x  yz y  zx z  xy Câu 29 (THPT – Quỳnh Lưu 3- Nghệ An – lần - 2015) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ; c  a  b  c   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P b  2c a  2c   6ln( a  b  2c) 1 a 1 b Câu 30 (THPT – Nguyễn Trung Thiên – Lần - 2015) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn a  b  c  3b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau P  a  1   b  2   c  3 Câu 31 (THPT – Hậu Lộc - 2015) Cho x > 0, y > thỏa mãn x y  xy  x  y  xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x2  y2  (1  xy )  xy 1  2  Câu 32 (THPT – Bắc Yên Thành – Nghệ An - 2015) Cho số thực a, b, c   ;1 Tìm giá trị lớn biểu thức P Nguyễn Thành Hiển a b bc c a   c a b Trang Câu 33 (THPT – Hưng Yên – Lần - 2015) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn  x  y  z    xy  yz  zx  Tìm giá trị lớn biểu thức P x  y z  x  y  z Câu 34 (THPT – Quỳnh Lưu – Nghệ An – Lần - 2015) Cho a,b,c thuôc đoạn [1;2] Tìm giá trị nhỏ biểu thức  a  b P= c   ab  bc  ca  Câu 35 (THPT –Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần - 2015) Cho x, y hai số thỏa mãn: x, y  3(x  y)  4xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức  1  P  x3  y3     y  x Câu 36 (THPT – Triệu Sơn – lần - 2015) Cho a, b, c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn 1 (  1)(  1)(  1)  Tìm GTNN biểu thức :P = a2  b2  c2 a b c Câu 37 (THPT – Như Xuân – Thanh Hoá - 2015) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x (y  z) y (z  x) z (x  y)   yz zx xy Câu 38 (THPT- Nam Yên Thành – Nghệ An – Lần - 2015) Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  2(ab  bc  ca )3  27 a 2b 2c  3(a  b  c )  6(ab  bc  ca) Câu 39 Cho số thực dương a, b, c thoả a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a3 b3 c3   (a  b)(a  c) (b c)(b  a) (c  a)(c b) Câu 40 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S Nguyễn Thành Hiển a3 b3 c3   (1  b)(1  c) (1  c )(1  a) (1  a )(1  b) Trang Câu 41 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a2 +b2 +c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a3 b3 c3   b  2c c  2a a  2b Câu 42 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 S   b(2 c a) c (2a  b) a(2 b c) Câu 43 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =  x  54  x  14 y Câu 44 (THPT-Ngô Sỉ Liên – Lần -2016) Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn: x2  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  xyz  1   xy yz zx Câu 45 (THPT – Đội Cấn - 2016) Cho số dương x , y , z thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx  xyz Chứng minh x  yz  y  xz  z  xy  xyz  x  y  z Câu 46 (THPT – Đức Thọ - Hà Tĩnh – Lần - 2016) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ; c  a  b  c   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P b  2c a  2c   6ln( a  b  2c) 1 a 1 b Câu 47 (THPT – Bố Hạ - Lần - 2016) Cho số thực x, y , z thỏa mãn x  2, y  1, z  Tìm giá trị lớn biểu thức P x  y  z  2(2 x  y  3)  y ( x  1)( z  1) Câu 48 Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện giá trị nhỏ biểu thức : P  Nguyễn Thành Hiển z  x  y  z Tìm x y 2z   y  z z  2x x  y  z Trang Câu 49 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn 1; 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 x  y z  xy  3z z  xy Câu 50 Cho x, y, z ba số thực dương thoả mãn điều kiện x  y  z  z  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  x3 y  x  z  y3 x y  z  x2  y2 z Câu 51 (THPT – Việt Yên – Bắc Giang – Lần - 2016) Cho a, b, c số thực dương thoả a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a2 b  c   5bc  b2 c  a  5ca  a  b Câu 52 (THPT – Đoàn Thượng – Hải Dương – Lần - 2016) Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x  y )  xy  Tìm giá trị nhỏ biếu thức P  3( x  y )  2( x  y )  xy (3 xy  4)  2015 x  y  z  Câu 53 (THPT – Khoái Châu - 2016) Cho ba số thực x, y , z thoả  2 x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức : P  x  y  z Câu 54 (THPT – Lý Thái Tổ - Chọn HSG - 2016) Cho x, y , z ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  1  xy  xz  z x  y  z Câu 55 Cho hai số thực x, y thoả mãn x, y  1;  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x  2y y  2x   x  y  y  x   x  y  1 Câu 56 Cho số thực x, y thoả mãn x  xy  y  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : P  x  xy  y Câu 57 (THPT – Yên Lạc – Lần - 2016) Cho a, b số thực không âm thoả  a  b2   a b  a  b   a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P     (a  b)   a a b b Nguyễn Thành Hiển Trang Câu 58 (THPT – Hiền Đa – Phú Thọ - Lần - 2015) Cho số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a2 b3    c  1  b2 c    a  1 c2  a    b  1 Câu 59 (THPT – Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần - 2015) Cho số thực dương x, y , z thoả 4(x  x  1)  16 x yz  x(y z) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P y  x(x  1) 16 y   10 3 x z (y  1) x 2 Câu 60 (THPT – Chuyên KHTN – Hà Nội – Lần - 2016) Xét số thực dương x, y , z thoả mãn x  y  z  x  y  z Tìm giá trị lớn biểu thức : P  x  y  z Câu 61 (THPT – Thuận Thành – Bắc Ninh – 22 - 2015) Cho số thực dương x, y thỏa mãn  ln x  y 1  xy  x  y Tìm giá trị lớn biểu thức 3xy M 3x 3y 1    2 2 y ( x  1) x( y  1) x  y x y Câu 62 (THPT – Thuận Thành – Bắc Ninh – 21 - 2015) Cho ba số thực không âm x, y, z Tìm giá trị lớn biểu thức P 2 x y z   (x  y ) (x  2z )(y  2z )  (y  z ) (y  2x )(z  2x ) Câu 63 (THPT – Việt Trì – Phú Thọ - Lần -2016) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a  b b3  c3 c3  a   a  2b b  2c c  2a Câu 64 (THPT- Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần - 2015) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   4a  2b  2bc  a  2b  3c  b  2c Câu 65 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức c3 P  a b  Nguyễn Thành Hiển Trang Câu 66 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 3a  3b2  3c  4abc  13 Câu 67 Cho ba số thực x, y, z  , chứng minh x  y  z  xyz  x  y  z   y  z  x   z  x  y  Câu 68 Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a  b  c  Chứng minh 1 27     ab  bc  ca Câu 69 (THPT – Chuyên Lê Quý Đôn – Hải Phòng – lần - 2015) Cho x, y số thực thuộc  0;1 x thoả mãn   y3  x  y  xy P  1  x 1  y  Tìm giá trị lớn biểu thức 1 x  1 y  4xy  x  y2 Câu 70 (Sở - GD – Vĩnh Phúc – Lần - 2015) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S   bca a cb a bc Trong a, b, c độ dài cạnh tam giác thỏa mãn c  b  a b c Câu 71 (THPT – Hậu Lộc – Thanh Hoá – Lần -2016) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a  3c 4b 8c   a  2b  c a  b  2c a  b  3c Câu 72 (THPT – Xuân Trường – Nam Định – Lần - 2016) Cho x, y, z   0;2 thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1    xy  2 x  y  y  z  z  x2  2 yz  zx Câu 72 (THPT- Thuận Thành – Bắc Ninh - 2016) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ; c  a  b  c   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Nguyễn Thành Hiển b  2c a  2c   6ln( a  b  2c) 1 a 1 b Trang Câu 73 (THPT – Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần -2016) Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn: 2   (x  y)(x  z) Tìm giá trị lớn biểu thức 3x  2y  z  3x  2z  y  2(x  3)2  y  z  16 P  2x  y  z Câu 74 (THPT – Triệu Sơn – Thanh Hoá - 2016) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a 2b  c b2   3b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  1 4b  1  2b    c  3 2 y  x  Câu 75 (Sở - GD – Vĩnh Phúc – Lần - 2016) Cho x, y   thỏa mãn  Tìm giá  y  2 x  x  trị nhỏ biểu thức P  x4  y   x  y Câu 76 (THPT – Nguyễn Đình Chiểu – lần - 2016) Cho x  y  thỏa điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy  xy  Câu 77 (THPT – Thiệu Hoá – Thanh Hoá - 2016) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức abc P 3  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  Câu 78 (HSG – Phú Thọ - 2016) Cho số x, y , z thỏa mãn  x  y  z Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy  yz  zx x  xyz   y2  z  Câu 79 (THPT – Phú Nhuận) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh x.2x  y.2 y  z.2z  Nguyễn Thành Hiển Trang 10 Câu 80 (THPT – Nguyễn Huệ) Cho số thực không âm x , y , z thoả mãn x  y  z  27 Tìm giá trị lớn biểu thức : P  2( xy  yz  xz )  x y z Câu 81 (THPT – Trung Phú - 2015) Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = xyz = Tìm GTNN biểu thức: P = x4 + y4 + z4 Câu 82 (THPT – Củ Chi - 2015) Cho x,y,z>0 thỏa x2  y2  z2  xy   x  y  z Tìm GTNN P  x  y  z2  120 xz  120 y2 Câu 83 (THPT – Bùi Thị Xuân) Cho x, y là dương thoả x + y = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x  y2 x  y3  x y   2x 2y Câu 84 (THPT – Chuyên Trần Đại Nghĩa - 2015) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c   a  b  c   2ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức   P  a  b  c  48  3   a  10 bc    Câu 85 (THPT – Nguyễn Thượng Hiền - 2015) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a3 +b3 = c3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a2  b2  c  c  a  c  b  Câu 86 (THPT – Nguyễn Thị Minh Khai - 2015) Cho x,y số thực thỏa mãn x +16y +  2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau : P=x  x +3 +2y  4y +3 Câu 87 Cho x, y số thực thỏa mãn  x2  y  1  3x y   x2  y Tìm GTLN GTNN 2 2 biểu thức P  x  y  3x y x  y 1 Câu 88 (THPT – An Lão - 2015) Cho x,y,z số thực dương Chứng minh : P= 4( x3  y )  4( y  z )  4( z  x )  2( x y z   )  12 y z x Câu 89 (THPT – Phù Cát - 2015) Cho số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P  x  y  z  xy  yz  zx x y  y2 z  z2 x Câu 90 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Nguyễn Thành Hiển x3 y3 z3     xy  yz  zx  y  z  x  27 Trang 11 Câu 91 (THPT – Vân Canh - 2015) Cho số thực không âm a,b,c thõa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  3(a 2b  b 2c  c a )  3(ab  bc  ca)  a  b  c Câu 92 (THPT – Trần Cao Vân - 2015) Cho ba số thực dương x, y , z Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P 2  x  y z 4  x  y   x  z  y  z  Câu 93 (THPT – Bình Dương - 2015) Cho a, b, c số thực thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  4a  9b  16c  9a  16b  4c  16a  4b  9c Câu 94 (THPT – Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2015) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f ( x )  x  x  32  3 x  24 x  x  12 x  16 Câu 95 (THPT – Lê Quý Đôn - 2015) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy  y  5( x  y )  24 8( x  y )  ( x  y  3) Câu 96 (THPT – Lý Tự Trọng - 2015) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  Câu 97 (THPT – Nguyễn x (y  z) y2 (z  x) z (x  y)   yz zx xy Diêu -2015) Cho ba số thực x, y , z thoả mãn: x  y  z  x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T  2( x  z )  y Câu 98 (THPT – Quy Nhơn - 2015) Cho a , b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a  b2  c  1 1      2 4b 4c 4a ab bc ca Câu 99 (THPT – Trưng Vương - 2015) Giả sử x, y số thực thỏa mãn phương trình x  2ax   với a  ; y  2by   với b  Tìm giá trị nhỏ biểu 1 1 thức M   x  y      x y Câu 100 (THPT – Nguyễn Thái Học - 2015) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x z x  y  z x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P    y z y Nguyễn Thành Hiển Trang 12