SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI THỬ LẦN THPT QUỐC GIA NĂM 2016 MÔN: TOÁN Ngày thi: 18/06/2016 Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề (đề trang) Đthi Ề gồm S Ố01332 Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x  x  x 1 Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  biết tiếp tuyến song 2x 1 song với đường thẳng d có phương trình y  3 x  2016 Câu (1,0 điểm) cos x  3sin x  10 b) Giải phương trình 3x 1  31 x  a) Giải phương trình e   Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I   x x  ln x dx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   , x  y 1 z đường thẳng d :   điểm A(2; 1;0) Tìm tọa độ điểm B giao điểm d 1 (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, qua A tiếp xúc với (P) Câu (1,0 điểm) a) Tìm phần thực, phần ảo số phức z, biết (2  3i ) z  5i  z  2i b) Một nông dân nuôi 03 gà mái mầu trắng, mầu nâu, mầu đen để đẻ trứng Ba gà có khả đẻ trứng vào ngày 01/7 Biết xác suất để gà đẻ trứng vào ngày hôm là: ; ; Tính xác suất để ngày 01/7 người nông dân có gà đẻ trứng Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách AC SB Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường tròn (T) có phương trình x  y  x  y   Gọi H hình chiếu vuông góc A BC Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC M, N Tìm tọa độ điểm A viết phương trình cạnh BC, biết đường thẳng MN có phương trình: 20 x  10 y   điểm H có hoành độ nhỏ tung độ     x3  3x x  y  y y   x2  1  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:   x, y     y  1  x   y  1  x  y Câu 10 (1,0 điểm) x3  y    x  y   Cho hai số thực x  y  Tìm giá trị nhỏ P   x  1 y  1 HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh: ., SBD: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM 2016 MÔN THI: TOÁN (Bản hướng dẫn chấm có 05 trang) Câu Nội dung trình bày Điểm Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x  x  1,0 *) TXĐ: D   *) Sự biến thiên: - Giới hạn: lim y  ; lim y   0,25 x  x  Suy đths tiệm cận - x  Ta có y '  x  x ; y '     x  2 Hàm số đồng biến khoảng (; 2), (0; ) Nghịch biến (2;0) -Bảng biến thiên x  y  2 0   0    *) Vẽ đồ thị 0,25 x 1 biết tiếp tuyến song song 2x 1 với đường thẳng d có phương trình y  3 x  2016 1,0 Hệ số góc tiếp tuyến: k  3 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  3x  b  b  2016  0,25  x 1 1  x   3 x  b  Điều kiện tiếp xúc:  có nghiệm 3        x  1 x      x  1    x  Với x  có b  1 Suy phương trình tiếp tuyến: y  3x  Với x  có b  Suy phương trình tiếp tuyến: y  3 x  Kết luận a) Giải phương trình cos x  3sin x  cos x  3sin x   3sin x  1  cos x    3sin x  s in x  0,25 4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  0,25   sin x  x   k 2    x  k  (k  ) sin x  2  x  k 2   Kết luận 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 b) Giải phương trình 3x 1  31 x  3x 1  31 x  10 0,5 10 x 1  3.3    10.3x 1   0,25 3x 1  x    x 1   3  x   Kết luận 0,25 e    Tính tích phân I  x x  ln x dx 1,0 e e e I   x  x  ln x  dx   x dx   x ln xdx 1 e e 0,25 2 x dx  1 x   e  1 2 e e e  1 2 1 Ta có  x ln xdx   x ln x   x dx    e  x 1 x    e e  2e  e  1 I   x  x  ln x  dx   e  1   4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng thẳng d : 0,25 e  e2   1 0,25 0,25 ( P) : x  y  z   , đường x  y 1 z   điểm A(2; 1;0) Tìm tọa độ điểm B giao điểm 1 d (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, qua A tiếp xúc với (P) x   t  + d :  y   t , Tọa độ điểm B   t ;1  t ; 2t  Vì B giao điểm (P) d nên ta có  z  2t   t  2(1  t )  2t    t  5 1,0 0,25 Suy B  3;6; 10  0,25 Gọi I, R tâm bán kính mc(S), I nằm d nên I(2+a;1-a;2a) a 5 IA  a  (2  a)2  4a  6a  4a  4, d(I, (P))  Do mặt cầu (S) qua A tiếp xúc với (P) nên a  a 5 2  6a  4a    35a  34a    a   35  0,25 Với a   I(3; 0; 2), R   phương trình mc(S) : (x  3)2  y  (z  2)  Với a   69 36 29  I( ; ;  ), R   35 35 35 35 35  29  69 36 phương trình mc(S) : (x  )2  (y  )2  (z  )2    35 35 35  35  Vậy phương trình (S) cần tìm  29  69 36 (x  3)  y  (z  2)  , (x  )  (y  )  (z  )2    35 35 35  35  2 0,25 a) Tìm phần thực, phần ảo số phức z, biết (2  3i ) z  5i  z  2i 0,5 z  a  b i, (a , b   )  (2  3i )  a  bi   5i  a  bi  2i  2a  2bi  3ai  3b  5i  a  bi  0,25  a  3b   (3b  3a  5)i  3  a  a  3b      b  a     b  11  12 3 11 Vậy phần thực z a  phần ảo b  12 b) Một nông dân nuôi 03 gà mái mầu trắng, mầu nâu, mầu đen để đẻ trứng Ba gà có khả đẻ trứng vào ngày 01/7 Biết xác suất để gà đẻ trứng vào ngày hôm là: ; ; Tính xác suất để ngày 01/7 người nông dân 0,25 0,5 có gà đẻ trứng Gọi A, B, C biến cố: Gà mái mầu trắng, mầu nâu, mầu đen đẻ trứng Theo giả thiết ta có P(A)  ; P(B)  ; P(B)  Theo công thức biến cố đối ta có: 1 P A  ;P B  ;P C      0,25   Gọi D biến cố: “Ít gà đẻ trứng” suy D biến cố: “cả gà không đẻ trứng” Từ ta có: D  A  B  C Do việc gà đẻ trứng độc lập nên biến cố A, B, C độc lập Theo công thức nhân xác suất ta có: 1 1 P D  P A P B P C   24 23 Theo công thức biến cố đối ta P  D    P D  24 23 Vậy xác suất cần tìm 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách AC SB         0,25   1,0 S Do SA vuông góc với (ABC) nên AC hình chiếu SC (ABC)   60  SA  a  SCA 0,25 Diện tích tam giác ABC a2 SABC  Thể tích khối chóp S.ABC K C A a VS.ABC  a (đvtt) d H B 0,25 Kẻ đường thẳng d qua B song song với AC ta có khoảng cách AC SB khoảng cách AC mp(SB, d) khoảng cách từ điểm A đến mp(SB,d) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d H   60  AH  AB sin 60  a Ta có  ABH  BAC Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với SH K Ta có tam giác SAH vuông A 1 a 15 nên       AK  2 AK AH SA 3a 3a 3a Do d  SA AH nên d  (SAH)  (SB,d)  (SAH) mà AK  SH nên AK  (SB,d) a 15  d ( A, ( SB, d ))  AK  a 15 Vậy khoảng cách AC SB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường tròn (T) có phương trình x  y  x  y   Gọi H hình chiếu vuông góc A BC Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC M, N Tìm tọa độ điểm A viết phương trình cạnh BC, biết đường thẳng MN có phương trình: 20 x  10 y   điểm H có hoành độ nhỏ tung độ   ICA  (1) (T) có tâm I (3;1), bán kính R  Do IA  IC  IAC Đường tròn đường kính AH cắt BC M  MH  AB  MH / / AC (cùng vuông góc   ICA  (2) AB)  MHB Ta có:  ANM   AHM (chắn cung AM) (3) Từ (1), (2), (3) ta có: AI vuông góc MN  phương trình đường thẳng IA là: x  2y   Giả sử A(5  2a; a)  IA 1,0 0,25 N E  (5  2a)2  a  6(5  2a)  2a   a   5a  10a    a  Với a   A(1; 2) (thỏa mãn A, I khác phía MN) 0,25 A Mà A (T ) 0,25 M B H I C 0,25 Với a   A(5; 0) (loại A, I phía MN)  9 Gọi E tâm đường tròn đường kính AH  E  MN  E  t; 2t   10    38  Do E trung điểm AH  H  2t  1; 4t   10     58    48   AH   2t  2; 4t   , IH   2t  4; 4t   10  10       272 896 t 0 Vì AH  HI  AH IH   20t  25  11 13   31 17  28 t  H  ; ; t  H ;  25 5 5  25 25  Với t   11 13   H  ;  (thỏa mãn) 5 5 0,25 0,25     Ta có: AH   ;   BC nhận n  (2;1) VTPT 5 5  phương trình BC là: 2x  y       x3  3x x  y  y y   x2  1  Giải hệ phương trình:   x, y     y  1  x   y  1  x  y x  y ĐK:  1  x  +) với x   y  0,25 +) Với x  PT (1)  x Xét hàm số f (t )  t    x2    3x x  y y x  1   y   (*)  t   R Chứng minh hàm số đồng biến R 0,25 Với đk x  y  f ( x)  f ( y )  VT (*)  VP (*) Dấu “=” xảy x  y Thay x  y vào phương trình (2) ta được: (2 x  1)  x  (2 x  1)  x  x ĐK :   x  1, x  0,25 Đặt a   x , b   x ; a, b  thay vào phương trình ta (a  b  1)a  (a  b  1)b  (a  b )  (a  b )(b  a )  b  a  (a  b )  a  b 2 2  (a  b )(b  a )  b  a  (a  b )    a  b    + Với a  b  x  ( loại) 1 1 5 5  1 x  1 x   x2  x + Với a  b  2 8 Vậy hệ phượng trình có nghiệm x  y   0,25 5 x Cho hai số thực x  y  Tìm giá trị nhỏ P  Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có xy   y3    x2  y   x  1 y  1 t2 t  t  xy (3t  2) t2 Do 3t – >  xy   P xy  t  10 1,0 t (3t  2) t2 Ta có P   t2 t2  t 1 t2 t  4t t  t  4t Xét hàm số f (t )  ; f '(t )  ; f '( t )   0  2 t2 (t  2) (t  2) t  Lập bảng biến thiên hàm só f (t ) 1,0 0,25 t3  t  x  y  x  Do P = f (t ) = f(4) = đạt   ( 2;  )  xy  y  Hết 0,25 0,25 0,25