Chinh phục bất đẳng thức trong đề thi đại học

14 349 0
  • Loading ...
1/14 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 27/06/2016, 14:32

CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Gửi em quý thầy cô trích đoạn ấn phẩm CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Ta xét qua số vị dụ nâng cao để thấy ứng dụng bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH Ví dụ 5: Chứng minh x, y, z số thực thõa mãn điều kiện x thức sau đúng: x y z y2 Thì bất đẳng z2 xyz Lời giải Ta giải toán bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH, lý lại nghĩ đến ? Điều ta cần đánh giá tổng x(1 yz) y z thông qua tổng x y2 z Như vậy, dạng CAUCHY-SWARCH xuất hiện, vấn đề ta chọn đánh mà Ta thử chọn đánh sau: (x(1 yz) y z)2 (x y2 z )((1 yz) 1) Điều không mang lại cho cả, tìm cách kết hợp số khác Để ý dấu đẳng thức xảy x y 1; z Như có quan hệ rỏ ràng x y z Như thử xem y z số hạng xem Ta đánh giá: (x(1 yz) z)2 y Như vậy, ta cần rằng: 2(1 yz)(2 2yz Điều ta có: y2 z2 yz (x (y y2 z ) x y z y3 z y2 z Ví dụ 6:Chứng minh x, y, z thuộc đoạn ta có: z)2 )(1 (1 yz)2 ) 1;1 thõa mãn điều kiện x y z xyz Thì Lời giải Ta áp dụng CAUCHY-SWARCH cách “thô sơ” nhất: x Bây xét xem x y z 3(x y z y z 3(x y z 3) 3) có nhỏ không ? Chưa hẳn không ? Điều xảy Vậy ta xét x y z Ta giả sử z Lúc ta có x, y (0;1] Lúc ta có biến z tách khỏi chung Từ tư ta đánh giá số hạng x y z 2x 2y z Bậy ta cần chứng minh: 2x 2xy 2y 2(x 2x z y) 2y 2(1 xy) z z z 2x 2y x y (1 x)(1 y) xy Ta quy việc chứng minh bất đẳng thức sau: Bây ta rút z xy (1 x)(1 y)(1 xy) Áp dụng CAUCHY-SWARCH, ta có: xy (1 x)(1 y)(1 xy) x xy x xy y xy xy y 1 x y Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Ví dụ 7: Chứng minh với số dương a; b;c , ta có bất đẳng thức sau: (b c a) a (b c) (c a b) b (c a) (a b c) c (a b) Lời giải Một điều dễ dàng nhận thấy bậc tử số bậc mẫu số Vì ta chia xuống để đưa biểu thức sau: b c b c ( 1) ( 3) (b c a) a a b c b c a (b c) ( ) ( ) a a b c c a a b Để cho gọn ta đặt ẩn phụ x; y; z a b c Ta cần chứng minh: (x y z 3)2 (x y z 3) Điều tương đương với: (x y z)2 15(x y z) 3(xy yz zx) 18 Chúng ta chứng minh được: xy yz zx 2(x y z) Như bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: (x y z)2 9(x y z) 18 Đây bất đẳng thức x y z Ví dụ 8:Với số dương a, b, c dương ta có: a b c a2 b2 8bc c2 8ac 8ab Lời giải Ta có: a b a2 b2 8bc c c2 8ac a2 a a2 8ab b2 b b2 8bc c2 c c2 8ac 8ab Theo BĐT Svacxơ ta có: a2 a a2 Ta có a a b2 b b2 8bc b b2 8bc c2 8ac 8ac a c c2 c c2 a a2 8ab 8ab 8abc 8abc a c b b2 8bc a a b c c2 8ac b b3 8ab c c3 8abc 8abc Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: a a Do đó: a2 a a2 b b3 8abc b2 8bc Ta cần chứng minh: b b2 a3 b3 c c3 8abc c2 8ac c3 a c c2 8ab 24abc a a a2 b c c a3 b b 8bc b b2 a 2b b 2c c c3 24abc 8ac c 2a b3 c c2 ab Bất đẳng thức cuối theo BĐT AM-GM Từ suy đpcm Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 bc 8ab ca 6abc CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Ví dụ 9: Cho a, b, c số thực dương có tổng Chứng minh rằng: 4a b2 c 4b c2 a 4c a2 b 2 Lời giải Đầu tiên, ta tách 4a b2 c2 2a (a b2 ) (a c2 ) Lúc sử dụng bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH, ta có: (a b c) a2 b2 c2 4a b c 2a a b a c Như vậy, ta thao tác tương tự với số hạng lại cộng lại, ý rằng: b2 a2 c2 b2 c2 a2 Như vậy, ta có điều phải chứng minh Qua ví dụ trên, ta thấy bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH có ứng dụng rộng rãi lớn Củng xin lưu ý bạn đọc bất đẳng thức thực giải nhiều dạng toán khó chặt Trong giới hạn đề thi đại học bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH kết hợp với đạo hàm công cụ thực mạnh Bây làm rỏ ứng dụng bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH dạng cộng mẫu số Trước hết, ta xin nhắc lại bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH dạng cộng mẫu số,hay có tên gọi Dạng Engel: Với hai dãy số a1 , a , , a n , b1 , b , , b n với bi a12 b1 a 22 b2 a 2n bn 0, i 1, n ta có: a1 a2 a n b1 b2 b n Bây giờ, ta vào ví dụ cụ thể để cụ thể hóa cho phương pháp Hãy đọc thật kĩ, thật kĩ điều viết, hy vọng bạn đọc có nhìn toán bất đẳng thức Quan điểm là: “ Những công cụ đơn giản công cụ mạnh “ Ví dụ 1: (A-2013): Cho số thực dương a, b, c thõa mãn (a biểu thức P 32a (b 3c)3 32b3 (a 3c)3 a2 c)(b c) 4c2 Tìm giá trị nhỏ b2 c Lời giải Ta thấy vai trò a; b biểu thức giống nên dự đoán GTNN đạt a b ,thay vào điều kiện ta có a b c Như ta đoán P Quan sát tiếp ta thấy điều kiện cho dạng đồng bậc nên ta tư cách đặt quen thuộc sau: a xc; b yc Ta vào giải toán Đặt a xc; b yc với x, y , ta có (x 1)(y 1) P Áp dụng bất đẳng thức (u Và 16 (x 1)2 (y 1)2 v)2 4x.4y 32x (y 3)3 32y3 (x 3)3 x2 4uv vào điều kiện ta có: 16 16xy y2 (x y 2) x xy Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 y CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Áp dụng bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH dạng cộng mẫu số ta có: x3 (y 3)3 y3 (x 3)3 x4 x(y 3)3 y4 y(x 3)3 (x y2 )2 x(y 3)3 y(x 3)3 Mặt khác, ta có: 3)3 x(y (x Do P x2 y2 3)3 y(x y2 ) 36(x t2 x y2 xy(x 27(x y) t; t t2 (t 2) t t 1 2 Phép chứng minh hoàn tất Để ý: y2 ) 9xy(x y2 ) 64(x y) 54xy 27(x y) y) 2 Ví dụ 2: Cho a; b;c số thực dương Chứng minh rằng: a a3 ab b b b3 bc c c c3 ca a a b c Lời giải Đây bất đẳng thức dạng phân thức, tư nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức CAUCHYSWARCH dạng cộng mẫu số Để làm điều đó, trước hết ta làm chắn bậc tử số a3 b3 c3 a4 a ab b b bc c2 c2 ca a a(a ab Theo bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH, ta có: b2 ) b(b b4 bc c2 ) c(c a4 b4 c4 (a b c2 ) a(a ab b2 ) b(b bc c2 ) c(c ca a ) a b3 c3 ab(a b) bc(b Ta cần xử lý mẫu số Để ý ta có đẳng thức: a b3 c3 ab(a b) bc(b c) ca(c a) (a b c)(ab bc ca) Như ta chứng minh được: a3 b3 c3 a b2 c2 a ab b b bc c2 c2 ca a a b c Đương nhiên, ta có: (a c) c4 ca a2) ca(c a) b c)2 3(a b2 c2 ) Vậy ta có điều phải chứng minh Qua ví dụ trên, phần khẳng định sức mạnh bất đẳng thức Qua ví dụ này, ta nhìn cách tổng quát cách áp dụng phương pháp + Có dạng mẫu số đối xứng +Làm chẵn bậc tử sổ, bậc lẻ ta làm tăng lên bậc đánh giá Đương nhiên có trường hợp bất đẳng thức ngược dấu, đừng lo lắng, mạnh dạn làm tăng bậc cao Lúc đánh giá chặt + Giải bất đẳng thức đối xứng lại Ví dụ 3: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: b a 2c 3d c b 2d 3a d c 2a 3b a d 2b 3c Lời giải Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Trước hết, ta làm chẵn bậc tử số: a2 a(b 2c 3d) Áp dụng tương tự ví dụ 2, ta có: a(b a2 2c 3d) b(c b2 2d b(c b2 2d 4(ab c(d c2 2a c(d c2 2a 3b) b c d) cd da ac bd) 3a) 3a) (a bc 3b) d(a d2 2b 3c) d(a d2 2b 3c) Bây giờ, ta cần chứng minh: 3(a b c d)2 8(ab bc cd da ac bd) Khai triển ra, ta cần chứng minh: (a b c d)2 4(ab bc cd da) May mắn điều hiển nhiên Ta kết thúc chứng minh Ví dụ toán số kì thi Olympiad toán quốc tế năm 1995 Năm mà đoàn Việt Nam đạt kết cao Hong Kong Bài toán xuất nhiều tài liệu, đương nhiên, củng giải bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH Ví dụ 4: Cho a, b, c số thực dương thõa mãn abc Chứng minh rằng: a (b c) b (c a) c (a b) 3 Lời giải Đầu tiên, ta viết lại bất đẳng thức dạng dễ nhìn hơn: a2 a(b c) b2 b(c a) 1 a b c 2(ab bc ca) c2 c(a b) ab bc ca Như ta có điều phải chứng minh Bình luận: Ngoài ta dựa vào điều kiện tích abc ta nghĩ đến việc đổi biến yz zx xy a ;b ;c Các bạn tự giải theo hướng xem tập x y z Ví dụ đề xuất Peter Scholze ( người lần đạt HCV toán quốc tế, có năm 2007 IMO tổ chức Việt Nam ) Ví dụ 5: Cho a; b;c số thực dương.Chứng minh rằng: (a b) c2 ab (b c) a bc (c a) b ac Lời giải Củng tương tự ví dụ trên, áp dụng bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH ta có: VT a b c a b c2 ab bc ca Rất tiếc, lại bị ngược chiều Như nói, làm chặt thêm đánh giá cách nâng bậc lên Vế trái viết lại : Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 a VT a b b c2 ab Áp dụng bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH, ta đưa chứng minh bất đẳng thức: a b 2 a c2 ca c a2 abc a b b c2 ab Khai triển, ta được: a4 b4 c4 ab a b2 bc b Ta có đánh giá sau: bc(b2 c2 ) Vậy ta cần chứng minh: a b4 2(a b2 b2c2 2abc a b a 2b c b 2c c 2a 2b2c2 c4 c2a ) (a b4 c4 ) c a 2b (a b b 2c c)(a c 2a b c)(b c a)(c a b) 2xyz x y Vậy ta cần chứng minh: abc (a b c)(b c a)(c a b) Đây bất đẳng thức quen thuộc đề cập phần trước Ví dụ 6: Cho a, b, c số thực dương thõa mãn abc P a b a Chứng minh rằng: b c b c a c Lời giải x y z ; b ; c y z x Khi đó, ta viết lại P dạng: Đặt a xy (xz) P (xy) 2xyz (yz) 2x yz Áp dụng bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH, ta có: xz P xy 2 2xyz xy yz 2 yz 2x yz zx 2 xy 2y zx xy Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 7: Cho x, y, z số thực dương thõa mãn x, y, z xyz (yz) (zx) 2y zx yz yz zx zx (0;1) thõa mãn (1 x)(1 y)(1 z) Chứng minh rằng: x2 y4 y2 y z4 z2 z x4 x 15 Lời giải x tương tự với b, c Như ta có abc x Ta nhận thấy tồn số lớn bé Giả sử a, b Vậy ta có: Đặt a a b a b ab c c Áp dụng bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH, ta có: Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 z CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 1 a 1 b a b ab 1 ab b a ab c c Như ta có: x y z 1 a 1 b c c c c 1 c 41 c 4 Bây giờ, lại sử dụng bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH, ta có: x2 y y2 z z2 x x2 x2 y2 x2y y2z x2 y2 y2 z2 z2x x x2 y2 y2 z2 z2 x y2 y2z2 z2x 2 z2 z2 x2 y z x2 y2 z2 3 Mặt khác, ta củng có: (x 3(x Vậy nên: 3(x y3 z3 )2 (x y2 y3 z3 )(x y z) (x z2 ) (x y z) y2 z )3 y2 3 Vậy ta có điều phải chứng minh, phép chứng minh hoàn tất 1 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4a 9b thực dương thõa mãn a b c Vậy x y3 z )2 z3 a, b, c số 36c Lời giải Áp dụng Bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH, ta có: 36 P 36a 36b 36c 72 Dấu đẳng thức xảy khi: 1 36a 36b 36c 12 1 a ;b ;c Ví dụ 9: Cho số thực x, y, z thõa mãn xyz Chứng minh rằng: x x y y z z Lời giải bc ;y a2 Khi đó, bất đẳng thức viết lại dạng: Vì xyz nên tồn a, b, c cho x ca ;z b2 ab c2 Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 a4 (a bc) b4 (b ca) c4 (c ab) Áp dụng bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH, ta có: VT (a b2 c2 )2 bc)2 (b ca) (c2 (a Để ý rằng: (a b2 c2 )2 (a bc)2 (b2 ca)2 (c2 ab)2 (ab bc Một điều đặc biệt toán đẳng thức xảy vô số điểm Ta giải toán theo hướng khác sau: a b c Đặt x ;y ;z b c a a b Áp dụng CAUCHY-SWARCH, ta có: VT Ta ý xy yz Ta có: b) (a (a Lại để ý x y z với x zx c) x2 a a c (a y2 ca) nên ta có đpcm a Bất đẳng thức cho trở thành: ab) b) (a (a b)(a z2 c); y (x y c) a(a c) (b c)(b a); z b(b a) c(c b) (c a)(c b) z) c c a Vậy ta có điều phải chứng minh b b c Ta thử khảo sát vài ví dụ bất đẳng thức không đối xứng xem phương pháp có sức công phá không ? Đa phần, toán tổng nhiều số hạng có số hạng đối xứng nhan số hạng không đối xứng, để dồn biến, ta phải đánh giá số hạng đối xứng bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH Ta theo dõi Ví dụ 10: Cho số thực không âm a, b, c thõa mãn ab 2bc 3ca thức: (a b)(b c)(c a) a b c Tìm giá trị nhỏ biểu Lời giải Trước hết, ta đoán dấu đẳng thức xảy nào, dựa vào điều kiện ta đoán số nguyên dương thõa mãn ab 2bc 3ca Dễ đoán (a, b, c) (1, 0, 2) Thay điểm rơi vào ta thấy điều đặc biệt (a b)(b c)(c a) 4a b c , biểu thức Lại phép tính bậc cộng bậc đem chia cho bậc ( bậc giả thiết ).Như ý tưởng sử dụng AM-GM lộ thiên Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: a b b c c Bây giờ, ta cần chứng minh: (a a 4a b)(b b c)(c c a a)(4a b b b c) c c 36 (ab a 4a b c 2bc 3ca) Ý tưởng sử dụng CAUCHY-SWARCH rỏ ràng, ta có: Vậy M M a(b (ab 2bc c) b(c a) c(a b) (4a b c) (2a(b c) b(c a) c) (ab 2bc c(a b)) 3ca)2 , ta có điều phải chứng minh Bình luận: Các bạn thử xét hiệu: (a b)(b c)(c a)(4a b điều ! Đó đẳng thức bình phương đẹp mắt 3ca)2 xem thu Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Ví dụ 11: Với số thực dương x, y, z thõa mãn điều kiện x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x3 x yz y3 y zx y z3 z xy z 14 (z 1) (x 1)(y 1) Lời giải Hình thức toán khiến ta nghĩ đến phương pháp hàm số Vấn đề ta xác định dồn biến ? Nhận thấy có đối xứng biến x, y nên ta dồn theo biến Vậy ta dồn z Bây biến z ta không đụng chạm nó, giữ nguyên Ta cố đưa biến lại z Để ý điều kiện, việc đưa z đồng nghĩa với việc rút biểu thức dạng (x y) biểu thức đánh giá với (x y) Để ý số hạng cuối có cấu hình ab nên ta có đánh giá theo AM-GM: x y (x 1)(y 1) (x y 2) (z 1) z xy x y xy (x 1)(y 1) 4 Bây ta khó khăn việc xử lý số hạng đầu tiên, có phương pháp mạnh để xử lý biểu thức phân thức, áp dụng bất đẳng thức CAUCHY-SWARCH: x3 y3 x4 y4 x yz y zx x xyz y xyz (x y ) x y 2xyz x2 (x y ) y (x y )z (x y) 2(z 1) Vậy suy ra: P (z 1) 2(z 1) 4z3 (z 1) x y2 z (z 1) 2(z 1) 28 (z 1) 53 đạt x y ,z Ví dụ 12: Cho số thực dương a,b,c Tìm giá trị nhỏ biểu thức Khảo sát hàm số z ta MinP P a b b c c c a a c b a b Lời giải Nhận thấy xuất đặc biệt c biến t t a c a b Ta có: b c a b xuất lần nên OK dồn vế Hai số hạng đối xứng theo a, b nên ta cần đánh giá chúng để đưa Ta áp dụng CAUCHY-SWARCH: Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 a b a2 b c c a ab ac bc b) (a b) 2ab c(a b) ba 2(a b) b) 2c(a (a b2 b) (a c2 b) (a c 2(a b) 4ab 2c(a b) 2 a b c 2t 1 c t 2t t t Đến đây, ta khảo sát hàm để tìm giá trị nhỏ Vậy đặt a b t ta có: P a Bài toán tương tự: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ P Ví dụ 13:[Poland 1991] Cho x,y,z số thực thỏa mãn: x x y z xyz y2 z2 b b c c c a a b Chứng minh: Lời giải BĐT x y z xyz Đầu tiên với đấu 0;1;1 ta tách số hạng vế trái nhân tử để dấu xảy đồng thời tận dụng giả thiết thông qua BĐT Cauchy Schwarz đưa ẩn Khi thông hiểu dạng bạn thấy không thường quan tâm dấu bằng: Ta có: VT x2 Đặt yz x yz y2 z2 z Ta có: x y2 z x 2yz Vậy ta có điều phải chứng minh x2 2t 2t x2 2t y y z yz 2yz y z 2 t3 Ví dụ 14: Cho x,y,z số thực thỏa mãn: x x 2 2yz yz 2t t t Ta chứng minh: y t2 t 2yz t y2 z2 z xyz 16 Chứng minh: Lời giải Ta có: VT x2 Đặt yz x yz y2 z2 t :Ta chứng minh: 2t Dễ có điều vì: x2 y2 z2 2yz y z 4 yz t2 8t 32 y2 z2 2yz x2 16 256 y t z 2 yz 2yz y z 2 8yz 16 32 2t Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x, y, z 0; 2; hoán vị Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Ví dụ 15:[JBMO 2002 Shortlish]Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a3 b2 b3 c2 c3 a2 a2 b b2 c c2 a Lời giải a b2 Áp dụng BĐT Cauchy ta có: a2 b Mà b a a2 b a2 b a Suy a3 b2 a2 đpcm! b ab b2 Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có: a3 ab a2 a2 b2 b2 Mà a a a2 b2 c2 c2 c3 ca c2 a a2 a2 b b2 bc c2 c c2 ca a2 b2 ab a3 ab b3 bc b2 b b2 b3 bc b2 c2 bc c2 c c2 c3 ca c2 a2 ca a c a2 b b2 c2 a b2 c2 a b c a2 a b2 c2 a b c a b2 c2 a b c Vậy ta có đpcm! Đẳng thức xảy a Ta có: a b b c c đúng! Tuy nhiên, toán lại có cách giải khác, đánh giá đại diện hay rộng phương pháp tiếp tuyến Nhưng dạng ta cần chút kĩ thuật phương pháp đnáh giá đại diện sau: Cách 2: Ta tìm x,y cho BDDT sau đúng: a3 ab a2 BĐT a3 ax by a ab b2a Lại có BĐT a b3 a 2b x y x y x Bài giải: Ta có: BĐT 3a a a2 a3 ab ab b2 ;y b x a3 a b a b ax by y b3 x b2 y a 2b b 2a nên ta chọn x,y, cho: BĐT đúng! a b 2a b Thật vậy: b a3 b3 a 2b ab (luôn đúng) Tương tự ta có: b3 b bc c2 Cộng vế theo vế BĐT suy ra: b c; c2 c3 ca a 2 c a3 b3 c3 a 2 2 2 a ab b b bc c c ca a Đẳng thức xảy a b c Đánh giá thông qua sử dụng BĐT phụ sử dụng nhiều sau a b c Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Cách 3: (Cauchy ngược dấu – Kết đưa BĐT phụ giống tư tưởng khác): Ta có: ab a b a3 a b ab a b a a a a b 2 2 a ab b a ab b 3ab 3 Và lại giống Ví dụ 16:[USAMO 2003] Cho x,y,z só dương Chứng minh rằng: 2a b c 2a b c a 2b c c a 2b 2 a 2c b 2c a b Lời giải Bài toán thú vị có nhiều cách giải sau cách sử dụng biến đổi hay: Ta có: 2a b c 2a b c 2 b c a 2a b c b c a a2 b2 c2 b c a b2 c2 a2 Suy ta cần chứng minh: a b c b c a c a b 2 2 a b2 c2 a b c a b2 c2 ab bc ca (luôn đúng) Đẳng thức xảy a b c Bài toán tưởng chừng đơn giản lại có số ứng dụng tốt việc định hướng đem đến tự tin toán khác đưa nó: 2 a b c b c a c a b Ví dụ 17:[ĐH Khối A năm 2007] Cho x,y,z số thực dương thay đổi thỏa mãn: xyz trị nhỏ của: x2 y P y y y2 z z 2z z z2 x x z z 2x x x x y 2y y Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy ta có: x y Suy P 2x x y y 2z z Đặt x x a; y y P a b Vậy P 2c x 2y y z z b; z z b c 2a 2x x a 2b z x 2 yz 2x x 2z z x x 2y y c Ta có: c y z quay trở lại ví dụ 16 Dạng toán lại mở hướng nhanh chóng cho toán sau: Ví dụ 18: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: 2a a b 2b b c 2c c a a a2 b c b2 c2 Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 Tìm giá CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Lời giải Để nguyên đánh giá khó lòng đem lại két gì! Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2a a 2a 2a a b 4a 2a a b b 4a 3a b Tương tự cho biến lại ta có: 2b b c 4b ; 3b c 2b b c 2c 2c c 4c 3c a a Cộng vế theo vế BĐT ta có: 2a a b c Áp dụng BĐT Cauchy Schqarz ta có: 4a 4b 4c a 3a 3a b 3b c 3c a Mà a 3a b b 3b c c 3c a2 a 4a 3a b a b b2 b 3b c2 4b 3b c c ab 4c 3c a c 3c bc a a2 ca a b b2 Suy 4a 3a b Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b 4b 3b c 4c 3c a a b a2 b2 c c2 c Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 c2 c [...]... t2 8t 32 y2 z2 2yz 2 x2 16 256 y 8 t z 2 2 yz 2yz y 2 z 2 2 8yz 16 32 4 2t Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x, y, z 0; 2; 2 và các hoán vị của nó Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Ví dụ 15:[JBMO 2002 Shortlish]Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh... suy ra: 2 b 3 1 c; 3 c2 c3 ca a 2 2 c 3 a3 b3 c3 a 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ca a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c Đánh giá thông qua sử dụng BĐT phụ sẽ được sử dụng nhiều sau này 1 a 3 b 3 c Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Cách 3: (Cauchy ngược dấu – Kết quả khi đưa ra.. .CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 a b a2 b c c a ab ac bc b) (a b) 2 2ab c(a b) ba 2 2(a b) 2 b) 2 2c(a (a b2 b) 2 (a c2 b) 2 (a c 2(a b) 2 4ab 2c(a b) 2 2 a b c 2t 2 1 1 2 c t 2t... 18: Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng: 2a a b 2b b c 2c c a a a2 2 b c b2 c2 Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 1 Tìm giá CHINH PHỤC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA THPT - Phát hành: 26/10 Lời giải Để nguyên như vậy đánh giá khó lòng đem lại két quả gì! Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2a a 2a 2a a b 4a 2a a b b 4a 3a b Tương tự cho 2 biến còn... c2 a 2 b2 c2 a b c a2 a 2 b2 c2 a b c 3 a 2 b2 c2 a b c 3 Vậy ta có đpcm! Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a Ta có: a b b c c 2 đúng! Tuy nhiên, bài toán này lại có một cách giải khác, đó chính là đánh giá đại diện hay rộng hơn là phương pháp tiếp tuyến Nhưng ở dạng này ta chỉ cần một chút kĩ thuật trong phương pháp đnáh giá đại diện như sau: Cách 2: Ta sẽ tìm x,y sao cho BDDT sau luôn đúng: a3 ab a2... 2 c 2 b 3 2 c a 2 a2 b2 2 c2 3 2 b c a b2 c2 a2 Suy ra ta cần chứng minh: a b c 2 b c a 2 c a b 2 2 2 2 a 2 b2 c2 a b c a 2 b2 c2 ab bc ca (luôn đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c Bài toán tưởng chừng đơn giản trên lại có một số ứng dụng tốt trong việc định hướng đem đến tự tin khi đi các bài toán khác đưa về nó: 2 2 1 2 a b c b c a c a b Ví dụ 17:[ĐH Khối A năm 2007] Cho x,y,z là các số thực... 1991] Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: x 2 x y z xyz y2 z2 b b c c c a a b 2 Chứng minh: 2 Lời giải BĐT x y z xyz 2 Đầu tiên với đấu bằng tại 0;1;1 ta tách mỗi số hạng trong vế trái ra 2 nhân tử để dấu bằng xảy ra đồng thời tận dụng giả thi t thông qua BĐT Cauchy Schwarz và đưa về một ẩn Khi đã thông hiểu dạng này các bạn sẽ thấy không thường thì không phải quan tâm dấu bằng: Ta có: VT 2 x2 Đặt yz x... Cauchy Schqarz ta có: 4a 4b 4c a 3a 3a b 3b c 3c a Mà a 3a b b 3b c c 3c 3 a2 a 4a 3a b a b b2 b 3b c2 4b 3b c c ab 4c 3c a c 3c bc a 4 a2 ca 4 a b b2 Suy ra 4a 3a b Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 4b 3b c 4c 3c a a b a2 b2 c 2 c2 c Nhà sách giáo dục LOVEBOOK – 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội – 046.6860.849 c2 c 2
- Xem thêm -

Xem thêm: Chinh phục bất đẳng thức trong đề thi đại học , Chinh phục bất đẳng thức trong đề thi đại học , Chinh phục bất đẳng thức trong đề thi đại học

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn