ÔN TẬP CUỐI KỲ PHƯƠNG PHÁP TÍNH I Số gần sai số: Sai số tương đối:  a Sai số tuyệt đối:  a =  a | a | Số chữ số đáng tin: k  log (  a ) Sai số luôn làm tròn lên (bất kể bán hay không) y  f ( x1 , x2 , , xn ) n y   i 1 f  x1 , x2 , , xn  xi  xi II Phương pháp trình phi tuyến: Sai số tổng quát: | f '( x ) |  m  | x *  x |  | f ( x*) | m Phương pháp chia đôi: |ba| | x *  x |  n 1 [a,b] Phương pháp lặp đơn: [a,b] g (x) | g’(x) | ≤ q ; ≤ q < : hệ số co  Sai số: | xn – x | ≤ ( + x : lấy a , - x : lấy b ) qn | x – x | (công thức tiên nghiệm) 1 q => xác định số lần lặp n | xn – x | ≤  Tính sai số nghiệm: A= (q) B = ( x0 ) C = g (B) :   q | x – x | (công thức hậu nghiệm)  q n n-1 A (C – B) : B = C 1 A Tính nghiệm: ( x0 ) = Tính số lần lặp: n g (Ans) = log q  n  x1  x0  log q Phương pháp Newton :  Điều kiện: f ‘(x) ≠ [a,b] f (x) f ’’(x)> f ’(x) f ’’(x) < => x0 = a f ’(x) f ’’(x) > => x0 = b ATGroup Page  Tổng quát: f ( x n 1 ) f ' ( x n 1 ) | f '( x ) |  m  xn = xn-1 –  Tính nghiệm: Ans - ( x0 ) = f ( Ans ) = f '( Ans )  Tính sai số nghiệm: A = ( x0 ) f ( A) f ( B) B=A: : A=B f '( A) m III Phương pháp Jacobi phương pháp Gauss: Phương pháp Jacobi:  Khi n = 3: A = ( x10 ) B = ( x20 ) C = ( x30 ) D= a11 ( b1 – a12 B – a13 C ) : E= a 22 ( b2 – a21 A – a23 C ) : F= a 33 ( b3 – a31 A – a32 B ) : A=D:B=E:C=F  Sai số: || x ( m )  x || || x (m) || T || || x ( m )  x ( m 1) || 1 || T || || T ||m  x || || x(1)  x(0) || 1 || T ||     a T    21  a22  a   31  a33  a12 a11  a32 a33 a13   a11  a   23  a22      Phương pháp Gauss – Serdel:  Khi n = 3: B = ( x20 ) C = ( x30 ) D= a11 ( b1 – a12 B – a13 C ) : E= a 22 ( b2 – a21 D – a23 C ) : F= a 33 ( b3 – a31 D – a32 E ) : B=E:C=F ATGroup Page  Sai số:  a11  D  L   a21 a22 a  31 a32 T = (D – L )-1 U Công thức sai số  a12  U  0 0     a33  a13   a23   => (D-L)-1 (bấm máy) IV Nhân tử LU: u1 j  a1 j u22  a22  l21  lii  a21a12 a11 u23  a23  a31a12 a11 l32  a a a22  21 12 a11 a32  a21 a11 a21a13 a11 l31  a31 a11  a31a12   a21a13   a32    a23   a11   a11  a31a13  u33  a33   a a a11 a22  21 12 a11 u21 = u31 = u32 = V Phương pháp Choleski: b11  a11 a21 b22  a22  a11  a31a21  a   32  a11   b32  a21 a22  a11 b21  a21 a11 b33  a33   b312  b322  b31  a11 b12  b13  b23  VI Chuẩn vectơ chuẩn ma trận: ||A||1 : max tổng cột ||A||∞ : max tổng dòng k(A) = ||A|| ||A-1|| : số điều kiện k gần : ổn định k xa : không ổn định VII Đa thức nội suy Largrange, Newton, Spline: Đa thức nội suy Largrange:  Bài toán: cần tìm đa thức Ln(x) có bậc ≤ n thỏa n = số điểm – ATGroup a31 Page  x x0 x1 … xn Lập bảng: x0 x1 (x – x0) (x0 – x1) (x1 – x0) (x – x1) … … (xn – x0) (xn – x1) … … … … … xn (x0 – xn) (x1 – xn) … (x – xn) Dk = tích theo hàng D0 D1 … Dn w(x) n w(x) =  (x  x k ) k 0 n yk Ln(x) = w(x)  k 0 Dk  Sai số: Mn+1 = |max[f(n+1)(x)]| ; x  [x0, xn] M n 1 |f(x) – Ln(x)| ≤ (n  1)! |w(x)| Đa thức nội suy Newton:  Tổng quát: trường hợp điểm nút cách với bước h: Δyk = yk+1 – yk Δpyk = Δp-1yk+1 – Δp-1yk n y y 2 y N n(x) = y0 + q+ q(q – 1) +…+ q(q – 1)…(q – n + 1) n! 1! 2! (1) q= ; x  x0 (công thức Newton tiến) h y n 1 2 y n  n y N n(x) = yn + p+ p(p + 1) +…+ p(p+1)…(p + n – 1) ; 1! 2! n! x  xn p= (công thức Newton lùi) h (2)   Cách làm: lập bảng => N xk yk Δ Δ2 x0 y0 Δ0= y1 – y0 Δ20 = Δ1 – Δ0 x1 y1 Δ1= y2 – y1 … … … … … Chú ý: với bảng số: Ln(x) = N(1)n(x) = N(2)n(x) Tuy nhiên, bảng số có tăng thêm hay giảm bớt biến, ta cần thêm bớt sô hạng cuối Nn(x) thay làm lại từ đầu Ln(x) Spline bậc tự nhiên:  ATGroup Trường hợp số: a0  y a1  y1 Page  y2  y1   y1  y0   x2  x1 x1  x0 c1   x2  x0  c0  c2  y1  y0 c1 ( x1  x0 )  x1  x0 c1 d0  3( x1  x0 ) b0  b1  y2  y1 2c1 ( x2  x1 )  x2  x1 d1  c1 3( x2  x1 ) g0(x) = a0 + b0(x –x0) + c0(x-x0)2 + d0(x-x0)3 g1(x) = a1 + b1(x –x1) + c1(x-x1)2 + d1(x-x1)3 x  [x0, x1] x  [x1, x2] VIII Phương pháp bình phương bé nhất: Tổng quát: cần tìm hàm F(x) “xấp xỉ tốt bảng số cho” n  g(f) =  (F ( x k )  y k )  k 1 Điểm dừng:  g  A    g    B  g  C   => chuyển vế => giải hệ phương trình ẩn (A, B, C) Cách bấm máy: n Ví dụ: ta cần tính giá trị:  xk4 k 1 n  xk2 sin yk k 1 n  xk2 yk k 1 n  sin2 xk k 1 n y k sin xk k 1 A=A+X4:B=B+X2sinY:C=C+X2Y:D=D+(sinX)2:E=E+YsinX CALC - Lần đầu nhập A, B, C, D, E để khởi tạo giá trị - Khi thấy X? Y? nhập xk yk tương ứng - Lần bỏ qua hỏi A? B? C? D? E? Cách sử dụng máy tính số hàm:  Bước 1: chọn chế độ clear all  shift_9_3 570ES  shift_mode_3 570MS  ATGroup Bước 2:  chọn chế độ STAT : mode 570ES  chọn chế độ REG : mode_mode_2 570MS Page  Bước 3: chọn dạng F(x) Dạng F(x) Phím ấn 570ES 570MS Lin Quad Log Exp Pwr Inv F(x) = A+Bx F(x) = _+Cx2 = A +B + Cx2 F(x) = ln(A + Bx) F(x) = AeBx F(x) = A.Bx F(x) =A.xB F(x) = A  Bx  Bước 4: nhập bảng giá trị  nhập vào bảng hình 570ES  nhập xk , yk (dấu , ) M+ hết bảng 570MS  Bước 5: tính giá trị A, B  shift_1_7_1(tính A)/2(tính B) 570ES  shift_2 _►_►_1 (tính A) / (tính B) 570MS IX Tính gần đạo hàm: Bảng điểm:  Sai phân tiến (x0, x0+h) f '( x)  f ( x0  h)  f ( x0 ) h  Sai phân lùi (x0-h, x0) f '( x)  f ( x0 )  f ( x0  h) h  Sai số :  M 2h M  max f ''( x) x[ a ,b ] Bảng điểm:  Đạo hàm cấp  Sai phân tiến (x0, x0+h, x0+2h) f '( x)  3 f ( x0 )  f ( x0  h)  f ( x0  2h) 2h  Sai phân hướng tâm (x0-h, x0, x0+h) f '( x )  f ( x0  2h)  f ( x0 ) 2h  Sai phân lùi (x0-2h, x0-h, x0) f '( x)  f ( x0 )  f ( x0  h)  f ( x0  2h) 2h  Sai số : M 3h2  ATGroup M  max f '''( x) x[ a ,b ] Page  Đạo hàm cấp f ''( x )  f ( x0  h)  f ( x0 )  f ( x0  h) h2 Sai số: M h2  12 M  max f (4) ( x) x[ a ,b ] X Công thức hình thang (xấp xỉ tích phân): b  Bài toán cần xấp xỉ tích phân I   f ( x)dx a  Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n đoạn nhỏ với bước chia h  ba Ta n có công thức sau: h I  [ y0  2( y1  y2   yn 1 )  yn ]  Sai số: M 2h2   (b  a ) 12 M  max f ''( x ) x[ a ,b ] XI Công thức Simpson (xấp xỉ tích phân): b  Bài toán: cần xấp xỉ tích phân I   f ( x)dx a  Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n = 2m đoạn nhỏ với bước chia h ba Ta có công thức sau: 2m h I  [ y0  4( y1  y3   y2 m 1 )  2( y2  y4   y2 m  )  y2 m ]  Sai số: M 4h4   (b  a ) 180 M  max f x[ a ,b ] ( 4) ( x) XII Công thức Euler với hệ phương trình vi phân xấp xỉ: Bài toán: tìm yk sai số  y '  f ( x, y ) x   a, b    y ( x0 )  y0 Công thức Euler: yk 1  yk  hf ( xk , yk ) Có nghiệm xác ATGroup h ba n y ( xk ) Page Khi sai số : | y ( xk )  yk | Bấm máy: A = (x0) B = (y0) y(xkA) – B : B = B + h y’(A, B) : A = A + h Công thức Euler cải tiến: yk 1  yk  ba n k2  hf  xk  h, yk  k1   k1  k2  h k1  hf  xk , yk  y ( xk ) Khi sai số : | y ( xk )  yk | Có nghiệm xác Bấm máy nghiệm sai số: A = (x0) B = (y0) y(xkA) – B : C = h y’(A, B) : D = h y’(A+h, B+C) : B = B + (C+D) : A = A + h  x ''(t )  f (t ) x '(t )  g (t ) x(t )  h(t ) t   a, b  x ( t )  x x '( t )  x ' 0   x(t )  x(t0 )  hx '(t0 )  Cách giải:  x '(t )  x '(t0 )  hx ''(t0 ) Trường hợp: XIII Công thức Range – Kutta bậc với phương trình vi phân cấp Cách giải: Trường hợp xấp xỉ x1 = x0 + h ( n = 1)  K1  hf  x0 , y0    K  hf  x  h , y  K1     2    K2  h    K  hf  x0  , y0   2     K  hf  x0  h, y0  K     y ( x0  h)  y1  y0   K1  K  K  K   Cách bấm máy:  Tính K1: A = hf(X, Y) CALC  Tính K2: ► thay A B CALC  Tính K3: ► thay B C CALC  Tính K4: ► thay C D CALC  Tính y1: y0 + 1/6(A + 2B + 2C + D) ATGroup X? (nhập x0) = Y? (nhập y0) = X? (nhập x0+h/2) = Y? (nhập y0+A/2) = X? (nhập x0+h/2) = Y? (nhập y0+B/2) = X? (nhập x0+h) = Y? (nhập y0+C) = = Page XIV Bài toán biên tuyến tính cấp 2: Bài toán: tìm hàm y = y(x):  p( x) y ' ' ( x)  q( x) y ' ( x)  r ( x) y ( x)  f ( x)   y (a )   ; y (b)   ; a  x  b Cách giải: chia [a,b] thành n đoạn  Đặt y(x0) = y(a) = α = y0 y(xn) = y(b) = β = yn pk = p(xk); qk = q(xk); rk = r(xk); fk = f(xk)  Công thức: pk   pk qk      yk 1   rk  2  yk h   h 2h   p q    2k  k  yk 1  f k  h 2h  Giải hệ phương trình tìm giá trị y1,… ,yn-1 XV Phương trình Elliptic: a  x  b thỏa: c  y  d Bài toán: tìm hàm u = u(x,y) xác định miền D    2u  2u   f ( x , y ) ( x , y )  D  2  x  y   u ( a , y )   ( y ); u ( b , y )   ( y )  u ( x , c )   ( x ); u ( x , d )   ( x )   ba x ba chia đoạn [c,d] thành m đoạn với m  y Cách giải: chia đoạn [a,b] thành n đoạn với n    Đặt uij giá trị xấp xỉ hàm u(xi, yj): uij  u(xi, yj) i  0, n; j  0, m Công thức tổng quát:  ui 1, j  2ui , j  ui 1, j ui , j 1  2ui , j  ui , j 1   fij  2 h h x y   j  1, m  i  1, n  1;  Trường hợp ∆x = ∆y = h  4ui , j  ui 1, j  ui 1, j  ui , j 1  ui , j 1  h f ij  j  1, m  i  1, n  1;  Giải hệ tính giá trị ui,j XVI Phương trình Parabolic: Bài toán: cần xấp xỉ hàm u = u(x,t); x biến không gian; t biến thời gian xác định miền D = {a ≤ x ≤ b, t > 0} thỏa ATGroup Page  u  u ( x, t )  D  t   x  f ( x, t )  u (b, t )  2 (t ) t  u (a, t )  1 (t ); u ( x, 0)   ( x) x  [a, b]   Cách giải: chia [a,b] thành n đoạn với n  chọn bước thời gian t  0; đặt uij = u(xi, tj);  ba x t j  j t t  fij = f(xi, tj);    2x Sơ đồ hiện: ui , j 1  ui 1, j  (1  2 )ui , j  ui 1, j  t fij  i  1, 2, , n   j  0,1, 2, ;  Sơ đồ ẩn:   ui 1, j  (1   )ui , j   ui 1, j   t fij  ui , j 1  i  1, 2, , n   j  1, 2, ;  Giải hệ tính giá trị ui,j XVII Các đạo hàm cấp cao (phụ lục): f (n)  ln  ax  b    1  ( n 1)  n  1!a n n  ax  b  n n   1 a n ! (n)  f   n 1 ax  b    ax  b    f ( n )  sin ax   a n sin  ax  n  2  f ATGroup (n)  k 1    n  1  k ax  b    1     n  1 a  ax  b  k  k  k  k  k   Page 10