Đang tải... (xem toàn văn)
MỞ ĐẦU Nhà toán học Ơclít, trong tác phẩm “Cơ bản” của mình đã đặt nền móng đầu tiên cho sự ra đời của việc xây dựng hình học theo phương pháp tiên đề vào khoảng năm 300 trước công nguyên. Trong tác phẩm nổi tiếng của mình, ông đã nêu ra tư tưởng sử dụng phép biến hình trong việc định nghĩa hai hình bằng nhau, đó là: “Hai hình được gọi là bằng nhau nếu chúng chồng khít lên nhau”. Đến thế kỉ XVIII, khái niệm các phép biến hình xuất hiện như một công cụ để chuyển các tính chất hình học (bất biến) từ hình này sang hình kia và được sử dụng để giải một số bài toán. Nó chưa được xem là đối tượng để nghiên cứu cho đến cuối thế kỉ XVIII. Nhà toán học Bellavitis (1803 - 1880) đã nghiên cứu một cách hệ thống về phép biến hình trong lý thuyết về các hình của ông. Với sự ra đời của phương pháp tọa độ Đề-các thì hình được coi là một tập hợp các điểm. Quan niệm này đã đóng vai trò quan trọng trong lịch sử hình thành và phát triển của lý thuyết về các phép biến hình. Đến cuối thế kỉ XIX, nhà toán học người Đức, Felix Klein (1849 - 1925) đã nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm các phép biến hình. Ông đã phân loại tính chất hình học theo các phép biến hình bảo toàn những tính chất đó. Từ đó, ông phân loại các thứ hình học khác nhau dựa trên việc nghiên cứu bất biến của các nhóm biến hình khác nhau. Ví dụ tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm với phép toán tích các phép dời hình và hình học của nhóm dời hình chính là hình học Ơclít. Như vậy mỗi nhóm biến hình có hình học riêng của nhóm đó. Ngoài hình học Ơclit, chương trình hình học ở bậc đại học hiện nay còn có các thứ hình học khác như hình học đồng dạng, hình học afin, hình học xạ ảnh. Các bài toán không đề cập đến độ lớn của hình, độ dài của các đoạn thẳng và chỉ quan tâm tới sự thẳng hàng của ba điểm, sự cắt nhau và vuông góc với nhau của hai đường thẳng... thì đó chính là các bài toán của hình học đồng dạng vì ta chỉ nghiên cứu các bất biến của phép đồng dạng mà thôi. Ngoài hình học đồng dạng, thì hình học afin, hình học xạ ảnh cũng là những bộ phận của hình học Ơclít. Để hiểu rõ mối quan hệ giữa hình học Ơclít với các thứ hình học khác, chúng ta cần hiểu rõ mối quan hệ giữa hình họccủa một nhóm với hình học của nhóm con của nhóm đó. Dựa trên các bất biến của mỗi nhóm, Felix Klein đã sắp xếp lại các loại hìnhhọc khác nhau theo quan điểm hiện đại. Các nhóm biến hình được sắp xếp cụ thể như sau: Nhóm xạ ảnh Nhóm afin Nhóm đồng dạng Nhóm dời hình. Hìnhhọc của mỗi nhóm biến hình là môn học nghiên cứu các bất biến của nhóm đó vàvấn đề vận dụng bất biến của từng nhóm trong giải các bài toán hình học. Như vậy,ứng với mỗi nhóm biến hình trên, ta hệ thống hóa được các thứ hình học khác nhau theo quan hệ bao hàm như sau: Hình học xạ ảnh Hình học afin Hình học đồngdạng Hình học Ơclít. Phép biến hình cùng với khái niệm hàm số là các ánh xạ được đưa vào chương trình sách giáo khoa môn Toán ở trường phổ thông. Ngoàimục tiêu phát triển tư duy hàm cho học sinh phổ thông, phép biến hình còn đượcdùng để định nghĩa thế nào là hai hình bằng nhau hoặc đồng dạng với nhau và làmột công cụ hiệu quả để giải các bài toán hình học ở trường phổ thông.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO QUANG DUY NGHIÊN CỨU CÁC PHÉP BIẾN HÌNH THEO QUAN ĐIỂM NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO QUANG DUY NGHIÊN CỨU CÁC PHÉP BIẾN HÌNH THEO QUAN ĐIỂM NHÓM Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Danh Nam THÁI NGUYÊN, 2016 Công trình đƣợc hoàn thành Trƣờng Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Danh Nam Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trƣờng Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu tại: Thƣ viện Trƣờng Đại học Khoa học Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chƣơng 1: NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 1.1 Khái niệm phép biến hình 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tích phép biến hình 1.2 Nhóm afin 1.2.1 Phép biến hình afin 1.2.2 Nhóm afin 1.2.3 Bất biến nhóm afin .7 1.3 Nhóm xạ ảnh 1.3.1 Phép biến hình xạ ảnh .9 1.3.2 Nhóm xạ ảnh 10 1.3.3 Bất biến xạ ảnh 12 1.4 Nhóm dời hình 13 1.4.1 Phép dời hình 13 1.4.2 Nhóm dời hình 14 1.4.3 Bất biến nhóm dời hình 15 1.5 Nhóm đồng dạng 17 1.5.1 Phép đồng dạng .17 1.5.2 Nhóm đồng dạng .18 1.5.3 Bất biến nhóm đồng dạng 18 1.6 Nhóm tròn mặt phẳng .20 1.6.1 Định nghĩa phép nghịch đảo 20 1.6.2 Các tính chất phép nghịch đảo 20 1.6.3 Ảnh đường thẳng đường tròn qua phép nghịch đảo 21 1.6.4 Hình học bảo toàn đường tròn .22 1.6.5 Bất biến nhóm tròn mặt phẳng 23 Chƣơng 2: VẬN DỤNG BẤT BIẾN CỦA CÁC NHÓM BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP .24 2.1 Mối quan hệ loại hình học 24 2.1.1 Mối quan hệ hình học afin hình học xạ ảnh .24 2.1.2 Mối quan hệ hình học afin hình học Ơclít 29 2.1.3 Sáng tạo toán .35 2.2 Chứng minh thẳng hàng .43 2.3 Chứng minh đồng quy 56 2.4 Chứng minh song song .61 2.5 Chứng minh tính tiếp xúc, tính trực giao 64 2.5.1 Bài toán bảo toàn tính tiếp xúc 64 2.5.2 Bài toán bảo toàn tính trực giao 70 2.6 Bài toán qũy tích dựng hình 72 2.6.1 Bài toán quỹ tích .72 2.6.2 Bài toán dựng hình 75 KẾT LUẬN 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 MỞ ĐẦU Nhà toán học Ơclít, tác phẩm “Cơ bản” đặt móng cho đời việc xây dựng hình học theo phương pháp tiên đề vào khoảng năm 300 trước công nguyên Trong tác phẩm tiếng mình, ông nêu tư tưởng sử dụng phép biến hình việc định nghĩa hai hình nhau, là: “Hai hình gọi chúng chồng khít lên nhau” Đến kỉ XVIII, khái niệm phép biến hình xuất công cụ để chuyển tính chất hình học (bất biến) từ hình sang hình sử dụng để giải số toán Nó chưa xem đối tượng để nghiên cứu cuối kỉ XVIII Nhà toán học Bellavitis (1803 - 1880) nghiên cứu cách hệ thống phép biến hình lý thuyết hình ông Với đời phương pháp tọa độ Đề-các hình coi tập hợp điểm Quan niệm đóng vai trò quan trọng lịch sử hình thành phát triển lý thuyết phép biến hình Đến cuối kỉ XIX, nhà toán học người Đức, Felix Klein (1849 - 1925) nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm phép biến hình Ông phân loại tính chất hình học theo phép biến hình bảo toàn tính chất Từ đó, ông phân loại thứ hình học khác dựa việc nghiên cứu bất biến nhóm biến hình khác Ví dụ tập hợp phép dời hình lập thành nhóm với phép toán tích phép dời hình hình học nhóm dời hình hình học Ơclít Như nhóm biến hình có hình học riêng nhóm Ngoài hình học Ơclit, chương trình hình học bậc đại học có thứ hình học khác hình học đồng dạng, hình học afin, hình học xạ ảnh Các toán không đề cập đến độ lớn hình, độ dài đoạn thẳng quan tâm tới thẳng hàng ba điểm, cắt vuông góc với hai đường thẳng toán hình học đồng dạng ta nghiên cứu bất biến phép đồng dạng mà Ngoài hình học đồng dạng, hình học afin, hình học xạ ảnh phận hình học Ơclít Để hiểu rõ mối quan hệ hình học Ơclít với thứ hình học khác, cần hiểu rõ mối quan hệ hình học nhóm với hình học nhóm nhóm Dựa bất biến nhóm, Felix Klein xếp lại loại hình học khác theo quan điểm đại Các nhóm biến hình xếp cụ thể sau: Nhóm xạ ảnh Nhóm afin Nhóm đồng dạng Nhóm dời hình Hình học nhóm biến hình môn học nghiên cứu bất biến nhóm vấn đề vận dụng bất biến nhóm giải toán hình học Như vậy, ứng với nhóm biến hình trên, ta hệ thống hóa thứ hình học khác theo quan hệ bao hàm sau: Hình học xạ ảnh Hình học afin Hình học đồng dạng Hình học Ơclít Phép biến hình với khái niệm hàm số ánh xạ đưa vào chương trình sách giáo khoa môn Toán trường phổ thông Ngoài mục tiêu phát triển tư hàm cho học sinh phổ thông, phép biến hình dùng để định nghĩa hai hình đồng dạng với công cụ hiệu để giải toán hình học trường phổ thông Chƣơng NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 1.1 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH 1.1.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng không gian cho quy tắc f Với điểm M thuộc mặt phẳng không gian ta xác định điểm M’ thuộc mặt phẳng không gian theo quy tắc cho hay nói cách khác f ánh xạ mặt phẳng không gian Khi ta nói M’ ảnh M qua phép biến hình f, M gọi tạo ảnh M’ kí hiệu f: M M’ Nếu quy tắc f xác định cho điểm mặt phẳng không gian f gọi phép biến hình trong mặt phẳng không gian Như ta thấy ảnh điểm M phép biến hình có nhiều tạo ảnh Do đó, ánh xạ f không thiết song ánh Nếu ảnh điểm M mặt phẳng ứng với tạo ảnh M, tức ánh xạ f song ánh ta nói f phép biến hình 1-1 Ví dụ phép biến hình 1-1: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay, phép nghịch đảo Điểm M mặt phẳng không gian gọi điểm bất động (hay điểm kép) phép biến hình f f(O) = O Nếu điểm mặt phẳng không gian điểm bất động f f gọi phép đồng nhất, kí hiệu e(M) = M, với điểm M Trong mặt phẳng không gian cho phép biến hình f hình H Tập hợp ảnh điểm thuộc hình H qua phép biến hình tạo thành hình H’ gọi ảnh hình H kí hiệu f: H H’ viết ngôn ngữ tập hợp H’ = {M’| M’ = f(M), M H} Nếu f(H) = H hình H gọi bất động (hay bất biến) qua phép biến hình f Đặc biệt, H bất biến phép biến hình f mà điểm H bất động hình H gọi hình cố định hay hình bất động hoàn toàn Chẳng hạn, phép đối xứng tâm ĐO tâm đối xứng O điểm bất động đường thẳng qua điểm O bất động Trong phép đối xứng trục Đd trục đối xứng d hình bất động hoàn toàn đường thẳng (hoặc mặt phẳng) vuông góc với d bất biến Trong chương trình sách giáo khoa phổ thông, bậc THCS, “phép biến hình” xuất ngầm ẩn Lúc này, từ “phép”, “biến thành… ”, “ảnh” không sử dụng, học sinh chưa học khái niệm ánh xạ Cụ thể, sách giáo khoa đề cập đến đối xứng trục, đối xứng tâm mà không nói đến phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm Tuy nhiên, bậc THPT, phép biến hình hiểu ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn, từ không gian, lên nó, mặt phẳng không gian nghiên cứu với tư cách tập hợp điểm “đặc trưng hàm” xuất 1.1.2 Tích phép biến hình Trong mặt phẳng không gian cho hai phép biến hình f g Với điểm M, f: M M’ g: M’ M” Phép biến hình biến M M” gọi tích hai phép biến hình cho kí hiệu g.f: M M” Nếu g.f phép đồng ta nói g phép biến hình đảo ngược f Nếu ff = f = e ta nói phép biến hình có tính chất đối hợp Các phép biến hình có tính chất đối hợp phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đối xứng qua mặt phẳng phép nghịch đảo Cho n phép biến hình f1, f2,…, fn-1, fn Tích n phép biến hình cho phép biến hình thực cách liên thứ tự xác định kí hiệu f = fnfn-1f2f1 Tích phép biến hình có tính chất sau đây: 1) Tính chất kết hợp, nghĩa f(gh) = (fg)h = fgh Điều có tích ánh xạ có tính chất kết hợp Như vậy, thay hai nhiều phép biến hình liên tiếp tích chúng, ngược lại, thay phép biến hình tích tương đương 2) Nói chung, tích phép biến hình tính chất giao hoán Tích hai phép biến hình f g gọi giao hoán fg = gf 3) Trong tập hợp phép biến hình mặt phẳng không gian, phép đồng e phần tử đơn vị phép toán tích: ef = fe = f, f 4) Nếu phép biến hình f song ánh, tồn phép biến hình đảo ngược f Khi đó, tích hai phép biến hình đảo ngược phép đồng e: f -1f = ff -1 = e, f Định lý 1.1 Tập hợp phép biến hình 1-1 mặt phẳng không gian với phép toán tích phép biến hình lập thành nhóm gọi nhóm phép biến hình 1-1 hay nhóm biến hình 1-1 Chứng minh Dễ thấy tích hai phép biến hình 1-1 phép biến hình 1-1 (vì tích hai song ánh song ánh) Do vậy, phép toán tích hai phép biến hình đóng kín 1) Tích phép biến hình có tính chất kết hợp (do tính chất kết hợp phép toán tích song ánh) 2) Phần tử đơn vị nhóm phép đồng e (vì phép đồng song ánh) 3) Với phép biến hình f tồn phép biến hình đảo ngược f -1 (do f song ánh) thỏa mãn đẳng thức: ff -1 = f -1f = e (e phép đồng nhất) Vậy, tập hợp phép biến hình 1-1 mặt phẳng không gian với phép toán tích lập thành nhóm Một tính chất hình H gọi bất biến nhóm G không thay đổi ta dùng phép biến đổi f thuộc G để biến hình H thành hình khác Như vậy, ta nói rằng, tính chất hình H gọi bất biến nhóm G hình H' tương đương với H nhóm G có tính chất Hình học nghiên cứu bất biến nhóm gọi hình học nhóm Ví dụ, hình học nghiên cứu bất biến nhóm xạ ảnh gọi hình học xạ ảnh, hình học nghiên cứu bất biến nhóm afin gọi hình học afin, hình học nghiên cứu bất biến nhóm dời hình gọi hình học Ơclít,… Nếu ta xét nhóm G’ nhóm G hình học nhóm G’ hình học nhóm G có mối quan hệ sau đây: Ta có góc tạo tia Ax với tia AN ∠𝐶 + le) Mặt khác, ∠𝐴𝑁𝐻 = ∠𝐶 + ∠𝐴 ∠𝐴 Như vậy, ∠𝐴𝑁𝑑 = ∠𝐶 + ∠𝐴 (so (góc ANC) Vậy khoảng cách từ I tới d bán kính đường tròn (I) d tiếp xúc với đường tròn (I) Hình 2.41 Ví dụ 2.39 Cho hai đường tròn (C), (C’) giao hai điểm A, B Một đường tròn thay đổi tiếp xúc với AB A cắt (C) (C’) P P’ Chứng minh PP’ qua điểm cố định đường tròn (BPP’) tiếp xúc với AB B Lời giải Gọi O trung điểm AB Một cát tuyến qua O cắt (C) L, M, ta có phương tích O (C) 𝑂𝐿 𝑂𝑀 Gọi K điểm đối xứng M qua O K thuộc đường tròn (C’) hai đường tròn (C) (C’) đối xứng qua O Do đó, 𝑂𝐾 = −𝑂𝑀 đặt 𝑘 = 𝑂𝐴2 = −𝑂𝐿 𝑂𝑀 = 𝑂𝐾 𝑂𝐿 Khi f(O, k) biến điểm L thuộc đường tròn (C) thành điểm K thuộc đường tròn (C’) Mặt khác, 68 phương tích O đường tròn k = OA2, nên f(O, k) biến đường tròn thành (H 2.42) Hình 2.42 Như vậy, f(O, k) biến giao điểm P (C) thành giao điểm P’ (C’) , tức ba điểm O, P, P’ thẳng hàng Nói cách khác, đường thẳng PP’ qua điểm cố định O trung điểm AB Hơn nữa, OA = OB nên 𝑂𝐵 = 𝑂𝐴2 = 𝑂𝑃 𝑂𝑃′ nên đường tròn (BPP’) tiếp xúc với AB B Ví dụ 2.40 (Định lý Feuerbach) Chứng minh đường tròn Ơle tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn (I) nội tiếp ba đường tròn bàng tiếp (Ia), (Ib), (Ic) tam giác ABC Lời giải Gọi R, S tiếp điểm (I) (Ia) với cạnh BC, ta có BS = CR = p – c, p nửa chu vi, c = AB Giả sử A’, B’, C’ tương ứng trung điểm BC, CA, AB Kí hiệu A” hình chiếu vuông góc A lên cạnh BC, Q giao điểm BC với đường phân giác IIa Bốn điểm A, Q, I, Ia hàng điểm điều hòa, suy bốn điểm A”, Q, R, S hàng điểm điều hòa (H 2.43) Điểm A’ trung điểm RS (vì A’ trung điểm BC BS = CR), suy ra: 𝐴′𝑄 𝐴′𝐴" = 𝐴′𝑅2 (hệ thức Niutơn cho hàng điểm điều hòa) 69 Xét phép nghịch đảo f(A’, k = A’R2), với phép nghịch đảo đường tròn (I), (Ia) bất biến trực giao với đường tròn nghịch đảo (A’, A’R) Từ hệ thức 𝐴′𝑄 𝐴′𝐴" = 𝐴′𝑅2 suy f(A’, A’R2)(A”) = Q, ta có A” nằm đường tròn Ơle, điểm A’ (A’ trung điểm BC) thuộc đường tròn Ơle Điều có nghĩa với phép nghịch đảo f(A’, A’R2) biến đường tròn Ơle thành đường thẳng qua Q đối song với đường thẳng B’C’ góc C’A’B’ hay biến thành đường thẳng đối song với đường thẳng BC góc CAB (vì BC // B’C’, CA // C’A’, AB // A’B’) Hình 2.43 Suy đường thẳng đối xứng với đường thẳng BC qua đường thẳng IIa Do BC tiếp tuyến chung đường tròn (I) (Ia) nên đường thẳng tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (Ia) Vậy, đường tròn Ơle tiếp xúc với hai đường tròn (I) (Ia) Tương tự chứng minh đường tròn Ơle tiếp xúc với hai đường tròn (Ib) (Ic) 2.4.2 Bài toán bảo toàn tính trực giao Ví dụ 2.41 Cho ba điểm A, B, C cố định theo thứ tự nằm đường thẳng l Gọi En(On, Rn) chùm đường tròn trục l, hai điểm A B Chứng minh En trực giao với đường tròn (O, R) cố định 70 Lời giải Gọi d đường trung trực D AB Ta có On d (d đường nối tâm En) Gọi CA CB = k (k không đổi) Xét phép nghịch đảo P A B f(C, k), ta có: f(En) = En, f(l) = l, f(d) = với Q đường tròn (CD’E’) Vì En trực giao với d nên En trực giao với , n (H 2.44) C E Hiển nhiên cố định d cố định; l = Hình 2.44 K điểm K cố định Vì l d nên trực giao với l tức KC đường kính Vậy đường tròn đường kính KC, K = f(I) Ví dụ 2.42 Cho hai đường tròn (C), (C’) có tâm O, O’ tương ứng, giao A B Lấy điểm M đường tròn (C) dựng cát tuyến MA, MB cắt đường tròn (C’) A’, B’ Chứng minh A’B’ MO Lời giải Ta thấy phép nghịch đảo cực M, phương tích 𝑘 = 𝑀𝐴 𝑀𝐴′ bảo toàn đường tròn (C’) f(M, k): A A’, B B’ (A’, B’ (C’)) Từ suy f(M, k) biến (C) thành A’B’ biến OM thành (H 2.45) Vậy A’B’ MO tính chất trực giao bảo toàn qua phép nghịch đảo Hình 2.45 71 Ví dụ 2.43 Cho tam giác ABC với D trực tâm C tam giác Chứng minh đường tròn đường kính AB CD trực giao với (H 2.46) Lời giải Đường đối cực điểm A O ' B' D đường tròn đường kính CD qua điểm B Gọi AA', BB', CC' đường cao tam giác ABC Các điểm A O A C' B liên hợp với đường tròn A' B đường kính CD Do đường tròn đường kính AB trực giao với đường tròn đường kính CD Ví dụ 2.44 Cho tứ giác lồi ABCD Dựng phía Hình 2.46 tứ giác hình vuông ABB'A', BCC'B", CDC"D', DAD"A" Gọi tâm hình vuông theo thứ tự E, F, G, H Chứng minh trung điểm đường chéo hai tứ giác ABCD, EFGH đỉnh hình vuông Lời giải Gọi K trung điểm AC, I trung điểm BD Ta dễ dàng chứng minh KE = KF, KE KF; KH = KG, KH KG (H 2.47) Hình 2.47 Vậy qua phép quay 90 QK : E F, K K, G H Gọi M, N trung điểm HF, EG KM, KN trung tuyến tương ứng hai tam giác FKH, EKG 72 MKN tam giác vuông cân Tương tự INK tam giác vuông cân Từ suy điều phải chứng minh 2.5 BÀI TOÁN QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH 2.5.1 Bài toán quỹ tích Ta giải toán tìm quỹ tích phương pháp tỉ số kép cách áp dụng tính chất tỉ số kép tính chất hình bốn đỉnh toàn phần, hình bốn cạnh toàn phần để quỹ tích điểm (đường thẳng) cần tìm nằm đường thẳng cố định (đi qua điểm cố định) Ví dụ 2.45 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho ba điểm độc lập O, A, B Điểm M nằm đường thẳng AB mà M A; M B Một đường thẳng thay đổi qua M cắt OA A’, cắt OB B’ Tìm quỹ tích điểm N = AB’ BA’ Lời giải Gọi d đường thẳng qua M * Trường hợp 1: O d A’ B O N O * Trường hợp 2: O d Xét hình bốn đỉnh toàn phần AA’B’B có ba điểm chéo là: O, N, M; MN OA = C; MN OB = D (H 2.48) Theo tính chất hình bốn đỉnh toàn phần ta có: (M, N, C, D) = -1 Nối ON MB = M’, ta có: (OM, OM’, OA, OB) = (M, M’, A, B) = (M, N, C, D) = -1 Vì A, B, M cố định suy điểm M’ cố định hay OM’ cố định Vậy điểm N thuộc đường thẳng OM’ o b' d a' d m n c a b m' Hình 2.48 73 Đảo lại, giả sử N OM’; A’ = NB OA; B’ = NA OB Ta phải chứng minh ba điểm M, A’, B’ thẳng hàng Nếu N O suy A’ B’ O hay M, A’, B’ thẳng hàng Nếu N O xét hình bốn đỉnh toàn phần A’B’AB Gọi M”=A’B’ AB (M”, M’, A, B) = -1 = (M, M’, A, B) M M” Suy ba điểm A’, B’, M thẳng hàng Vậy quỹ tích điểm N đường thẳng OM’, điểm M’ thoả mãn: (M, M’, A, B) = -1 Ví dụ 2.46 Trong P2 cho đơn hình OAB đường thẳng d qua O mà không qua A, B Điểm M biến thiên d Đặt C = OA BM, D = OB AM Tìm quỹ tích đường thẳng CD Lời giải Xét mặt phẳng afin A2 = P2\ Nếu đường thẳng không qua A, B d AB = H , không trùng d Khi d // AB, OM // AB Xét hình thang ABMO có: C = OA BM, D = OB AM C Trong mặt phẳng afin ta biết: Trong hình thang, trung điểm hai cạnh đáy thẳng hàng hai đường chéo (H 2.49) Khi CD qua trung điểm I AB Vì M(d) O chia điều hoà với hai giao điểm hai cạnh bên D A AB cố định nên I cố định Vậy M biến thiên d CD luôn qua trung điểm I AB I B Hình 2.49 Từ ta có kết mặt phẳng xạ ảnh: Các đường thẳng CD qua I với I thoả mãn điều kiện (A, B, H, I) = -1, H = d AB Ví dụ 2.47 Cho đường tròn cố định (C) tâm O, bán kính R hai đường thẳng Ox, Oy vuông góc với Lấy điểm P đường tròn (C), tiếp tuyến với đường tròn (C) điểm P cắt Ox, Oy A B Trục đẳng phương đường tròn (C) đường tròn (AOB) cắt Ox, Oy C D Khi điểm P chuyển động (C) tìm quỹ tích trung điểm M CD 74 Lời giải Giả sử A’, B’ giao điểm (C) với (OAB) Khi trục đẳng phương (C) (OAB) A’B’, giao với Ox, Oy C, D Gọi M trung điểm CD (H 2.50) Hình 2.50 Phép nghịch đảo cực O, phương tích k = R2 biến đường tròn (OAB) thành đường thẳng A’B’ A’, B’ điểm bất động f(O, R2) Ta có f(O, R2): A C, B D 𝑂𝐶 𝑂𝐴 = 𝑂𝐷 𝑂𝐵 = 𝑅2 = 𝑂𝑃 PC 𝑅 2 OA PD OB Do đó, ODPC hình chữ nhật 𝑂𝑀 = 𝑂𝑃 = 𝑅 Vậy quỹ tích M đường tròn (C1) tâm O, bán kính Ví dụ 2.48 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng d đường trung trực đoạn thẳng AB Một đường tròn (O) thay đổi qua A, B cắt d D E Các đường thẳng CD CE cắt đường tròn (O) D’ E’ Tìm tập hợp điểm D’ E’ Lời giải Ta có: C D C D ' C E C E ' C A C B k không đổi Vậy D', E' ảnh D E phép nghịch đảo cực C phương tích k Do ta suy qũy tích điểm D', E' nằm đường tròn ảnh đường thẳng d qua phép nghịch đảo (H 2.51) Đường tròn qua điểm C, D', E' cắt AB điểm I cho (A, B, I, C) = -1 75 d D D' A B I O E' E Hình 2.51 2.5.2 Bài toán dựng hình Ta sử dụng tính chất tỉ số kép hình bốn cạnh toàn phần hình bốn đỉnh toàn phần để giải toán dựng hình Ví dụ 2.49 Cho hai đường thẳng song song a, b mặt phẳng afin A2 Hai điểm A, B nằm đường thẳng a Dựng trung điểm đoạn thẳng AB cách dùng thước kẻ Lời giải Bổ sung vào mặt phẳng afin A2 đường thẳng vô tận Gọi giao điểm O = a b Bài toán tương ứng mặt phẳng xạ ảnh: “Trong mặt phẳng xạ ảnh, cho trước đường thẳng hai đường thẳng a, b cắt điểm O nằm Trên a lấy hai điểm A, B tuỳ ý Hãy dựng điểm I thuộc đường thẳng a cho (A, B, I, O) = -1” S S P Q b M b Q P M a a A I A B I b) a) Hình 2.52 76 B Từ đó, ta suy cần dựng tứ giác toàn phần cho A, B hai đỉnh I, O hai điểm chéo (H 2.52a) Từ ta suy cách dựng sau: Lấy điểm S không nằm hai đường thẳng a, b Đường thẳng SA, SB cắt đường thẳng b P, Q Gọi M = PB QA Dựng đường thẳng SM cắt đường thẳng AB điểm I, trung điểm AB Ví dụ 2.50 Trong mặt phẳng afin A2, cho đoạn thẳng AB trung điểm I đoạn AB Chỉ dùng thước kẻ, qua điểm M cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng AB Lời giải Lấy điểm S không nằm đường thẳng a khác M Dựng đường thẳng SI cắt đường thẳng BM điểm P Dựng đường thẳng AP cắt đường thẳng SB điểm Q Đường thẳng qua hai điểm M, Q đường thẳng b cần dựng (H 2.52b) Ví dụ 2.51 Cho điểm P nằm trục đẳng phương hai đường tròn cho (O) (O’) Hãy dựng qua P đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn Lời giải * Phân tích: Điểm P nằm trục đẳng phương AB hai đường tròn (O) (O’) nên ta có 𝑃𝐶 𝑃𝐷 = 𝑃𝐶′ 𝑃𝐷′ Từ suy tứ giác CDD’C’ nội tiếp Phép nghịch đảo cực P, phương tích 𝑘 = 𝑃𝐴 𝑃𝐵 biến đường tròn (O) thành nó, đường tròn (O’) thành nó, hai điểm C C’ tương ứng thành D D’ Vì vậy, phép nghịch đảo biến đường thẳng CC’ thành đường tròn ngoại tiếp tam giác PDD’ tiếp xúc với hai đường tròn (O) (O’) (H 2.53) * Cách dựng: - Dựng tiếp tuyến chung CC’ với hai đường tròn (O) (O’) - Dựng D = PC (O), D’ = PC’ (O’) - Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác PDD’ Đó đường tròn cần dựng * Chứng minh: Theo cách dựng 𝑃𝐶 𝑃𝐷 = 𝑃𝐶′ 𝑃𝐷′ = 𝑃𝐴 𝑃𝐵 suy phép nghịch đảo cực P, phương tích k biến tiếp tuyến CC’ thành đường tròn ngoại tiếp PDD’ Mặt khác, phép nghịch đảo bảo toàn tính chất trực giao đường 77 thẳng đường tròn nên đường tròn ngoại tiếp PDD’ tiếp xúc với hai đường tròn (O) (O’) Hình 2.53 * Biện luận: Bài toán có nhiều hai nghiệm hình Ví dụ 2.52 Qua điểm A dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d đường tròn (O) cho Lời giải * Phân tích: Giả sử dựng đường tròn (C’) qua A, tiếp xúc với đường tròn (O) I tiếp xúc với đường thẳng d J (H 2.54) Ta xác định ảnh (O) d qua phép nghịch đảo cực A, phương tích k phương tích A đường tròn (O): f(A, k): (O) (O), f bảo toàn đường tròn (O); f(A, k): d (C), đường tròn (C) qua cực A; f(A, k): (C’) , tiếp tuyến chung (O) (C) nên dựng được; f(A, k): I I’, I tiếp điểm (C’) với (O) nên I’ tiếp điểm với đường tròn (O); f(A, k): J J’, J tiếp điểm (C’) với d nên J’ tiếp điểm với (C); Các điểm I’ J’ xác định Do đó, ta xác định I J; A, I, I’ thẳng hàng I thuộc (O) nên I giao điểm AI’ với (O); 78 A, J, J’ thẳng hàng J thuộc đường thẳng d nên J giao điểm AJ’ với đường thẳng d; Đường tròn (C’) phải dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ * Cách dựng: - Dựng đường tròn (C) ảnh d qua f(A, k); - Dựng tiếp tuyến chung tiếp tuyến chung (O) (C) - Dựng tiếp điểm I’, J’ với (O) (C) - Dựng I giao điểm AI’ với (O) J giao điểm AJ’ với d - Dựng đường tròn (C’) ngoại tiếp AIJ Đó đường tròn cần dựng Hình 2.54 * Chứng minh: Theo cách dựng (C’) qua A, J tiếp điểm d với (C’) I tiếp điểm (O) với (C’) * Biện luận: Ta dựng nhiều bốn tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (C) nên toán có nhiều bốn nghiệm hình (H 2.54) Ví dụ 2.53 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường thẳng d theo thứ tự Các nửa đường tròn (O1), (O2), (O3) đường kính AB, AC, BC nằm phía AB Dựng đường tròn tiếp xúc với ba nửa đường tròn Lời giải * Phân tích: Giả sử ta dựng đường tròn (O) thỏa mãn yêu cầu toán Xét phép nghịch đảo f(A; 𝑘 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ): B C; (O3) (O3); (O1) Cn, Cn 79 d (do (O1) d); (O2) Bm, Bm d (do (O2) d); (O) (O’), (O’) tiếp xúc với (O3), Bm, Cn (do (O) tiếp xúc với (O1), (O2), (O3)) Suy tâm O’ (O’) thuộc trung trực BC O3O’ = BC (H 2.55) * Cách dựng: - Dựng Bm, Cn tiếp tuyến (O3) phía với (O3) - Dựng trung trực BC, cắt (O3) I’ - Dựng đường tròn (I’, BC) cắt đường thẳng O’ - Dựng đường tròn (O’, OI’) Kẻ đường thẳng d’ qua O’ d’ Bm, d’ cắt (O’) H’, K’ - Dựng H = AH’ (O2); K = AK’ (O1); I = AI’ (O3) Đường tròn (IHK) đường tròn cần dựng * Chứng minh: Xét phép nghịch đảo f(A, k), k phương tích từ A đến đường tròn (O): B C, (O3) (O3), (O1) Cn (do (O1) d), (O2) Bm (do (O2) d), I I’, H H’, K K’, (O) (O’) Ta có: O’H’ = O’K’ = OI’ nên (O’) tiếp xúc với Bm, Cn (O3) (O) tiếp xúc với (O1), (O2), (O3) Hình 2.55 * Biện luận: Do (O’, O’I’) nên H’, K’, I’ H, K, I (O) Vậy toán có nghiệm hình 80 KẾT LUẬN Luận văn thu số kết sau đây: Phân loại thứ hình học khác theo nhóm biến hình như: nhóm afin, nhóm xạ ảnh, nhóm dời hình, nhóm đồng dạng nhóm tròn mặt phẳng Làm rõ mối quan hệ thứ hình học khác hình học xạ ảnh, hình học afin hình học Ơclít Trình bày bất biến nhóm phép biến hình mạnh thứ hình học giải toán sơ cấp Xây dựng hệ thống tập sử dụng phương pháp giải khác nhóm hình học chứng minh thẳng hàng, chứng minh song song, chứng minh đồng quy, chứng minh tính tiếp xúc, chứng minh tính trực giao, toán quỹ tích dựng hình Từ đó, phân tích rõ mạnh phương pháp giải toán sơ cấp 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Hoàng Trọng Thái, Hình học cao cấp, NXB Đại học Sư phạm, 2006 [2] Lê Thị Hoài Châu, Phương pháp dạy học hình học trường trung học phổ thông, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2004 [3] Gustave Choquet, Geometry in a modern setting, HERMANN Publishers in Arts and Science, 1969 [4] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam, Giáo trình Hình học sơ cấp, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [5] Nguyễn Danh Nam, Hình học nhóm phép biến hình, NXB Đại học Thái Nguyên, 2016 [6] S V Duzhin, B D Tchebotarevsky, Transformation groups for beginners, Amer Mathematical Society Publisher, 2004 [7] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục, 2004 [8] Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 2003 [9] Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 2003 [10] Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải toán hình học, NXB Giáo dục, 2005 [11] Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình mặt phẳng (chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông), NXB Giáo dục, 2006 [12] Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình không gian (chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông), NXB Giáo dục, 2006 [13] Nguyễn Cảnh Toàn, Cơ sở hình học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1994 82