BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI DƯƠNG VĂN LẠC PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA-NYSTRӦM TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ PHẦN TỬ ĐÀN PHỚT CẤP PHÂN SỐ Chuyên ngành : CƠ ĐIỆN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CƠ ĐIỆN TỬ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN VĂN KHANG Hà Nội - 2016 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN Tên DƯƠNG VĂN LẠC, học viên cao học lớp 14BCĐT.KH, khóa CH2014B, chuyên ngành Cơ điện tử Sau thời gian học tập, nghiên cứu trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội, giúp đỡ hướng dẫn thầy NGUYỄN VĂN KHANG, hoàn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn kết nghiên cứu thân tôi, chép hay copy tác giả Tôi xin tự chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, Ngày 28 tháng 02 năm 2016 Tác giả DƯƠNG VĂN LẠC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC TỪ VIẾT TẮT Ký hiệu a Dt p Nội dung, ý nghĩa Ký hiệu đạo hàm cấp phân số R a C a G a Dtp Ký hiệu đạo hàm cấp phân số theo Riemann Liouville Dtp Ký hiệu đạo hàm cấp phân số theo Caputo Dtp Γ( s) Β ( p, q ) m c k f ( t) RKN Ký hiệu đạo hàm cấp phân số Grunwald-Letnikov Hàm Gramma Hàm Bêta Khối lượng Độ cản nhớt Độ cứng Ngoại lực Phương pháp Runge-Kutta-Nyström DANH MỤC CÁC BẢNG Tên Nội dung Bảng 2.1 Bảng 2.2 So sánh nghiệm xác kết tính toán phương pháp So sánh sai số % tương đối phương pháp Trang 41 41 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Tên Nội dung Hình 1.1 Hình 1.2 Hình 2.1 Hình 2.2 Hình 2.3 Hình 2.4 Hình 2.5 Hình 3.1 Hình 3.2 Hình 3.3 Hình 3.4 Hình 3.5 Hình 3.6 Hình 3.7 Hình 3.8 Hình 3.9 Hình 3.10 Hình 3.11 Hình 3.12 Đường cong Jordan trơn khúc có hai điểm mút Đường cong kín C miền D thuộc mặt phẳng phức Xấp xỉ tích phân công thức hình thang Nghiệm xác (ví dụ 2.1) Kết giải thời gian tính (ví dụ 2.2) Kết giải, thời gian tính (ví dụ 2.3) Kết giải, thời gian tính (ví dụ 2.4) Hệ dao động chịu kích động va đập Mô hình dao động sau va chạm Kết so sánh mô hình lý thuyết IIa thực nghiệm với h=30mm Kết so sánh mô hình lý thuyết IIa thực nghiệm với h=60mm Kết so sánh mô hình lý thuyết IIa thực nghiệm với h=100mm Kết so sánh mô hình lý thuyết IIb thực nghiệm với h=30mm Kết so sánh mô hình lý thuyết IIb thực nghiệm với h=60mm Kết so sánh mô hình lý thuyết IIb thực nghiệm với h=100mm Kết so sánh mô hình lý thuyết IIIc thực nghiệm với h=30mm Kết so sánh mô hình lý thuyết IIIc thực nghiệm với h=60mm Kết so sánh mô hình lý thuyết IIIc thực nghiệm với h=100mm Kết so sánh mô hình lý thuyết IVc thực nghiệm với h=30mm Trang 16 17 33 41 42 42 43 44 44 45 46 46 46 47 47 47 48 48 48 Hình 3.13 Hình 3.14 Hình 3.15 Hình 3.16 Hình 3.17 Hình 3.18 Hình 3.19 Hình 3.20 Hình 3.21 Hình 3.22 Hình 3.23 Hình 3.24 Hình 3.25 Hình 3.26 Hình 3.27 Hình 3.28 Hình 3.29 Hình 3.30 Hình 3.31 Hình 3.32 Hình 3.33 Hình 3.34 Hình 3.35 Hình 3.36 Hình 3.37 Hình 3.38 Hình 3.39 Hình 3.40 Hình 3.41 Hình 3.42 Hình 3.43 Hình 3.44 Hình 3.45 Hình 3.46 Hình 3.47 Hình 3.48 Hình 3.49 Hình 3.50 Hình 3.51 Hình 3.52 Hình 3.53 Hình 3.54 Hình 3.55 Hình 3.56 Hình 3.57 Hình 3.58 Kết so sánh mô hình lý thuyết IVc thực nghiệm với h=60mm Kết so sánh mô hình lý thuyết IVc thực nghiệm với h=100mm Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.1) Đồ thị gia tốc theo thời gian (ví dụ 3.1) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.1) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo gia tốc (ví dụ 3.1) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.2) Đồ thị gia tốc theo thời gian (ví dụ 3.2) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.2) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo gia tốc (ví dụ 3.2) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.3) Đồ thị gia tốc theo thời gian (ví dụ 3.3) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.3) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo gia tốc (ví dụ 3.4) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.4) Đồ thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian (ví dụ 3.4) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.4) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.5) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.5) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.5) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.5) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.5) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.5) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.6) Đồ thị gia tốc theo thời gian (ví dụ 3.6) Đồ thị pha vận tốc theo dịch chuyển (ví dụ 3.6) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.6) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo gia tốc (ví dụ 3.6) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.7) Đồ thị gia tốc theo thời gian (ví dụ 3.7) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.7) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo gia tốc (ví dụ 3.7) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.8) Đồ thị gia tốc theo thời gian (ví dụ 3.8) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.8) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo gia tốc (ví dụ 3.8) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.9) Đồ thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian (ví dụ 3.9) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.9) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.10) Đồ thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian (ví dụ 3.10) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.10) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.11) Đồ thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian (ví dụ 3.11) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.11) Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.12) 49 49 50 50 51 51 51 52 52 52 53 53 53 54 54 54 55 55 56 56 56 57 57 57 58 58 58 59 60 60 60 61 61 61 62 62 62 63 63 64 64 64 65 65 65 66 Hình 3.59 Hình 3.60 Đồ thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian (ví dụ 3.12) Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.12) 66 66 MỞ ĐẦU Vài thập kỷ gần đây, nhiều ứng dụng đạo hàm cấp phân số lĩnh vực vật lý, hóa học, khí, giao thông vận tải, xây dựng, tài ngành khoa học khác quan tâm nghiên cứu Oldham Spanier ứng dụng đạo hàm cấp phân số vào trình khuyếch tán; Kempfle mô tả hệ tắt dần; Bagley Torvik, Caputo nghiên cứu tính chất vật liệu mới… Các nhà học bắt đầu nghiên cứu việc áp dụng đạo hàm cấp phân số vào hệ dao động, động lực học hệ đàn nhớt nhớt dẻo Nutting (1921, 1943) nhà nghiên cứu nghĩ tượng chùng ứng suất mô hình thông qua thời gian bậc phân số Shimizu (1995) nghiên cứu dao động đặc tính xung dao động với mô hình Kelvin – Voigt phân số vật liệu đàn nhớt dựa gel silicone chứng minh số tính chất khác biệt khả giảm chấn vật liệu so với vật liệu đạo hàm cấp nguyên Zhang Shimizu (1999) nghiên cứu vài phương diện quan trọng trạng thái tắt dần dao động đàn nhớt mô hình quy luật kết cấu Kelvin – Voigt phân số Họ thảo luận ảnh hưởng điều kiện đầu tới trạng thái tắt dần … Ta biết quan hệ lực biến dạng giảm chấn đàn nhớt có dạng f ( t ) = ηD p x ( t ) , Trong Dp = f ( t) lực tác dụng, x( t) < p < dịch chuyển, η hệ số cản không tuyến tính, dp dt p toán tử đạo hàm cấp phân số Thực tế biến dạng lớn, đáp ứng phi tuyến xuất Một số mô hình đề xuất để giải thích đáp ứng phi tuyến Một mô hình đưa lò xo phi tuyến thêm vào vế phải phương trình Một mô hình khác đưa Zhimizu Nasuno yêu cầu số vật liệu đàn nhớt, tính phi tuyến xuất phát từ đạo hàm cấp phân số biến dạng nén Luận văn trình bày phương pháp số để giải phương trình vi phân chứa đạo hàm cấp phân số, phương pháp Runge-Kutta-Nyström phát triển để tính toán dao động hệ có thành phần đạo hàm cấp phân số Luận văn sử dụng phương pháp số để tính toán vài mô hình dao động phi tuyến hệ đàn nhớt có chứa đạo hàm cấp phân số Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy GS.TSKH Nguyễn Văn Khang, thầy tận tình giúp đỡ em suốt thời gian thực luận văn Equation Chapter (Next) Section CHƯƠNG ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Chúng ta sử dụng n N số nguyên dương, p số Cho hàm số f (t) f t Ta ký hiệu đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp n ,…của hàm ( ) sau df ( t ) d f ( t ) dn f ( t) , , , , dt dt dt n Ngoài ta có ký hiệu đạo hàm tương tự df ( t ) d f ( t ) dn f ( t) , , , , [ dt ] [ dt ] [ dt ] n \* MERGEFORMAT (.) ( t − a ) đạo hàm theo t df ( t ) d2 f ( t) d2 f (t) dn f (t) dn f (t) df = , = , , = , n dt  d ( t − a )   d ( t − a )  dt dt n   d t − a ( )     Đạo hàm hàm f ( t) \* MERGEFORMAT (.) theo \* MERGEFORMAT (.) Do tích phân nghịch đảo đạo hàm nên ta viết d −1 f ( t ) [ dt ] −1 t = ∫ f ( t0 ) dt0 \* MERGEFORMAT (.) Các tích phân nhiều lớp ký hiệu d −2 f ( t ) [ dt ] −2 t t1 0 = ∫ dt1 ∫ f ( t0 ) dt0 \* MERGEFORMAT (.) M d −n f ( t ) [ dt ] − n t tn −1 t2 t1 0 0 = ∫ dtn −1 ∫ dtn−2 K ∫ dt1 ∫ f ( t0 ) dt0 \* MERGEFORMAT (.) Khi giới hạn khác 0, tích phân viết d −1 f ( t )  d ( t − a )  t = ∫ f ( t0 ) dt0 −1 a \* MERGEFORMAT (.) M d −n f ( t )  d ( t − a )  −n t tn −1 t2 t1 a a a a = ∫ dtn−1 ∫ dtn−2 K ∫ dt1 ∫ f ( t0 ) dt0 \* MERGEFORMAT (.) Lưu ý phương trình sau với đạo hàm không với tích phân dn f ( t)  d ( t − a )  n = dn f ( t) dt n \* MERGEFORMAT (.) Tức d −n f ( t )  d ( t − a )  ( n) Đạo hàm cấp n thường viết −n ≠ d −n f ( t ) dt − n \* MERGEFORMAT (.) ( t) f Từ ta sử dụng tích phân f ( − n) t tn −1 a a d p f ( t)  d ( t − a )  p = d p f ( t) [ dt ] p d p f ( t)  d ( t − a )  t1 a a dtn − K ∫ dt1 ∫ f ( t0 ) dt0 ( t ) = ∫ dtn−1 ∫ Với p số t2 = p t= b = d p f ( t) dt p p = f ( ) ( t) \* MERGEFORMAT (.) dpf  d ( t − a )  \* MERGEFORMAT (.) p ( b) \* MERGEFORMAT (.) Một số ký hiệu sau thường sử dụng  a Dtp f ( t ) = p p  d ( t − a )   Da f ( t ) d p f ( t) \* MERGEFORMAT (.) 1.2 BIỂU THỨC HỢP NHẤT GIỮA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1.2.1 Đạo hàm cấp n Trước giới thiệu đạo hàm cấp phân số, ta rút biểu thức hợp cho đạo hàm tích phân cấp nguyên Đầu tiên, ta có định nghĩa đạo hàm cấp hàm d1 f ( t ) dt = df ( t ) dt = lim f ( t ) − f ( t −δt ) δt δ t →0 { = lim [ δ t ] δ t →0 −1 } f ( t)  f ( t ) − f ( t − δ t )  \* MERGEFORMAT (.) f t Đạo hàm cấp hàm ( ) d2 f ( t) dt f ′( t ) − f ′( t − δ t ) = lim δt δ t →0 = lim δ t →0 δ t →0 { = lim [ δ t ] δ t →0 f ( t) − f ( t −δt) f ( t − δ t ) − f ( t − 2δ t ) − lim δ t →0 δt δt δt lim −2  f ( t ) − f ( t − δ t ) + f ( t − 2δ t )  } \* MERGEFORMAT (.) Tương tự ta có đạo hàm cấp d3 f ( t) −3 = lim [ δ t ]  f ( t ) − f ( t − δ t ) + f ( t − 2δ t ) − f ( t − 3δ t )  δ t →0 dt \* MERGEFORMAT (.) Bởi hệ số phương trình gần giống với hệ số nhị thức Newton, ta viết đạo hàm cấp n { } n   dn f ( t) −n j n   = lim δ t − f t − j δ t [ ] [ ] ( )   ∑  ÷ n δ t →0 j dt   j =     \* MERGEFORMAT (.) δt Giả thiết tất đạo hàm tồn [ ] tiến tới liên tục, nghĩa tất giá trị tiến tới Đối với biểu diễn hợp với tích phân, ta cần có giới hạn chặt Để làm điều này, chia khoảng δN t = [ t − a] N , N = 1, 2,3 [ t − a] thành N đoạn \* MERGEFORMAT (.) Thay vào phương trình (1.35) dn f ( t) [ dt ] n n −n j n   = lim [ δ N t ] ∑ [ −1]  ÷ f ( t − jδ N t )  δ N t →0   \* MERGEFORMAT j =0  j (.) n  ÷ Chú ý hệ số nhị thức  j  = j > n , (1.20) viết lại sau dn f ( t) N −1 −n j n   = lim [ δ N t ] ∑ [ −1]  ÷ f ( t − jδ N t )  δ N t →0   \* MERGEFORMAT j =0  j [ dt ] n (.) Từ (1.19) (1.21) suy dn f ( t)   t − a  − n N −1 j n = lim   −1]  ÷ f [ ∑ n  N →∞  N  j =0  j [ dt ]  MERGEFORMAT (.)  t −   t − a    j ÷  N    \* 1.2.2 Tích phân nhiều lớp hàm số f t Bây ta ý vào biểu thức tích phân n lớp ( ) Vì tích phân cấp nguyên định nghĩa qua diện tích, ta biểu diễn với tổng Riemann a It f ( t) = −1 a Dt f ( t) = { d −1 f ( t ) t  d ( t − a )  = ∫ f ( t0 ) dt0 −1 a } = lim δ N t  f ( t ) + f ( t − δ N t ) + f ( t − 2δ N t ) + K + f ( a + δ N t )  δ N t →0  N −1  = lim δ N t ∑ f ( t − jδ N t )  δ N t →0 j =0   \* MERGEFORMAT (.) Tích phân lớp : a It f ( t) = = lim δ N t →0 −2 a Dt {[δ Nt f ( t) = d −2 f ( t )  d ( t − a )  −2 t t1 a a = ∫ dt1 ∫ f ( t0 ) dt0 ]  f ( t ) + f ( t − δ N t ) + f ( t − 2δ N t ) + K + Nf ( a + δ N t ) } N −1   = lim [ δ N t ] ∑ [ j + 1] f ( t − jδ N t )  δ N t →0 j =0   \* MERGEFORMAT (.) Đối với tích phân lớp : a It f ( t) = −3 a Dt f ( t) = d −3 f ( t )  d ( t − a )  −3 t t2 t1 a a a = ∫ dt2 ∫ dt1 ∫ f ( t0 ) dt0 N −1  [ j + 1] [ j + 2] f t − jδ t  = lim [ δ N t ] ∑ ( N ) δ N t →0 j =0   \* MERGEFORMAT (.) Tương tự với tích phân n lớp viết sau : n a It f ( t) = −n a Dt f ( t) = d −n f ( t )  d ( t − a )  −n t tn −1 t1 a a a = ∫ dtn −1 ∫ dtn−2 K ∫ f ( t0 ) dt0 N −1  j + n − 1 n   = lim [ δ N t ] ∑  f ( t − jδ N t )  ÷ δ N t →0 j   j =0   \* MERGEFORMAT (.) d −n f ( t )  d ( t − a )  −n   t − a  n N −1  j + n − 1 = lim   ∑  j ÷ f N →∞  N   j =0    x−   t − a   j ÷  N   \* MERGEFORMAT (.) 1.2.3 Sự hợp toán tử đạo hàm cấp n tích phân n lớp Bây ta thay −n = n với n nhận giá trị âm phương trình (1.27) có dạng dn f ( t)   t − a  − n N −1  j − n − 1 = lim   ∑  j ÷ f n N →∞  N   j =0   d ( t − a )    t −   t − a   j ÷  N   \* MERGEFORMAT (.) So sánh phương trình (1.22) (1.28) ta thấy  n   j − n − 1 ÷=  ÷ j  j   [ −1] j  \* MERGEFORMAT (.) Thật ta chứng minh công thức (1.29) Theo định nghĩa n n ( n − 1) ( n − ) K ( n − j + 1)   j! [ −1] j  j ÷ = [ −1] j = = ( j − n − 1) ( j − n − ) K ( −n ) j! ( j − n − 1) !  j − n − 1 = ÷× j  j !( − n − 1) !  \* MERGEFORMAT (.) Với Γ ( n + 1) = n !, Γ ( n + 1) = nΓ ( n ) Γ ( m + 1)  m  m ( m − 1) ( m − ) K ( m − k + 1) m! = = ×  ÷= k! k !( m − k ) ! Γ ( k + 1) Γ ( m − k + 1) k  m = j − n −  Thay k = j ta có Γ ( m + 1) = Γ ( j − n ) ,  Γ ( k + 1) = Γ ( j + 1) ,  Γ ( m − k + 1) = Γ ( −n ) Mặt khác 10 Hình Đồ thị dịch chuyển theo thời gian Hình Đồ thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian Hình Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển Ví dụ 3.: Khảo sát dao động Vander Pol  D1.2 x = y  0.8  D = − x − ( x − 1) y \* MERGEFORMAT (.) Điều kiện đầu: 65 x ( ) = 0.2, x& ( ) = −0.2 \* MERGEFORMAT (.) Kết mô Hình Đồ thị dịch chuyển theo thời gian Hình Đồ thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian Hình Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển Ví dụ 3.: Khảo sát dao động Vander Pol 66 0.95  D x = y    y& = − x − 0.5 x y + 0.5 y Điều kiện đầu: x ( ) = 0, y ( ) = \* MERGEFORMAT (.) \* MERGEFORMAT (.) Kết mô Hình Đồ thị dịch chuyển theo thời gian Hình Đồ thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian Hình Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển 67 Ví dụ 3.: Khảo sát dao động Vander Pol 0.95  D x = y    y& = 2cos ( t ) − cos ( t ) − x − x y − y \* MERGEFORMAT (.) Điều kiện đầu: x ( ) = 0, y ( ) = \* MERGEFORMAT (.) Kết mô Hình Đồ thị dịch chuyển theo thời gian Hình Đồ thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian Hình Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển 68 KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN Với phát triển khoa học kỹ thuật, ngày có nhiều vật liệu đời (như vật liệu silicone, vật liệu cao su…), mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên đầy đủ tính chất vật liệu Do để giải vấn đề này, đạo hàm cấp phân số áp dụng nghiên cứu thời gian gần Luận văn gồm chương với nội dung sau: - - Chương một: Trình bày vấn đề đạo hàm cấp phân số dựa tài liệu [1, 5, 7, 30] Chương hai: Trình bày phương pháp số khác để xấp xỉ thành phần đạo hàm cấp phân số, phương pháp số để tính toán dao động hệ chứa thành phần đạo hàm cấp phân số dựa tài liệu [3, 20, 28, 29, 30, 31, 32, 33] Chương ba: Trình bày ứng dụng thuật toán để tính toán dao động hệ có thành phần đạo hàm cấp phân số dựa tài liệu [33-58] Luận văn đưa phương pháp số để giải toán dao động phi tuyến cấp phân số ứng dụng tính toán dao động móng máy, dao động hỗn độn hệ Duffing Vander Pol Hướng nghiên cứu tới mở rộng tính toán dao động cho nhiều mô hình phức tạp hơn, hệ dao động có trễ, nghiên cứu ổn định phương pháp số, xử dựng kết thực nghiệm để tìm quy luật phi tuyến cấp phân số Hy vọng kết luận văn góp phần để nghiên cứu toán lĩnh vực dao động phi tuyến cấp phân số Tuy nhiên khả trình độ hạn chế thời gian có hạn nên luận văn em chắn nhiều thiếu sót, em mong nhận ý kiến đóng góp phê bình bổ sung thầy cô giáo môn để em hoàn thiện bổ sung thêm kiến thức Một lần em xin chân thành cảm ơn Thầy GS.TSKH Nguyễn Văn Khang tận tình giúp đỡ em thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] Nguyễn Văn Khang, “Bài giảng Động lực học hệ có đạo hàm cấp phân số”, Trường Đại học Bách Khoa, (2009) Nguyễn Văn Khang, “Dao động kỹ thuật”, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, (2004) Nguyen Van Khang, N Shimizu, M Fukunaga, Duong Van Lac, Bui Thi Thuy, Calculation of responses of a nonlinear fractional derivative model of impulse motion for viscoelastic materials using Runge-Kutta-Nyström method, Tuyển tập hội nghị học toàn quốc, Hà Nội (2014) M Fukunaga and N Shimizu Comparison of fractional derivative models for finite deformation with experiments of impulse response Journal of Vibration and Control July 10, (2013) M Fukunaga, N Shimizu, H Nasuno, A nonlinear fractional derivative model of impulse motion for viscoelastic materials, Physica Scripta T136, 014010 (6pp), (2009) K B Oldham, J Spanier, The Fractional Calculus, Academic Press, Boston, New York (1974) I Podluny, Fractional Differential Equations, Academic Press, Boston, New York (1999) R.L Bagley, P.J Torvik, A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity, Journal of Rheology, pp 201-210, (1983) R.L Bagley, P.J Torvik, Fractional calculus in the transient analysis of viscoelastically damped structures, AIAA Journal, pp 918-925, (1985) K Diethelm, “An Algorithm for the Numerical Solution of Differential Equations of Fractional Order”, IMA J Numer Anal, Vol.5, pp 1-6, (1997) K Diethelm, Fractional Differential Equations, Vorlesungskrifit der TU Braunschweig, (2003) L E Suarez, A Shokooh, “Response of Systems with Damping Materials Modeled using Fractional Calculus”, ASME J Appl Mech, Vol.48, No.11, pp 1-9, (1995) L E Suarez, A Shokooh, “An Eigenvector Expansion Method for the Solution of Motion Containing Fractional Derivatives”, ASME J Appl Mech, Vol.64, pp 629635, (1957) L Gaul, P Klein, S Kemple, Damping description involving fractional operators, Mechanical systems and signal processing 5(2), pp 81–88, (1991) Dumitru Baleanu et all , Fractional Calculus: Models and Numerical Methods, World scientific publishing, Singapore, (2012) M Fukunaga, N Shimiz, “Analysis of Impulse Response of Gel by Nonlinear Fractional Derivative Models”, Proceedings of the ASME 2009 International Design Engineering Technical Conferences, San Diego, California USA, (2009) 70 [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] Neville J Ford and A Charles Simpson, “Numerical and Analytical Treatment of Differential Equations of Fractional Order”, Numerical Analysis Report 387, Manchester Centre for Computational Mathematics, Manchester, (2003) N Gil-Negrete, J Vinolas, L Kari, “A Nonlinear Rubber Material Model Combing Fractional Order Viscoelasticity and Amplitude Dependent Effects”, ASME J Appl Mech, Vol.76, pp 110091-110099, (2009) N Shimizu, “Dynamic Characteristics of a Viscoelastic Oscillator”, Trans Jps Soc Mech Eng., Vol.61, No.583, C, p 166-170, (1995) N Shimizu, W Zhang, “Fractional Calculus Approach to Dynamic Problems of Viscoelastic Materials”, International Journal of JSME, Series C, Vol.42, No.4, pp 825-837, (1999) N Shimizu, H Nasuno, “Modeling and Analysis of Nonlinear Viscoelastic Systems by means of Fractional Calculus – Numerical Integration Algorithms”, International Conference on Material Theory and Nonlinear Dynamics, Hanoi, (2007) P G Nutting, “A New General Law of Deformation”, J of the Frankin Inst, 191, pp 679-685, (1921) P.G Nutting, “A General Stress-Strain-Time Formula”, J of the Frankin Inst, 235, pp 513-524, (1943) R C Koller, “Applications of Fractional Calculus to the Theory of Viscoelasticity”, ASME J Appl Mech., Vol.51, pp 299-307, (1984) S Saha Ray, B P Poddar, R K Bera, “Analytical Solution of a Dynamic System Containing Fractional Derivative of Order One-Half by Adomian Decomposition Method”, ASME J Appl Mech., Vol.72, pp 290-295, (2005) S Sakakibara, “Properties of Vibration with Fractional Derivative Damping of Order 1/2 ”, International Journal of JSME, Series C, Vol.40, pp 393-399, (1997) W Zhang, N Shimizu, “Damping Properties of the Viscoelastic Material Described by Fractional Kelvin-Voigt Model”, International Journal of JSME, Vol.42, No.1, pp 1-9, (1999) Zhang W., Shimizu N Numerical algorithm for dynamic problems involving fractional operators Int J of the Japan Society of Mechanical Engineers, Series C 41(3): 364-370, (1998) Lixia Yuan and Om P Agrawal A numerical scheme for dynamic systems containing fractional derivatives J Vib Acoust., 124:321–324, (2002) T.M Atanackovic, B Stankovic On a numerical scheme for solving differential equations of fractional Oder Mechanics Research Communications, Volume 35, Issue 7, pp 429–438, (2008) 71 [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] Chan ghee KOH, James M Kelly, Application of Fractional derivative to seismic analysis of base-isolated models, Earthquake Engineering & Structural Dynamics Volume 19, Issue 2, pp 229–241, (1990) E.Sousa How to approximate the fractional derivative of order 0 ta có định nghĩa hàm Gamma (tích phân Euler loại 2) 73 Γ( s) = +∞ ∫e −x x s −1dx, Định nghĩa có phép đổi biến Euler Γ ( s ) = ∫ ( − log ( x ) ) s −1 u = −log ( t ) định nghĩa ban đầu dx 4.2 Công thức thứ hàm Gamma Γ ( s + 1) = sΓ ( s ) , Với s= ( s > 0) ta có: +∞ π 1 Γ  ÷ = ∫ e− x dx = = π, 2 Mặt khác theo công thức ta có 1      1.3.5 ( 2n − 1)  Γ  n + ÷ =  n − ÷ n − ÷K Γ  ÷ = π 2   2 2 2n  4.3 Công thức thứ hàm Gamma hàm Bêta Hàm Bêta (tích phân Euler loại 1) có dạng Β ( p, q ) = ∫ x p −1 ( − x ) q −1 dx, ( p > 0, q > ) Bằng phép đổi biến x = cos ϕ ta có hàm Β dạng tích phân suy rộng π Β ( p, q ) = ∫ cos p −1ϕ sin q −1 ϕ dx, ( p > 0, q > ) Đặt x = sin ϕ ta biến đổi hàm dạng Β ( q, p ) = ∫ x q −1 ( − x ) p −1 dx với ( p > 0, q > ) ⇒ Β ( p, q ) = Β ( q, p ) Như hàm Β đối xứng tính toán thông qua hàm Γ nhờ tính chất quan trọng sau Định lý: 74 Β ( p, q ) = Γ( p) Γ( q) = Β ( q, p ) Γ( p + q) Sử dụng tính chất vừa chứng minh ta có Γ ( s ) Γ ( − s ) = Γ ( 1) Β ( s,1 − s ) = Β ( s,1 − s ) = ∫ t s −1 ( − t ) −s dt Thay t= x ( 1+ x) suy Γ( s) Γ(1− s) = +∞ x s −1 π ∫ + x dx = sin π s , ( < s < 1) Định nghĩa:  n  n ( n − 1) ( n − ) K ( n − k + 1) n! = ,  k ÷= k! ( n − k ) !k !   ( k ≤ n) Các hệ  n n  ÷ =  n ÷ = 1,      n  n   ÷ =  n − ÷ = n,     n  k ÷ = k > n,    n   n   n + 1  k ÷+  k + 1÷ =  k + 1÷        n  n   k ÷ =  n − k ÷,     Quan hệ hàm Gamma hệ số nhị thức: Γ ( n + 1) = n ! Γ ( n + 1) n n! ⇒  ÷= = × k n − k ! k ! Γ k + Γ n − k + ( ) ( ) ( )   HÀM MITTAG – LEFFLER 5.1 Hàm Mittag – Leffler tham số Hàm Mittag – Leffler tham số định nghĩa ∞ zk Εα ( z ) = ∑ , α > k =0 Γ ( α k + 1) Dạng khai triển dãy vô hạn Eα ( z ) = + z z2 z3 + + + K, Γ ( α + 1) Γ ( 2α + 1) Γ ( 3α + 1) Hàm giới thiệu Mittag-Leffler năm 1903 Với số giá trị α ta có hàm Mittag – Leffler 75 , 1− x Ε1 ( x ) = e x , Ε0 ( x ) = Ε ( x ) = cosh ( x) , −3 x  3  1 3x Ε3 ( x ) = e + 2e cos  x ÷ ,     Ε ( x ) = cos x + cosh x  ,  2 Ε1 ± x = e x 1 + erf ± x  , x >   ( ) ( ) ( ) ( ) 5.2 Hàm Mittag-Leffler hai tham số Hàm Mittag-Leffler hai tham số đóng vai trò quan trọng phép tính không nguyên Kiểu hàm đưa R.P.Agarwal Erdelyi vào năm 1953-1954 Hàm hai tham số định nghĩa ∞ zk k =0 Γ ( α k + β ) Eα , β ( z ) = ∑ ( α > 0, β > ) ∞ zk ≡ Eα ( z ) Γ α k + ( ) k =0 Eα ,1 ( z ) = ∑ hàm Mittag-Leffler tham số Những đồng thức sau suy từ định nghĩa ∞ ∞ zk zk =∑ = e z , k = Γ ( k + 1) k =0 k ! E1,1 ( z ) = ∑ ∞ zk zk ∞ z k +1 ez −1 E1,2 ( z ) = ∑ =∑ = ∑ = , z k =0 ( k + 1) ! z k =0 Γ ( k + ) k = ( k + 1) ! ∞ ∞ zk zk ∞ z k +2 ez − − z E1,3 ( z ) = ∑ =∑ = 2∑ = z k =0 ( k + ) ! z2 k =0 Γ ( k + 3) k =0 ( k + ) ! ∞ Phương trình có dạng tổng quát E1,m ( z ) =  z m−2 z k   e − ∑ ÷ z m−1  k =0 k !  Những hàm lượng giác hyperbolic biểu hàm Mittag-Leffler hai tham số 76 ∞ ∞ z 2k z 2k =∑ =∑ = cosh ( z ) , k = Γ ( 2k + 1) k =0 ( 2k ) ! ( ) E2,1 z ( ) sinh ( z ) z 2k ∞ z k +1 = ∑ = , z k =0 ( 2k + 1) ! z k = Γ ( 2k + ) ∞ E2,2 z = ∑ 5.3 Hàm sai số Hàm sai số định nghĩa z 2 erf ( z ) = e −t dt , ∫ π biểu diễn dãy erf ( z ) = π ( −1) z 2n+1 = ∑ n = ( 2n + 1) n ! ∞ n   z3 z5 z7 z9 + + K ÷ z− + − 10 42 216 π  5.4 Hàm bù sai số ∞ z 2 −t −t erfc ( z ) = − erf ( z ) = − e dt = e dt π ∫0 π ∫z Khai triển dãy hàm bù sai số   ∞ e− z  n 1.3.5 ( 2n − 1)  erfc ( z ) = + ∑ ( −1) n  z π  n =1 2z   ∞ e− z  ( 2n ) !  n = 1 + ∑ ( −1) 2n  z π  n =1 n !( z )  ( ) 2.5 Phép biến đổi Laplace hàm Mittag - Leffler Ta có: f ( t ) ↔ fL ( s) ( ) f ( t ) = t α k +β −1Eα( ,β) atα , k ↔ fL ( s ) = ( sα − β k ! sα − a ) k +1 Trong đó: dk Eα ,β ( t ) = k Eα ,β ( t ) dt ( k) 77 Với k > toán tử vi phân hàm Mittag-Leffler với k < toán tử tích phân hàm Mittag-Leffler Khi β = 1, k = → Eα ,1 Eα ,1 ( ( sα −1 at ↔ α , s −a sα −1 − at α ↔ α s +a α ) ) 5.6 Các hàm phát triển từ hàm Mittag - Leffler Ta có: ∞ zk Eα , β ( z ) = ∑ k =0 Γ ( α k + β ) ( α > 0, β > ) 5.7 Hàm Agarwal Hàm Mittag-Leffler khái quát Agarwal vào năm 1953 Hàm quan tâm đặc biệt tới hệ cấp phân số phép biến đổi Laplace đưa Agarwal Hàm định nghĩa ∞ β −1    m+ α ÷   t , Γ α m + β ( ) m =0 Eα ,β ( t ) = ∑ L { Eα ,β ( t α )} sα − β = α s −1 5.8 Hàm Erdelyi Erdelyi (1954) nghiên cứu dạng tổng quát hàm Mittag-Leffler ∞ tm , α,β > m=0 Γ ( α m + β ) Eα ,β ( t ) = ∑ số mũ t số nguyên 5.9 Hàm R hàm G suy rộng ( ) a) ( t − c) ( Rq ,υ [ a, c, t ] = ∑ n = Γ { ( n + 1) q − υ } ∞ n n +1 q −1−υ ≡ Rq ,υ [ a, t − c ] Trong đó, t biến độc lập c giới hạn đạo hàm tích phân cấp phân số Đối với miền t > c quan tâm ta tới hàm bình thường Phép biến đổi Laplace hàm R 78 sυ Rq ,υ ( a,0, t ) ↔ q , s −a e − cs sυ Rq ,υ ( a, c, t ) ↔ q s −a R1,0 ( a,0, t ) = e at ,  a 2t a 4t  aR2,0 − a ,0, t = a t − + − K  = sin ( at ) , 3! 5!   2 4  at  at R2,1 −a ,0, t = 1 − + − K = cos ( at ) 2! 5!   ( ( ) ) 79 [...]... (.) 25 F F ( ) g ( t ) F G ( ) Nu f ( t ) , , nh ca tớch chp bng tớch cỏc nh F ( f g ) = F ( f ) F ( g ) = F ( ) G ( ) \* MERGEFORMAT (.) Equation Chapter (Next) Section 2CHNG 2 PHNG PHP S TNH TON DAO NG CA C H Cể O HM CP PHN S 2.1 HAI THUT TON XC NH GN NG O HM CP PHN S 2.1.1 Thut toỏn s dng o hm cp mt S dng nh ngha o hm cp phõn s ca Lionville-Riemann nh sau: R a t 1 d x ( ) d D x( t) = , ( 1... 2 4 i =1 ( x0 , x& 0 , &&x0 , &&x1 , &&x2 , &&xn 1 ) \* MERGEFORMAT (.) Vi (n 0) , xp x trờn c s dng khi chỳng ta gii cỏc h phng trỡnh vi phõn m t +h 2 phi tớnh cỏc thi im n 2.2 PHNG PHP S TNH TON DAO NG C H CHA O HM CP PHN S 2.2.1 Phng phỏp sai phõn Gi s h 2 phng trỡnh vi phõn cp phõn s cú dng sau [48] p D x = y y& = f ( t , x, y ) \* MERGEFORMAT (.) iu kin u x ( 0 ) = x0 , y ( 0 ) = y0 \* MERGEFORMAT... tn , xn , yn ) \* MERGEFORMAT (.) (.) iu kin u khi ng quỏ trỡnh tớnh toỏn Phng phỏp ny cú th m rng i O ( h1+ p ) vi h nhiu bin hn, chớnh xỏc ca phng phỏp ny l 2.2.2 Phng phỏp Newmark Gi s phng trỡnh dao ng ca mt c h cú phn t n nht nh sau [28] mx&& ( t ) + cx& ( t ) + à ( x ) D p x ( t ) + kx ( t ) = f ( t ) , \* MERGEFORMAT (.) x ( 0 ) = x0 , x& ( 0 ) = x& 0 \* MERGEFORMAT (.) iu kin u Chia li thi