Đang tải... (xem toàn văn)
Cấu trúc vùng năng lượng (SEB) của các chất bán dẫn dựa trên phương pháp giả thế thực nghiệm (EPM) là một trong những phương pháp tương đối dễ thực hiện tuy nhiên lại cần sự tham gia của các tham số hiệu chỉnh từ thực nghiệm. Theo phương pháp EPM ta chỉ cần giải phương trình Shroedinger cho một electron, do đó khối lượng tính toán rút gọn khá nhiều đây là ưu điểm của phương pháp EPM. Trong bài viết này tôi trình bày lại bài viết của GS. Dragica Vasileska ở Đại học bang Arizona, Hoa kỳ. Ngoài những gì đã được GS viết tôi xin mạn phép thêm vào những lí giải cụ thể của mình để bạn đọc có thể hiểu rõ hơn về phương pháp EPM. Mọi lời khen chê xin hãy gửi vào địa chỉ thienlan2303gmail.com, những điều đó tôi điều trân trọng vì tôi xem đó là cơ hội được học tập từ các bậc khả kính. Tôi xin chân thành cảm ơn
Tính toán cấu trúc vùng lượng chất bán dẫn phương pháp giả thực nghiệm Trần Thiện Lân Ngày tháng năm 2016 Tóm tắt nội dung Cấu trúc vùng lượng (SEB) chất bán dẫn dựa phương pháp giả thực nghiệm (EPM) phương pháp tương đối dễ thực nhiên lại cần tham gia tham số hiệu chỉnh từ thực nghiệm Theo phương pháp EPM ta cần giải phương trình Shroedinger cho electron, khối lượng tính toán rút gọn nhiều - ưu điểm phương pháp EPM Trong viết trình bày lại viết GS Dragica Vasileska Đại học bang Arizona, Hoa kỳ Ngoài GS viết xin mạn phép thêm vào lí giải cụ thể để bạn đọc hiểu rõ phương pháp EPM Giới thiệu Cơ sở để khảo sát chuyển động hạt tải bán dẫn khảo sát cấu trúc vùng điện tử vật liệu phát sinh từ nghiệm phương trình Shroedinger nhiều hạt diện tuần hoàn tinh thể, mà thảo luận nhiều sách giáo trình vật lí chất rắn Các nghiệm điện tử có mặt tuần hoàn tinh thể có dạng hàm Bloch ψn,k = un (k)eik.r , (1) với k véc-tơ sóng, n kí hiệu cho số vùng tương ứng với nghiệm khác véc-tơ sóng cho Hàm tuần hoàn ô, un (k), có tính tuần hoàn mạng tinh thể biến đổi nghiệm sóng truyền kết hợp với điện tử tự (hàm sóng phẳng đơn sắc) Một nhìn nhanh tính chất đối xứng hàm riêng cải thiện đáng kể hiểu biết tiến hóa cấu trúc vùng Đầu tiên, người ta bắt đầu cách tìm kiếm trị lượng riêng nguyên tử đơn lẻ mà cấu thành tinh thể bán dẫn Tất bán dẫn có liên kết tứ diện mà có lai hóa sp Tuy nhiên, nguyên tử đơn lẻ có điện tử lớp (điện tử hóa trị) orbital kiểu s kiểu p Các tính chất đối xứng (về hình học) orbital thực cách rõ ràng việc tìm phần góc chúng s=1 x √ px = = sin θ cos ϕ r y √ py = = sin θ sin ϕ r z √ pz = = cos θ r (2) Hãy kí hiệu trạng thái |S , |X , |Y |Z Một người ta đặt nguyên tử tinh thể, điện tử hóa trị lai hóa thành orbital sp3 mà dẫn đến hình thành liên kết tứ diện Tinh thể phát triển cấu trúc vùng với khe vùng cấm vùng phép Đối với bán dẫn, người ta thường quan tâm cấu trúc vùng dẫn vùng hóa trị Nó trạng thái gần biên vùng cư xử giống trạng thái |S trạng thái kiểu p mà chúng có chúng nguyên tử riêng biệt Các phương pháp tính toán cấu trúc vùng điện tử phân thành hai danh mục Hình 1: Cấu trúc vùng thông thường bán dẫn Đối với bán dẫn vùng cấm trực tiếp trạng thái vùng dẫn k = giống kiểu orbital s Các trạng thái vùng hóa trị tổ hợp tuyến tính orbital p Đối với bán dẫn vùng cấm gián tiếp, chí trạng thái cực tiểu vùng dẫn có số lượng orbital p tự nhiên hòa trộn vào trạng thái s [1] Danh mục thứ phương pháp ab initio, phương pháp Hartree-Fock phương pháp Phiếm hàm mật độ (DFT), mà tính toán cấu trúc điện tử từ nguyên lí thứ nhất, tức không cần tham số hiệu chỉnh thực nghiệm Tổng quát phương pháp tận dụng cách tiếp cận đa dạng để tính lượng trạng thái hệ nhiều hạt, mà hệ xác định mức độ nguyên tử Các tính toán nguyên gốc thực hệ thống chứa vài nguyên tử Ngày nay, tính toán thực sử dụng gần 1000 nguyên tử yêu cầu cao mặt máy tính, đòi hỏi máy tính song song cỡ lớn Đối lập với cách tiếp cận ab initio danh mục thứ hai bao gồm phương pháp thưc nghiệm, Sóng Phẳng Trực Giao (OPW) [2], liên kết chặt [3] (còn gọi phương pháp kết hợp tuyến tính orbital nguyên tử (LCAO)), phương pháp k.p [4], phương pháp giả thực nghiệm cục [5], phương pháp giả thực nghiệm không cục [6] (EPM) Các phương pháp bao gồm tham số thực nghiệm để khớp với liệu thực nghiệm dịch chuyển vùng đến vùng điểm đối xứng cao cụ thể mà thu từ thí nghiệm hấp thụ quang học Điều thú vị phương pháp cấu trúc điện tử tính toán cách giải phương trình Schroedinger điện tử (SWE) Theo đó, phương pháp thực nghiệm đòi hỏi mặt máy tính so với tính toán ab initio cung cấp phương pháp tương đối dễ dàng để tạo cấu trúc vùng điện tử Phương pháp giả thực nghiệm Khái niệm giả đưa Fermi [7] để nghiên cứu trạng thái nguyên tử nằm mức cao Về sau, Hellman đề xuất giả dùng cho việc tính toán mức lượng kim loại kiềm [8] Sự sử dụng rộng rãi phương pháp giả không xảy cuối thập kỉ 1950s, hoặt động lĩnh vực vật lí chất rắn bắt đầu tăng tốc Lợi việc sử dụng giả điện tử vùng hóa trị cần xem xét Các điện tử lõi xem thể chúng bị đông đặc cấu hình nguyên tử Do đó, điện tử vùng hóa trị xem chuyển động yếu electron Phương pháp giả dựa phương pháp sóng phẳng trực giao (OPW) Herring [2] Trong phương pháp này, hàm sóng tinh thể ψk xây dựng cho trực giao với trạng thái lõi Điều hoàn thành cách khai triển ψk phần trơn kết hợp đối xứng hàm Bloch ϕk , mà thêm vào kết hợp tuyến tính trạng thái lõi Điều diễn tả sau bk Φk,t , ψk = ϕk + (3) t với bk,t hệ số trực giao Φk,t hàm sóng lõi Đối với Si-14, tổng theo t phương trình (3) tổng theo tất trạng thái lõi 1s2 2s2 2p6 Do hàm sóng tinh thể xây dựng để trực giao với hàm sóng lõi nên hệ số trực giao tính được, theo ta thu biểu thức cuối ψk = ϕk − Φk,t |ϕk Φk,t , (4) t Để thu phương trình sóng cho ϕk , toán tử Hamiltonian H= p2 + VC , 2m (5) áp dụng cho (4), với VC hút lõi, thu phương trình sóng sau p2 + VC + VR ϕk = Eϕk , 2m (6) với VR đặc trưng cho đẩy tương tác gần không Hermit có dạng (E − Et ) Φk,t |ϕk VR = ϕk t , (7) Et phương trình (7) đặc trưng cho giá trị riêng lượng nguyên tử, tổng theo t tổng theo trạng thái lõi Kết cho phương trình (6) xem phương trình sóng cho hàm giả-sóng, ϕk , trị lượng riêng E tương ứng với lượng thật hàm sóng tinh thể ψk Hơn nữa, kết trình trực giao, đẩy VR , mà có tác dụng triệt tiêu hút VC , đưa vào Hamiltonian hàm giả-sóng Kết thu giả-thế biến đổi chậm Vp = VC + VR Kết biết định lí triệt tiêu Phillips-Kleinman [9] mà cung cấp giải thích cấu trúc điện tử electron hóa trị liên kết chặt mô tả cách sử dụng mô hình electron gần tự tương tác yếu Để đơn giản toán hơn, mô hình giả sử dụng thay cho giả thật Hình [?] tóm tắt mô hình khác sử dụng Chú ý biến đổi Fourier 3D (cho hệ khối) mô hình mô tả có dạng tổng quát sau V (q) ∼ Ze2 cos(qrc ) 0q (8) Giả phụ thuộc q sau sử dụng để tính cấu trúc vùng lượng dọc theo hướng tinh thể khác nhau, sử dụng trình khái quát mục sau Hình 2: Các mô hình giả khác Mô tả phương pháp giả thực nghiệm Từ mục trước định lí triệt tiêu Phillips-Keinman cung cấp phương tiện để đơn giản hóa toán vùng lượng thành toán điện tử Vì mục đích này, phương trình (6) viết lại sau p2 + VP φk = Eφk , (9) 2m với VP giả tinh thể biến thiên chậm Tổng quát VP kết hợp tuyến tính nguyên tử, Va , mà diễn tả tổng theo véc-tơ dịch chuyển R véc-tơ nguyên tử sở τ để đưa đến biểu thức sau Va (r − R − τ ) VP (r) = R (10) τ Để đơn giản hơn, tổng bên theo τ mô tả tổng, Vo , ô đơn vị định xứ R Khi phương trình (10) trở thành Vo (r − R) VP (r) = (11) R Bởi tinh thể tuần hoàn nên giả hàm tuần hoàn khai triển Hình 3: VP (r) giả tinh thể điểm M có tọa độ r so với gốc tọa độ O Giả phụ thuộc vào khoảng cách từ nguyên tử đến điểm M thể qua véc-tơ r − R − τ thành chuỗi Fourier theo mạng đảo để thu Vo (G)eiG.r VP (r) = (12) G với Vo (G) hệ số khai triển chuỗi Fourier theo véc-tơ mạng đảo Hệ số khai triển tìm theo công thức Vo (G) = Ω d3 rVP (r)e−iG.r (13) Ω Chứng minh: Nhân vế phương trình (12) biểu thức e−iG r Lấy tích phân vế theo véc-tơ r toàn thể tích ô đơn vị d3 rVP (r)e−iG r = G Ω d3 rei(G−G ).r Vo (G) Ω Chỉ G = G tích phân khác không Giá trị tích phân d3 rei(G−G ).r = Ω Ω Từ ta tìm công thức (12) sau viết lại G thành G Để áp dụng hình thức luận cho mạng zincblende, cách thuận tiện người ta chọn Hình 4: Mô hình mạng tinh thể dạng kim cương Zinc-Blende τ xác định khoảng cách hai nguyên tử ô sở mạng lập phương tâm mặt lồng vào Khi hai nguyên tử ô sở khác loại ta có cấu trúc Zinc-Blende sở nguyên tử có trung điểm nằm gốc (R = 0) Nếu véc-tơ nguyên tử sở cho τ1 = τ = −τ2 , với τ , véc-tơ nguyên tử sở, xác định theo số mạng ao τ = ao (1/8, 1/8, 1/8), VP (r) diễn tả sau VP (r) = V1 (r − τ ) + V2 (r + τ ), (14) với V1 V2 nguyên tử cation anion Thay phương trình (14) vào phương trình (13), sử dụng tính chất dịch chuyển biến đổi Fourier, VP (r) viết lại Vo (G) = eiG.τ V1 (G) + e−iG.τ V2 (G) (15) Chuyển dạng exp số phức thành dạng cosin sin Ta có công thức Vo (G) = cos (G.τ ) V1 (G) + V2 (G) + i sin (G.τ ) V1 (G) − V2 (G) Viết lại hệ số Fourier nguyên tử dạng hệ số cấu tạo đối xứng VS (G) = V1 (G) + V2 (G) phản đối xứng VA (G) = V1 (G) − V2 (G), Vo (G) cho Vo (G) = VS (G) cos (G.τ ) + iVA (G) sin (G.τ ), (16) với hệ số trước xem hệ số cấu trúc đối xứng phi đối xứng Các hệ số cấu trúc xem tham số hiệu chỉnh mà khớp với liệu thực nghiệm, phương pháp đặt tên giả thực nghiệm Đối với vật liệu mạng tinh thể kim cương, với nguyên tử đồng ô đơn vị, VA = hệ số cấu trúc đơn giản cos(G.τ ) Đối với mạng tinh thể zinc-blende, giống mạng tinh thể hệ thống vật liệu GaAs, VA = hệ số cấu trúc phức tạp Bây với số hạng cụ thể, nhiệm vụ phải viết lại phương trình Shroedinger dạng ma trận Hãy nhớ lại nghiệm phương trình sóng Shroedinger mạng tuần hoàn hàm Bloch, mà tổ hợp thành phần sóng phẳng phần ô tuần hoàn mà có tính chất tuần hoàn mạng tinh thể, tức ϕk (r) = eik.r uk (r) = eik.r U (G)eiG.r (17) G Bằng cách khai triển phần ô tuần hoàn uk (r) hàm Bloch mà xuất phương trình (17) thành thành phần chuỗi Fourier, thay vào hàm sóng giả ϕk VP vào phương trình sóng Schroedinger, ta thu phương trình ma trận sau (k + G)2 Vo (G − G )U (G ) = (18) − E U (G) + 2m G G Biểu thức cho phương trình (18) không số hạng tổng đồng không, mà hàm ý điều kiện sau (k + G)2 − E U (G) + 2m Vo (G − G )U (G ) = (19) G Trong cách này, tính toán cấu trúc vùng giảm giải toán trị riêng cụ thể phương trình (19) lượng E Hiển nhiên từ phương trình (17), U (G thành phần Fourier phần ô tuần hoàn hàm Bloch Số véc-tơ mạng đảo sử dụng để xác định kích thước ma trận độ xác tính toán Bài toán trị riêng phương trình (19) viết dạng quen thuộc HU = EU, với H ma trận, U véc-tơ cột đại diện cho véc-tơ riêng, E trị riêng lượng tương ứng với véc-tơ riêng Đối với mạng tinh thể kim cương yếu tố ma trận chéo H cho (k + Gi )2 Hii = + VS (0) (20) 2m Số hạng VS (0) phương trình (20) thường bỏ qua số hạng làm cho lượng vùng dịch chuyển lượng giá trị Cái mà ta quan tâm độ lệch Nhóm G theo đơn vị (2π/ao )2 (0,0,0) (1,1,1) (2,0,0) (2,2,0) (3,1,1) (2,2,2) (4,0,0) (3,3,1) Số hoán vị 12 24 24 Tổng số yếu tố |G|2 (2π/ao )2 15 27 51 11 59 12 65 16 89 19 Bảng 1: Các mặt kề cận gần không gian mạng đảo viết theo véc-tơ đơn vị Đề-các có đơn vị (2π/ao ) Các hệ số cấu tạo giả thể thường lấy đến G2 = 11 lượng vùng dẫn vùng hóa trị mức lượng có giá trị xác không quan trọng Đối với yếu tố ma trận không nằm đường chéo H cho Hij = Vo (Gi − Gj ) = VS (Gi − Gj ) cos (Gi − Gj ).τ (21) Nghiệm trị lượng riêng véc-tơ riêng tương ứng tìm cách chéo hóa ma trận H Thực phương pháp giả thực nghiệm cho bán dẫn Si Ge Đối với hệ bán dẫn thông thường, 137 sóng phẳng thích hợp, sóng phẳng tương ứng với véc-tơ mạng đảo, để khai triển giả Mạng đảo lập phương tâm mặt (FCC), tức cấu trúc kim cương zinc-blende, cấu trúc lập phương tâm khối (BCC) Vì véc-tơ mạng đảo tương ứng với mạng lập phương tâm khối Các véc-tơ mạng đảo lên đến 10 nút mạng gần bao quanh tính từ gốc thường xem xét mà sinh 137 sóng phẳng cho cấu trúc zinc-blende Số nhỏ nút mạng gần cho kết xác • Tại lại có 137 sóng phẳng? Con số tính toán từ đâu? • Tại lại có 10 nút mạng đảo gần nhất? Chỉ số tọa độ nút mạng gì? Sau nhiều ngày liền trăn trở suy nghĩ lan man hướng, xem xét nhiều mô hình mô ô sở mạng thuận mạng đảo mạng lập phương tâm mặt tìm lời giải cho thắc mắc đến chân tơ kẽ tóc Thứ nhất: Mạng Zinc-Blende mạng Bravais Vậy mạng gì? Nó hợp mạng Bravais lập phương tâm mặt (FCC) ô sở gồm nguyên tử (có thể khác loại loại) Các bạn tưởng tượng mạng FCC, nút mạng bạn thay ô sở gồm nguyên tử có tọa độ (0,0,0) (1/4;1/4;1/4) Việc thay thực nút FCC bạn thu ô mạng Zinc-Blende Hãy xem hình để hiểu rõ Thứ hai: Xem mạng Zinc-Blende mạng Bravais FCC có véc-tơ sở Hình 5: Mạng Zinc-Blende hợp ô sở gồm nguyên tử tọa độ (0,0,0) (1/4;1/4;1/4) với mạng FCC a a1 = (0; 1; 1), a a2 = (1; 0; 1), a a3 = (1; 1; 0) Có thể tính véc-tơ mạng đảo mạng FCC công thức sau: [a2 , a3 ] , a1 [a2 , a3 ] [a3 , a1 ] , b2 = 2π a1 [a2 , a3 ] [a1 , a2 ] b3 = 2π a1 [a2 , a3 ] b1 = 2π Tính toán chi tiết tích hữu hướng [a2 , a3 ] sau: a2 i j k [a2 , a3 ] = 1 1 a 1 1 = i −j +k 1 1 a = −1i + 1j + 1k Thể tích ô sở: Ω = a1 [a2 , a3 ] = a3 0i + j + k −i + j + k = a3 Từ phép tính tương tự ta tính véc-tơ mạng đảo có dạng: 2π (−1; 1; 1), a 2π b2 = (1; −1; 1), a 2π (1; 1; −1) b3 = a b1 = Từ hệ sở ta xây dựng mạng đảo mạng FCC mạng lập phương tâm khối (BCC) với số mạng đảo 4π b= a Thứ ba: Xét ô mạng đảo BCC, ô mạng đảo có nguyên tử (nguyên tử quy ước ô mạng đảo) với nguyên tử nằm tâm hình lập phương nguyên tử lại nằm đỉnh hình lập phương Chọn gốc tọa độ đỉnh ô mạng, đỉnh lại nằm phần dương trục tọa độ Ox, Oy Oz Chọn đơn vị số mạng đảo 2π, a ta có tọa độ nguyên tử là: (0;0;0), (1;1;1), (2;0;0), (0;2;0), (0;0;2), (2;2;0), (2;0;2), (0;2;2) (2;2;2) Thực phép tịnh tiến ô sở mạng đảo để xây dựng mạng đảo Ví dụ hướng x, y z tiến lùi đơn vị; Sau trình ta thu tọa độ tất nguyên tử xung quanh vị trí gốc (0;0;0) Tính khoảng cách từ gốc đến tất nguyên tử mà ta tịnh tiến thu xếp theo thứ tự khoảng cách từ nhỏ đến lớn ta khoảng cách cho bảng Trong bảng 2, số hoán vị có nghĩa tìm tất nguyên tử có khoảng STT 10 Tổng G2 Nhóm nút Số hoán vị (0;0;0) (1;1;1) (2;0;0) (2;2;0) 12 11 (3;1;1) 24 12 (2;2;2) 16 (4;0;0) 19 (3;3;1) 24 20 (4;2;0) 24 24 (4;2;2) 24 số véc-tơ sóng G 137 Bảng 2: Tổng số véc-tơ sóng G cách đến gốc tọa độ Các nguyên tử khoảng cách xếp vào nhóm Ta thấy có 10 nhóm tọa độ tất đại diện cho 137 nguyên tử mạng đảo gần gốc tọa độ 137 véc-tơ sóng G mà ta dùng làm véc-tơ G dùng để khai triển Fourier hàm Để tìm số hoán vị nhóm tọa độ ta đổi chỗ giá trị tọa độ cho đồng thời thêm dấu ” + ” ” − ” vào giá trị tọa độ • Nhóm (0;0;0) có cách chọn • Nhóm (1;1;1) tọa độ hoành độ có cách chọn dấu, cách chọn dấu hoành độ có cách chọn dấu tung độ, cách chọn dấu tung độ lại có cách chọn dấu cao độ Như ta có 2.2.2 = khả hoán vị 10 Si Ge a1 a2 a3 a4 a5 a6 106.0686 2.2278 0.6060 -1.9720 5.0 0.3 54.4512 2.3592 0.7400 -0.3800 5.0 0.3 Bảng 3: Các hệ số a1 đến a6 Si Ge • Nhóm (2;0;0) Có cách chọn vị trí đặt số Mỗi cách lại có cách chọn dấu cho số Vì có tọa độ • Nhóm (2;2;0) có cách chọn vị trí đặt số Mỗi cách lại có cách chọn dấu cho số Vì có 12 tọa độ • Nhóm (3;1;1) có cách chọn vị trí đặt số Mỗi cách lại có cách chọn dấu cho số Vì có 24 tọa độ • Nhóm (2;2;2) có tọa độ • Nhóm (4;0;0) có tọa độ • Nhóm (3;3;1) tương tự nhóm (3;1;1) ta có 24 nút mạng • Nhóm (4;2;0) có vị trí hoán vị số 4, Mỗi cách hoán vị lại có cách đặt dấu Vì có 24 nút mạng • Nhóm (4;2;2) tương tự nhóm (3;1;1) có 24 nút mạng Tóm lại ta thu tổng số 137 nút gần kể gốc tọa độ Thứ tư: Ô sở Wigner Seitz mạng đảo gọi miền Brillouin (fBz) Hiểu cách tạo miền đóng vai trò quan trọng trình tính toán vùng lượng theo hướng khác tinh thể mạng đảo Cách tạo ô Wigner Seitz dựng mặt phẳng trực giao với đường thẳng nối từ điểm gốc tọa độ đến nút gần gốc tọa độ Mặt phẳng phải qua trung điểm nằm đoạn nối từ gốc nút gần xét Cứ ta vẽ mặt cắt mặt phẳng giao Cuối ta fBz Bình phương khoảng cách từ gốc tọa độ đến tập hợp tương đương nút mạng đảo số nguyên tập hợp {0, 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, 20, 24} với |G|2 biểu diễn theo đơn vị (2π/ao )2 Chú ý đối số số hạng giả VS phương trình (21) véc-tơ hiệu véc-tơ mạng đảo hình thành tập hợp số nguyên mô tả Điều có nghĩa VS cần tính số điểm rời rạc tương ứng với nút mạng gần Mặt khác, giả đại lượng liên tục Vì vậy, biến đổi Fourier VS (q) đại lượng liên tục mà biểu diễn hình Những điểm tương ứng với nút gần hình Hãy nhớ lại giả cần tính số điểm gián đoạn dọc theo đường cong V (q) Các điểm gián đoạn tương ứng với giá trị q mà phù hợp với tập số nguyên mô tả trước Công thức hiệu chỉnh cho hệ số cấu tạo Si Ge là: V (q) = a1 (q − a2 ) ea3 (G2 −a4 ) + a5 − q + a6 (22) với hệ số a1 đến a6 có giá trị bảng Đối với q = hệ số cosin phương trình (21) luôn triệt tiêu Hơn nữa, giá trị q lớn 11, V (q) nhanh chóng tiệm cận không Điều có lí từ thực tế giả hàm biến 11 Hình 6: Biến đổi Fourier giả V (q) với q = |G − G | thiên chậm, vài sóng phẳng cần thiết để trình bày giả Nếu hàm biến thiên nhanh không gian cần nhiều sóng phẳng Một lợi phương pháp giả cần ba tham số để mô tả cấu trúc vùng vật liệu không phân cực Sử dụng hệ số cấu tạo liệt kê bảng ??, với hệ số cấu tạo Si lấy từ Hình 7: Các hệ số cấu tạo giả cục [10] hệ số cấu tạo Ge lấy từ [11], cấu trúc vùng lượng Si Ge vẽ hình tài liệu [?] Chú ý tương tác spin-quỹ đạo không kể đến 12 mô Các số mạng định cụ thể cho Si Ge 5.43˚ Avà 5.65˚ A Cấu trúc vùng thu theo trình tự sau Bắt đầu trình mô phỏng, véc-tơ mạng đảo G phải tạo cách sử dụng Hình 8: Thuật toán thực phương pháp giả thực nghiệm thông tin cho hình Các véc-tơ mạng đảo cho hình dẫn đến 89 véc-tơ Những véc-tơ đặt tên sau: G1 = (0, 0, 0), G2 = (1, 1, 1), G3 = (1, 1, −1), G89 = (−3, −3, −1) Một véc-tơ G tạo ra, người ta sẵn sàng với tính toán cấu trúc vùng Trong trình này, minh họa hình 5, người ta định nghĩa véc-tơ k dựa thông tin dọc theo hướng đối xứng cao mà muốn vẽ cấu trúc vùng Các điểm đối xứng cao đường đối xứng cao tương ứng cho hình Sau đó, yếu tố ma trận Hij tính với i = 1,2, 89 j = 1,2, 89 theo công thức (17), (18) Sau ma trận H xây dựng, phận giải phương trình trị riêng MATLAB gọi sử dụng lệnh eigen(H) 89 trị riêng nghiệm chúng xếp theo thứ tự tăng dần trị riêng thấp lưu giữ lại Sau đó, tất hướng đối xứng cao xử lí trình kết thúc chương trình vẽ trị riêng hàm theo k Nếu không, k tăng dọc theo hướng đối xứng trình xử lí lặp lại hoàn tất Các điểm đối xứng cao vật liệu zinc-blende cho hình Si bán dẫn vùng cấp gián tiếp Vùng cấm nó, tức vùng cấm cực tiểu, tính toán từ cực đại vùng hóa trị điểm Γ đến cực tiểu vùng dẫn dọc theo hướng ∆, 85% khoảng cách từ Γ đến X Khe vùng Si, sử dụng tham số từ tài liệu [6], có kết tính toán EgSi = 1.08 eV, phù hợp với liệu thực nghiệm Ge bán dẫn 13 Hình 9: Vùng Brillouin mạng đảo bán dẫn có cấu trúc Kim cương (C, Si, Ge) Zinc-blende (GaAs, InAs, CdTe, ) Có 08 mặt lục giác (vuông góc với [111]) 06 mặt hình vuông (vuông với [100]) Các cạnh hình lục giác hình vuông vùng cấm gián tiếp Vùng cấm xác định từ đỉnh vùng hóa trị điểm Γ đến cực tiểu vùng dẫn L Khe vùng ge tính EgGe = 0.73 eV Vùng cấm trực tiếp, mà xác định từ cực đại vùng hóa trị điểm Γ đến cực tiểu vùng dẫn điểm Γ, có kết 3.27 eV 0.82 eV tương ứng Si Ge Chú ý uốn cong đỉnh vùng hóa trị Ge lớn so với Si Điều phù hợp với thực tế khối lượng lỗ trống hiệu dụng Si lớn so với Ge Chú ý tính đến tương tác Spin-quỹ đạo dẫn đến suy biến bội ba vùng điểm Γ, dẫn đến vùng lỗ trống nặng nhẹ suy biến kép vùng tách kéo mức lượng thấp xuống vài phần mười meV (phụ thuộc vào việc xét vật liệu nào) Tóm lại, phương pháp giả cục mô tả mục tốt cho mô tả xác vùng cấm quang học Tuy nhiên, lưu ý Chelikowsky Cohen [13], tính toán cục mở rộng để thu mật độ trạng thái điện tử vùng hóa trị kết thu xa so với thực tế Lí cho khác biệt xuất phát từ bỏ qua lõi thấp (sâu) việc rút giả mục trước Như lưu ý điều cho phép việc sử dụng hệ sở sóng phẳng đơn sắc đơn giản Để hiệu chỉnh lỗi trên, số hạng hiệu chỉnh phi cục phụ thuộc lượng đưa vào nguyên tử cục Điều tăng số tham số cần sử dụng lên dẫn đến hội tụ tốt kết cấu trúc vùng xác [14],[15] Tài liệu [1] P Y Yu and M Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer-Verlag, Berlin, 1999 [2] C Herring, Phys Rev., 57 (1940) 1169 [3] D J Chadi and M L Cohen, Phys Stat Sol (b), 68 (1975) 405 14 Hình 10: Cấu trúc vùng lượng Si [4] J Luttinger and W Kohn, Phys Rev., 97 (1955) 869 [5] M L Cohen and T K Bergstresser, Phys Rev., 141 (1966) 789 [6] J R Chelikowsky and M L Cohen, Phys Rev B, 14 (1976) 556 [7] E Fermi, Nuovo Cimento, 11 (1934) 157 [8] H J Hellman, J Chem Phys., (1935) 61 [9] J C Phillips and L Kleinman, Phys Rev., 116 (1959) 287 [10] J R Chelikowsky and M L Cohen, Phys Rev B, 10 (1974) 12 [11] L R Saravia and D Brust, Phys Rev., 176 (1968) 915 [12] S Gonzalez, Masters Thesis, Arizona State University, 2001 [13] J R Chelikowsky and M L Cohen, Phys Rev B, 10 (1974) 5059 [14] K C Padney and J C Phillips, Phys Rev B, (1974) 1552 [15] D Brust, Phys Rev B, (1971) 3497 15 Hình 11: Cấu trúc vùng lượng Ge 16 [...]... không gian thì cần nhiều sóng phẳng hơn Một lợi thế nữa của phương pháp giả thế là chỉ cần ba tham số để mô tả cấu trúc vùng của vật liệu không phân cực Sử dụng các hệ số cấu tạo đã được liệt kê trong bảng ??, với các hệ số cấu tạo Si được lấy từ Hình 7: Các hệ số cấu tạo của giả thế cục bộ [10] và các hệ số cấu tạo Ge được lấy từ [11], cấu trúc vùng năng lượng đối với Si và Ge được vẽ trong hình ở tài... hình 6 Si là một bán dẫn vùng cấp gián tiếp Vùng cấm chính của nó, tức là vùng cấm cực tiểu, được tính toán từ các cực đại vùng hóa trị tại điểm Γ đến các cực tiểu vùng dẫn dọc theo hướng ∆, 85% của khoảng cách từ Γ đến X Khe vùng của Si, sử dụng các tham số từ tài liệu [6], có kết quả tính toán là EgSi = 1.08 eV, phù hợp với dữ liệu thực nghiệm Ge cũng là một bán dẫn 13 Hình 9: Vùng Brillouin đầu tiên... kể đến trong những 12 mô phỏng này Các hằng số mạng đã được chỉ định cụ thể cho Si và Ge là 5.43˚ Avà 5.65˚ A Cấu trúc vùng thu được theo trình tự sau Bắt đầu quá trình mô phỏng, các véc-tơ mạng đảo G phải được tạo ra bằng cách sử dụng Hình 8: Thuật toán thực hiện phương pháp giả thế thực nghiệm thông tin đã cho ở hình 3 Các véc-tơ mạng đảo được cho trong hình 3 dẫn đến 89 véc-tơ Những véc-tơ này được... nhẹ suy biến kép và một vùng tách kéo mức năng lượng thấp xuống vài phần mười meV (phụ thuộc vào việc đang xét vật liệu nào) Tóm lại, phương pháp giả thế cục bộ đã mô tả trong mục này là khá tốt cho sự mô tả chính xác của các vùng cấm quang học Tuy nhiên, như đã lưu ý bởi Chelikowsky và Cohen [13], khi những tính toán cục bộ này được mở rộng để thu được mật độ trạng thái điện tử vùng hóa trị thì kết quả... của các bán dẫn có cấu trúc Kim cương (C, Si, Ge) và Zinc-blende (GaAs, InAs, CdTe, ) Có 08 mặt lục giác (vuông góc với [111]) và 06 mặt hình vuông (vuông với [100]) Các cạnh của các hình lục giác và hình vuông là bằng nhau vùng cấm gián tiếp Vùng cấm của nó được xác định từ đỉnh của vùng hóa trị tại điểm Γ đến các cực tiểu vùng dẫn tại L Khe vùng của ge được tính là EgGe = 0.73 eV Vùng cấm trực tiếp,... véc-tơ G được tạo ra, người ta đã sẵn sàng với tính toán cấu trúc vùng Trong quá trình này, được minh họa ở hình 5, đầu tiên người ta định nghĩa một véc-tơ k dựa trên thông tin dọc theo hướng đối xứng cao mà chúng ta muốn vẽ cấu trúc vùng Các điểm đối xứng cao và các đường đối xứng cao tương ứng được cho trong hình 6 Sau đó, các yếu tố ma trận Hij được tính với i = 1,2, 89 và j = 1,2, 89 theo... Chú ý rằng đối số của số hạng giả thế VS trong phương trình (21) là véc-tơ hiệu giữa các véc-tơ mạng đảo sẽ cũng hình thành tập hợp của các số nguyên đã được mô tả ở trên Điều này có nghĩa là VS chỉ cần được tính tại một số điểm rời rạc tương ứng với các nút mạng gần nhất Mặt khác, giả thế là một đại lượng liên tục Vì vậy, biến đổi Fourier của nó VS (q) cũng là một đại lượng liên tục mà được biểu diễn... đại vùng hóa trị tại điểm Γ đến các cực tiểu vùng dẫn tại điểm Γ, có kết quả là 3.27 eV và 0.82 eV tương ứng đối với Si và Ge Chú ý rằng sự uốn cong của đỉnh vùng hóa trị của Ge là lớn hơn so với Si Điều này phù hợp với thực tế rằng khối lượng lỗ trống hiệu dụng của Si là lớn hơn so với Ge Chú ý rằng khi tính đến tương tác Spin-quỹ đạo sẽ dẫn đến suy biến bội ba của các vùng tại điểm Γ, dẫn đến các vùng. .. bảng 4 Đối với q 2 = 4 các hệ số cosin trong phương trình (21) sẽ luôn luôn triệt tiêu Hơn nữa, đối với các giá trị của q 2 lớn hơn 11, V (q) nhanh chóng tiệm cận về không Điều này có lí do từ thực tế rằng giả thế là một hàm biến 11 Hình 6: Biến đổi Fourier của giả thế V (q) với q = |G − G | thiên chậm, và chỉ vài sóng phẳng là cần thiết để trình bày giả thế thôi Nếu một hàm là biến thiên nhanh trong... tham số cần sử dụng lên nhưng dẫn đến sự hội tụ tốt hơn và kết quả cấu trúc vùng chính xác hơn [14],[15] Tài liệu [1] P Y Yu and M Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer-Verlag, Berlin, 1999 [2] C Herring, Phys Rev., 57 (1940) 1169 [3] D J Chadi and M L Cohen, Phys Stat Sol (b), 68 (1975) 405 14 Hình 10: Cấu trúc vùng năng lượng của Si [4] J Luttinger and W Kohn, Phys Rev., 97 (1955) 869