BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU HÀ sư TỒN TAI VECTOR RIÊNG ■■ CỦA TOÁN TỬ Uo- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN cưc TRI Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Phụ Hy HÀ NỘI - 2015 Luận văn hoàn thành trường ĐHSP Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Phụ Hy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Nguyễn Phụ Hy người thầy hướng dẫn suốt trình thực luận văn Tôi xin cảm ơn GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường ĐHSP Hà Nội 2, thầy cô thư viện nhà trường, bạn học viên cao học Toán giải tích KI giúp đỡ trình học tập thực luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Phụ Hy Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà MỤC LỤC 1.1 Sự tồn vectơ riêng toán tử Uo không gian Banach với nón cực trị 1.1.1 Đạo hàm tiệm cận toán tử 1.1.2 Uo - đạo hàm Fréchet toán tử 1.2 VÍ dụ KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO - lõm quy tác dụng 46 47 50 54 59 60 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động ngành toán học lý thuyết có nhiều ứng dụng Lý thuyết điểm bất động nghiên cứu theo nhiều hướng khác gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng như: Lipschitz, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec, Các nhà toán học xét toán tử khác nhau: Toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử có đạo hàm Fréchet hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm Nhà toán học Nga tiếng Kraxnoxelxki nghiên cứu nghiệm riêng phương trình toán tử (1962), toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định (1956) GS TS Bakhtin nghiên cứu phương trình không tuyến tính với toán tử lõm lõm (1959), nghiệm dương phương trình không tuyến tính với toán tử lõm (1984), sau mở rộng cho toán tử (K, Uo) - lõm tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định giao khác rỗng (1984) Các lóp toán tử giáo sư Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu công bố kết lóp toán tử lõm tác dụng không gian Banach với nón cố định, toán tử có chung tính chất u0 - đo Năm 1987, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy nghiên cứu vectơ riêng toán tử lõm quy vectơ riêng dương toán tử (K, u0) -lõm quy (2013) Tác giả mở rộng phát triển kết toán tử lõm cho lóp toán tử lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cố định không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo Đe chứng minh tồn vector riêng toán tử, công trình nhà toán học kể bổ sung điều kiện phù hợp cho toán tử Với mong muốn tìm hiểu sâu hon lóp toán tử này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình Thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy chọn nghiên cứu đề tài: “Sự tồn vector riêng toán tử u0- lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, mở rộng số định lí tồn vectơ riêng toán tử Uo - lõm quy theo hướng bổ sung điều kiện cho nón Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu không gian Banach thực nửa thứ tự Tìm hiểu tồn vectơ riêng toán tử toán tử u0- lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị Toán tử Uo- lõm quy tác dụng không gian Rn Sự mở rộng định lí tồn vectơ riêng Đối tuợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết toán tử u lõm quy Sự tồn vectơ riêng toán tử u0- lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước có liên quan đến vectơ riêng toán tử Uo- lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị Phuơng pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu báo vectơ riêng toán tử u0- lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Những đóng góp luận văn Luận văn trình bày tổng quát về: Không gian Banach thực nửa thứ tự Một số tính chất toán tử Uo- lõm Uo- lõm quy Toán tử u0- lõm quy tác dụng không gian Rn Sự mở rộng định lý tồn vectơ riêng Các kết thu mở rộng cho số lóp toán tử khác Hy vọng luận văn sử dụng làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach thực nửa thứ tự 1.1.1 Định nghĩa nón quan hệ thứ tự không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach thực E K tập khác rỗng E Tập K gọi nón, K thỏa mãn điều kiện sau: Ni, K tập đóng không gian E ; N2, Nếu xG K y G K, ta có X + y G K ; N3, Nếu X G K t số thực không âm, ta có tx G K ; N4, Nếu X G K X ^ ta có -X K ( ỡ kỉ hiệu phần tử không không gian E) Đinh lí 1.1.2 í Nếu K nón không gian định chuẩn thực G K K tập lồi Thật *) V X G K, V t G R, t > ta có tx G K với t = ta có = o.x G K *) V X, y G K, V t G [ 0; 1] ta có tx G K, (1- t)y G K suy tx + (1 -1 )y G K Vậy K tập lồi J Định lí 1.1.3 Giao số hữu hạn tùy ý nón chứa hai phần tử nón Gọi Ki, K2, , Kn nón ( n G N*, n > ) không gian E K = n chứa hai phần tử j=1 ' Ta chứng minh K nón *) Do tập Ki, K2 , ,Kn tập đóng, nên tập K đóng không gian E *) V X, y G K X, y G Kj, (j = l,n) => X + y G Kj, (j = l,n) => X + y G K *) V X G K, t > X G Kj, (j = l,n) nên tx G Kj, (j = l,n) => tx G K *) V X G K, X ^ X G Kj, (j = l,n) nên - X Ể Kj, (j = l,n) => - XỂ K Vậy K nón J Đỉnh U 1.1.4 m Giả sử F tập khác rỗng không gian E Nếu F tập lồi, đóng, bị chặn không gian E không chứa phần tử không, tập K(F) = { Z G E : Z = tx, X G F, t G R+ } nón Chứng minh Ta thấy F c K(F) mà F Ỷ nên K(F) Ỷ 0- Với X G F ta chứng minh tồn số thực dương m, M cho m < ||x|| < M Thật vậy, tập F bị chặn nên tồn M > : ||x|| < M, Vx e F Đặt m = inf||x|| Giả sử m = tồn dãy {xn } c0 CI F cho limllx J =0 hay lim x n = n1 n-> 00 n->00 không gian E Do F tập đóng nên G F, trái với giả thiết F không chứa phần tử không Vậy m > ||x|| >inf ||x|| = m > 0,Vx e F XE F +) K(F) tập đóng Lấy dãy ịzn}“ c= K(F) cho lim z n = z ừong không gian E J n_1 n->°0 Nếu z = z = o.x, xGF=>z = 0G K(F) < e = — z * 111 Nêuz^0thìvới E = —z>0,3n0eN :Vn>n0tacó ịz n - z 1N II II Khi z„ — z < zn-z < — z => — z < zj < — z , Vn > nn 111 11 n 11 11 11 11 Vậy 21MI < IMnll = t„ KI < ^|z| => |x„| > 0, Vn e N , II II f II II —7- - -77 z t 00 «ti x Ị pt2 az+pz'=(at1+pt2) at + i pt2 atj+pt2 Vậy AK cz K Với X, y G K: X < y ta CÓ < Xi < y¿ với i =1, , n Đặt Ax =(zi)"=1 Ay = (v,)”=1 Neu Xi = yi = Zi = Vi = khi=Xo ị< V, = ựỹ" +1 Neu Xi = O, yi > Zi —— O y¡ =0 Neu O < Xi < y i thi Zị = ^/x" +1 < ựỹ~ +1 = Vj y ị ± Vậy Ax < Ay *) (Vx G K\{0}) (V t G (0; 1) ) Ta có Atx = w=(wỉX1, tx¿ =0 xị = Vì X G K\{0}=> Xi > 0, Xi > với i G {1, 2, n } Nếu Xi =tx¿0 ^0 x Ci = Wi = ¿: ï O Nếu Xi > Cị - t(yfx~ +1), Wị = yỊtXị +1 khi x¿ = tAx = tz = Wị -Cị = Jtx~ + l-(í^x~ + t) = Jtx~(l-'Jt) + (l-t) >0 t G (0; 1) x¿ ± Vậy w > tz nghĩa Atx > tAx *) (Vx G K\{0} ) (V t G (0; 1) ) Ta chọn TỊ = - ^ = - l > = > l + 7 = - ^ = = > ( l + 77)í = \ft* Vì X G K\{0}=> Xi > 0, Xi > với i G {1, 2, n } Ta CÓ Atx = w = ( Wị )n=1 Wị = lỊtx^ị +1 Xi > 0, Wi = Xi = (l+r|)tAx = %[t* Z = (fy.)"=1 hị = + ) Xi > 0, hi = Xi = Nếu Xi = hi = Wi = Nếu Xi > Wị — hị =^ + 1-A/?(VÍ + 1) = -V/*M1-^/0 + (1-JN/?)>0 dotG (0; 1) => hi < Wi => ĩíĩz < w=> Atx > (l+r|)tAx Vậy A toán tử u0 - lõm quy Sự tồn vectơ riêng toán tử Uo - lõm quy tác dụng không gian Banach vối nón cực trị Giả sử E không gian Banach thực nửa thứ tự theo nón Kcz E, Uo G K\{0}, A: E —> E toán tử Uo- lõm quy 2.3.1 Đao hàm tiêm cân toán tử • • • Định nghĩa 2.3.1 Toán tử tuyến tính bị chặn Q: E —> E gọi đạo hàm tiệm cận toán tử A theo nón K, llwooll Ax = Qx + W(x) , với xG K; lim 1 , " = jceJC,||jc||—»+CO X Định lí 2.3.2 Nếu Q đạo hàm tiệm cận toán tử A theo nón K Qx < Ax với X G K Chứng minh (V X G K\{0} ) ta có : ||Atx-Qtx|| ||w(tx)|| lim - -——- = lim " Í^+Q0 t X Í^+Q0 tx " = Nên với t > 1, 3ci= Ci(x,t) > Ax = A(-tx)>(l+C1)-Atx > -Atx = -[Q(tx)+W(tx)] = Qx + ^^ l =>Ax > Qx +, W>1 t Cho t —> +CO, ta : Qx < Ax Hiển nhiên, Q0 = < A0 i t t t Vậy Qx < Ax với xG K _ Đinh lí 2.3.3 í Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: A toán tử Uo- lõm quy nón K, (3 vG K(u0))(Vx GK) Ax < v; Đạo hàm tiệm cận Q theo nón K toán tử A có K(uo) vectơ riêng XQ tương ứng với giá tri riêng 1Q > 0; K nón cực trị Khi đó, toán tử A có vectơ riêng K(u0) Chứng minh *) Giả sử to G (0; 1) Kí hiệu XQ^OIQAXQ Theo giả thiết, XQ G K(UO), A toán tử Uo - lõm quy, nên Bc1 ^(IQAXQTQ) > cho Ax0 =A (t0l¿ AXQ ) > (1 + )t0 A(1Q AXQ ) ^ (1 + Cj )ÍQA(1QQXQ ) = (1 + CJ )ÍQAXQ => x0=t01QAxQ ^ /g^l+C^^AXo Đặt Ax = ỈQl( + cr)A ta có : • • Ai toán tử u0 lõm quy (3x0 G K(u0)) Xo < AiXo Ôi — /g' (1+C, ) ' Q đạo hàm tiệm cận toán tử Ai theo nón K với bán kính phổ TỊ (öl ) = IQ (1 + C1 ) r(Q) = (1 + C1 ) k, L n V nk/,k=i nk Có thể coi lôill ^2 *(1 + r(Q)) Chọn k đủ lớn cho lim X = 00 nên lim -1 = A Nhưng nn , k—>00 l'Ql k—>00 X n -l n , nX k k k oc điềuSnày u y vô lí Nên dãy điểm ( x n ) b ị chặn theo chuẩn A X ncủa k -l'Ql Từ từ nón K nên tồn cận X* =sup(xn)“=1 e X \ { ) A Xtính n k chất cực xtrị n k -l < «*-l cận *) Nhờ tính chất Ổ x x0 < xn < X* < u, xn < Xn+1 = AiXn < AiX* ( n = 1, 2, , ) Xét ánh xạ f : R —> E t i-> f(t) = xn - tx* với n số nguyên dương, f liên tục nhờ tính liên tục phép toán đại số không gian E Từ từ tính đóng nón K không gian E ta có f !(K) tập đóng không gian R Kí hiệu tn = sup f !(K), < aß'1 < tn < 1, tn > => xn — tnx* > => xn > tnx* > X*, mẫu thuẫn với (2.2) Hiển nhiên, tn G f !(K) Hơn nữa, Xn+1 - tnx* > xn - tnx* > => tn+l > tn Ta nhận dãy số dương, không giảm bị chặn 1, nên tồn lim ||íwII = íe [a/r1; 1] n —>00 Giả sử t < 1, 3c = c(x*, t) > cho Aitx* > (1 + c)tAiX* > (1 + c)tx* => x«+2 = A hn * ÁX x * = A2(y-tx+) ^ jAte > — (1 + c)Al tx* > (1 + c)t n X* ( n = l , , ) t => tn+2 > (1 + c )tn ( n = 1, 2, ) Đặc biệt, t2k+i > (1 + c )t2k-i ( n = 1, , ) Suy ra, t2k+i > (1 + c )t2k_i > > (l+c)kti >0 ( k = 1, , ), t = lim t n = hm t k +1 = 00, mâu thuẫn với điều giả sử t < Nên t = ra—>00 ¿—>00 tnAiX* < A i t n x * < A i X n = x n + i < X * ( n = l , , ) Cho n —> co ta AiX* < X*, (2.3) Từ (2.1) (2.3) ta có AiX* = X* => Ax* = 1Q(1+CI)X* Nghĩa toán tử A có vector riêng K(u0) .2 u0 - đạo hàm Fréchet toán tử Định nghĩa 2.3.4 Toán tử tuyến tính P: E —> E gọi Uo - đạo hàm Fréchet toán tử ||Ax-A0-Px|| A tai không ( kí hiêu ) theo nón K, lim -— — = xeir,|x|-»0 X Đinh lí 2.3.5 í Nếu p Uo - đạo hàm Fréchet toán tử A theo nón K, thì: Ax < Px với X G K; ( Vx, y G K: X < y ) Px < Py Chứng minh a, Giả sử X e ẴA{0} theo định nghĩa Uo - đạo hàm Fréchet ||Píx-Aíx|| ||Píx-Aíx|| lim r ^ L = h m - „ M° = í->0+ t X '->°+ Ịtxị Do ||Píx-Atx|| Ptx-Atx = lim -^=0 li í->0*m t ’ nghĩa là, (V£->0)(3í0e(0;l)) cho Víe(0;í0] ta có: Từ suy Ptx-Atx < hay theo định nghĩa u0 - chuẩn ta có: - Ptx - Atx t -£u0 + A x , V í e(0;i0 ] í Í Nhờ tính chất nhỏ tùy ý số £ > ta Ax < Px, V X e K \ {9} Với X = A0 = < P0 = Vậy Ax < Px với X G K b, Giả sử X, y G K, X < y t > tùy ý, ta có „ „ Pty-Aty Ptx-Atx Aty-Atx ^ Py—Px=—-—— -—+—-—-— >- 2£Un ( (2.4)) t t t Từ hệ thức từ tính chất tùy ý số E > 0, ta Px < Py, Vx, y G K, X < y J Đinh lí 2.3.6 í Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: A toán tử Uo- lõm quy bị chặn phần tử V G K(u0) nón K, A0 = 0; Uo - đạo hàm Fréchet p toán tử A theo nón K có vectơ riêng Xp e K(uo) tương ứng với giá trị riêng lp > K nón cực trị chuẩn tắc Khi đó, toán tử A có vectơ riêng không gian K(u0) Chứng minh *) Giả sử a, b hai số dương cho au0 < Xp < bu0 Theo giả thiết Suy ra, với số E — (lp — )a > 0, 3t0 G (0; 1), vt G (0; to ] Atx n -Ptxn Ẩtx -Ptxn li : t m li li m Atxn-Ptxn Ẩtx„ -Ptx, = lim ^=0 Atx „ - Ptx < — < Atx „ - Ptx < E _ At00xxpp-Pt0xp At0x p„-Pt < + «> - g : R —> E t h-> g(t) = xn - tx*, n số nguyên dương « g liên tục nhờ tính liên tục phép toán đại số không gian E Nón K tập đóng không gian E, nên g_1(K) tập đóng không gian R Đặt tn = sup g_1(K), ta thấy yẰT1 G g_1(K), t G g_1(K) => t < 1, t > xn - tx* > => xn > tx* > X*, mâu thuẫn với (2.6) Do tn G g_1(K) tn e [y^'1 ; 1] với n= , , — *) Xét dãy số dương (í„)°°=1 Dễ dàng thấy Xn+1 - tnx* > xn - tnx* > => tn+1 > tn ( n = 1, 2, -) Dãy số dương (íM)°° không giảm, bị chặn 1, nên tồn lún t„ = t e(0; n v 1] —> 00 n ’J Giả sử t < Khi đó, 3C2 = c2(x*, t) > cho Aitx* > (1 + c2)tAiX* > (1 + c2)tx* => Xn+2 = Aỉxn * Aỉtnx = Aỉ(~tx*) * — A\tx > —(1 + c2)tx* = (l + c2)í„x* (n= 1,2, ) => tn+2 > (1 + c2 )t ( n = 1, 2, ) Suy ra, n Í2k+1 > (1 + c2 )t2k-l > > (l+c2)kti >0 ( k = 1, 2, ) Do đó, t = lim tn = lim t2k+1 = +00, mâu thuẫn với điều giả sử t < Nên t = 71—»+00 k—>+00 *) Mặt khác tnAiX* < Aitn X* < A i X n = x n + i < X * ( n = l , , Cho n —» +CO ta AlX* < X* ) (2 Từ (2.5) (2.7) ta có AlX* = X* => Ax* = lx* Nghĩa toán tử Uo - lõm quy A có vector riêng K(u0) J 2.4 Ví du « Ta đưa ví dụ tính đủ tồn vector riêng toán tử Uo - lõm quy Ví dụ 1: Toán tử thỏa mãn đầy đủ điều kiện định lí 2.3.3 Xét nón K = { X = ( Xi, x , , x n ) E R n : Xi > 0, i = 1, 2, , n } G i ả s U o = ( U i , u , ,un) E K\{0}, Ui > 0, Vi = 1, 2, , n Theo mục 1.5.1 trang 24 K nón cực trị K(u0) = { X = ( Xi, x , , xn) E Rn: Xi > } Toán tử A : Rn —> Rn Ax = z=(z,)”_1 Í0 với Zị = ị [1 Xj =0 X, > Theo mục 2.2 ta có A toán tử Uo - lõm quy Khi đó, chọn V = (v, )"=1E K(u0) cho Vi = 1, V i = 1, 2, , n Zi < Vi =1, V i = 1, 2, , n => Z < V Vậy Vx = (Xị)”^ E K ta có Ax < V Nghĩa là, A toán tử Uo - lõm quy nón K, tồn vE K(uo) cho với xE K Ax < V • Xét toán tử Q : Rn —» Rn XB Qx = Ta có Q toán tử tuyến tính bị chặn Khi Ax = Qx + W(x) = W(x) , với X E K n Z(z¡ |W(x)|| |Ax V ) < Zi < 1, V i = 1, 2, , n llxll l l x l l X O < lim xeArJ|x|-»+co | W(x l i m f ^ = =0 =O> =l i>m xeAr,|x|-»+oo X xeAr,| | W(x Suy ranên toán tử Q đạo hàm tiệm cận toán tử A theo nón K Như vậy, điều kiện định lí 2.3.3 thỏa mãn Vậy toán tử A có vector riêng K(u0) • Ta chứng minh trực tiếp«toán tử A có vector riêng K(u0) sau Ta ứng với số với số Ằ > tồn giá trị X G K(u0) để Ax = Ằx Giả sử X = (Xị)"^ G K(uo) Xi > o, V i = 1, 2, , n nên Ax = z = (z¿)"=1 với Zi = 1, V i = 1, 2, , n ; Ảx = (Ắxi)”=1 Vậy Ax = Ằx 1 = ĂXị,Vi = l,2, ,n Xị = —> , V ỉ =l,2, ,n À Do ứng với số với so X > tồn vector riêng x = ( x X i G K(uo) với x¿ = Y > 0, Vỉ' = 1,2 À Ví dụ 2: Toán tử không thỏa mãn đầy đủ điều kiện định lí 2.3.3 tổn vector riêng thuộc K(uo) Xét nón K = { X = ( Xi, x , , x n ) E R n : Xi > 0, i = 1, 2, , n } G i ả s u = ( U i , u , ,un) E K\{0}, Ui > 0, Vi = 1, 2, , n Theo mục 1.5.1 trang 24 K nón cực trị K(u0) = { X = ( Xi, x , , xn) E Rn: Xi > } Xét toán tử u0 - lõm quy ví dụ mục 2.2 Toán tử Uo - lõm quy A: Rn —» Rn với Zị = < x x: = 0x = ( X i ^ Ax = z = (z,)”=l • Xét toán tử Q : Rn —> Rn X I—^ Qx = Ta có Q toán tử tuyến tính bị chặn Khi Ax = Qx + W(x) = W(x) , với« X G K ( +lỹ 0< X Ị|AxỊ Ễ^Ầ ^ X X Theo bất đẳng thức Bunyakovsky ta có: = > < hm X < xeiCjx|-»+°o ta M.0 xeJf,|x|—>+œ X nên toán tử Q đạo hàm tiệm cận toán tử A theo nón K Ta chứng minh toán tử Uo - lõm quy A nón K không bị chặn vE K(u0) Thật vậy, giả sử toán tử bị chặn phần tử V = (v,.)" E K(u0) Vi > 0, Vi = 1, 2, , n Ax < V, Vx E K với Xi > Ta chọn U = («¿)"=1 G K với Ui = V2, vi = 1, , n , Au = (w,.)n=1, với +1 > v¿ , Vi = 1, 2, n nên Au > V, mâu thuẫn với điều giả sử Như vậy, định lí 2.3.3 thiếu điều kiện toán tử Uo - lõm quy A trên0 nón K bị chặn vG K(uo) toán«tử A có vector riêng K(uo) Thật Ta ứng với số với số Ằ > tồn giá trị X G K(uo) để Ax = Ằx Giả sử X = ( X i ) " ^ G K(uo) Xi > o, V i = 1, 2, , n nên Ax = z = (z¿)"=1 v i z i = > / x ~ + l , Vi = , , , n ; Ax=(XXi)”=1 Vậy Ax = Ằx yfx^ +1 = Ă X ị /tx¿ _ I— l + sJl + 4Ẳ _ v 2Ằ -1 = 0,Vỉ' = 1,2, ,« _1 + 2A + VĨ+4à n w _ 2/12 Như ứng với giá trị riêng X > tồn vector riêng — í Y1 \ 'm + 2Ầ + Vl + 4/1 n x = (xi )M K(UO) với X, = > G Nghĩa là, điều kiện toán tử Uo - lõm quy A bị chặn phần tử vE K(u0) điều kiện đủ để toán tử u0 - lõm quy A có vector riêng K(u0) KẾT LUẬN • Luận văn : “Sự tồn vector riêng toán tử Uo- lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị” trình bày số định lí tồn vector riêng toán tử Uo - lõm quy theo hướng bổ sung điều kiện cho nón Luận văn chia làm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày hệ thống kiến thức không gian Banach nửa thứ tự, định nghĩa nón, nón chuẩn tắc, nón cực trị, không gian Eu tập K(u0) Sau trình bày hai ví dụ nón không gian Rn, c[a.b] Chương 2: Sự tồn vector riêng toán tử Uo - lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị Trình bày toán tử Uo - lõm quy, trình bày chứng minh định lí tồn vector riêng, số ví dụ áp dụng định lí toán tử Uo - lõm quy không gian Rn Do thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu xót, mong đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! < £ • = > - £U0 < -tn Do đó, At0xp = At0xp-Pt0xp *0 tữ = -(/ -/)aun + / X > - ( / „ - / ) x „ + / n x „ = / x „ v V p / O pp p'ppp p Đặt Xo = toXp , Ai = 1_1A ta thấy Xo £ K(uo), Ai toán tử Uo - lõm quy x0 = t0Xp < l^AtoXp = AiX0 *) Xét dãy điểm xn = AiXn_i ( n = 1, 2, , ) Xo < AiXo = Xi < AiXi = x2 < < xn = AiXn_i < < rV, Xo £ K(u0), u = l_1v £ K(u0), nên dãy điểm (xn)co_1 c K(u0), không giảm bị chặn phần tử rV £ K(uo) Hơn nữa, dãy (x„)00_1 bị chặn theo chuẩn nên (3N > 0)(Vn£N* *) ||xn||< A||/-1v||=M-1||v|| Nhờ tính cực trị nón K, tồn cận sup(xn)^=j =x*eX\{ớ) Từ tính chất cận tính chất toán tử Ai, ta đuợc x0 < xn < X* < u, xn < Xn+1 = AiXn < AiX* => X* < A i X * (2.5) Gọi Ằ,, y số duơng cho yu0[...]... 1.3.2 í Với mỗi X GEU tồn tại các số không âm nhỏ nhất a = a(x),1 p = P(x) sao cho - Uo < X < Pu0 Chứng minh Giả sử X G Eu khi đó tồn tại các số không âm ti, t2 sao cho -qMg E t I-» f(t) = tu0 - X Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần tử trong không. .. tUo - X G K } Hiển nhiên, t2 £ A hay A ^ 0 Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : tUo - X £ K } = |3(x) Gf_1 (K) nghĩa là X < P(x )uo Vậy tồn tại số không âm p(x) nhỏ nhất sao cho X < (3(x )uo • Ta chỉ ra tồn tại số thực a(x) > Onhỏ nhất sao cho -a(x )uo < X Xét ánh xạ f : R —> E t I-» f(t) = x+ tu0 Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần tử trong không. .. nghĩa 1.4.4 Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón Kcz E Nón K được gọi là cực trị, nếu đối mỗi dãy ( *„x=1 CI K không giảm, bị chặn trên bởi U G K, bị chặn theo chuẩn và đối với mỗi dãy ( y n )n=ĩ c K không tăng, bị chặn dưới bởi V G K, bị chặn theo chuẩn đều tồn tại suP(*Xie*> inf(y„Cie^- 1 Các không gian nửa sắp thứ tự Rn, C[a.b] Không gian Rn, n e N* Không gian Rn = { X = (Xi,... Giả sử Uo E K\{0} Kí hiệu K(u0) là tập tất cả phần tử của không gian E thông ước với phần tử Uo Đinh lí 1.2.3 í K(u0) là một tập lồi và K(u0)cz K\{0} Chứng minh 1 *) K(u0) là tập lồi Thật vậy : Vx, y £ K (uo) thì tồn tại các số thực dương a, ß, ƠI, ßi sao cho au0 < X < ßu0 , ơiUo < y < ßiUo Với t = 0 ta có tx + (1 - t)y = o.x + y = y £ K (uo) Với t = 1 ta có tx + (1 - t)y = l.x + o.y = X £ K(u0) Với t... |y| Vậy công thức (1.4) là một chuẩn trên không gian Rn Chuẩn (1.4) còn gọi là chuẩn Eukleides, không gian Rn cùng với chuẩn (1.4) còn gọi là không gian Eukleides Sự hội tụ trong không gian Rn tương ứng với sự hội tụ theo tọa độ 2 Thât vây, giả sử dãy điểm V )k=1 với x i k ) =(rf),4i)í ,^))eR" hôi tu tới điểm X = (xi, x2 ,xn ) G Rn khi k —> co trong không gian Rn Ta có Ve > 0, 3k0 E N* : vk > ko,... tụ tới X trong Rn Vì vậy, sự hội tụ trong không gian Eukleides Rn tương ứng với sư hội tụ theo tọa độ 2 Không gian Rn là không gian Banach với chuẩn (1.4) Thâtvây, giả sử dãy (V*1) c Rn với làmôt Ve > 0, 3n0 G N* : vk, p > n0, < (1 Suy n,Q,i =1,2 dãy cơ bản tùy ý trong Rn Khi đó, ta có Bất đẳng thức (1.6) chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, , n dãy y° là một dãy số thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn... ||M là một chuẩn trên không gian E u J Chuẩn I ||M được gọi là Uo - chuẩn 1.4 1.4.1 Nón chuẩn tắc và nón cực trị Nón chuẩn tắc và tính chất Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón KczE, Uo e K\{0} Định nghĩa 1.4.1 Nón K được gọi là nón chuẩn tắc, nếu: (3Ổ >0)(Ve1,e2 eẴ':||e1|| =\\e2\\ = 1) thì ll^+^ll^^Đình lí 1.4.2 í Các mệnh đề sau đây tương đương 1, K là nón chuẩn tắc ; 2, (3M>0)(Vy... thì -auo £ K mâu thuẫn điều kiện K là nón, vậy X 0 Tacó x=au0 +(x-au0) e K Suy ra Vx E K(u0) => X E K\{0} Vậy K(u0) c K\{0} J 1.3 Phần tử Uo - đo được Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K(Z E, Uo E K\{0} Định nghĩa 1.3.1 Phần tử xeE gọi là Uo - đo được, nếu tồn tại các số không âm ti, t2 sao cho — tjUg < X < t2 u0 Kí hiệu Eu là tập tất cả các phần tử xe E có tính chất Uo -... dãy không tăng, nêu Xi > x2 > xn > V 'n=\ Các dãy điểm không giảm, dãy điểm không tăng gọi là dãy đơn điệu Định nghĩa 1,1,8 Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, M là một tập con trong không gian E Tập M gọi là bị chặn trên bởi phần tử U G E, nếu (Vxe M) X < u Tập M gọi là bị chặn dưới bởi phần tử V G E, nếu (Vx GM) V 00 Với n đủ lớn tn < 0, nên -u0 +-^x= ^(tnu0 -x)GK Ln Ln 1 Cho qua giới hạn trong biêu thức -u0+ —X khi n —> co ta được -u 0 G K, mâu thuẫn với tính chất của nón K Do đó