IT NG VÀ PH NG PHÁP TRONG TOÁN H CC I N M CL C M CH U NG I M T S KHÁI NI M VÀ PH 1.1 S kh i sinh c a t t 1.2 T t NG PHÁP C B N ng ti n Toán h c ng ch ng minh 1.3 Các tiên đ vƠ đ nh ngh a 10 1.4 Hình h c, t Euclid đ n Hilbert 13 1.5 S vƠ đ i l CH ng 18 NG II M T S 2.1 T t T T NG TRONG IS VÀ GI I TÍCH 25 ng v x p x 25 2.2 Nh ng ti n b đ i s 29 2.3 Ph ng pháp t a đ 32 2.4 Quan m v gi i h n vƠ phép tính vô bé 38 K T LU N 49 DANH M C CÁC TÀI LI U THAM KH O 50 M U David Hilbert, m t nh ng nhà toán h c v đ i nh t m i th i đ i, có nói đ i ý r ng, Toán h c c ng gi ng nh nh c c n: v a đ n gi n v a đ p C ng nh âm nh c, v đ p c a toán h c c n v i th i gian Ngày nay, đ c l i nh ng trang “C s ” c a Euclid, ta v n ng c nhiên thán ph c tr c s ch t ch c a l p lu n, s sáng c a t m t công trình đ c vi t hai ngàn n m Tìm hi u v đ i t ng ph v i c i ngu n c a nh ng ý t nhà tr ng Hi u đ ng pháp c a toán h c c n s tr v ng, nh ng ph ng pháp toán h c mà ta đ c c i ngu n c a nó, ta s hi u rõ h n, sâu h n, s có th xa h n S hi u bi t c ng s giúp ích r t nhi u cho nh ng ng công tác gi ng d y toán h c nhà tr i làm ng Vì nh ng l đó, ch n đ tài cho lu n v n “ ph ch c it ng ng pháp toán h c c n” T t nhiên, không th đ c p đ n toàn b v n đ r ng l n nh tên g i c a lu n v n Chúng ch t p trung trình bày - S xu t hi n c a ý t - Ph ng pháp tiên đ - Ph ng pháp t a đ - Ýt ng v x p x - il m t s v n đ sau: ng v “ch ng minh” ng vô bé N i dung c a lu n v n đ c vi t d a vào tài li u li t kê ph n Tài li u tham kh o, đ c bi t cu n sách ”Mathematics – the music of reason” c a J Dieudonné Thang Long University Libraty CH NG I M T S KHÁI NI M VÀ PH NG PHÁP C B N Vào th i v n minh c đ i, nh m đáp ng nhu c u cu c s ng hàng ngày xây d ng quy trình tính toán s h c phép đo l gian, t th k th tr c Công nguyên, ng i Hy L p, b ng cách phân tích chu i suy lu n n sau nh ng qui trình đó, t o m t ph hoàn toàn m i Trong ch ng không ng th c t ng này, s c g ng làm rõ nh ng khía c nh thi t y u toán h c Hy L p s phát tri n đ n m c không ng , đ c bi t hi u qu , mà mang l i cho nhà toán h c vào gi a th i k ph c h ng cho đ n cu i th k th 18 Chúng ta s ch t p trung vào n n t ng đ c tr ng c a Toán h c Hy L p 1) Ý t ng v ch ng minh: b ng m t chu i suy lu n lô gic xu t phát t nh ng m nh đ , đ nh đ , tiên đ ch a đ m nh r ng ý t c ch ng minh C n ph i nh n ng ch có th tr thành hi n th c nh vào k n ng suy lu n logic b i nh ng ng i đ c nuôi d ng t nh ng tr ng phái Tri t h c Hy L p M t ví d n i b t nguyên t c “ch ng minh ph n ch ng”, m t ph ng pháp đ c nhà logic h c làm sâu s c thêm tr thành m t nh ng tr c t c a l p lu n toán h c 2) Nh ng đ i t tên g i th ng mà nhà toán h c quan tâm đ u mang nh ng ng đ c s d ng tính toán th c t nh : s , hình h c đ l n Tuy nhiên, t th i c a Plato, nhà toán h c l u ý r ng d i nh ng tên g i đó, h l p lu n v nh ng th c th hoàn toàn khác, nh ng th c th phi v t ch t, nh n đ đ it c “b ng cách tr u t ng” t ng c m nh n b i giác quan c a chúng ta, nh ng chúng ch hình nh c a nh ng đ i t ng Nh s ch m c 1.3, ph n nói v l đ n m c c a nh ng tính ch t đ c đ hình h c, s khác c gán b i tiên đ cho đ i t ng “trìu t ng” c a hình h c v i nh ng “hình nh” c a chúng, nh ng khó kh n phát sinh vi c tìm ki m m t t phù h p đ đ nh ngh a nh ng đ i t ng d ng l i có th hi u rõ h n v nh ng ý t ng này, s không đ theo dõi chi ti t th ng tr m l ch s c a nh ng khái ni m Thay vào đó, s trình bày nh ng ý t ng mà Pasch Hilbert th c hi n vào cu i th k th 19 Hai nhà toán h c kh c ph c nh ng thi u sót nh ng v n gi nguyên ph ng pháp tiên đ Euclid tinh th n ban đ u c a H xóa b v nh vi n nh ng khó kh n, b ng cách nêu rõ tiên đ xác đ nh đ i t C ng t ng toán h c ng t nh v y, m c 1.4 đ c dành đ trình bày đ i t toán h c mà “hình nh” c a chúng s nh ng đ i l thông qua nh n th c b ng c m quan c a ng ng c a th c th c tính “tr u t ng” c a toàn b s hi n h u Toán h c Hy l p, s trình bày c a Euclid v quan h chia h t c a s s nguyên t v n thích h p vi c gi ng d y ngày M c dù v y, không gi ng nh hình h c, s không đ Ng c đ t d ng lý thuy t tiên đ c l i, vi c khám phá đ i l ng vô c mang l i m t cu c kh ng ho ng quan ni m c a nhà Toán h c Hy L p v phép đo đ l n Có v nh th c t nh ng ng ch p nh n r ng m t đ n v đ l ng lo i “thông v i theo tr c ch n cho m t lo i đ i l c ng, m i đ i c” v i đ n v –có th g i m t s h u t t qua nh ng khó kh n này, ng i Hy L p t o nh ng đ i t Toán h c m i, c th t s gi a đ i l đ ng phái Pytagore tr ng ng m t lo i Các t s c đ nh ngh a m t cách tiên đ cho t s gi a đ i l ng lo i v i m t đ n v ch n cho chúng l p nên m t ph n c a mà ta g i t p s th c d ng Ph n ch a s h u t m t s s vô t , nhiên ch a cho phép ch rõ đ c h t ph n t ch a Thang Long University Libraty Ch c ch n lý tri t h c, nên nhà toán h c c a tr ng Plato quan sát th y nh ng u c m k vi c v n d ng ba lo i đ l n hình h c là: chi u dài, di n tích th tích Ví d , b n không th c ng s chi u dài v i s đo di n tích, tích c a s đo hai chi u dài l i s đo m t di n tích (ho c tích c a ba chi u dài s đo m t th tích), ch không ph i s đo chi u dài M c dù hình h c có th t thích nghi v i nh ng h n ch trên, nh ng nh ng h n ch làm cho không th th c hi n phép tính đ i s nh v n th c hi n s th c Ph i đ n Descartes m i ng n vi c th c hi n nh ng phép toán nh v y, m c dù có m t s nhà toán h c đ ngh vi c t hàng th k tr đ c T th i k tr “t s ” gi a đ i l ng m t lo i c đ ng nh t v i s th c, mà không c n thi t ph i ch rõ lo i c n đ c xem xét Trong m c 2.2 2.3, s ch ra, v i vi c phát minh ký hi u thu n ti n vào th i Trung c th i k Ph c h ng, cu c c i cách t o nên không ch s phát tri n c a đ i s , mà t o phát minh v ph ng pháp to đ , m t m t cho ta m t mô hình đ i s c a hình h c Euclid, m t khác hi n th c hóa m t t t t ng v n ch a đ c ng ng chung v hàm th c c a m t bi n s th c, m t ý i Hy L p bi t đ n Cu i m c 2.1 2.4 gi i thi u v hai nh ng t t ng c b n nh t c a toán h c, x p x gi i h n, suy t Các nhà toán h c Hy L p th ng gi i quy t v n đ đ i s b ng hình h c “d ng hình”; Ví d nh Euclid đ a vi c xây d ng c n b c hai c a m t “t s ” b ng giao m c a m t đ ng tròn m t đ ng th ng, t v y Menaechmus xây d ng c n b c ba b ng giao m c a hai đ Tuy nhiên c ng nh n th y m t t t ng t nh ng conic ng khác c a Euclid v vi c xác đ nh s đo di n tích c a hình ph ng không đa giác: ông đ t hình ph ng vào gi a hai dãy hình đa giác, mà hi u di n tích c a chúng d n đ n không Ý t ng đ c Acimet s d ng l p l p l i, đ c t ng quát hóa vào th k th 17, c ng giúp cho vi c ch ng minh s t n t i c a c n b c n v i n ≥4, mà ng i Hy L p không th làm đ c b ng ph ng pháp hình h c ch ng minh c s pháp lý c a nh ng quy trình này, rõ ràng c n ph i đ a m t tiên đ , v n ch a đ ct ng minh cho đ n th k th 19, mà Cauchy làm sáng t v i tên g i “Tiên đ dãy đo n th t” Tiên đ k t h p v i nh ng tiên đ tr c c a Euclid, hoàn ch nh đ nh ngh a tiên đ c a t p h p t t c s th c Nó cung c p m t c s v ng ch c cho gi i tích, m t l nh v c đ c sáng t o vào th k th 17 tr thành m t công c m nh m nh t c a toán h c thu n túy nh ng ng d ng c a 1.1 S kh i sinh c a t t ng ti n Toán h c Trong xã h i ngày nay, nh ng ý t ng i ti p thu t r t s m T m ng v s đ i l i hai hay m ng đ c i ba tu i, nh ng khái ni m tr nên “t nhiên” đ i v i s d ng chúng m t cách t đ ng Tuy nhiên, Piaget ch b ng th c nghi m r ng, nh n th c v m t s t nhiên “b t k ” có th đ đ il ng nh th tích ho c tr ng l c n m b t t r t s m, v i m t s ng, em nh d i 12 tu i v n g p nhi u khó kh n v nh n th c so sánh hai đ l n c a đ i l ng lo i V ph n mình, nhà dân t c h c phát hi n nh ng xã h i nguyên th y mà s c a h , nh ng s v tđ nv nhiên không s d ng đ m c đ u tên g i, t t c tính toán Các v n b n tìm th y t nh ng n n v n minh Ph ng ông c x a t i Ai C p ho c Babylon r i r c đ có th cho phép theo dõi đ đ ng xây d ng s h c ho c hình h c ch t ch Chúng ch đ ch nh t thiên niên k th hai tr bàn v i s suy đoán tr u t l i, đ ng c công nguyên c c xu t hi n hoàn ng nhiên không đây, mà ch v i công th c đ c thi t k đ nh m u ch nh v n đ th c t đ c l u truy n c đ t b i m t xã h i nông nghi p phát tri n cao: v n đ v trao đ i, thuê m n, tranh ch p, phân chia tài s n Thang Long University Libraty Ng i Hy l p đ c thúc b i s ki n l c a sông Nile làm bi n d ng cánh đ ng, c n ph i nh vào nh ng ng nh ng ng i có k n ng đ c bi t, i bi t cách khôi ph c xác di n tích đ t sau l Chúng ta c ng không c n sâu vào chi ti t nh ng v n đ gi i quy t nh ng tài li u l i đ n ngày Chúng ta ch mu n nói r ng, v s h c h cho th y s hi u bi t v phép chia, c p s c ng, có th c c p s nhân, “quy t c tam xu t” Trong nh ng viên g ch c a ng gi i nh ng toán t ng đ i Babylon, th m chí ta tìm th y l i ng v i ph ng trình b c hai Ví d nh có m t viên g ch cho th y s đ hình vuông, v i dòng ch sau: “Tôi c ng chi u dài c a c nh hình vuông v i di n tích c a đ hình vuông dài bao nhiêu?” Ph c k t qu ¾, v y c nh c a ng trình mà nhà h c gi suy ngh s đ c vi t nh sau: x2  x  Và nhà h c gi c ng gi i quy t theo cách t thêm ¼ vào hai v c a ph ng t chúng ta, nh sau: ông ng trình, th y r ng bình ph ng c a x + ½ b ng 1, t ông k t lu n r ng x = ½ Trong l nh v c hình h c ph ng, hình nh hình ch nh t, hình tam giác, hình thang, góc vuông đ ng tròn, đ c bi t đ n, có th có liên h v i vi c s d ng d ng c , nh bàn xoay c a th g m, hình vuông quang h c c a ng i th n M t ý t ng t ng t đ c nh n th y nh ng viên g ch c a ng i Babylon, nói r ng n i có c u thang t l gi a chi u cao chi u r ng c a m t b c thang c ng b ng t l gi a t ng chi u cao c a c u thang phép chi u n m ngang c a (Hình 1) M t khác, ng i Hy L p cho r ng Talet có m t th thu t đ đo chi u cao kim t tháp, u mà ch c ch n đ c ng i Ai C p bi t đ n: “chúng quan sát chi u dài bóng c a kim t tháp, t l gi a chi u cao c a kim t tháp chi u dài b ng t l gi a chi u cao c a m t chi c g y chi u dài c a bóng c a nó” (Hình 2) Trong hình h c ba chi u, nh ng l ng m l i nhân ch ng cho ki n th c v không gian ba chi u đ c rút t kinh nghi m c a ki n trúc s th xây d ng S sun sun S s A p s P t p P T sp SP  Ap AP TP  sp SP (Hình 1) (Hình 2) Có nh ng khái ni m phát sinh mà ch a bao gi liên quan đ n b t k đ i t ng c th nào: vi c li t kê đ i t ho c tr đ ng, đo nh ng đ i l c, nh chi u dài, di n tích, th tích, tr ng l m t chúng, ng i ta ch n m t đ n v , th ng có th c ng vào ng, góc, v i m i ng b i ho c c c a Các công th c liên quan đ n ví d d li u đ bi t hóa; quy t c tính toán c s cho tr h n tính di n tích hình có d ng kích th ch nh t, hình thang ho c hình tròn c cho tr cđ c ng h p t ng quát, ch ng c, nh tam giác cân, hình ng nhiên, không th tìm th y công th c theo ngh a mà hi u v t đó: công th c ph i cho d Thang Long University Libraty li u tùy ý ho c không xác đ nh B n ch t chung c a quy t c tính toán ch có th đoán đ 1.2 c có m t chu i ví d đ a v i d li u bi n thiên T t ng ch ng minh Vào th k VI VII tr c Công nguyên h c gi Hy L p đ a mà g i suy lu n logic: chu i suy lu n – sau đ c mã hóa nh các phép tam đo n lu n (hình th c l p lu n k t lu n đ rút t hai đo n trình bày) – chúng bu c ng c i đ i tho i đ ng ý xác nh n Q m t đ ng ý m t kh ng đ nh P khác Ta bi t r ng, t th k th V tr c công nguyên, nhà t t ng Hy L p b c th y v ngh thu t s p x p lý lu n thành m t chu i liên ti p k t lu n logic, u đ c th y rõ tác ph m c a nh ng nhà ng y bi n, c ng nh đo n đ i tho i c a Plato H khám phá r ng nh ng lý lu n có th l y b t c ho t đ ng c a ng i làm đ i t ng, đ c bi t nh ng công th c toán h c hình h c, h u h t s đ n t n n v n minh Ai C p Babylon Nh ng lý lu n tr thành ch ng minh k t n i nh ng đ nh lý v i Ng nh ng đ nh lý đ u t th i Talet vào cu i th k th VII tr nh ng nh ng ph ng pháp ch ng minh v n ch a đ chúng t n t i Tuy nhiên, ng i ta bi t đ n c công nguyên, c bi t đ n, n u gi thi t i ta th a nh n r ng, đ nh lý c a tr ng phái Pythagore, t t nhiên s có đ nh lý mang tên “ nh lý Pytagore” , có ch ng minh, m c dù ch ng minh th v n ch a đ đ u tiên ch a cách ch ng minh ch đ c bi t Nh ng v n b n c tìm th y b n th o c a Plato Aristotle Trong b n đ i tho i n i ti ng d i tên g i Meno, Socrates mu n m t nô l tr h c th c tìm hi u xem làm cách có th d ng hình vuông có di n tích g p đôi di n tích m t hình vuông ABCD cho (Hình 3) C u bé nô l lúc đ u tr l i r ng u có th th c hi n b ng cách t ng g p đôi c nh, Socrates ch cho c u ta th y r ng di n tích c a hình vuông m i s không th g p đôi mà s g p l n di n tích c a hình vuông ABCD cho Sau ông ta cho c u bé v m t hình vuông A’B’C’D’, m i c nh c a b ng đ ng chéo c a hình vuông ABCD, ông ch ng minh r ng hình vuông có đ c m nh yêu c u (g p đôi hình c ) ó tr ng h p đ c bi t c a đ nh lý Pythagore áp d ng cho tam giác vuông cân Ch ng minh bao g m vi c ch r ng hình vuông ABCD có th đ c chia b i đ ng chéo c a thành b n hình tam giác b ng nhau, m i m t chúng, ch ng h n  OAB b ng  A’AB d ng phía khác c a c nh huy n c a nó, t có t t c tam giác b ng b ng  OAB, t o thành hình vuông A’B’C’D’ T t nhiên sau đó, vào th i Euclid, s b ng c a tam giác  OAB  A’AB đ c rút t chu i đ nh lý Socrates m i ch hài lòng r ng s b ng đ i đ i tho i c ch p nh n b i ng A' A B D' B' O C D C' Hình Ch ng minh th hai đ c Aristotle ghi l i, c ng t tr ng phái Pythagore, liên quan đ n hình tam giác vuông cân đó, tr thành ví d đ u tiên v “ph n ch ng”, v sau tr thành m t công c thi t y u c a toán h c ó c ng ví d đ u tiên kh ng đ nh s không th th c hi n đ c nh lý nói r ng m t tam giác vuông cân, t l gi a c nh huy n c nh góc vuông không th phân s p/q (trong p q s t nhiên) Th t v y, theo đ nh lý Pythago, phân s nh v y s có tính ch t (p/q)2 = Ta có th gi s v n đ “rút g n” t i tr ng h p p q không ch n: n u chúng ch n, ta có th chia chúng Thang Long University Libraty H n th n a, s ki n đ m t ph ng đ ng th ng, đ c xác đ nh b i ph ng tròn đ ng conic ng trình d ng P(x,y)=0, P đa th c b c nh t ho c b c hai v i h s th c, m t cách t nhiên d n nhà toán h c t i vi c nghiên c u đ ng cong đ lo i nh ng h n ch v b c c xác đ nh b i nh ng ph ng trình ó m kh i đ u c a m t l nh v c m i c a toán h c, hình h c đ i s , b sung m t cách to l n vào danh sách đ ng cong mà nhà toán h c Hy L p bi t đ n, ngày v n m t nh ng l nh v c sôi đ ng nh t, sau 300 n m nghiên c u k t qu Ph ng pháp t a đ c ng c s c a hai ti n b t v i khác th k 17: đ a ý t ng v hàm s phép tính vô bé Ng i ta th ng nói r ng khái ni m toán h c c a nhà toán h c Hy L p v c b n t nh, u trái ng ràng C s cýt ng bi n thiên chi ph i t t ng khoa h c hi n đ i Rõ c a Euclid t p trung nghi n c u hình mà v trí kích th c c đ nh Tuy nhiên, t b t đ u c a toán h c Hy L p, nh ng c g ng đ tìm hi u s chuy n đ ng thay đ i v hình d ng hay b n ch t luôn xâm chi m ý ngh c a nhà tri t h c, khái ni m v chuy n đ ng đ u th ng hay tròn- đ c ch rõ ràng bi t cách đo th i gian Chúng ta bi t r ng, h thiên v n c a h , b ng vi c k t h p nh ng chuy n đ ng mà nhà toán h c Hy L p c g ng tính qu đ o c a hành tinh M c dù khái ni m v th i gian không đ đ ng cong ph ng, đ c tính đ n hình h c Hy L p, nh t hai ng quadratrix (Hình 16) c a Hyppias đ (Hình 17) c a Acsimet, đ ng xu n c c đ nh ngh a b i t h p chuy n đ ng đ u 36 Q M  2 cos r  Hình 16 Có v nh v nguyên t c c n nghiên c u chuy n đ ng th ng không nh t thi t đ u- đ c bi t chuy n đ ng c a v t r i, ch đ n i b t tr ng phái tri t h c vào th i trung c Lo ichuy n đ ng mà Oresme (ng tiên ) th k 14 có ý t iđ u ng bi u di n s thay đ i đ l n theo th i gian b ng đ th Ông dùng hoành đ c a m t m đ bi u th th i gian tung đ bi u th giá tr c a s thay đ i đ l n t i th i m (Hình 18); t a đ m nh n đ c l p nên đ th Oresme c ng cho r ngcó th l y tr c hoành làm tr c th i gian v i b t c “giá tr ” đ u bi u th đ ph ng pháp tr lên ph bi n th ng b l m d ng y y D c b ng s Ngày r= c  r  x Hình 17 O t x Hình 18 37 Thang Long University Libraty Vào th k 17 ý t cho ng ng đ i ta quen d n v i ý t ng pháp t a đ , làm ng v s y “ph thu c” vào s x bi n đ i kho ng I Vào cu i th k ng c a m t đ c k t h p v i ph i ta nói r ng y m t hàm s c a x: đ th ng cong giao t i ch m t m v i m i đ m t m thu c I song song v i OY Tuy nhiên, ng có tính ch t xác đ nh m t hàm s : ví d , n a đ ng th ng qua c l i, m i đ ng cong ng tròn tâm O bán kính n m phía OX (Hình 13) xác đ nh kho ng -1 ≤ x ≤ hàm s y   x2 Chính s t ng ng mà vào th k 19 có th đ nh ngh a đ ni m t ng quát v hàm s nh m t đ i t ng c khái ng toán h c Nh ng cho đ n lúc i ta v n quan tâm v c s lý thuy t Khái ni m v hàm s , m c dù có th “tr c giác” , m m t k nguyên ti n b không ng ng, toán h c c ng nh nh ng ng d ng c a nó, t t c nhà toán h c đ a phát tri n ó tr c h t khái ni m hàm s c s cho phát minh th ba c a th k 17 - có l phát minh quan tr ng nh t toàn b l ch s toán h c - phép tính vô bé 2.4 Quan m v gi i h n vƠ phép tính vô bé Ví d đ u tiên v vi c xác đ nh m t s theo ph ng pháp “dãy đo n th t” (2.1) mà ta bi t cho đ n vi c tính x p x di n tích hình tròn, đ c Euclid đ a (C s , Quy n XII, 2) Ông v n i ti p hình tròn m t hình vuông P1, sau b ng cách l y liên ti p trung m c a cung ch n c nh c a đa giác, ông nh n đ c đa giác đ u P2, P3, Pn, có 8, 16 2n+1 c nh ng th i, ông xét đa giác ngo i ti p Q2, Q3, Qn, ti p xúc đ c nh c a chúng ng tròn t i đ nh c a đa giác n i ti p (Hình 19) Gi s pn di n tích đa giác Pn qn di n tích đa giác Qn Khi s nh ng đ u mút c a dãy đo n th t [p1, q1], [p2, q2], , [pn, qn], , 38 Euclid ch ra, b ng m t l p lu n hình h c đ p đ , r ng qn  pn  (qn1  pn1 ) “ Ph n tô đ m di n tích q2  p2 ” Hình 19 Nh v y ông có th k t lu n r ng s nh t đ c ch a t t c đo n cho ta “di n tích hình tròn” C u trúc đ n gi n m t ví d v đ vét c n”, có th đ c g i “ph ng pháp c Eudoxus phát minh Ít nh t ông ng i áp d ng đ chúng minh r ng th tích c a hình nón tròn xoay b ng 1/3 th tích c a hình tr có đáy chi u cao (Euclid, Quy n XII, 10) Archimedes t o hàng lo t nh ng k t qu m i: di n tích m t đo n thu c parabon, di n tích th tích hình c u, th tích m t đo n thu c parabon tròn xoay Vào th k 17, vi c s d ng t a đ cho phép m r ng đ c ph ng pháp vét c n Ví d , n u đo n I: a ≤ x ≤ b 39 Thang Long University Libraty y = f(x) hàm d ng t ng, có th cl ng theo ph ng pháp di n tích S bao hàm gi a đ th tr c OX: chia I liên ti p thành 2,4,8, ,2n, ph n b ng nhau, đ i v i m i đo n [tk, tk+1], xét di n tích (b  a ) f (tk ) 2n c a hình ch nh t có đáy đo n đ c n m bên “ d i” đ ng cong, di n tích b  a  f t  k 1 n c a hình ch nh t đáy n m bên “trên” đ ng cong N u Sn' t ng tính di n hình ch nh t lo i th nh t, Sn'' t ng di n tích hình ch nh t lo i th hai, ta có Sn' ≤ S ≤ Sn'' Sn''  Sn'  S Sđ Sn'' ] (b  a ) ( f (b)  f (a )) (Hình 20) 2n c đ nh ngh a s nh t có t t đo n l ng [ Sn' , ây cách mà Fermat ti n hành t n m 1636 liên quan đ n đ ng cong y= xm (trong m s t nhiên v i m>1), b i m t công th c đ i s đ n gi n cho Sn' Sn'' m t cách t ng minh, ông nh n đ S bm1  a m1 m 1 40 c công th c y “Ph n tô đ m di n tích S2  S1 ” a O x b Hình 20 V sau, b ng vi c l a ch n t t h n vi c chia I thành kho ng ngày nh h n, ông m r ng nh ng k t qu đ n tr ng h p mà m  p / q phân s b t k (khác v i -1) Ph ng pháp (v i m t vài c i ti n nh đ có th chia nh h n “các đo n th t”) v n m t nh ng d ng c b n c a tính toán di n tích b ng máy tính i u có l s không g i lên đ c nhi u s quan tâm n u không ph i s ki n nh ng nhà toán h c t i th i m t n công toán t ng ch ng r t khác ( toán v cách xác đ nh ti p n cho đ cong ph ng đ i v i ng đ c đ c p th i c n) i Hy L p, ti p n c a đ ng cong (C) t i m M m t ng th ng D qua M cho m c a đ m t phía so v i đ ng ng th ng D (Hình 21): đ ng cong (C) g n M n m ng th ng D ch m đ ng cong t i m M Euclid ch r ng ti p n t i m M c a đ ng tròn tâm O vuông góc v i OM (Quy n III, trang 16), vi c mô t đ ng conic nh nh ng thi t di n ph ng c a hình nón v i đáy tròn giúp cho vi c tìm ti p n c a nh ng đ th i c n, ng ng cong Tuy nhiên, đ i ta ch bi t m t đ ng cong mà ti p n đ ng conic, c xác đ nh, 41 Thang Long University Libraty đ ng xo n c c a Ác xi mét 2.3), không bi t làm th ông đoán đ c vi c d ng nh ng ti p n Fermat ng i,vào n m 1636, l i s d ng ph t n công toán m t cách có h th ng đ i v i đ m t s t nhiên  ) Câu h i đ t li u đ trình Y  ax  b qua m M  ( x, y) c a đ đ ng cong y  xm ( x h v i h (Hình 22) Vì đ m ng th ng D, cho b i ph ng ng cong y  xm , có “ch m” v i ng cong t i m hay không.V i m P c a đ hoành đ ng pháp to đ đ ng th ng OX , mà đ nh , c n bi t d u c a đo n th ng có h ng RS ng th ng D qua m M, có x m  ax  b D C M Hình21 RS  ( x  h) m  (a ( x  h)  b)  mhxm1  h Q ( x, h)  ah  h(mxm1  a  hQ ( x, h)) (*) b i công th c nh th c, Q(x,h) đa th c c a x h, t n t i s A cho |Q(x, h)| ≤ A, v i |h| ≤ 42 Y D M R S O x+h x + hn x P X Hình 22 N u s   mxm1  a khác không, d u ngo c đ n cu i bi u th c (*) có d u nh  mà: h [...]...   a j xn j , j 0 và đi u này làm cho ta có th phát bi u và ch ng minh nh ng đ nh lý t ng quát trong đ i s 2.3 Ph ng pháp t a đ Chúng ta bi t r ng m t trong ba phát ki n quan tr ng nh t trong toán h c th k 17 có đ c là nh nhà toán h c Descartes (và đ ng th i là c Fermat), đó là vi c đ a vào hình h c ph ng pháp t a đ (c ng đ c bi t đ n nh “ ng d ng c a đ i s trong hình h c”, và sau đó là “hình h... bi u th c đi sau nó) Trong công trình c a R.Bombelli, chúng ta th y L và đ thay cho ngo c đ n) Các d u + và – ch c xu t hi n vào kho ng n m 1480, d u = xu t hi n vào n m 1557, và các d u b t đ ng th c < và > xu t hi n vào n m 1631 M tb c ti n quan tr ng trong ký hi u có đ c là nh Viète: ông đã s d ng các ch cái đ ký hi u không ch các n s mà còn các đ i l ng đã cho trong m t bài toán mà vi c cho các... c a đ i l ng vô c đ a vào cu i th k XVII, trong đó chu n m c mà các nhà toán h c d a vào là “tính ch t ch th i Hy L p” Cu c tranh lu n cu n hút g n nh t t c các nhà toán h c n i ti ng th i b y gi , trong đó m i ng đi m riêng c a mình và đ u nh m tr l i câu h i: il i đ u có quan ng vô cùng bé là gì? V n đ này đã d n đ n m t cu c kh ng ho ng th hai trong l ch s toán h c, n y sinh trong quá trình đ m b... n cho phép tính vô cùng bé Lí thuy t đó đã đ đo n “b c đ a ra vào th k XVII Chính Descartes đã m đ u cho giai c ngo t” này trong l ch s phát tri n c a toán h c Không nh ng ông đã đ a vào trong toán h c ph ng pháp t a đ mà còn đ a ra đ i l ng bi n thiên, và do đó đ t n n móng cho môn hình h c gi i tích 2.1 T t ng v x p x Trong ng d ng c a toán h c, m t s th c Y h u nh luôn đ c thay b ng m t s h u t... quan đi m chung c a các nhà toán h c đi m đó v n ti p t c đ cùng th i ,và quan c nh n m nh trong th k ti p theo th i đi m đó các nhà toán h c Gauss và Cauchy đã c đ ng cho “tính ch t ch hình h c” nh là mô hình cho các l nh v c khác c a toán h c Nh ng ch trích các c u trúc c a Euclid ngày càng nhi u, đ c bi t su t th k XIX trong phong trào ti n đ n s “ch t ch ” l n h n trong toán h c, tuy nhiên không nh... s âm Trong khi các nhà toán h c Hy L p đang c g ng đ a h th ng “gi thi t - suy di n” vào các tr ng h c tri t h c, thì nhu c u trong đ i s ng hàng ngày các thành ph Hy L p, c ng nh các n n v n minh khác, là c n m t t ng l p nh ng nhà “tính toán chuyên nghi p” Trong cu n Republic (VII, 525), Plato nói r ng, trong khi nh ng ng iđ c g i là “logisticians” bi t tính toán các phân s , thì nh ng nhà toán h... th 4” trong (quy n VI, 12) Thay vì ti p t c nói “t s ”, bây gi đ n gi n là nói r ng ta xét các đi m X thu c  , và 21 Thang Long University Libraty nh ng gì chúng ta ph i làm là xác đ nh m i quan h gi a hai đi m X< Y, và các phép toán X+ Y và XY, chúng c ng ph i xác đ nh các đi m, mà không ph i là nh ng đ i t ng ki u khác, nh trong Euclid nh ngh a X