TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Lý thuyết Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C), điểm cố định thuộc (C) có y T f(x,u) hoành độ Với điểm ta ký hiệu thuộc (C) , khác f() hoành độ , hệ số góc cát tuyến Giả sử tồn giới hạn hữu hạn O Coi qua có hệ số góc vị trí giới hạn cát tuyến , di chuyển dọc theo (C) dần đến  Đường thẳng gọi tiếp tuyến (C) điểm , gọi tiếp điểm Ý nghĩa hình học đạo hàm Đạo hàm hàm số y =f(x) điểm hàm số điểm ( hệ số góc tiếp tuyến đồ thị ) Định lý tiếp tuyến đồ thị hàm số *Định lý Đạo hàm hàm số y = f ( x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến M 0T (C) điểm M ( x0 ; f ( x0 )) Chứng minh: Giả sử M( x0 +Vx; f ( x0 +Vx ) ) điểm di chuyển (C) Ta có ; M H =Vx, HM =Vy Hệ số góc cát tuyến M M tan ϕ , ϕ góc tạo trục Ox vectơ uuuuuu r HM Vy = M M Ta có tan ϕ = Vx M0H Khi M dần tới M ( M → M ) Vx → ngược lại Theo giả thiết, f ( x) có đạo hàm x0 nên tồn giới hạn Vy = lim tan ϕ Vx →0 Vx M →M f '( x0 ) = lim Vậy M → M cát tuyến M M dần tới vị trí giới hạn đường thẳng M T, có hệ số tan ϕ = f '( x0 ) góc Mlim →M Đường thẳng M 0T tiếp tuyến M (C) Vậy f '( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến M đồ thị (C) *Định lý 2: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cảu hàm số y=f(x) điểm M ( x0 ; f ( x0 )) y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) , y0 = f ( x0 ) Ghi nhớ Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm điểm điểm ( tiếp tuyến đồ thị hàm số ) có phương trình : y= ( + II Hệ thống tập "BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) ∗ Phương pháp giải: - Tính f ' ( x) - Tính hệ số góc tiếp tuyến k = f ' ( xo ) - Phương trình tiếp tuyến với độ (C) điểm M o ( xo ; yo ) là: y − yo = f ' ( xo )( x − xo ) Bài 1: Cho hàm số y = f ( x) = x + x − 15 x + 12 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm A(2; - 2)∈(C) Giải f '( x ) = x + x − 15 ⇒ f '(2) = Phương trình tiếp tuyến với (C) A có dạng: y + = 5( x − 2) ⇒ y = x − 12 ⇒ Trong trường hợp biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố lại làm tương tự Bài 2: (Bài tập trang 44 SGK GT12) Cho hàm số: y = x + x + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ Giải Gọi xo hoành độ tiếp điểm ⇒ ta có = x0 + x0 + ⇔ xo = ±1 4 7  Với xo = ⇒ f ' (1) = ⇒ phương trình tiếp tuyến M  − 1;  là:  y− 4 = 2( x − 1) ⇔ y = x − 4 7  Với xo = −1 ⇒ f ' (−1) = −2 ⇒ phương trình tiếp tuyến M  − 1;  là:  y− = −2( x + 1) ⇔ y = −2 x − 4 4 Bài 3: Cho hàm số y = f ( x) = x2 − 2x − có đồ thị (C) x +1 (C) cắt trục hoành A B Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) A B Giải - Tập xác định: D = R\{- 1} - Hoành độ giao điểm (C) trục hoành nghiệm phương trình x2 − 2x − = ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x = ± x +1 ⇒ (C) cắt Ox điểm A (1 + 3; 0) B(1 − 3; 0) x + 2x y' = ⇒ y ' = (1 + 3) = (2 − ) ( x + 1) y ' = (1 − ) = −2 (2 + ) Phương trình tiếp tuyến với (C) A có dạng: y = (2 − ) ( x − − ) Phương trình tiếp tuyến với (C) B có dạng: y = −2 (2 + ) ( x − + ) * Nhận xét: Qua cho thấy học sinh lúng túng không viết phương trình tiếp tuyến không tìm tọa độ A B Vì toán dạng lại chưa cho tọa độ (xo; yo) cần tìm (xo; yo) trước bắt đầu vào bước phần phương pháp giải Đồng thời toán dạng mở rộng để áp dụng vào xây dựng phương trình tiếp tuyến đường Cônic SGK hình học 12 (trước phân ban) ta xét ví dụ cụ thể với elip Bài 4: Cho (E) có phương trình: x2 y2 + = 100 64 Hãy viết phương trình tiếp tuyến Elip điểm M (5; ) Giải Nhận xét điểm M (5; ) ∈ ( E ) 100 − x 4 x y = 64 ⇔ y = ± 100 − x ⇒ y ' = ± 100 5 100 − x 2 ⇒ y ' (5) = ± M (5; 3) thuộc phần (E) mà điểm có tung độ dương nên y= 4 100 − x ⇒ y ' (5) = − 5 Vậy phương trình tiếp tuyến M (5; ) là: y + x − 80 = Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số : điểm với trục tung Giải Tọa độ giao điểm đồ thị hàm số với Oy nghiệm hệ:  x + ax − x = y = ⇒ M (0,1) x −1 ⇔   y =1   x=0  Tiếp tuyến đồ thị điểm M (0,1) có dạng: y − = y '(0).( x − 0) Ta có y ' = x2 − 2x − a + ; y'(0) = − a ( x − 1) Do phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − = (1 − a) x ⇔ y = (1 − a ) x + Bài 6: Cho hàm số y= x − x (C) 2 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ gốc tọa độ tới đồ thị hàm số Giải Đường thẳng (d) qua O với hệ số góc K có pt: y = kx Đường thẳng (d) tiếp tuyến (C) hệ pt sau có nghiệm giao 1  x − x = kx(1) 4 2 x − x = k (2)  x = Thay (2) vào (1) ta x (3x − 1) = ⇔   x = ±1 • Với x=0 • Với x = thay vào (2) ⇒ k = Phương trình tiếp tuyến (d ) : y = 1 thay vào (2) ⇒ k = 3 Phương trình tiếp tuyến: ( d ) : y = • Với x = −1 x 3 −1 −1 thay vào (2) ⇒ k = 3 Phương trình tiếp tuyến: ( d3 ) : y = 3 x Vậy qua O kẻ tiếp tuyến (d1 ) : y = ; ( d ) : y = −1 x ; ( d3 ) : y = x 3 3 Dạng 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k cho trước: ∗ Phương pháp giải: - Tính f ' ( x) - Gọi M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) tiếp tuyến có hệ số góc k ⇒ xo nghiệm phương trình f ' ( xo ) = k - Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: y − yo k ( x − xo ) Chú ý: Giả sử đường thẳng D1 có hệ số góc k1 đường thẳng D2 có hệ số góc k2 Thì D1 // D2 ⇔ k1 = k2 D1 ⊥ D2 ⇔ k1 k2 = - D1 cắt D2 ⇔ k1 ≠ k2 Bài 1: Cho hàm số y = 2x + Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm x−2 số biết hệ số góc tiếp tuyến - (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2008 - 2009) Giải Gọi d tiếp tuyến (C) tiếp điểm ( xo ; yo ) −5 x = o ⇒ xo nghiệm phương trình y ' ( xo ) = −5 ⇔ ( x − 2) = −5 ⇔  x =  o o Với xo = ⇒ yo = −3 ⇒ phương trình tiếp tuyến y = −5 x + Với xo = ⇒ yo = ⇒ phương trình tiếp tuyến y = −5 x + 22 Bài 2: Cho hàm số y = f ( x) = 3x − có đồ thị (C) x −1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x + 10 Giải −1 D = R \ {1}; y ' = ( x − 1) Gọi M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x + 10 , có hệ số góc k: k = −1 ⇒ k = −  xo =  x = −  −1 o ⇒ xo nghiệm phương trình ( x − 1) = ⇔  y = ⇔   o o y = o  5  Tại M  − 1;  có tiếp tuyến y = − x +  2 4 17  7 Tại M  3;  có tiếp tuyến y = − x +  2 4 * Nhận xét: Qua ví dụ cho thấy nhiều toán viết phương trình tiếp tuyến dạng không trực tiếp hệ số góc mà phải thông qua giả thiết khác Vì cần nhấn mạnh cho học sinh thấy tầm quan trọng việc nắm kiến thức cách liền manh, biết vận dụng, liên hệ phần với Bài 3: Cho hàm số y = + mx − x 4x + m Với giá trị m tiếp tuyến đồ thị điểm có hoành độ vuông góc với tiệm cận đứng Giải Ta có: y'= −12 x − 6mx + m − 16 (4 x + m) lim y = ∞ Tiệm cận đứng x + m = x→ −m Hệ số góc phương trình tiếp tuyến đồ thị x0 = k = y '(0) = Tiếp tuyến vuông góc với tiện cận đứng k = ⇔ Vậy tiếp tuyến m − 16 m2 m − 16 = ⇔ m = ±4 m2 vuông góc với tiện cận đứng m = ±4 Bài 4: Cho hàm số y = x2 + 2x + x +1 Tìm đồ thị (C) điểm cho tiếp tuyến đồ thị vuông góc với tiệm cận xiên Giải Ta có y ' = − ( x + 1)2 y − x − 1) = Tiệm cận xiên y = x + lim( x →∞ M điểm tùy ý thuộc đồ thị có hoành độ a = −1 a + 2a Khi hệ số góc tiếp tuyến M k = y '(a ) = (a + 1)2 Tiếp tuyến (d) vuông góc với tiệm cận xiên a + 2a = −1 ⇔ a = − ± (a + 1) Vậy tồn hai điểm có hoành độ tương ứng : −1 + 2 , −1 − đồ thị thỏa 2 mãn điều kiện Bài 5: Cho hàm số y = x3 + 3x + 3x + Xác định k để đồ thị có điểm mà tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = kx Giải Điểm M ( x0 , y0 ) thuộc đồ thị ,ta có: Hệ số góc tiếp tuyến M y '( x0 ) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = kx ⇔ k y '(x ) = −1 ⇔ k (3 x0 + x0 + 3) = −1 ⇔ 3k ( x0 + 1) = −1 (1) Để tồn điểm M thỏa mãn điều kiện đầu phương trình (1) có nghiệm ⇔ 3k ≤ ⇔ k ≤ Dạng 3: a) Bài toán: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A ( x A ; y A ) cho trước b) Cách giải: * Cách 1: - Gọi d tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k qua A ⇒ d có phương trình: y = k ( x − x A ) + y A (1) - Hoành độ tiếp điểm xo hệ số góc k tiếp tuyến nghiệm hệ phương trình:  f ( x) = k ( x − x A ) + y A   f ' ( x) = k Giải hệ phương trình tìm k ⇒ thay vào (1) phương trình tiếp tuyến * Cách 2: - Giả sử có tiếp tuyến (d) qua A, tiếp xúc với (C) tiếp điểm M o ( xo ; yo ) ⇒ d có phương trình: y − yo = f ' ( xo )( x − xo ) - Vì A (xA; yA) ∈ d ⇒ y A − yo = f ' ( xo )( x − xo ) ⇒ y A − f ( xo ) = f ' ( xo )( x A − xo ) (2)  yo = f ( x0 )  f ' ( xo ) - Giải phương trình (2) tìm xo ⇒  - Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y − yo = f ' ( x0 )( x − xo ) Bài 1: Cho hàm số y = 3x − (C ) x −1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm A (2; 0) Giải TXĐ: D = R \ {1} y' = −1 ( x − 1) Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k y = k ( x − 2) - Hoành độ tiếp điểm xo hệ số góc k tiếp tuyến nghiệm hệ phương  x =  3x −   x − = k ( x − 2)   k = −1   f ( x) = k ( x − x A ) xy A ⇔ ⇔  trình:  =k f '( x ) = k  x =   ( x − 1)     k = −9  x ≠  y = −x +  y = −9 x + 18 - Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số qua A(2; 0)  Bài 2: Cho hàm số y = x − 3x + (C ) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số (2) biết tiếp tuyến qua A(0; 3/2) Giải - Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(0; 3/2) có hệ số góc k y = kx + - Để đường thẳng (d) trở thành tiếp tuyến đồ thị hàm số (2) hệ phương trình: 3 1 x = 0x k =  x − x + = kx + ⇒ 2 Có nghiệm ⇔  2  x = ±2 k = ±2  2x3 − 6x = k  Vậy phương trình tiếp tuyến cần viết là: y= y = −2 x + ; ; y = 2x + x − 3x + (C ) x−2 Bài 3: Cho hàm số: y = CMR tiếp tuyến với (C) qua giao điểm tiệm cận Giải Có x = Là tiệm cận đứng y=x-x Là tiệm cận xiên Gọi I giao điểm tiệm cận ⇒ I (2; 1) xo2 − 3xo + Gọi xo hoành độ tiếp điểm ⇒ yo = xo − Và y ' ( xo ) = xo2 − xo + ( xo − 2) Phương trình tiếp tuyến (xo; yo) dạng y− xo2 − 3xo + xo2 − xo + = ( x − xo ) xo − ( xo − 2) Giả sử tiếp tuyến qua I(2; 1) pt: xo2 − xo + xo2 − xo + 1− = ( − xo ) xo − ( xo − 2) (2) phải có nghiệm ( xo − 2) − ( xo2 − xo + 1)( xo − 2) = ( xo2 − xo + 5)(2 − xo ) ⇔ (2)  vô nghiệm xo ≠  Vậy tiếp tuyến đường cong cho qua I (2; 1) giao điểm đường tiệm cận Bài 4: Cho hàm số (C) y = + x +1 Tìm điểm trục tung mà điểm kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Giải Các điểm thuộc Ox có dạng A(0, b) Phương trình đường thẳng qua A(0, b) có dạng (d ) : y = kx + b Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số hệ sau có nghiệm: 2   k + b −1  = 1 + x + = kx + b 1 + x + = k ( x − 1) + k + b   x −1 ⇔ ⇔ (*)  − 2 = k − 2 = k −2( k + b − 1) = k   ( x − 1)  ( x − 1) Phương trình (*)  f ( x) = k + 2(b + 3)k + b − 2b + = (1) Từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số phương trình (1) có nghiệm kép khác − b hai nghiệm phân biệt có nghiệm − b ® Một số tập khác Bài 1: Cho hàm số y = x2 + 2x + x +1 a) M điểm đồ thị có hoành độ xM = a Viết phương trinh tiếp tuyến ta đồ thị M b) Xác định a để ta qua điểm (0,1) Chứng tỏ có giá trị a thỏa mãn điều kiện toán tiếp tuyến tương ứng vuông góc với Giải a) Phương trình tiếp tuyến đồ thị M có hoành độ (ta ) : y − ya = y '(a)( x − a ) a + 2a + ; a +1 Ta có: x2 + x a + 2a y'= ⇒ y '( a ) = ( x + 1) (a + 1) y ( a) = Do phương trình tiếp tuyến (d) (t a ) : y − a + 2a + a + 2a = ( x − a) a +1 (a + 1) ⇔ (ta ) : y = a + 2a a + 4a + x + (a + 1) (a + 1) có dạng: b) Tiếp tuyến ta qua điểm (1,0) khi: a + 2a a + 2a + −3 ± + = ⇔ a + 3a + = ⇔ a1,2 = ( a + 1) a +1 Và theo Viet ta có: a1 + a2 = −3 ; a1a2 = Vậy có giá trị a thỏa mãn điều kiện toán Các tiếp tuyến có hệ số góc tương ứng: k1 = Và ta có: k1k2 = a12 + 2a1 a2 + 2a2 ; k = (a1 + 1) ( a2 + 1) a12 + 2a1 a2 + 2a2 a12 a2 + 2a1a2 (a1a2 ) + 4a1a2 = = −1 (a1 + 1) (a2 + 1) (a1a2 + a1 + a2 + 1) Chứng tỏ tiếp tuyến vuông góc với Bài 2: Cho hàm số x = x − 3x + có hoành độ Gọi (d) tiếp tuyến đồ thị điểm M Chứng minh hoành độ giao điểm tiếp tuyến (d) với đồ thị nghiệm phương trình: ( x − a)2 ( x + 2ax + 3a − 6) = Giải Phương trình tiếp tuyến đồ thị M có hoành độ có dạng: y − y (a ) = y '(a )( x − a) Ta có: y (a) = a − 3a + ; y ' = x − x ⇒ y '(a) = 2a − 6a Do phương trình tiếp tuyến (d) là: 5 (d) : y − ( a − 3a + ) = (2a − 6a)( x − a) ⇔ ( d ) : y = (2a − 6a) x − a + 3a + 2 2 Hoành độ giao điểm tiếp tuyến với đồ thị nghiệm phương trình: 5 a − 3a + = (2a − 6a) x − a + 3a + ⇔ x − x − (2a − 6a ) x + 3a − 6a = 2 2 ⇔ ( x − a ) ( x + 2ax + 3a − 6) = (đpcm) Bài 3: Cho hàm số y = x − x + Chứng minh rằng: Tồn tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm phân biệt phương trình x − 3x3 + = kx + m có nghiệm phân biệt x − x3 + − kx − m = ( x − a ) ( x − b) ∀x(a ≠ b) x − x3 + − kx − m = ( x − a ) ( x − b) EMBED Equation.DSMT4 ∀x(a ≠ b) ⇔ x − x3 + − kx − m = x − 2(a + b) x + (a + b + 4ab) x − 2ab(a + b) x + a + b ∀x(a ≠ b) a = −  −2(a + b) = −4   −2ab(a + b) = − k  b = + ⇔  2 a + b + ab =   k = −8 2  a + b = − m  m = −1  Vậy có tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm phân biệt: (d ) : y = −8 x − Hoành độ tiếp điểm là: x1 = − 3; x2 = + Bài 4: Cho hàm số y = x3 − 3x + 1(C ) Cho điểm A( x0 , y0 ) ∈ (C ) , tiếp tuyến với (C) A cắt (C) điểm B khác A Tìm hoành độ điểm B theo x0 Giải Phương trình tiếp tuyến (C) có dạng: y − yx = y '( x0 )( x − x0 ) (1) Ta có: y ( x0 ) = x03 − 3x0 + 1; y ' = 3x − x ⇒ y '( x0 ) = 3x0 − x0 Do phương trình tiếp tuyến là: (d ) : y − ( x03 − x0 + 1) = (3 x0 − x0 )( x − x0 ) ⇔ (d ) : y = (3x0 − x0 ) x − x = x0 + Hoành độ giao điểm tiếp tuyến với (C) nghiệm phương trình: x − x + = (3x0 − x0 ) x − x = x0 + ⇔ ( x − x0 ) ( x − − x0 ) =  x = x0 ⇔  x = − x0 Vậy hoành độ điểm xB = − x0 Bài 5: Hãy tìm phương trình tất tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 + x biết tiếp tuyến với trục tọa độ giới hạn tam giác có diện tích Giải Ta có y ' = x3 − x2 M điểm tùy ý thuộc đồ thị có hoành độ a 0, trình tiếp tuyến M có dạng: 2a − − a3 (d ) : y − y (a ) = y '(a )( x − a) ⇔ (d ) : y = x+ (1) a2 a Tọa độ giao điểm A tiếp tuyến M Oy nghiệm hệ: x=0  − a3  3 ⇒ A(0, )  2a − 2−a a y = x +  a2 a  Tọa độ giao điểm B tiếp tuyến M Oy nghiệm hệ y=0  a (a − 2)  3 ⇒ B( , 0)  2a − 2−a a − y = x +  a2 a  Diện tích tam giác OAB cho bởi: S= 1 (a − 2) | y A | | xB |= 2 2a − Suy Với  a =1 (a − 2)2 (a − 2) = ⇔ = ⇔  2a − 2a − a = , thay vào (1) ta (d1 ) : y = x + phương Với a = , thay vào (1) (d ) : y = x− 25 Vậy tồn tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đầu Bài Cho hàm số (C): y = 2x2 − x + x −1 Chứng tỏ đường thẳng y = có bốn điểm cho từ điểm kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với góc π Giải Các điểm đường thẳng y = có dạng A(a, 7) Phương trình tiếp tuyến qua A(a, 7) có dạng (d ) : y = k ( x − a) + Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số hệ sau có nghiệm 2    x + + x − = k ( x − a) +  x + + x − = k ( x − 1) + k − ka + ⇔  2 − 2 = k 2 − 2 = k  ( x − 1)  ( x − 1) 2  − (a − 1)k  =  x + + x − = 2( x − 1) − x − − (a − 1)k +  x − ⇔  − ( a − 1)k 2 −  − 2( =k ) = k (*)   ( x − 1) Phương trình (*) f (k ) = (a − 1) k − 8(a − 2)k = 0(1) Từ A kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến với góc π (1) có hai nghiệm phân biệt k1 , k2 khác a −1 thỏa mãn k1 − k2 π = tg  + k1k2 a − ≠  16(a − 2) > a ≠ 1, a ≠ a = ±   ⇔ ⇔ f ( ) ≠ 8( a − 2)     a −1  (a − 1) = ±1  a = −3 ± 24   8(a − 2) =1  ( a − 1)  Vậy có bốn điểm A1 (5 + 8, 7); A (5 − 8, 7); A ( −3 + 24, 7); A ( −3 − 24, 7) Bài Cho hàm số (C) : y = x + + x −1 Tìm điểm (C) có hoành độ lớn cho tiếp tuyến điểm tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Giải Ta có y ' = 1− ( x − 1) y=∞ • Tiệm cận đứng x = lim x →1 y − x − 1) = • Tiệm cận xiên: y = x + lim( x →∞ • Tọa độ giao điểm I hai tiệm cận I(1,2) M (a, y (a )) ∈ (C) với a > , pt tiếp tuyến M có dạng: ( d ) : y − y (a ) = y '(a )( x − a ) a − 2a a2 ( x − a) +  (d): y = (a − 1) a −1 Tọa độ giao điểm A tiếp tuyến (d) tiệm cận đứng nghiệm hệ pt x = x = 2a   2 ) a − 2a a ⇔ 2a ⇒ A(1,  a −1  y = (a − 1) ( x − a ) + a −  y = a −  Tọa độ giao điểm B tiếp tuyến (d) tiệm cận xiên nghiệm hệ  y = x −1  x = 2a −  ⇒ B (2a − 1, 2a ) a − 2a a2 ⇔    y = 2a  y = (a − 1) ( x − a ) + a −  Ta có AI = x A − xI = 2a −2 = a −1 a −1 BI = (x B − xI ) + ( y B − yI ) = (2a − 2) + (2a − 2) = 8(a − 1) ⇒ BI = 2 a − AI BI = AB = AI + BI − AI BI cos π = AI + BI − AI BI Chu vi ∆ABI cho P∆ABI = AI + BI + AB = AI + BI + AI + BI − 2.AI BI ≥ AI BI + AI BI − AI BI = 4 + 2( − 1) Vậy ( P∆ABC )Min = 4 + 2( − 1) Dấu “=” xảy AI=BI ⇔ a − = 2 a − ⇔ a = + Vậy điểm M cần tìm M (1 + 1 ;2 + + ) 2 Bài 8: Cho hàm số y = x − 3x Tìm điểm đường thẳng y = từ kẻ ba tiếp tuyến tới đồ thị, biết điểm thuộc đường thẳng y = có dạng A(a,2) Giải Đường thẳng (d) qua A(a,2) với hệ số góc k có pt: y = k ( x − a ) + (*) Đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ sau có nghiệm   x − x = k ( x − a ) + 2(1)   3 x − = k (2) Thay (2) vào (1) ta : x3 − x = (3x − 3)( x − a ) + ⇔ ( x + 1)[2 x − (3a + 2) x + 3a + 2] = x +1 = ⇔  x − (3a + 2) x + 3a + = 0(3) = g ( x) Để qua A kẻ ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số pt(3) có nghiệm phân biệt khác -1 a > a >  ∆ g > (3a + 2) − 8(3a + 2) > −2  ⇔ ⇔ ⇔ a< ⇔ −2 (4)  − ≠ a <  2 + 3a + + 3a + ≠  g (−1) ≠   a ≠ −1 Vậy điểm A(a,2) đt y=2 có a thỏa mãn hệ (4) từ kẻ ba tiếp tuyến tới đồ thị Bài Cho hàm số y= x3+3x2+mx+1 Xác định m để đường thẳng (Cm) cắt đường thẳng y=1 ba điểm phân biệt C(0,1), D, E Tìm m để tiếp tuyến D E vuông góc với Giải Phương trình hoành độ giao điểm: x + x + m + = ⇔ x + 3x + mx = ⇔ x( x + x + m) = Để (Cm) cắt y=1 điểm phân biệt phương trình x + x + m = có hai nghiệm phân biệt khác   ∆ = − 4m > m < ⇔  x ≠ m ≠ Ta có y 'D y 'E = −1 Mà y ' = x + x + m y ' D = x D + xD + m y 'E = xE + xE + m ⇒ (3 xD + xD + m)(3xE + xE + m) = −1 ⇔ xD xE + 18 xD xE ( xD xE ) + 3m( xD + xE ) + 6m( xD + xE ) + 36 xD xE + m = −1 Mà  xD xE = m ⇒ 9m + 18m( −3) + 3m(9 − 2m) + 6m(−3) + 36m + m = −1   x D + x E = −3 ⇔ 4m − 9m + = ⇔m= ± 65 (t / m) PHẦN 2: KẾT LUẬN Những sai lầm thường gặp: Học sinh hay nhầm lẫn dạng dạng nên trình giảng dạy cần phân biệt cho học sinh: - Tại điểm thuộc đường cong có tiếp tuyến với đường cong - Qua điểm có tiếp tuyến với đường cong (nếu có tiếp tuyến) Chẳng hạn ví dụ dạng hàm số y = x − 3x + (C ) mà phải viết  3 phương trình tiếp tuyến qua A  0;   2 - Lời giải đúng: (Đã trình bày) - Lời giải chưa xác sau: Dễ dàng nhận thấy y−  3 A  0;  ∈ (C )  2 ⇒ phương trình tiếp tuyến A: 3 = 0( x − 0) ⇔ y = 2 Lời giải không đầy đủ cụ thể thiếu hai phương trình tiếp tuyến 3 y = −2 x + ; y = 2 x + 2 Để học sinh làm toán tiếp tuyến với đường cong cần phân tích rõ yếu tố cần thiết - Tọa độ tiếp điểm (xo; yo) - Hệ số góc k = f'(xo) [...]... tiếp tuyến tới đồ thị hàm số khi phương trình (1) có nghiệm kép khác 1 − b hoặc hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 1 − b ® Một số bài tập khác Bài 1: Cho hàm số y = x2 + 2x + 2 x +1 a) M là điểm trên đồ thị có hoành độ xM = a Viết phương trinh tiếp tuyến ta của đồ thị tại M b) Xác định a để ta đi qua điểm (0,1) Chứng tỏ rằng có 2 giá trị của a thỏa mãn điều kiện của bài toán và 2 tiếp tuyến. .. 2  Vậy không có tiếp tuyến của đường cong đã cho đi qua I (2; 1) là giao điểm của các đường tiệm cận Bài 4: Cho hàm số (C) y = 1 + 2 x +1 Tìm những điểm trên trục tung mà cứ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Giải Các điểm thuộc Ox có dạng A(0, b) Phương trình đường thẳng đi qua A(0, b) có dạng (d ) : y = kx + b Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:... −8 2 2  a + b = 3 − m  m = −1  Vậy có một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt: (d ) : y = −8 x − 1 Hoành độ 2 tiếp điểm là: x1 = 1 − 3; x2 = 1 + 3 Bài 4: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 1(C ) Cho điểm A( x0 , y0 ) ∈ (C ) , tiếp tuyến với (C) tại A cắt (C) tại điểm B khác A Tìm hoành độ điểm B theo x0 Giải Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng: y − yx = y '( x0 )( x − x0 ) 0... tồn tại 2 tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đầu bài Bài 6 Cho hàm số (C): y = 2x2 − x + 1 x −1 Chứng tỏ rằng trên đường thẳng y = 7 có bốn điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc π 4 Giải Các điểm trên đường thẳng y = 7 có dạng A(a, 7) Phương trình tiếp tuyến đi qua A(a, 7) có dạng (d ) : y = k ( x − a) + 7 Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ... điểm M 2 Chứng minh rằng hoành độ các giao điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thị là các nghiệm của phương trình: ( x − a)2 ( x 2 + 2ax + 3a 2 − 6) = 0 Giải Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M có hoành độ có dạng: y − y (a ) = y '(a )( x − a) 1 2 5 2 Ta lần lượt có: y (a) = a 4 − 3a 2 + ; y ' = 2 x 3 − 6 x ⇒ y '(a) = 2a 3 − 6a Do đó phương trình của tiếp tuyến (d) là: 1 5 3 5 (d) : y − ( a 4 − 3a 2 +... a 4 + 3a 2 + 2 2 2 2 Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị là nghiệm phương trình: 1 4 5 3 5 a − 3a 2 + = (2a 3 − 6a) x − a 4 + 3a 2 + ⇔ x 4 − 6 x 2 − (2a 3 − 6a ) x + 3a 4 − 6a 2 = 0 2 2 2 2 ⇔ ( x − a ) 2 ( x 2 + 2ax + 3a 2 − 6) = 0 (đpcm) Bài 3: Cho hàm số y = x 4 − 4 x 3 + 3 Chứng minh rằng: Tồn tại duy nhất một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt khi phương trình... điểm M cần tìm là M (1 + 1 1 ;2 + 4 2 + 4 ) 2 2 4 Bài 8: Cho hàm số y = x 3 − 3x Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị, biết các điểm thuộc đường thẳng y = 2 có dạng A(a,2) Giải Đường thẳng (d) đi qua A(a,2) với hệ số góc k có pt: y = k ( x − a ) + 2 (*) Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm 3   x − 3 x = k ( x − a ) + 2(1) ... giá trị của a thỏa mãn điều kiện bài toán Các tiếp tuyến có hệ số góc tương ứng: k1 = Và ta có: k1k2 = a12 + 2a1 a2 2 + 2a2 ; k = 2 (a1 + 1) 2 ( a2 + 1) 2 a12 + 2a1 a2 2 + 2a2 a12 a2 2 + 2a1a2 (a1a2 ) + 4a1a2 = = −1 (a1 + 1) 2 (a2 + 1) 2 (a1a2 + a1 + a2 + 1) 2 Chứng tỏ rằng 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau 1 2 Bài 2: Cho hàm số x = x 4 − 3x 2 + có hoành độ 5 Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị tại... cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 + 1 x biết rằng mỗi một trong các tiếp tuyến đó cùng với các trục tọa độ giới hạn 1 tam giác có diện tích bằng 1 2 Giải Ta có y ' = 2 x3 − 1 x2 M là điểm tùy ý thuộc đồ thị có hoành độ bằng a 0, khi đó trình tiếp tuyến tại M có dạng: 2a 3 − 1 2 − a3 (d ) : y − y (a ) = y '(a )( x − a) ⇔ (d ) : y = x+ (1) a2 a Tọa độ giao điểm A của tiếp tuyến tại M và Oy là... = 0(3) = g ( x) Để qua A kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì pt(3) có 2 nghiệm phân biệt khác -1 a > 2 a > 2  ∆ g > 0 (3a + 2) − 8(3a + 2) > 0 −2  ⇔ ⇔ ⇔ a< ⇔ −2 (4)  − 1 ≠ a < 3  2 + 3a + 2 + 3a + 2 ≠ 0  g (−1) ≠ 0  3  a ≠ −1 2 Vậy những điểm A(a,2) trên đt y=2 có a thỏa mãn hệ (4) từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị Bài 9 Cho hàm số y= x3+3x2+mx+1 Xác định m để đường