ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ XUÂN QUỲNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ XUÂN QUỲNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Bường Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS TS Nguyễn Bường-Viện Công nghệ thông tin-Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt nam, người tận tình hướng dẫn, bảo hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo công tác trường Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà nội truyền đạt kiến thức cho suốt trình học tập trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo Viện Công nghệ thông tin, bạn đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Học viên Vũ Xuân Quỳnh Mục lục Mở đầu Khái niệm 1.1 Không gian Banach 1.2 Bài toán đặt không chỉnh 1.2.1 Khái niệm toán đặt không chỉnh 1.2.2 Khái niệm thuật toán hiệu chỉnh Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu 1.3.1 Một số khái niệm 1.3.2 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu 10 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov 12 2.1 Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử loại J-đơn điệu 12 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich 19 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 Mở đầu Trong lớp toán nảy sinh từ khoa học, kỹ thuật nghành kinh tế quốc dân tồn lớp toán mà nghiệm không ổn định với kiện ban đầu Khi kiện ban đầu thay đổi chút phương trình nghiệm có nghiệm tương ứng lại cách xa nghiệm xác nhiều Người ta nói toán đặt không chỉnh đặt yêu cầu tìm phương pháp giải ổn định toán Ta xét toán đặt không chỉnh dạng phương trình toán tử A(x) = f, f ∈ X, (1) A toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y Khi toán hiệu chỉnh phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov h Fδ,α (x) = ||Ah (x) − fδ ||2 + αΩ(x), x ∈ D(Ah ) = D(A), với việc chọn tham số α = α(h, δ) thích hợp, (Ah , fδ ) xấp xỉ (A, f ), α > tham số hiệu chỉnh, Ω(x) phiếm hàm ổn định Tuy nhiên toán phi tuyến việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov trở nên khó khăn Do để giải toán trường hợp phi tuyến, A : X → X ∗ toán tử đơn điệu, [7] Browder đề xuất dạng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cách sử dụng toán tử có tính chất h-liên tục đơn điệu mạnh Tiếp tục tư tưởng này, Alber [3] sử dụng ánh xạ đối ngẫu tổng quát để hiệu chỉnh toán Để tìm nghiệm cho toán (1), xem xét phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov có dạng A(x) + α(x − x+ ) = fδ , (2) A : X → X toán tử loại J-đơn điệu không gian Banach X có tính chất xấp xỉ Khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục yếu theo dãy liên tục mạnh (2) có nghiệm xδα hội tụ tới x0 nghiệm (1) Ta hội tụ J tính liên tục yếu theo dãy bổ sung thêm hai điều kiện ||A(x) − A(x0 ) − J ∗ A (x0 )∗ J(x − x0 )|| ≤ τ ||A(x) − A(x0 )||, (3) x ∈ X , τ > 0, J ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X ∗ , x0 nghiệm (1) tồn z ∈ X cho A (x0 )z = x+ − x0 (4) Cuối cùng, J không liên tục yếu theo dãy không thỏa mãn hai điều kiện (3), (4) ta hội tụ phương pháp Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu toán đặt không chỉnh, phương trình với toán tử loại J-đơn điệu số khái niệm dùng toàn luận văn Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh với toán tử loại J-đơn điệu phương pháp lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Luận văn chắn tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý bảo thầy cô Em xin chân thành cảm ơn! Chương Khái niệm Chương gồm ba mục Mục 1.1 trình bày khái niệm số ví dụ không gian Banach Mục 1.2 giới thiệu toán đặt không chỉnh thuật toán hiệu chỉnh Trong mục 1.3, trình bày số khái niệm giải tích hàm có liên quan tới luận văn phương trình với toán tử loại J-đơn điệu Các kiến thức tham khảo từ tài liệu [1], [4] [7] 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1 Cho (X, d) không gian metric Dãy {xn } ⊂ (X, d) gọi dãy ∀ > ∃ N = N ( ), ∀ m, n ≥ N ⇒ d(xm , xn ) < (X, d) gọi không gian metric đủ, dãy có giới hạn X Định nghĩa 1.2 Cho X không gian tuyến tính Ta nói X không gian tuyến tính định chuẩn, với x ∈ X xác định số, gọi chuẩn x (kí hiệu ||x||) thỏa mãn ba tiên đề sau: a) Xác định dương: ∀x ∈ X, ||x|| ≥ Đẳng thức xảy x = 0; b) Thuần dương: ∀x ∈ X, ∀λ ∈ R ||λx|| = |λ|.||x||; c) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Định nghĩa 1.3 Không gian Banach không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ 1.2 1.2.1 Bài toán đặt không chỉnh Khái niệm toán đặt không chỉnh Cho phương trình toán tử A(x) = f, (1.1) A : (X, d) → (Y, ρ)., X, Y không gian mêtric Phương trình (1.1) đặt chỉnh nếu: • Với f ∈ Y tồn nghiệm x(f ) ∈ X (1.1); • Nghiệm nhất; • Nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện (f, A) Bài toán (1.1) gọi đặt không chỉnh ba điều kiện không thỏa mãn, tức là, • Phương trình (1.1) nghiệm; • Phương trình (1.1) có nhiều nghiệm; • Phương trình (1.1) có nghiệm x = x(f ) không phụ thuộc liên tục vào kiện toán 1.2.2 Khái niệm thuật toán hiệu chỉnh Giả sử A−1 không liên tục thay cho f ta biết fδ : ||fδ − f || ≤ δ → Bài toán đặt cần xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc tham số tương thích với δ cho δ → phần tử xấp xỉ hội tụ tới nghiệm x0 Định nghĩa 1.4 Toán tử R(fδ , α) phụ thuộc tham số α, tác động từ không gian Banach Y vào không gian Banach X gọi toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.1), nếu: • Tồn hai số dương δ1 α1 cho toán tử R(fδ , α) xác định với α ∈ (0, α1 ) với fδ ∈ Y : ρY (fδ , f ) ≤ δ , δ ∈ (0, δ1 ); • Tồn phụ thuộc α = α(fδ , δ) cho ∀ > tồn δ( ) ≤ δ1 : ∀fδ ∈ Y, ρY (fδ , f ) ≤ δ ≤ δ1 → ρX (xα , x0 ) ≤ , xα ∈ R(fδ , α(fδ , δ)) 1.3 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu 1.3.1 Một số khái niệm Cho X không gian Banach thực X ∗ không gian đối ngẫu Ký hiệu x, x∗ giá trị hàm x∗ ∈ X ∗ x ∈ X ∗ Định nghĩa 1.5 Một ánh xạ J s : X → 2X , s ≥ xác định sau J s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x, x∗ = ||x∗ ||s−1 ||x|| = ||x||s } gọi ánh xạ đối ngẫu tổng quát Với s = ta gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ký hiệu J Mệnh đề 1.1 Giả sử X không gian Banach Khi J(x) tập lồi, J(λx) = λJ(x) ∀λ ∈ R; J ánh xạ đơn trị X ∗ không gian lồi chặt Trong trường hợp X không gian Hilbert J = I toán tử đơn vị X ∗ Định nghĩa 1.6 Một toán tử A : X → 2X đơn điệu ∀x, y ∈ D(A), x − y, f − g ≥ ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay Định nghĩa 1.7 Toán tử A : X → Y , X, Y không gian Banach, gọi • h-liên tục x0 ∈ D(A) A(x0 + tn x) A(x0 ) tn → với vectơ x thỏa mãn x0 + tn x ∈ D(A) ≤ tn ≤ t(x0 ); • demi-liên tục x0 ∈ D(A) cho dãy {xn } ⊂ D(A) thỏa mãn xn → x0 Axn Ax; • liên tục yếu theo dãy điểm x0 ∈ D(A) cho dãy {xn } ∈ D(A) cho xn x0 Axn Ax0 Định nghĩa 1.8 Không gian Banach X gọi có tính chất ES X không gian phản xạ dãy {xn }, xn ∈ X hội tụ yếu X tới x ||xn || → ||x|| xn → x Định nghĩa 1.9 Không gian Banach X gọi có tính chất xấp xỉ tồn họ không gian hữu hạn chiều {Xn } thứ tự bao hàm, họ phép chiếu tương ứng Pn : X → Xn thỏa mãn ||Pn || = với n > Xn trù mật X Định nghĩa 1.10 Cho X không gian tuyến tính định chuẩn thực Cho S1 (0) := {x ∈ E : ||x|| = 1} Không gian X gọi có chuẩn khả vi Gateaux (hay trơn) giới hạn ||x + ty|| − ||x|| t→0 t tồn cho x, y ∈ S1 (0) Không gian X gọi có chuẩn khả vi Gateaux giới hạn x ∈ S1 (0) lim Định nghĩa 1.11 Cho X không gian Banach phản xạ, X ∗ không ∗ gian liên hợp A : X → 2X Tập cặp (x, f ) ∈ X × X ∗ thỏa mãn f ∈ Ax gọi đồ thị toán tử A ký hiệu grA Định nghĩa 1.12 Không gian X gọi lồi chặt hình cầu đơn vị X lồi chặt, tức ||x + y|| < ∀x, y ∈ X thỏa mãn ||x|| = ||y|| = 1, x = y Khái niệm số tính chất giới hạn Banach đưa sau Định nghĩa 1.13 Cho µ phiếm hàm tuyến tính liên tục l∞ cho (a1 , a2 , ) ∈ l∞ Khi µ gọi giới hạn Banach thỏa mãn ||µ|| = µk (1) = µk (ak+1 ) = µk (ak ) cho (a1 , a2 , ) ∈ l∞ Ở µk (ak ) viết thay cho µ((a1 , a2 , )) Định lý 1.5 Nếu toán tử A m-J-đơn điệu toán tử J-đơn điệu cực đại Ta xét phương trình (1.1) với A toán tử J-đơn điệu Định lý 1.6 Giả sử X X ∗ không gian Banach lồi chặt X có tính chất xấp xỉ, toán tử A : X → X J-đơn điệu demi-liên tục với miền xác định D(A) = X, ánh xạ đối ngẫu J : X → X ∗ liên tục liên tục yếu theo dãy, tồn r > cho với x thỏa mãn ||x|| = r, Ax − f, Jx ≥ Khi phương trình Ax = f có nghiệm x ¯ với ||¯ x|| ≤ r Định nghĩa 1.20 Một điểm x0 ∈ X gọi nghiệm suy rộng phương trình (1.1) với A toán tử J-đơn điệu bất đẳng thức y − f, J(x − x0 ) ≥ ∀y ∈ Ax thỏa mãn với x ∈ D(A) Định lý 1.7 Giả sử X X ∗ không gian Banach lồi đều, X có tính xấp xỉ, ánh xạ đối ngẫu J liên tục yếu theo dãy, toán tử A : X → 2X J-đơn điệu với miền xác định D(A) = X tồn r > cho với x mà ||x|| = r, tồn y ∈ Ax thỏa mãn y − f, Jx ≥ Khi phương trình (1.1) có nghiệm suy rộng x ¯ với ||¯ x|| ≤ r Chú ý 1.1 Nếu toán tử A định lý 1.7 J-đơn điệu chặt, phương trình toán tử tương ứng có nghiệm Chương sau trình bày phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov cho phương trình phi tuyến với toán tử loại J-đơn điệu 11 Chương Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Chương gồm hai mục Mục 2.1 trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục yếu theo dãy tính chất Trong mục 2.2, giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Các kết tham khảo từ tài liệu [4], [8] - [11] [14] 2.1 Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử loại J-đơn điệu Trong không gian Banach X có tính chất xấp xỉ, A : X → X toán tử J-đơn điệu hemi-liên tục, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X ∗ liên tục liên tục yếu theo dãy X Ta xét phương trình Ax = f (2.1) với f ∈ X Giả sử tập nghiệm S khác rỗng ta biết xấp xỉ (Ah , fδ ) (A, f ), Ah : X → X toán tử J-đơn điệu hemi-liên tục với h > 0, D(Ah ) = D(A) = X fδ ∈ X với δ > Ta giả thiết ||fδ − f || ≤ δ (2.2) ||Ax − Ah x|| ≤ g(||x||)h ∀x ∈ X, (2.3) 12 g(t) hàm không âm liên tục với t ≥ Khi ta có phương trình hiệu chỉnh sau Ah x + αx = fδ (2.4) Từ tính J-đơn điệu toán tử Ah ta có Ah x + αx, Jx = Ah x − Ah (θX ) + Ah (θX ) + αx, Jx = Ah x − Ah (θX ), J(x − θX ) + Ah (θX ), Jx + αx, Jx ≥ α||x||2 − ||Ah (θX )|| ||x|| = ||x||(α||x|| − ||Ah (θX )||) (2.5) Do đó, toán tử T = Ah + αI nên theo định lý 1.7 phương trình (2.4) có nghiệm xδ,h α , với α > Nó nghiệm T J-đơn điệu mạnh (xem ý 1.1) Như vậy, δ,h Ah xδ,h α + αxα = fδ (2.6) Định lý sau hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh δ+h → α → thỏa mãn α ¯∗ ∈ S, x¯∗ nghiệm phương trình (2.1) xδ,h α → x thỏa mãn bất phương trình Định lý 2.1 Nếu điều kiện x¯∗ , J(¯ x∗ − x∗ ) ≤ ∀x∗ ∈ S (2.7) Hệ 2.1 Cho phương trình hiệu chỉnh Ah x + α(x − x+ ) = fδ , δ+h → α → nghiệm α hội tụ mạnh tới nghiệm x ¯∗ ∈ S thỏa mãn bất phương trình x+ ∈ X phần tử cố định, x¯∗ − x+ , J(¯ x∗ − x∗ ) ≤ ∀x∗ ∈ S Bây ta xét toán thêm điều kiện X không gian Banach phản xạ lồi chặt có tính xấp xỉ, không gian liên hợp X ∗ lồi chặt Gọi xδα nghiệm phương trình A(x) + αx = fδ ; 13 (2.8) xα nghiệm phương trình A(x) + αx = f (2.9) δ Theo [4] ta biết xδ,h α , xα xα tồn Bổ đề 2.1 Giả sử A : D(A) = X → X J-đơn điệu khả vi Frechet X L = A (h), h ∈ X, α số thực dương Khi ||(αI + L)−1 || ≤ ; ||(αI + L)−1 L|| ≤ α Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh tốc độ hội tụ đưa định lý sau Định lý 2.2 Cho J : X → X ∗ liên tục yếu theo dãy A : D(A) → X toán tử J-đơn điệu với D(A) = X Khi {xα } hội tụ tới x ¯∗ nghiệm phương trình (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức x¯∗ , J(¯ x∗ − x∗ ) ≤ ∀x∗ ∈ S Ngoài A thỏa mãn điều kiện sau: A khả vi Frechet X, tồn số dương K0 , để với bất ¯r (¯ kỳ v ∈ X, x ∈ B x∗ ), r = ||¯ x∗ ||, tồn phần tử k(x, x¯∗ , v) ∈ X ||k(x, x¯∗ , v)|| ≤ K0 ||v|| ||x − x¯∗ || cho (A (x) − A (¯ x∗ ))v = A (¯ x∗ )k(x, x¯∗ , v); Tồn ω ∈ X thỏa mãn x ¯∗ = A (¯ x∗ )ω Khi đó, α = O(δ 1/2 + h1/2 ), ta có ||xδ,h ¯∗ || ≤ O(δ 1/2 + h1/2 ) α −x δ → 0, h → Tiếp theo ta xét phương trình hiệu chỉnh cho phương trình (2.1) không gian Banach thực phản xạ X có tính xấp xỉ, với không gian liên hợp X ∗ lồi chặt Nếu A thêm tính chất J-đơn điệu mạnh nói chung (2.1) toán đặt không chỉnh Ta xét phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov có dạng sau Ah (x) + α(x − x+ ) = fδ , 14 ||fδ − f || ≤ δ → (2.10) Ở A m-J-đơn điệu X, Ah có tính chất m-J-đơn điệu thỏa mãn điều kiện xấp xỉ ||A(x) − Ah (x)|| ≤ hg(||x||), (2.11) hàm g(t) bị chặn, liện tục không âm, x+ phần tử thuộc X đóng vai trò tiêu chuẩn lựa chọn Bằng cách chọn x+ ta chọn nghiệm ta muốn xấp xỉ Vì Ah m-J-đơn điệu nên phương trình (2.10) có nghiệm nhất, ký hiệu xδ,h α Hơn nữa, [2] Alber chứng minh xδ,h α → x0 , nghiệm (2.1), (δ + h)/α, α → 0, J liên tục yếu theo dãy liên tục mạnh Do lớp không gian Banach vô hạn chiều có tính liên tuc yếu J nhỏ (chỉ lp ) Ở phần ta hội tụ xδ,h α mà không cần tính liên tục yếu theo dãy J điều kiện nghiệm (2.1) Trước tiên ta giả sử tồn số τ > để với x ∈ X ||A(x) − A(x0 ) − J ∗ A (x0 )∗ J(x − x0 )|| ≤ τ ||A(x) − A(x0 )||, (2.12) J ∗ ánh xạ đối ngẫu X ∗ , x0 nghiệm (2.1) Ta có kết hội tụ xδ,h α sau Định lý 2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn A khả vi Frechet x0 thỏa mãn giả thiết (2.12); Tồn phần tử z ∈ X cho A (x0 )z = x+ − x0 , Tham số α chọn để α ∼ (δ + h)µ , < µ < Thì với < δ + h < 1, ta có θ ||xδ,h α − x0 || = O((δ + h) ), θ = min{1 − µ, µ/2} Xét phương trình toán tử (2.1), với A ánh xạ m-J-đơn điệu, f ∈ X , X không gian Banach thực phản xạ lồi chặt với chuẩn khả 15 vi Gateaux giả sử tập nghiệm S khác rỗng Nếu X trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị, ta kí hiệu j Ta xét phương trình hiệu chỉnh sau: A(x) + α(x − x+ ) = fδ , (2.13) α > tham số hiệu chỉnh, x+ ∈ X phần tử dự đoán fδ ∈ X với ||fδ − f || ≤ δ → Trong [2] Abel hàm ρ(α) = α||xδα − x+ ||, với xδα nghiệm (2.13), liên tục đơn điệu không giảm A liên tục x+ lim ρ(α) = 0, α→0 lim ρ(α) = ||Ax+ − fδ || α→+∞ Sau ông ||Ax+ − fδ || > Kδ p , K > 2, < p ≤ 1, tồn giá trị α ¯ = α(δ) thỏa mãn ||A(xδα(δ) )−fδ || = Kδ p (K − 1)δ p /α(δ) ≤ 2||y0 − x+ || Do < p < ta có δ/α(δ) ≤ 2||y0 − x+ ||δ 1−p /(K − 1) → 0, δ → Như vậy, J liên tục liên tục yếu theo dãy xδα(δ) → y∗ ∈ S Ở phần trước, ta điều kiện để nghiệm hiệu chỉnh hội tụ tới nghiệm toán mà không cần tính liên tục yếu theo dãy J Trong phần tới, không cần tính chất liên tục yếu theo dãy J điều kiện (2.12), ta hội tụ mạnh thuật toán (2.13) đưa tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Cho phần tử cố định f ∈ X , ta xác định ánh xạ u = Tf (x) Af (u) + u = x, Af (.) = A(.) − f, cho x ∈ X Khi Tf có tính chất sau: • D(Tf ) = X; • Tf ánh xạ không giãn; • F ix(Tf ) = S 16 Bổ đề 2.2 Giả sử C tập lồi không gian Banach X có chuẩn khả vi Gateaux Cho {xk } tập bị chặn X, z phần tử thuộc C cho µ giới hạn Banach Khi µk ||xk − z||2 = µk ||xk − u||2 u∈C µk u − z, j(xk − z) ≤ cho u ∈ C Các định lý 2.4 - 2.7 hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Định lý 2.4 Cho X không gian Banach thực, phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vi Gateaux cho A ánh xạ m-J-đơn điệu X Khi đó, với α > f ∈ X , phương trình A(x) + α(x − x+ ) = f, (2.14) có nghiệm xα Hơn có thêm tập nghiệm (1.1) S = ∅ dãy {xα } hội tụ mạnh tới phần tử y∗ ∈ X , nghiệm bất đẳng thức biến phân sau: y∗ ∈ S : y∗ − x+ , j(y∗ − y) ≤ ∀y ∈ S (2.15) Ngoài ta có ||xδα − xα || ≤ δ/α, xδα nghiệm phương trình (2.13), ∀α > fδ ∈ X Định lý 2.5 Cho X không gian Banach thực, phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vi Gateaux cho A toán tử m-J-đơn điệu X Cho f fδ phần tử X cho ||fδ − f || ≤ δ → Khi đó, có thêm tập nghiệm (2.1) S = ∅ tham số α chọn để δ/α → α → {xδα } hội tụ mạnh tới phần tử y∗ ∈ X , nghiệm bất đẳng thức biến phân sau: y∗ ∈ S : y∗ − x+ , j(y∗ − y) ≤ 0, ∀y ∈ S ; 17 với số dương αi δi với i = 1, 2, ta có ||xδα11 − xδα22 || ≤ (M1 + ||x+ ||) |α1 − α2 | δ1 + δ2 + α1 α1 M1 số dương Định lý 2.6 Cho X, A f định lý 2.4 cho S = ∅ Giả sử tồn phần tử v ∈ X để x+ − y∗ = A (y∗ )v đạo hàm Frechet A (.) liên tục Lipchitz địa phương hình cầu Br (y∗ ) = {x ∈ X : ||x − y∗ || ≤ ||x+ − y∗ ||} Khi đó, với α > 0, ta có ||xα − y∗ || ≤ 2(2L||v||2 + ||v||)α Định lý 2.7 Cho X, A f định lý 2.6 Giả sử tồn phần tử v ∈ X để x+ − y∗ = A (y∗ )v điều kiện định lý 2.6 thỏa mãn tồn số k0 > cho k0 ||x+ − y∗ || < (A (x) − A (y∗ ))ω = A (y∗ )k(x, y∗ , ω), ||k(x, y∗ , ω)|| ≤ k0 ||ω|| ||x − y∗ ||, √ ∀x, ω ∈ Br˜(y∗ ), r˜ > r + δ/α Nếu α chọn cho α = O( δ), √ δ ||xα − y∗ || ≤ O( δ) Trong [13] Ryazantseva xem xét thuật toán điểm gần kề kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov có dạng: ck (A(xk+1 ) + αk xk+1 − fk ) + xk+1 = xk , x0 ∈ X, dãy {xk } sinh phương trình hội tụ mạnh tới nghiệm phương trình (2.1) J có tính chất liên tục liên tục yếu theo dãy, dãy {xk } bị chặn số điều kiện cho ck αk Ta tính bị chặn dãy {xk } sinh phương trình tổng quát sau: ck (A(xk+1 ) + αk xk+1 − fk ) + xk+1 − xk = γk (xk − xk−1 ) mà không cần tính liên tục yếu theo dãy J 18 (2.16) Bổ đề 2.3 Cho {ak }, {bk }, {ck } ba dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện sau: ak+1 ≤ (1 − bk )ak + bk ck , bk < 1; ∞ n=0 bk = +∞, limk→+∞ ck = Khi limk→+∞ ak = Định lý sau hội tụ nghiệm hiệu chỉnh với điều kiện ràng buộc cho ck , αk γk Định lý 2.8 Cho X, A, f định lý 2.5 cho S = ∅ fk ∈ X thỏa mãn ||fk − f || ≤ δk , k → ∞ Giả sử tham số ck , αk , γk thỏa mãn điều kiện sau: C0 > ck > c0 > 0, γk ≥ 0, C0 c0 số dương, ∞ k=1 τk = +∞, ∞ −1 k=1 γk τk ||xk τk = αk ck /(1 + αk ck ), − xk−1 || < +∞, αk > 0, limk→+∞ αk = 0, limk→+∞ Dk /τk = 0, Dk = M1 |αk − αk+1 | δk + δk+1 + αk αk Khi đó, dãy {xk } xác định phương trình (2.16) hội tụ mạnh tới y∗ nghiệm (2.15), k → +∞ 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich Trong phần tìm nghiệm cho phương trình phi tuyến không chỉnh (2.1) với A toán tử m-J-đơn điệu, dựa vào phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich Ta giả sử tập nghiệm (2.1), ký hiệu S khác rỗng, thay cho f, ta biết xấp xỉ fδ thỏa mãn ||fδ − f || ≤ δ → (2.17) Nếu A tính chất J-đơn điệu mạnh phương trình (2.1) nói chung không chỉnh Để giải toán (2.1), ta dùng phương 19 pháp ổn định phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (2.13) trình bày phần trước Tuy nhiên A toán tử phi tuyến toán phi tuyến, khó giải thực tế Để khắc phục điều này, phương pháp ổn định khác phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich không gian Hilbert H Bukushinskii [5] đưa sau: z0 ∈ H, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn zn+1 = fδ (2.18) Sau Bakushinskii Smirnova [6] tìm hội tụ (2.18) với quy tắc dừng hậu nghiệm : ||A(zN ) − fδ ||2 ≤ τ δ < ||A(zn ) − fδ ||2 , ≤ n < N = N (δ), (2.19) với điều kiện ||A (x)|| ≤ ∀x ∈ H A liên tục L-Lipchitz, τ > số cố định Phương pháp (2.18) Abel Ryazantseva [4] mở rộng từ không gian Hilbert vào không gian Banach với dạng sau: z0 ∈ X, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn J s (zn+1 ) = fδ , với điều kiện ||A (x)|| ≤ ϕ(||x||), (2.20) ϕ(t) hàm không âm, không giảm với t ≥ 0, A ánh xạ đơn điệu từ X vào X ∗ Ta biết A khả vi Gateaux J-đơn điệu A (z)(.) ánh xạ J-đơn điệu cho z cố định thuộc X Hơn nữa, A (z)(.)là tuyến tính liên tục, liên tục yếu Từ đó, phương trình z0 ∈ X, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ (2.21) có nghiệm zn+1 , cho số nguyên n ≥ 0, với αn , δ > Để giải toán (2.1) với điều kiện (2.17), chứng minh định lý hội tụ mạnh cho phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich (2.21) với quy tắc dừng hậu nghiệm (2.19) điều kiện (2.20) mà điều kiện nhiễu vế phải, tức ta xem xét phương pháp lặp sau: x0 ∈ X, A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn (xn+1 − x+ ) = f 20 (2.22) Định lý hội tụ mạnh dãy {xn } Định lý 2.9 Cho X không gian Banach thực, phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vi Gateaux cho A ánh xạ m-J-đơn điệu, khả vi Frechet hai lần X với điều kiện (2.20) Giả sử dãy {αn }, số thực d điểm ban đầu x0 thỏa mãn điều kiện sau: {αn } dãy đơn điệu giảm với < αn < tồn σ > thỏa mãn αn+1 ≥ σαn với n = 0, 1, ; ϕ0 ||x0 − xα0 || ≤ q < 1, ϕ0 = ϕ(d + γ), 2σα0 số dương γ tìm từ giới hạn 2σα0 ≤ γ, d ≥ 2||x∗ − x+ || + ||x+ ||, ϕ0 (2.23) x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân sau: x∗ ∈ S : x∗ − x+ , J(x∗ − y) ≤ ∀y ∈ S, (2.24) xα0 nghiệm phương trình A(x) + αn (x − x+ ) = f, (2.25) với n = 0; αn − αn+1 q − q2 ϕ0 d ≤ , c = αn2 c1 2σ Khi limn→+∞ ||xn − x∗ || = Định lý 2.10 Cho X, A, αn định lý 2.9 với toán tử A liên tục L-Lipchitz điều kiện thứ thỏa mãn Cho τ > (2.19) chọn cho √ ϕ||z ˜ − xα0 || 3dL ≤ q, < q < − , ϕ˜ = ϕ0 + 2L2 /˜ τ , τ˜ = ( τ − 1)2 , 2σα0 τ˜σ (2.26) 21 d xác định định lý 2.9, số dương γ lấy từ giới hạn (2.23) với ϕ0 thay ϕ˜, αn − αn+1 d 2Lσ + ≤ q αn2 τ˜ ϕ˜ ˜τ (2.27) Khi Cho n = 0, 1, ., N (δ), ϕ||z ˜ n − xαn || ≤ q, 2σαn zn nghiệm (2.21) N (δ) chọn (2.19) Dãy {N (δ)} chấp nhận được, tức là, lim ||zN (δ) − y|| = 0, δ→0 y ∈ S Nếu N (δ) → ∞ δ → 0, y = x∗ 22 (2.28) Kết luận Sau thời gian làm việc hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường luận văn hoàn thành Luận văn giới thiệu toán đặt không chỉnh phương trình với toán tử loại J-đơn điệu Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại J-đơn điệu J có tính liên tục yếu theo dãy tính chất Cuối cùng, giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich Trong luận văn định lý chứng minh chi tiết Các vấn đề đưa luận văn dựa kết nghiên cứu gần GS.TS Nguyễn Bường đồng nghiệp 23 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Alber Y (1975), On solution by the method of regularization for operator equation of the first kind involving accretive mappings in Banach spaces , Differential Equations SSSR, XI, 2242-2248 [3] Alber Y (1975), On solving nonlinear equations involving monotone operator in Banach space, Sibirian Mathematics Journal, 26, 3-11 [4] Alber Y., Ryazantseva I (2006), Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer [5] Bakushinskii A (1976), Regularization Algorithm based on the NewtonKantorovich method for solving variational inequalities, Zh Vychisl Mat Fiz SSSR, 16(6) 1397-1404 [6] Bakushinskii, A B., Smirnova, A (2007), Iterative regularization and genaralized discrepancy principle for monotone operator equations, Numer Funct Anal and Optim 28(1-2) 13-25 [7] Browder F E (1966), Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities, Proc Nat Acad Sci USA 56(4) 1080-1086 [8] Nguyen Buong (2004), Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations under accretive perturbations, Zh Vychist Mat Mat Fiz, 44(3) 397-402 [9] Buong Ng., Phuong Ng.Th.H (2012) , Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces, Applied Math Sciences, 6(63) 3109-3117 [10] Buong Ng., Phuong Ng.Th.H (2013), Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces, Russian Math., 57(2) 58-64 [11] Nguyen Buong, Nguyen Duong Nguyen, and Nguyen Thi Thu Thuy (2015), Newton-Kantorovich iterative regularization and genaralized discrepancy principle for nonlinear ill-posed equations involving accretive 24 mappings, Russian Math., 59(5) 32-37 [12] Konyagin C.V (1980), On approximative properties of closed sets in Banach spaces and the characteristics of strongly convex spaces, Dokl Akad Nauk SSSR, 251(2) 276-280 [13] Ryazantseva I P (2002), Regularization proximal point algorithm for nonlinear equations of monotone type in Banach space, Zhurn Vychisl Matem i Matem Fiz., 42(9) 1295-1303 [14] Wang J., Li J., Liu Z (2008), Regularization methods for nonlinear ill-posed problems with accretive operators, Acta Math Scientia., 28b(1) 141-150 25 [...]... về phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục yếu theo dãy và khi nó không có tính chất này Trong mục 2.2, chúng tôi giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov Các kết quả được tham khảo từ các tài liệu [4], [8] - [11] và [14] 2.1 Phương pháp Browder- Tikhonov với toán tử loại J- đơn điệu Trong không. .. thành Luận văn giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh và phương trình với toán tử loại J- đơn điệu Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại J- đơn điệu khi J có tính liên tục yếu theo dãy và khi nó không có tính chất này Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich Trong luận văn các định lý đã được chứng minh chi... phương trình (1.1) có ít nhất một nghiệm suy rộng x ¯ với ||¯ x|| ≤ r Chú ý 1.1 Nếu toán tử A trong định lý 1.7 là J- đơn điệu chặt, thì phương trình toán tử tương ứng có duy nhất nghiệm Chương sau chúng tôi sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov cho phương trình phi tuyến với toán tử loại J- đơn điệu 11 Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov Chương này gồm hai mục Mục 2.1 trình. .. − Ax2 , J( x1 − x2 ) ≥ γ(||x1 − x2 ||), trong đó x1 , x2 ∈ D(A) Toán tử A là J- đơn điệu mạnh nếu γ(t) = ct2 , với c > 0 Định nghĩa 1.19 Một toán tử J- đơn điệu A : X → X được gọi là m -J ơn điệu nếu R(A + αI) = X với mọi α > 0, trong đó I là toán tử đơn vị trong X 10 Định lý 1.5 Nếu toán tử A là m -J- đơn điệu thì nó là toán tử J- đơn điệu cực đại Ta xét phương trình (1.1) với A là toán tử J- đơn điệu Định... theo ta xét phương trình hiệu chỉnh cho phương trình (2.1) trong không gian Banach thực phản xạ X có tính xấp xỉ, với không gian liên hợp X ∗ lồi chặt Nếu A không có thêm tính chất J- đơn điệu mạnh hoặc đều thì nói chung (2.1) là bài toán đặt không chỉnh Ta xét phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov có dạng như sau Ah (x) + α(x − x+ ) = fδ , 14 ||fδ − f || ≤ δ → 0 (2.10) Ở đây A là m -J- đơn điệu trong... được gọi là bức nếu Ax, Jx ≥ c(||x||)||x||, ở đây c(t) → +∞ khi t → +∞ Định nghĩa 1.17 Toán tử J- đơn điệu A : X → X được gọi là J- đơn điệu cực đại nếu đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị toán tử J- đơn điệu khác Định lý 1.4 Cho A : X → X là toán tử J- đơn điệu và hemi-liên tục với D(A) = X thì A là J- đơn điệu cực đại Định nghĩa 1.18 Toán tử A : X → X được gọi là J- đơn điệu đều nếu tồn tại... A không có tính chất J- đơn điệu đều hoặc mạnh thì phương trình (2.1) nói chung là không chỉnh Để giải bài toán (2.1), ta dùng các phương 19 pháp ổn định như phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov (2.13) đã trình bày ở phần trước Tuy nhiên khi A là toán tử phi tuyến thì bài toán này cũng là phi tuyến, do đó khó giải quyết trong thực tế Để khắc phục điều này, một phương pháp ổn định khác là phương pháp. .. đó, dãy {xk } xác định bởi phương trình (2.16) hội tụ mạnh tới y∗ là nghiệm của (2.15), khi k → +∞ 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich Trong phần này chúng ta tìm nghiệm cho phương trình phi tuyến không chỉnh (2.1) với A là toán tử m -J- đơn điệu, dựa vào phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich Ta luôn giả sử rằng tập nghiệm của (2.1), ký hiệu là S khác rỗng, và thay cho f, ta chỉ biết xấp xỉ... của phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov được đề xuất vào năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân bởi Browder [7] Trong đó sử dụng toán tử M : X → X ∗ có tính chất h-liên tục và đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Dựa vào đó Alber [3] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình (1.1) trên cơ sở phương trình sau A(x) + J s (x − x0 ) = fδ , (1.2) trong đó A là toán tử đơn điệu, h-liên... là J- đơn điệu nếu ∃ j( x1 − x2 ) ∈ J( x1 − x2 ) sao cho Ax1 − Ax2 , j( x1 − x2 ) ≥ 0 ∀x1 , x2 ∈ D(A) Toán tử A được gọi là J- đơn điệu chặt nếu đẳng thức trên xảy ra khi x1 = x2 Ngoài ra ta còn định nghĩa khác cho toán tử J- đơn điệu như sau Định nghĩa 1.15 Một toán tử A : X → X được gọi là J- đơn điệu nếu ||x1 − x2 || ≤ ||x1 − x2 + λ(Ax1 − Ax2 )|| ∀λ > 0, ∀x1 , x2 ∈ D(A) Định nghĩa 1.16 Toán tử J- đơn điệu