ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ XUÂN QUỲNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ XUÂN QUỲNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Bường Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS TS Nguyễn Bường-Viện Công nghệ thông tin-Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt nam, người tận tình hướng dẫn, bảo hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo công tác trường Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà nội truyền đạt kiến thức cho suốt trình học tập trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo Viện Công nghệ thông tin, bạn đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Học viên Vũ Xuân Quỳnh Mục lục Mở đầu Khái niệm 1.1 Không gian Banach 1.2 Bài toán đặt không chỉnh 1.2.1 Khái niệm toán đặt không chỉnh 1.2.2 Khái niệm thuật toán hiệu chỉnh 10 1.3 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu 12 1.3.1 Một số khái niệm 12 1.3.2 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu 16 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov 19 2.1 Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử loại J-đơn điệu 19 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich 37 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Trong lớp toán nảy sinh từ khoa học, kỹ thuật nghành kinh tế quốc dân tồn lớp toán mà nghiệm không ổn định với kiện ban đầu Khi kiện ban đầu thay đổi chút phương trình nghiệm có nghiệm tương ứng lại cách xa nghiệm xác nhiều Người ta nói toán đặt không chỉnh đặt yêu cầu tìm phương pháp giải ổn định toán Ta xét toán đặt không chỉnh dạng phương trình toán tử A(x) = f, f ∈ X, (1) A toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y Khi toán hiệu chỉnh phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov h Fδ,α (x) = ||Ah (x) − fδ ||2 + αΩ(x), x ∈ D(Ah ) = D(A), với việc chọn tham số α = α(h, δ) thích hợp, (Ah , fδ ) xấp xỉ (A, f ), α > tham số hiệu chỉnh, Ω(x) phiếm hàm ổn định Tuy nhiên toán phi tuyến việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov trở nên khó khăn Do để giải toán trường hợp phi tuyến, A : X → X ∗ toán tử đơn điệu, [7] Browder đề xuất dạng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cách sử dụng toán tử có tính chất h-liên tục đơn điệu mạnh Tiếp tục tư tưởng này, Alber [3] sử dụng ánh xạ đối ngẫu tổng quát để hiệu chỉnh toán Để tìm nghiệm cho toán (1), xem xét phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov có dạng A(x) + α(x − x+ ) = fδ , (2) A : X → X toán tử loại J-đơn điệu không gian Banach X có tính chất xấp xỉ Khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục yếu theo dãy liên tục mạnh (2) có nghiệm xδα hội tụ tới x0 nghiệm (1) Ta hội tụ J tính liên tục yếu theo dãy bổ sung thêm hai điều kiện ||A(x) − A(x0 ) − J ∗ A (x0 )∗ J(x − x0 )|| ≤ τ ||A(x) − A(x0 )||, (3) x ∈ X , τ > 0, J ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X ∗ , x0 nghiệm (1) tồn z ∈ X cho A (x0 )z = x+ − x0 (4) Cuối cùng, J không liên tục yếu theo dãy không thỏa mãn hai điều kiện (3), (4) nghiệm hiệu chỉnh phương pháp hội tụ tới nghiệm toán Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu toán đặt không chỉnh, phương trình với toán tử loại J-đơn điệu số khái niệm dùng toàn luận văn Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh với toán tử loại J-đơn điệu phương pháp lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Luận văn chắn tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý bảo thầy cô Em xin chân thành cảm ơn! Chương Khái niệm Chương gồm ba mục Mục 1.1 trình bày khái niệm số ví dụ không gian Banach Mục 1.2 giới thiệu toán đặt không chỉnh thuật toán hiệu chỉnh Trong mục 1.3, trình bày số khái niệm giải tích hàm có liên quan tới luận văn phương trình với toán tử loại J-đơn điệu Các kiến thức tham khảo từ tài liệu [1], [4] [7] 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1 Cho (X, d) không gian metric Dãy {xn } ⊂ (X, d) gọi dãy ∀ > ∃ N = N ( ), ∀ m, n ≥ N ⇒ d(xm , xn ) < (X, d) gọi không gian metric đủ, dãy có giới hạn X Định nghĩa 1.2 Cho X không gian tuyến tính Ta nói X không gian tuyến tính định chuẩn, với x ∈ X xác định số, gọi chuẩn x (kí hiệu ||x||) thỏa mãn ba tiên đề sau: a) Xác định dương: ∀x ∈ X, ||x|| ≥ Đẳng thức xảy x = 0; b) Thuần dương: ∀x ∈ X, ∀λ ∈ R ||λx|| = |λ|.||x||; c) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Định nghĩa 1.3 Không gian Banach không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ Ví dụ 1.1 Không gian Rn với chuẩn Euclid khoảng cách xác định sau: n |ξi |2 ) , ||x|| = ( i=1 d(x, y) = ||x − y||, với x = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn , y ∈ Rn không gian Banach Ví dụ 1.2 Không gian hàm thực liên tục C[a,b] với chuẩn khoảng cách xác định sau: ||x|| = max |x(t)|, a≤t≤b d(x, y) = max |x(t) − y(t)|, a≤t≤b với x(t), y(t) ∈ C[a, b] không gian Banach Ví dụ 1.3 Không gian lp ( p ≥ 1), tập dãy số η1 , η2 , , ηn , thỏa mãn ∞ |ηn |p < ∞ n=1 không gian Banach Thật vậy, với x = (η1 , η2 , ), y = (ν1 , ν2 , ) ∈ lp (p ≥ 1) chuẩn khoảng cách xác định sau: ∞ |ηn |p ) p , ||x|| = ( n=1 ∞ |ηn − νn |p ) p ||x − y|| = ( n=1 (m) (m) Giả sử {xm }∞ m=1 dãy Cauchy lp , xm = (η1 , η2 , ) Do với > ∃m0 , ∀m ≥ m0 , ∀r nguyên dương, ta có ||xm − xm+r || ≤ hay ∞ |ηn(m) − ηn(m+r) |p ) p ≤ , ( n=1 (m) (m+r) (m) − ηn | ≤ ∀n, ∀m ≥ m0 , dó ∀n ∃ limm→∞ ηn = ηn0 (m+r) p p1 (m) Như vậy, ( N − η | ) ≤ ∀N Cho r → ∞ ta |η n n n=1 suy |ηn N |ηn(m) − ηn0 |p ) p ≤ ∀N ( n=1 Ta cho N → ∞ ∞ |ηn(m) − ηn0 |p ) p ≤ , ( n=1 (m) (m) − η10 , η2 − η20 , ) ∈ lp Suy x0 = (η10 , η20 , ) = (m) (m) (m) (m) (η1 , η2 , ) − (η1 − η10 , η2 − η20 , ) = xm − z ∈ lp Nên ||z|| = ||xm − x0 || ≤ ∀m ≥ m0 , hay x0 = limm→∞ xm Vậy lp không gian Banach từ z := (η1 Ví dụ 1.4 Không gian co tập tất dãy số µ1 , µ2 , , µn , hội tụ tới không gian Banach Trong không gian này, chuẩn khoảng cách xác định bởi: ||x|| = sup |µn |, n d(x, y) = ||x − y||, (k) (k) x, y ∈ co Cho {xk } dãy Cauchy co , xk = (µ1 , µ2 , ) Khi ∀ > ∃k0 , ∀k ≥ k0 , ∀p nguyên dương ||xk − xk+p || ≤ Vì (k) (k) (k+p) ||xk || = supn |µn | nên |µn − µn | ≤ ∀n Do n cố định (k) (k) {µn } dãy Cauchy, tồn µ0n để limk→∞ µn = µ0n Ta suy (k) (k) |µn − µ0n | ≤ ∀n Với k cố định limn→∞ µn = nên ∃n0 ∀n ≥ n0 (k) (k) (k) để |µn | ≤ Từ |µ0n | ≤ |µn | + |µn − µ0n | ≤ ∀n ≥ n0 Do x0 = (µ01 , µ02 , ) ∈ co limk→∞ xk = x0 1.2 1.2.1 Bài toán đặt không chỉnh Khái niệm toán đặt không chỉnh Cho phương trình toán tử A(x) = f, (1.1) A : (X, d) → (Y, ρ)., X, Y không gian mêtric Phương trình (1.1) đặt chỉnh nếu: • Với f ∈ Y tồn nghiệm x(f ) ∈ X (1.1); • Nghiệm nhất; • Nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện (f, A) Phương trình (1.1) gọi đặt không chỉnh ba điều kiện không thỏa mãn, tức là, • Phương trình (1.1) nghiệm; • Phương trình (1.1) có nhiều nghiệm; • Phương trình (1.1) có nghiệm x = x(f ) không phụ thuộc liên tục vào kiện toán Ví dụ 1.5 Cho phương trình tích phân Fredholm loại b K(t, s)x(s)ds = f0 (t), t ∈ [c, d], (1.2) a −∞ < a < b < +∞, −∞ < c < d < +∞, x(s) nghiệm, vế phải f0 (t) hàm số cho trước, nhân dK K(t, s) hàm liên tục Ta giả thiết nghiệm x(s) ∈ C[a, b] với dt khoảng cách hai hàm x1 x2 lớp ρC[a,b] (x1 , x2 ) = max |x1 (s) − x2 (s)| s∈[a,b] A m-J-đơn điệu nên α1 xδα11 − xδα22 , j(xδα11 − xδα22 ) + (α1 − α2 ) xδα22 − x+ , j(xδα11 − xδα22 ) ≤ fδ1 − fδ2 , j(xδα11 − xδα22 ) , từ α1 ||xδα11 −xδα22 ||2 ≤ (M1 +||x+ ||)|α1 −α2 | ||xδα11 −xδα22 ||+(δ1 +δ2 )||xδα11 −xδα22 ||, ta chọn M1 cho ||xδα22 || ≤ M1 Do vậy, ||xδα11 − xδα22 || ≤ (M1 + ||x+ ||) |α1 − α2 | δ1 + δ2 + α1 α1 ✷ Định lý 2.6 Cho X, A f định lý 2.4 cho S = ∅ Giả sử tồn phần tử v ∈ X để x+ − y∗ = A (y∗ )v đạo hàm Frechet A (.) liên tục Lipchitz địa phương hình cầu Br (y∗ ) = {x ∈ X : ||x − y∗ || ≤ ||x+ − y∗ ||} Khi đó, với α > 0, ta có ||xα − y∗ || ≤ 2(2L||v||2 + ||v||)α Chứng minh Đặt F = A (y∗ ), Rα = α(F + αI)−1 B = F Rα , αF − αB = αF − αF Rα = αF (I − Rα ) = αF [(F + αI) − αI](F + αI)−1 = F B Đặt zα = xα − y∗ , ta A(xα ) − A(y∗ + Bv) + α(zα − Bv) = A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + α(zα − Bv) − α(xα − x+ ) = A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + α(x+ − y∗ ) − αBv = A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + αF (v) − αBv = A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + F Bv, 32 Sử dụng tính liên tục Lipchitz A (.) bổ đề 2.1, ta có α||zα − Bv||2 ≤ Axα − A(y∗ + Bv) + α(zα − Bv), j(zα − Bv) ⇔ α||zα − Bv||2 ≤ A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + F Bv, j(zα − Bv) ⇔ ||zα − Bv|| ≤ ||A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + A (y∗ )Bv|| α ⇔ ||zα − Bv|| ≤ ||A (y∗ ) − A (¯ y∗ )||.||Bv||, y¯∗ ∈ Br (y∗ ) α L ⇔ ||zα − Bv|| ≤ ||Bv||2 α L ⇔ ||zα − Bv|| ≤ ||αF (F + αI)−1 ||2 ||v||2 α ⇔ ||zα − Bv|| ≤ 4Lα.||v||2 Mặt khác ||Bv|| ≤ 2α||v||, ||zα || = ||xα − y∗ || ≤ ||zα − Bv|| + ||Bv|| ≤ 2(2L||v||2 + ||v||)α ✷ Định lý 2.7 Cho X, A f định lý 2.6 Giả sử tồn phần tử v ∈ X để x+ − y∗ = A (y∗ )v hai điều kiện sau thỏa mãn: A (.) liên tục Lipchitz định lý 2.6 Tồn số k0 > cho k0 ||x+ − y∗ || < (A (x)−A (y∗ ))ω = A (y∗ )k(x, y∗ , ω), ||k(x, y∗ , ω)|| ≤ k0 ||ω|| ||x−y∗ ||, ∀x, ω ∈ Br˜(y∗ ), r˜ > r + δ/α √ Khi đó, α chọn cho α = O( δ), √ ||xδα − y∗ || ≤ O( δ) Chứng minh Nếu điều kiện định lý 2.6 thỏa mãn với kết định lý 2.4 ta thu ||xδα − y∗ || ≤ ||xδα − xα || + ||xα − y∗ || ≤ 33 δ + 2(2L||v||2 + ||v||)α α √ √ Do vậy, chọn α = O( δ) ||xδα − y∗ || ≤ O( δ) Bây ta xét trường hợp điều kiện sau thỏa mãn Đặt xt = y∗ + t(xα − y∗ ) với t ∈ (0, 1) Vì xα ∈ Br (y∗ ) nên ||xt − y∗ || = t||xα − y∗ || ≤ ||x+ − y∗ ||, suy xt ∈ Br˜(y∗ ) Mặt khác, từ (2.23) (A (xt ) − A (y∗ ))(xα − y∗ )dt A(xα ) − A(y∗ ) = A (y∗ )(xα − y∗ ) + = A (y∗ )(xα − y∗ ) + A (y∗ )k(xt , y∗ , xα − y∗ )dt suy + −α(xα − x ) = A (y∗ )(xα − y∗ ) + A (y∗ )k(xt , y∗ , xα − y∗ )dt Đẳng thức tương đương với + −α(xα −y∗ )−A (y∗ )(xα −y∗ ) = −α(x −y∗ )+ A (y∗ )k(xt , y∗ , xα −y∗ )dt Vì vậy, ta −1 xα − y∗ = α(F + αI) F v − (F + αI)−1 F k(xt , y∗ , xα − y∗ )dt Ngoài ra, với ||(F + αI)−1 F v|| ≤ 2||v||, ta có 1 ||(F + αI)−1 F k(xt , y∗ , xα − y∗ )||dt ≤ k0 ||xt − y∗ || ||xα − y∗ ||dt t||xα − y∗ ||2 dt ≤ 2k0 ≤ k0 ||xα − y∗ ||2 ≤ k0 ||x+ − y∗ || ||xα − y∗ || Từ đó, suy (1 − k0 ||x+ − y∗ ||) ||xα − y∗ || ≤ 2α||v|| Vì 2α||v|| δ + α − k0 ||x+ − y∗ || √ √ Do vậy, α = O( δ) ta thu ||xδα − y∗ || ≤ O( δ) Định lý chứng minh ✷ ||xδα − y∗ || ≤ ||xδα − xα || + ||xα − y∗ || ≤ 34 Trong [13] Ryazantseva xem xét thuật toán điểm gần kề kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov có dạng: ck (A(xk+1 ) + αk xk+1 − fk ) + xk+1 = xk , x0 ∈ X Sau đó, ông dãy {xk } sinh phương trình hội tụ mạnh tới nghiệm phương trình (2.1) J có tính chất liên tục liên tục yếu theo dãy, dãy {xk } bị chặn có thêm số điều kiện cho ck αk Ta tính bị chặn dãy {xk } sinh phương trình tổng quát sau ck (A(xk+1 ) + αk xk+1 − fk ) + xk+1 − xk = γk (xk − xk−1 ) (2.29) mà không cần tính liên tục yếu theo dãy J Bổ đề 2.3 Cho {ak }, {bk }, {ck } ba dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện sau: ak+1 ≤ (1 − bk )ak + bk ck , bk < 1; ∞ n=0 bk = +∞, limk→+∞ ck = Khi limk→+∞ ak = Định lý sau nghiệm phương trình (2.29) hội tụ tới y∗ nghiệm (2.24) với điều kiện ràng buộc cho ck , αk γk Định lý 2.8 Cho X, A, f định lý 2.5 cho S = ∅ fk ∈ X thỏa mãn ||fk − f || ≤ δk , k → ∞ Giả sử tham số ck , αk γk thỏa mãn điều kiện sau: C0 > ck > c0 > 0, γk ≥ 0, C0 c0 số dương, ∞ k=1 τk = +∞, ∞ −1 k=1 γk τk ||xk τk = αk ck /(1 + αk ck ), − xk−1 || < +∞, αk > 0, limk→+∞ αk = 0, limk→+∞ Dk /τk = 0, Dk = M1 |αk − αk+1 | δk + δk+1 + αk αk 35 Khi đó, dãy {xk } xác định phương trình (2.29) hội tụ mạnh tới y∗ nghiệm (2.24), k → +∞ Chứng minh Ký hiệu xk nghiệm (2.22), α fδ thay αk fk x+ = Ta viết phương trình (2.29) (2.22) dạng tương đương sau λk (A(xk+1 ) − fk ) + xk+1 = βk xk + βk γk (xk − xk−1 ), λk (A(xk ) − fk ) + xk = βk xk , λk = βk ck βk = 1/(1 + ck αk ) Từ đó, ta suy λk A(xk+1 ) − A(xk ), j(xk+1 − xk ) + xk+1 − xk , j(xk+1 − xk ) = βk xk − xk , j(xk+1 − xk ) + βk γk xk − xk−1 , j(xk+1 − xk ) Do λk > A m-J-đơn điệu, nên ta thu ||xk+1 − xk ||2 ≤ (βk ||xk − xk || + βk γk ||xk − xk−1 ||)||xk+1 − xk || (2.30) Nếu xk+1 = xk theo định lý 2.5, lim xk+1 = lim xk = y∗ k→+∞ k→+∞ Không tổng quát, giả sử xk+1 = xk Từ (2.30) ta suy ||xk+1 − xk || ≤ βk ||xk − xk || + βk γk ||xk − xk−1 || Kết hợp bất đẳng thức với định lý 2.5 dẫn đến ||xk+1 − xk+1 || ≤ ||xk+1 − xk || + ||xk+1 − xk || ≤ βk ||xk − xk || + βk γk ||xk − xk−1 || + Dk = (1 − τk )||xk − xk || + dk , dk = βk γk ||xk − xk−1 || + Dk ≤ γk ||xk − xk−1 || + Dk Theo điều kiện thứ hai định lý ta suy γk τk −1 ||xk − xk−1 || → k → +∞ Kết hợp điều với điều kiện thứ ba định lý, ta có Dk dk ≤ lim (γk τk −1 ||xk − xk−1 || + ) = 0 ≤ lim k→+∞ k→+∞ τk τk 36 Do vậy, dk = k→+∞ τk lim Áp dụng bổ đề 2.3 với ak = ||xk − xk ||, bk = τk , ck = dk , τk lim ||xk − xk || → k→+∞ Vì ||xk − y∗ || → k → +∞, nên từ ||xk − y∗ || ≤ ||xk − xk || + ||xk − y∗ || ta có xk → y∗ k → +∞ Định lý chứng minh ✷ 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich Trong phần tìm nghiệm cho phương trình phi tuyến không chỉnh (2.1) với A toán tử m-J-đơn điệu, dựa vào phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich Ta giả sử tập nghiệm (2.1), ký hiệu S khác rỗng, thay cho f, ta biết xấp xỉ fδ thỏa mãn ||fδ − f || ≤ δ → (2.31) Nếu A tính chất J-đơn điệu mạnh phương trình (2.1) nói chung không chỉnh Để giải toán (2.1), ta dùng phương pháp ổn định phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (2.22) trình bày phần trước Tuy nhiên A toán tử phi tuyến toán phi tuyến, khó giải thực tế Để khắc phục điều này, phương pháp ổn định khác phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich không gian Hilbert H Bukushinskii [5] đưa sau z0 ∈ H, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn zn+1 = fδ (2.32) Sau Bakushinskii Smirnova [6] tìm hội tụ (2.32) với quy tắc dừng hậu nghiệm ||A(zN ) − fδ ||2 ≤ τ δ < ||A(zn ) − fδ ||2 , ≤ n < N = N (δ), 37 (2.33) với điều kiện ||A (x)|| ≤ ∀x ∈ H A liên tục L-Lipchitz, τ > số cố định Phương pháp (2.32) Abel Ryazantseva [4] mở rộng từ không gian Hilbert vào không gian Banach với dạng sau z0 ∈ X, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn J s (zn+1 ) = fδ , với điều kiện ||A (x)|| ≤ ϕ(||x||), (2.34) ϕ(t) hàm không âm, không giảm với t ≥ 0, A ánh xạ đơn điệu từ X vào X ∗ Ta biết A khả vi Gateaux J-đơn điệu A (z)(.) ánh xạ J-đơn điệu cho z cố định thuộc X Hơn nữa, A (z)(.)là tuyến tính liên tục, liên tục yếu Từ đó, phương trình z0 ∈ X, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ (2.35) có nghiệm zn+1 , cho số nguyên n ≥ 0, với αn , δ > Để giải toán (2.1) với điều kiện (2.31), chứng minh định lý hội tụ mạnh cho phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich (2.35) với quy tắc dừng hậu nghiệm (2.33) điều kiện (2.34) mà điều kiện nhiễu vế phải, tức ta xem xét phương pháp lặp sau x0 ∈ X, A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn (xn+1 − x+ ) = f (2.36) Định lý hội tụ mạnh dãy {xn } Định lý 2.9 Cho X không gian Banach thực, phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vi Gateaux cho A ánh xạ m-J-đơn điệu, khả vi Frechet hai lần X với điều kiện (2.34) Giả sử dãy {αn }, số thực d điểm ban đầu x0 thỏa mãn điều kiện sau: {αn } dãy đơn điệu giảm với < αn < tồn σ > thỏa mãn αn+1 ≥ σαn với n = 0, 1, ; ϕ0 ||x0 − xα0 || ≤ q < 1, ϕ0 = ϕ(d + γ), 2σα0 38 số dương γ tìm từ giới hạn 2σα0 ≤ γ, d ≥ 2||x∗ − x+ || + ||x+ ||, ϕ0 (2.37) x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân sau: x∗ ∈ S : x∗ − x+ , J(x∗ − y) ≤ ∀y ∈ S, (2.38) xα0 nghiệm phương trình A(x) + αn (x − x+ ) = f, (2.39) với n = 0; q − q2 ϕ0 d αn − αn+1 ≤ , c = αn2 c1 2σ Khi limn→+∞ ||xn − x∗ || = Chứng minh Gọi xαn nghiệm (2.39) Theo định lý 2.4, ta có dãy {xαn } hội tụ mạnh tới x∗ nghiệm (2.38) n → +∞ Ngoài ra, xαn ∈ Br (x∗ ) nên ||xαn − x+ || ≤ ||xαn − x∗ || + ||x∗ − x+ || ≤ 2||x∗ − x+ || điều dẫn đến ||xαn || ≤ 2||x∗ − x+ || + ||x+ || ≤ d ta suy ||xαn − xαn+1 || ≤ αn − αn+1 d, ∀n = 0, 1, αn (2.40) Từ giả thiết, xαn nghiệm phương trình (2.39) nên A(xαn )+αn (xαn − x+ ) = f Theo công thức Taylor A(xαn ) = A(xn ) + A (xn )(xαn − xn ) + A (θn )(xαn − xn )2 , 39 với θn = xαn + θ(xn − xαn ) < θ < Do vậy, A(xn )+A (xn )(xαn −xn )+ A (θn )(xαn −xn )2 +αn (xαn −x+ ) = f (2.41) Hơn nữa, từ (2.36) (2.41) ta suy A (xn )(xn+1 −xαn )− A (θn )(xαn −xn )2 +αn (xn+1 −xαn ), J(xn+1 −xαn ) = Do tính chất J-đơn điệu toán tử A , từ đẳng thức dẫn đến αn ||xn+1 − xαn || ≤ ||A (θn )|| ||xαn − xn ||2 , kết hợp bất đẳng thức với (2.34) ta có ||xn+1 − xαn || ≤ ϕ(rn ) ∆ , 2αn n (2.42) ∆n = ||xn − xαn || rn ≥ ||xαn || + ∆n ≥ ||θn || Từ điều kiện đầu (2.37), ta có σ < 2σαn ≤ γ ∀n ≥ ϕ0 (2.43) Ta thu ∆0 ≤ γ từ điều kiện thứ hai (2.37) với r0 = d + γ Bây ta chứng minh quy nạp bất đẳng thức sau ϕ0 ∆n ≤ q < 1, ∀n ≥ 2σαn (2.44) Với n = điều kiện thứ hai định lý Giả sử (2.44) với n = k rk = d + γ, ta chứng minh với n = k + Thật vậy, rõ ràng từ (2.40) (2.42) ta có ∆k+1 = ||xk+1 − xαk+1 || ≤ ||xk+1 − xαk || + ||xαk − xαk+1 || ϕ(rk ) αk − αk+1 ≤ ∆ + d 2αk k αk Kết sau suy từ bất đẳng thức điều kiện thứ ba định lý ϕ0 ∆k+1 ϕ0 ∆k+1 ϕ0 ≤ ≤ ∆k 2σαk+1 2σ αk 2σαk ≤ q + q − q = q < 40 + (αk − αk+1 )ϕ0 d 2σ αk Như phần chứng minh quy nạp hoàn thành Tiếp theo, từ bất đẳng thức (2.43), ta có ∆k+1 ≤ 2σαk+1 ≤ γ, ϕ0 theo định nghĩa rn , ta lấy rk+1 = d + γ Vì αn → n → +∞, từ (2.44) ta có ∆n → Mặt khác, từ ||xn − x∗ || ≤ ∆n + ||xαn − x∗ || ||xαn − x∗ || → 0, n → ∞, ta suy hội tụ mạnh dãy {xn } tới x∗ ✷ Định lý 2.10 Cho X, A, αn định lý 2.9 với toán tử A liên tục L-Lipchitz điều kiện thứ thỏa mãn Cho τ > (2.33) chọn cho √ 3dL ϕ||z ˜ − xα0 || ≤ q, < q < − , ϕ˜ = ϕ0 + 2L2 /˜ τ , τ˜ = ( τ − 1)2 , 2σα0 τ˜σ (2.45) d xác định định lý 2.9, số dương γ lấy từ giới hạn (2.37) với ϕ0 thay ϕ˜, αn − αn+1 d 2Lσ + ≤ q αn2 τ˜ ϕ˜ ˜τ (2.46) Khi Cho n = 0, 1, ., N (δ), ϕ||z ˜ n − xαn || ≤ q, 2σαn zn nghiệm (2.35) N (δ) chọn (2.33) Dãy {N (δ)} chấp nhận được, tức là, lim ||zN (δ) − y|| = 0, δ→0 y ∈ S Nếu N (δ) → ∞ δ → 0, y = x∗ 41 (2.47) Chứng minh Ta chứng minh (2.47) phương pháp quy nạp Thật vậy, với trường hợp n = bất đẳng thức (2.47) điều kiện (2.45) Lấy n < N (δ) giả sử cho k cho ≤ k ≤ n < N (δ) (2.47) Theo công thức Taylor, ta có A(xαn ) = A(zn ) + A (zn )(xαn − zn ) + A (θ˜n )(xαn − zn )2 , với θ˜n = xαn + θ(zn − xαn ) < θ < Do vậy, A(zn ) + A (zn )(xαn − zn ) + A (θ˜n )(xαn − zn )2 + αn (xαn − x+ ) = f Kết hợp điều với (2.35) ta A (zn )(zn+1 − xαn ) − A (θ˜n )(xαn − zn )2 + αn (zn+1 − xαn ) = fδ − f Do A có tính J-đơn điệu nên từ đẳng thức suy ||zn+1 − xαn || ≤ δ ||A (θ˜n )|| ||xαn − zn ||2 + 2αn αn Mặt khác, ||zn+1 − xαn+1 || ≤ ||zn+1 − xαn || + ||xαn − xαn+1 || δ rn ) ˜ αn − αn+1 ˜ n+1 ≤ ϕ(˜ d+ , ∆ ∆n + 2αn αn αn (2.48) ˜ n = ||zn − xα || r˜n ≥ ||xα || + ∆ ˜ n ≥ θ˜n Vì n < N (δ) từ ∆ n n (2.33) nên τ δ ≤ ||A(zn ) − fδ ||2 Ngoài ra, A có tính liên tục L-Lipchitz nên √ τ δ ≤ ||A(zn ) − fδ || ≤ ||A(zn ) − f || + ||f − fδ || ≤ ||A(zn ) − A(xαn ) − αn (xαn − x+ )|| + ||f − fδ || ≤ L||zn − xαn || + αn d + δ, đó, √ τ δ − δ ≤ L||zn − xαn || + αn d Không tổng quát, ta giả sử δ < Như vậy, (L||zn − xαn || + αn d)2 δ≤ , τ˜ 42 điều với (2.48) dẫn đến ˜ n d αn − αn+1 ϕ(˜ rn ) + 2L2 /˜ τ ˜ 2L∆ αn d2 ˜ ∆n+1 ≤ ∆n + + d+ 2αn τ˜ αn τ˜ Nhân hai vế bất phương trình với ϕ˜ > với lưu ý < σ < 1, 2σ αn sau kết hợp với (2.46) ta αn − αn+1 ϕ˜ d2 ϕ˜ 2dL γ˜n + d + τ˜σ αn2 2σ 2σ τ˜ 2dL dϕ˜ αn − αn+1 d ≤ γ˜n2 + γ˜n + ( + ) τ˜σ 2σ αn2 τ˜ 3dL ) ≤ q < 1, ≤ q(q + τ˜σ γ˜n+1 ≤ γ˜n2 + ˜ n /(2σαn ) Tương tự định lý 2.9, ta lấy γ˜n = ϕ˜∆ rn+1 = d + γ Hai trường hợp xảy sau: N (δ) = N0 ∀δ ≤ δ0 Khi đó, từ (2.33) ta có limδ→0 ||A(zN (δ) ) − fδ || = 0, ||A(zN0 ) − f || = hay zN0 nghiệm (2.1) N (δ) → ∞ ∀δ ≤ δ0 Rõ ràng, xαN (δ) → x∗ δ → Mặt khác, từ ˜ n ≤ (2σαn )/ϕ˜ → n → ∞ ∆ ˜ N (δ) + ||xα − x∗ ||, ||zN (δ) − x∗ || ≤ ∆ N (δ) ta suy dãy {zN (δ) } hội tụ mạnh tới x∗ ✷ 43 Kết luận Sau thời gian làm việc hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường luận văn hoàn thành Luận văn giới thiệu toán đặt không chỉnh phương trình với toán tử loại J-đơn điệu Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại J-đơn điệu J có tính liên tục yếu theo dãy tính chất Cuối cùng, giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich Trong luận văn định lý chứng minh chi tiết Các vấn đề đưa luận văn dựa kết nghiên cứu gần GS.TS Nguyễn Bường đồng nghiệp 44 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Alber Y (1975), On solution by the method of regularization for operator equation of the first kind involving accretive mappings in Banach spaces , Differential Equations SSSR, XI, 2242-2248 [3] Alber Y (1975), On solving nonlinear equations involving monotone operator in Banach space, Sibirian Mathematics Journal, 26, 3-11 [4] Alber Y., Ryazantseva I (2006), Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer [5] Bakushinskii A (1976), Regularization Algorithm based on the NewtonKantorovich method for solving variational inequalities, Zh Vychisl Mat Fiz SSSR, 16(6) 1397-1404 [6] Bakushinskii, A B., Smirnova, A (2007), Iterative regularization and genaralized discrepancy principle for monotone operator equations, Numer Funct Anal and Optim 28(1-2) 13-25 [7] Browder F E (1966), Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities, Proc Nat Acad Sci USA 56(4) 1080-1086 [8] Nguyen Buong (2004), Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations under accretive perturbations, Zh Vychist Mat Mat Fiz, 44(3) 397-402 [9] Buong Ng., Phuong Ng.Th.H (2012) , Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces, Applied Math Sciences, 6(63) 3109-3117 [10] Buong Ng., Phuong Ng.Th.H (2013), Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces, Russian Math., 57(2) 58-64 [11] Nguyen Buong, Nguyen Duong Nguyen, and Nguyen Thi Thu Thuy (2015), Newton-Kantorovich iterative regularization and genaralized discrepancy principle for nonlinear ill-posed equations involving accretive 45 mappings, Russian Math., 59(5) 32-37 [12] Konyagin C.V (1980), On approximative properties of closed sets in Banach spaces and the characteristics of strongly convex spaces, Dokl Akad Nauk SSSR, 251(2) 276-280 [13] Ryazantseva I P (2002), Regularization proximal point algorithm for nonlinear equations of monotone type in Banach space, Zhurn Vychisl Matem i Matem Fiz., 42(9) 1295-1303 [14] Wang J., Li J., Liu Z (2008), Regularization methods for nonlinear ill-posed problems with accretive operators, Acta Math Scientia., 28b(1) 141-150 46 [...]... về phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục yếu theo dãy và khi nó không có tính chất này Trong mục 2.2, chúng tôi giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov Các kết quả được tham khảo từ các tài liệu [4], [8] - [11] và [14] 2.1 Phương pháp Browder- Tikhonov với toán tử loại J- đơn điệu Trong không. .. phương trình (1.1) có ít nhất một nghiệm suy rộng x ¯ với ||¯ x|| ≤ r Chú ý 1.1 Nếu toán tử A trong định lý 1.8 là J- đơn điệu chặt, thì phương trình toán tử tương ứng có duy nhất nghiệm Chương sau chúng tôi sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov cho phương trình phi tuyến với toán tử loại J- đơn điệu 18 Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov Chương này gồm hai mục Mục 2.1 trình. .. Ax1 − Ax2 , J( x1 − x2 ) ≥ γ(||x1 − x2 ||), trong đó x1 , x2 ∈ D(A) Toán tử A là J- đơn điệu mạnh nếu γ(t) = ct2 , với c > 0 Định nghĩa 1.20 Một toán tử J- đơn điệu A : X → X được gọi là m -J ơn điệu nếu R(A + αI) = X với mọi α > 0, trong đó I là toán tử đơn vị trong X Định lý 1.6 Nếu toán tử A là m -J- đơn điệu thì nó là toán tử J- đơn điệu cực đại Ta xét phương trình (1.1) với A là toán tử J- đơn điệu Định... gọi là bức nếu Ax, Jx ≥ c(||x||)||x||, ở đây c(t) → +∞ khi t → +∞ Định nghĩa 1.18 Toán tử J- đơn điệu A : X → X được gọi là J- đơn điệu cực đại nếu đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị toán tử J- đơn điệu khác 16 Định lý 1.5 Cho A : X → X là toán tử J- đơn điệu và hemi-liên tục với D(A) = X thì A là J- đơn điệu cực đại Định nghĩa 1.19 Toán tử A : X → X được gọi là J- đơn điệu đều nếu tồn tại... theo ta xét phương trình hiệu chỉnh cho phương trình (2.1) trong không gian Banach thực phản xạ X có tính xấp xỉ, với không gian liên hợp X ∗ lồi chặt Nếu A không có thêm tính chất J- đơn điệu mạnh hoặc đều thì nói chung (2.1) là bài toán đặt không chỉnh Ta xét phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov có dạng như sau Ah (x) + α(x − x+ ) = fδ , ||fδ − f || ≤ δ → 0 (2.18) Ở đây A là m -J- đơn điệu trong X,... là J- đơn điệu nếu ∃ j( x1 − x2 ) ∈ J( x1 − x2 ) sao cho Ax1 − Ax2 , j( x1 − x2 ) ≥ 0 ∀x1 , x2 ∈ D(A) Toán tử A được gọi là J- đơn điệu chặt nếu đẳng thức trên xảy ra khi x1 = x2 Ngoài ra ta còn định nghĩa khác cho toán tử J- đơn điệu như sau Định nghĩa 1.16 Một toán tử A : X → X được gọi là J- đơn điệu nếu ||x1 − x2 || ≤ ||x1 − x2 + λ(Ax1 − Ax2 )|| ∀λ > 0, ∀x1 , x2 ∈ D(A) Định nghĩa 1.17 Toán tử J- đơn điệu. .. đây g(t) là hàm không âm liên tục với mọi t ≥ 0 Khi đó ta có phương trình hiệu chỉnh như sau Ah x + αx = fδ (2.4) Từ tính J- đơn điệu của toán tử Ah ta có Ah x + αx, Jx = Ah x − Ah (θX ) + Ah (θX ) + αx, Jx = Ah x − Ah (θX ), J( x − θX ) + Ah (θX ), Jx + αx, Jx ≥ α||x||2 − ||Ah (θX )|| ||x|| = ||x||(α||x|| − ||Ah (θX )||) (2.5) Do đó, toán tử T = Ah + αI là bức nên theo định lý 1.7 phương trình (2.4) có... biết xấp xỉ, tức là, thay cho A ta chỉ biết xấp xỉ Ah thỏa mãn ||Ah (x) − A(x)|| ≤ hg(||x||) và cũng đơn điệu, h-liên tục, ở đây g(t) là hàm giới nội Ta có kết quả sau Định lý 1.4 Với mỗi α > 0, h > 0 và fδ ∈ X ∗ phương trình hiệu chỉnh Ah (x) + J s (x − x0 ) = fδ δ h có duy nhất nghiệm xηα , η = (h, δ) Nếu α, , → 0, thì {xηα } → x0 α α 1.3.2 Phương trình với toán tử loại J- đơn điệu Định nghĩa 1.15 Một... nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau: y∗ ∈ S : y∗ − x+ , j( y∗ − y) ≤ 0 ∀y ∈ S 28 (2.24) Ngoài ra ta còn có ||xδα − xα || ≤ δ/α, ở đây xδα là nghiệm duy nhất phương trình (2.22), ∀α > 0 và fδ ∈ X Chứng minh Do A là toán tử m -J- đơn điệu nên phương trình (2.23) luôn có nghiệm, ký hiệu là xα , α > 0 Mặt khác, vì ánh xạ A + α(I − x+ ) là J- đơn điệu α-mạnh nên nghiệm này là duy nhất Lập luận tương tự ta cũng... trình (1.1) với A là toán tử J- đơn điệu nếu bất đẳng thức y − f, J( x − x0 ) ≥ 0 ∀y ∈ Ax thỏa mãn với mọi x ∈ D(A) 17 Định lý 1.8 Giả sử rằng X và X ∗ là các không gian Banach lồi đều, X có tính xấp xỉ, ánh xạ đối ngẫu J là liên tục yếu theo dãy, toán tử A : X → 2X là J- đơn điệu với miền xác định D(A) = X và tồn tại r > 0 sao cho với mỗi x mà ||x|| = r, tồn tại y ∈ Ax thỏa mãn y − f, Jx ≥ 0 Khi đó phương