ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN DUY KHÁNH BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Vũ Ngọc Phát HÀ NỘI- 2015 Mục lục Mở đầu Các kí hiệu dùng luận văn Lời cảm ơn Cơ sở toán học 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 1.2.1 Các khái niệm ổn định 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.2.3 Một số tiêu chuẩn tính ổn định 10 1.3 Bài tốn ổn định hóa 12 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến ứng dụng 15 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến 16 2.2 Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến 21 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 Lời mở đầu Trong thực tiễn, nhiều toán đề cập vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đến hệ động lực mơ tả phương trình tốn học với thời gian liên tục dạng x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, x(t) biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(t) biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào hệ thống Những liệu đầu vào có tác động quan trọng làm ảnh hưởng đến vận hành đầu hệ thống Như ta hiểu hệ thống điều khiển mơ hình tốn học mơ tả phương trình tốn học biểu thị liên hệ vào Một mục đích tốn điều khiển hệ thống tìm điều khiển đầu vào cho đầu có tính chất mà ta mong muốn Trong đó, tính ổn định tính chất quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực sử dụng nhiều lĩnh vực học, vật lý toán, kĩ thuật, kinh tế Nói cách hình tượng, hệ thống gọi ổn định trạng thái cân nhiễu nhỏ liệu đầu vào hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân Sự nghiên cứu toán ổn định hệ thống kỉ thứ XIX nhà toán học V Lyapunov đến thiếu lý thuyết phương trình vi phân ứng dụng Lyapunov xây dựng móng cho lý thuyết ổn định, đặc biệt đưa hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân thường Đó phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov Trong giai đoạn 1953–1962, việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ động lực nhận quan tâm nhiều nhà nghiên cứu ứng dụng hữu hiệu hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ mà giải phương pháp khác Từ đến lý thuyết ổn định Lyapunov lý thuyết phát triển sơi động Tốn học trở thành phận nghiên cứu thiếu lý thuyết hệ thống ứng dụng Đến năm 60 kỉ XX, với phát triển lý thuyết điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tốn ổn định hóa hệ điều khiển Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển hai phương pháp Lyapunov đề xuất, đặc biệt phương pháp hàm Lyapunov trở thành hướng nghiên cứu thời thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu nước quốc tế Trên sở tài liệu phương trình vi phân luận văn trình bày số kết tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ hệ với thời gian liên tục sau dựa vào tính chất ổn định xây dựng số ứng dụng giải tốn ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở tốn học Trong chương này, tơi trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân, lý thuyết ổn định hệ tuyến tính, phi tuyến phương pháp hàm Lyapunov, đặc biệt số tiêu chuẩn tính ổn định, đồng thời đưa khái niệm tốn ổn định hóa Chương 2: Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến ứng dụng Trong chương này, tơi trình bày số định lý quan trọng tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến, từ xây dựng số ứng dụng giải tốn ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến Các kí hiệu dùng luận văn - R+ : Tập số thực dương - Rn : Không gian véctơ thực n chiều với tích vơ hướng , chuẩn Euclide - Rn×m : Khơng gian ma trận thực có số chiều n × m - AT : Ma trận chuyển vị A - A−1 : ma trận nghịch đảo ma trận A - I : Ma trận đơn vị cấp n - λmin (A): Giá trị riêng nhỏ ma trận đối xứng A - λ(A): Tập giá trị riêng A Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo suốt thời gian qua Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, khoa Tốn - Cơ - Tin, khoa sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội trang bị kiến thức tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù thân cố gắng nhiều thời gian thực khơng nhiều, kiến thức trình độ cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận bảo, góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2015 Học viên Nguyễn Duy Khánh Chương Cơ sở tốn học Trong chương này, tơi trình bày kiến thức sở hệ phương trình vi phân, nghiệm hệ phương trình vi phân, khái niệm tính ổn định hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ phi tuyến, đưa số tiêu chuẩn tính ổn định hệ tuyến tính, đồng thời trình bày khái niệm tốn ổn định hóa Nội dung chương trình bày dựa tài liệu ([2], [4], [5], [6]) 1.1 Hệ phương trình vi phân Xét phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ∈ I = [t0 , t0 + b] , x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0, (1.1) f (t, x(t)) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : ||x − x0 || ≤ a} Nghiệm x(t) phương trình (1.1) hàm x(t) khả vi liên tục thỏa mãn: a) (t, x(t)) ∈ I × D, b) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1) Giả sử hàm f (t, x(t)) liên tục I × D, nghiệm x(t) cho dạng tích phân: t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Định lý 1.1.1 (Tồn nghiệm địa phương) Xét hệ phương trình vi phân (1.1) giả sử hàm f (t, x) : I × D → Rn liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x, tức ∃K > : ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ K||x1 − x2 ||, ∀t ≥ Khi với (t0 , x0 ) ∈ I × D ta ln tìm số d > cho hệ (1.1) ln có nghiệm khoảng [t0 − d, t0 + d] Định lý 1.1.2 (Tồn nghiệm toàn cục) Giả sử f (t, x) : R+ × Rn → Rn hàm liên tục theo t thỏa mãn điều kiện sau: ∃M0 , M1 cho ||f (t, x)| | ≤ M0 + M1 ||x| |, ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn , ∃M2 cho f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ M2 x1 − x2 , ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn Khi hệ (1.1) ln tồn nghiệm [0; +∞) Đối với hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + g(t), t ≥ 0, x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, (1.2) A ma trận số, g(t) : [0; ∞) → Rn hàm khả tích hệ (1.2) ln có nghiệm cho cơng thức Cauchy sau: t x(t) = e A(t−t0 ) eA(t−t0 ) g(s)d(s) x0 + t0 Đối với không dừng x(t) ˙ = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0, x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, (1.3) A(t) hàm đo liên tục theo t ||A(t)|| ≤ m(t), với m(t) hàm khả tích g(t) hàm khả tích hệ (1.3) có nghiệm Tuy nhiên, nghiệm hệ không biểu diễn theo cơng thức Cauchy hệ tuyến tính mà thơng qua ma trận nghiệm Φ(t, s) hệ x(t) ˙ = A(t)x(t), (1.4) nghiệm hệ (1.3) cho t x(t) = Φ(t, t0 )x0 + Φ(t, s)g(s)d(s), (1.5) t0 Φ(t, s) ma trận nghiệm hệ (1.4) thỏa mãn hệ phương trình ma trận d Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s, dt Φ(t, t) = I 1.2 1.2.1 (1.6) Lý thuyết ổn định Lyapunov Các khái niệm ổn định Xét hệ thống mô tả phương trình vi phân x˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0, (1.7) x(t) ∈ Rn véctơ trạng thái hệ f (t, x(t)) : R+ × Rn → Rn Giả sử hàm f (t, x(t)) hàm thỏa mãn điều kiện cho nghiệm toán Cauchy (1.7) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ ln có nghiệm Khi dạng tích phân nghiệm cho công thức t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm không hệ (1.7) gọi ổn định với số ε > 0, t0 ≥ 0, tồn δ = δ(t0 , ε) > cho x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x0 || < δ ||x(t)|| < ε, ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm không hệ (1.7) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn số δ > cho ||x0 || < δ lim ||x(t)|| = x→∞ Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm không hệ (1.7) gọi ổn định mũ tồn số α > 0, K > cho nghiệm hệ (1.7) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x(t)|| ≤ K.e−α(t−t0 ) ||x0 ||, ∀t ≥ t0 Để ngắn gọn thay nói hệ (1.7) ổn định ta nói nghiệm hệ ổn định 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến dừng x(t) ˙ = f (x(t)), f (0) = 0, t ∈ R+ (1.8) Xét hàm số V (x) : Rn → R gọi xác định dương a) V (x) ≥ với x ∈ Rn b) V (x) = x = Định nghĩa 1.2.4 Hàm V (x) : D ⊆ Rn → R, D lân cận mở tùy ý 0, gọi hàm Lyapunov hệ (1.8) a) V (x) hàm khả vi liên tục D b) V (x) hàm xác định dương c) Df V (x) : = ∂V f (x) ≤ 0, ∀x ∈ D ∂x Hàm V (x) gọi hàm Lyapunov chặt hàm Lyapunov thêm vào bất đẳng thức điều kiện (c) thực âm với x nằm ngồi lân cận đó, xác hơn: d) ∃c > : Df V (x) ≤ −c||x|| < 0, x ∈ D \ {0} Bằng cách lựa chọn hàm Lyapunov, ta có định lý sau Định lý 1.2.1 Nếu hệ (1.8) có hàm Lyapunov ổn định Hơn nữa, hàm Lyapunov chặt hệ ổn định tiệm cận Đối với hệ tuyến tính khơng dừng (1.7) hàm Lyapunov định nghĩa tương tự cho hàm hai biến V (t, x) Trước hết ta xét lớp hàm K tập hàm tăng chặt a(.) : R+ → R+ với a(0) = Hàm V (t, x) : R+ × D → R gọi hàm Lyapunov nếu: a) V (t, x) hàm xác định dương theo nghĩa ∀(t, x) ∈ R+ × D ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∂V ∂V + f (t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R+ × D ∂t ∂x Nếu hàm Lyapunov thỏa mãn thêm điều kiện b) Df V (t, x) = ∀ (t, x) ∈ R+ × D c) ∃ a(.) ∈ K : V (t, x) ≤ a(||x||), d) ∃ γ(.) ∈ K : Df V (t, x) ≤ −γ(||x||), ∀ t ∈ R+ , x ∈ D \ {0} ta gọi hàm Lyapunov chặt Định lý 1.2.2 Nếu hệ phi tuyến khơng dừng (1.7) có hàm Lyapunov hệ ổn định Nếu hàm chặt hệ ổn định tiệm cận 1.2.3 Một số tiêu chuẩn tính ổn định Xét hệ tuyến tính t ≥ 0, x(t) ˙ = Ax(t), (1.9) A ma trận cấp n × n Nghiệm hệ (1.9) với trạng thái ban đầu x(t0 ) = x0 cho công thức Cauchy: x(t) = x0 eA(t−t0 ) , t ≥ t0 Định lý 1.2.3 (Cơng thức Sylvester) Cho A ma trận n × n chiều với giá trị riêng λ1 ; λ2 ; ; λn khác Cho f (λ) hàm đa thức bậc n có dạng n Ck λk f (λ) = k=0 Khi f (A) = Zk f (λk ) Zk xác định Zk = (A − λ1 I) (A − λk−1 I)(A − λk+1 I) (A − λn I) (λk − λ1 ) (λk − λk−1 )(λk − λk+1 ) (λk − λn ) 10 (1.10) Định lý cho tiêu chuẩn tính ổn định hệ (1.9), thường gọi tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov Định lý 1.2.4 Hệ (1.9) ổn định tiệm cận phần thực tất giá trị riêng A âm, tức Reλ < 0, với λ ∈ λ(A) Ví dụ 1.2.1 Xét tính ổn định hệ  x˙1 = x1 − x2 + x3 x˙2 = x1 + x2 − 3x3  x˙3 = x1 − 5x2 − 3x3 Lập phương trình đặc trưng λ−1 −1 λ − f (λ) = = 0, −1 λ+3 f (λ) = λ3 + λ2 − 18λ + 12 = Vì f (0) = 12 > 0; f (1) = −5 < 0, mà hàm f (λ) liên tục [0; 1] nên có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) Như phương trình đặc trưng có nghiệm với phần thức lớn nên hệ cho khơng ổn định Tính ổn định hệ (1.9) có quan hệ tương đương với tồn nghiệm phương trình ma trận, thường gọi phương trình Lyapunov dạng AT X + XA = −Y, (1.11) X, Y ma trận dạng (n × n) chiều gọi cặp nghiệm (1.11) Xét hệ (1.9), từ ta nói ma trận A ổn định phần thực tất giá trị riêng A âm Theo định lý 1.2.4, điều tương đương với hệ (1.9) ổn định tiệm cận Định nghĩa 1.2.5 Ma trận A gọi xác định dương (A ≥ 0; A > 0) nếu: i) Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn , 11 ii) Ax, x > 0, x = x, y tích vơ hướng hai véctơ x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ) xác định n x, y = xi yi i=1 Ta có tiêu chuẩn sau Định lý 1.2.5 (Sylvester condition) Ma trận A cỡ (n × n) xác định dương det(Di ) > 0, i = 1; 2; ; n a a D1 = a11 ; D2 = a11 a12 ; D3 = 21 22 a11 a12 a13 a21 a22 a23 ; ; Dn = A a31 a32 a33 Định lý 1.2.6 Ma trận A ổn định phương trình (1.11) có cặp nghiệm X, Y ma trận đối xứng, xác định dương 1.3 Bài tốn ổn định hóa Cùng với phát triển lý thuyết điều khiển hệ động lực, toán ổn định hóa quan tâm nghiên cứu tìm nhiều ứng dụng thực tiễn Dựa kết lý thuyết ổn định Lyapunov người ta tìm lời giải, ứng dụng cho tốn ổn định hóa hệ phi tuyến với thời gian liên tục Phần trình bày vấn đề sở tốn ổn định hóa số kết chọn lọc tính ổn định hóa Xét hệ điều khiển phi tuyến x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (1.12) đó, x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , f (t, x(t), u(t)) : R+ × Rn × Rm → Rn , f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 12 Định nghĩa 1.3.1 Hệ (1.12) gọi ổn định hóa tồn hàm điều khiển ngược u(t) = h(t, x(t)), h(.) : Rn → Rm , h(0) = cho nghiệm khơng hệ đóng x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), x(t0 ) = x0 , t ≥ 0, (1.13) ổn định tiệm cận Đối với hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, (1.14) gọi ổn định hóa tồn điều khiển ngược u(t) = Kx(t), K ∈ Rn×m , cho hệ x(t) ˙ = (A + BK)x(t) ổn định tiệm cận Như vậy, tốn ổn định hóa hệ tuyến tính (1.14) đưa thành tốn tìm ma trận K ∈ Rn×m cho ma trận (A + BK) ổn định, tức phần thực tất giá trị riêng (A + BK) âm Ta có tiêu chuẩn để hệ (1.14) ổn định hóa sau Định lý 1.3.1 Hệ (1.14) ổn định hóa tồn ma trận đối xứng P > 0, Q > thỏa mãn AT P + P A − P BB T P + Q = 0, mà trận ổn định hóa K = − B T P , tức điều khiển ổn định hóa u(t) = Kx(t) Ví dụ 1.3.1 Xét tính ổn định hệ  x˙ (t) = 2x1 (t) + 2x2 (t) + x3 (t) + 2u1 (t) + u2 (t)   1 x˙ (t) = x1 (t) + x3 (t) + u1 (t)   x˙ = 3x1 (t) + x2 (t) + 2x3 (t) + u1 (t) + 2u2 (t) Theo định lý 1.3.1 hệ (1.3.1) ổn định hóa tồn ma trận đối xứng P > 0, Q > thỏa mãn AT P + P A − P BB T P + Q = 13 Ta có   2 1  A = 1  ; B = 2 1 Ta tìm nghiệm 0 ; Q= 0 P = 0 0 Thật vậy, ta có   2 1 T A P =  0  2 0  P A = 1 0 T P BB P = = 0 4 4 2 1 1 , 0 = 2 , 1  1 = 2 2 , 2 1 0 0 suy AT P + P A − P BB T P + Q = Vậy hệ cho ổn định tiệm cận Sau bổ đề áp dụng chương Bổ đề 1.3.1 (Schur) Cho ma trận P, Q, M ∈ Rn×n , Q = QT > 0, ta có P M < ⇔ P + M Q−1 M T < M T −Q Chứng minh Xem [6] 14 Chương Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến ứng dụng Trong thực tế, hệ động lực phần lớn mơ tả phương trình toán học phi tuyến Để giải toán ổn định hệ phi tuyến, Lyapunov đưa hai phương pháp: Phương pháp thứ nhất: Nghiên cứu tính ổn định thơng qua số mũ Lyapunov dựa hệ xấp xỉ tuyến tính Nếu vế phải đủ tốt, ví dụ hàm khả vi liên tục, để xấp xỉ hệ cho hệ tuyến tính tương ứng, tính ổn định rút từ tính ổn định hệ xấp xỉ tuyến tính Phương pháp thứ hai: Phương pháp dựa vào tồn lớp hàm Lyapunov mà tính ổn định hệ thử trực tiếp qua dấu đạo hàm theo vế phải hệ cho Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng, phương pháp thứ địi hỏi tính khả vi liên tục hàm vế phải, phương pháp thứ hai lại khó khăn việc tìm hàm Lyapunov Cho đến chưa có phương pháp hiệu tìm hàm Lyapunov mà dựa vào kinh nghiệm, đặc thù vế phải Trong chương này, tơi trình bày số kết tính ổn định hệ phương trình phân phi tuyến đồng thời mở rộng kết ổn định cho hàm tựa Lyapunov Từ vận dụng kết vào giải tốn ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến Nội dung chương trình bày dựa tài liệu ([1], [3], [4]) 15 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến Xét hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, (2.1) f (t, x(t)) : R+ × Rn → Rn hàm phi tuyến cho trước, f (t, 0) = với t ∈ R+ Như nói trên, ta giả thiết điều kiện f (.) cho hệ (2.1) có nghiệm x(t) với x(t0 ) = x0 , t0 ≥ Định lý sau cho điều kiện đủ để hệ (2.1) ổn định tiệm cận hàm vế phải phân tích thành tổng ma trận nhiễu phi tuyến đủ nhỏ Nếu hàm f (t, x(t)) khả vi liên tục x = theo khai triển Taylor bậc x = ta có f (x(t)) = Ax(t) + g(x(t)), A= ∂f (0) , g(x(t)) = o(||x(t)||) ∂x Định lý 2.1.1 Xét hệ (2.1) f (t, x(t)) = Ax(t) + g(x(t)) Giả sử A ma trận ổn định g(x(t)) = o( x(t) ) hệ ổn định tiệm cận Ví dụ 2.1.1 Xét tính ổn định hệ phương trình vi phân sau x˙ (t) = −2x1 (t) + 2x2 (t) + x21 (t)e−t x˙ (t) = x1 (t) − 5x2 (t) − x22 (t)e−t Ta có t ≥  −t −2  2x1 (t)e  A = −5 , g(t, x(t)) =  , −t − x2 (t)e  xét det(A − λI) = −2 − λ −5 − λ = suy (λ + 2)(λ + 5) + = hay λ1 = −3; λ2 = −4 16 Vậy ma trận A ổn định Mặt khác g(t, x(t)) = e−t x41 + x42 ≤ x2 (t) , hay g(t, x(t)) = o( x(t) ) Vậy hệ cho ổn định tiệm cận Định lý 2.1.2 Xét hệ phi tuyến x(t) ˙ = Ax(t) + f (x(t)) (2.2) Giả sử tồn α > cho f T (x(t))f (x(t)) ≤ α x(t) , ∀x ∈ Rn Khi hệ (2.2) ổn định tiệm cận tồn ma trận đối xứng xác định dương P > cho AT P + P A + αI P P −I < (2.3) Ví dụ 2.1.2 Xét tính ổn định hệ x˙ (t) = −2 x1 (t) + 2x2 (t) + x1 (t)e−x2 (t) x˙2 (t) = −x1 (t) − 2x2 (t) − x2 (t)e−x1 (t) Ta có −2 A = −1 , f (x(t)) = x1 (t)e−x2 (t) , −x2 (t)e−x1 (t) Ta thấy f (x(t)), f (x(t)) = x22 (t)e−2x1 (t) + x21 (t)e−2x2 (t) f (x(t))T f (x(t)) ≤ x21 (t) + x22 (t) ≤ x(t) suy α = Theo định lý 2.1.2 ta phải tìm ma trận P đối xứng, xác định dương thỏa mãn bất đẳng thức trận tuyến tính AT P + P A + I P P −I 17 0 Thật vậy, ta có AT P = PA = −2 −1 −2 −2 = −2 , −2 −2 2 = , P = −1 −2 4 , suy AT P + P A + P + I = −2 0 −3 < Do hệ ổn định tiệm cận Định lý 2.1.3 Xét hệ phi tuyến x(t) ˙ = A(t)x(t) + g(t, x(t)), t≥0 (2.4) Giả sử i) ∃K > 0, δ > : Φ(t, s) ≤ Ke−δ(t−s) , ii) g(t, x) ≤ L(t) x , iii) sup L(t) ≤ M < t∈R+ t ≥ s ≥ ∀t ≥ 0, ∀x ∈ Rn δ K Khi hệ cho ổn định tiệm cận Sau đây, luận văn xét toán ổn định cách sử dụng phương pháp hàm tựa Lyapunov, tựa Lyapunov suy rộng Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm hệ (2.1) gọi ổn định mũ tồn δ > nghiệm x(t) thỏa mãn x(t) ≤ β( x0 , t0 )e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 , β(h, t) : R+ × R+ → R+ hàm tăng không âm 18 (2.5) Nếu β(.) định nghĩa khơng phụ vào t0 nghiệm hệ (2.1) gọi ổn định mũ Đặt V (t, x) : W = R+ × Rn → R, V (t + h, x + hf ) − V (t, x) h→0+ h Df+ V (t, x) = lim Df+ V gọi đạo hàm Dini V (.) dọc theo quỹ đạo (2.1) Với x(t) nghiệm (2.1), ta kí hiệu d+ V (t, x(t)) đạo hàm bên phải V (t, x(t)) d+ V (t, x(t)) = lim+ h→0 V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t)) h Định nghĩa 2.1.2 Hàm V (t, x) : W → R Lipschitz theo x thỏa mãn với t ∈ R+ tồn số L > cho với t ∈ R+ , |V (t, x1 ) − V (t, x2 )| ≤ L x1 − x2 , ∀(x1 , x2 ) ∈ Rn × Rn Xét hệ phương trình vi phân t ≥ 0, u(t) ˙ = g(t, u), (2.6) với g(t, u) hàm liên tục theo t u Mệnh đề 2.1.1 Cho u(t) nghiệm cực đại hệ (2.6) với u(t0 ) = u0 Nếu tồn hàm liên tục v(t) với v(t0 ) = u0 thỏa mãn d+ v(t) ≤ g(t, u(t)), ∀t ≥ 0, t v(t) − v(t0 ) ≤ g(s, u(s))ds, ∀t ≥ t0 Ta đặt dV (t, x) dV (t, x) + f (t, x) dt dx Định nghĩa 2.1.3 Hàm V (t, x) : W → R gọi hàm tựa Lyapunov (2.1) V (t, x) khả vi liên tục với t ∈ R+ , x ∈ Rn tồn số dương λ1 , λ2 , λ3 , K, p, q, r, δ cho Df V (t, x) = λ1 x p ≤ V (t, x) ≤ λ2 x q , Df V (t, x) ≤ −λ3 x r + Ke−δt , 19 ∀(t, x) ∈ W, ∀t ≥ 0, x ∈ Rn \ {0} (2.7a) (2.7b) Định nghĩa 2.1.4 Hàm V (t, x) : W → R gọi hàm tựa Lyapunov suy rộng (2.1) V (t, x) liên tục theo t, Lipschitz theo x, tồn hàm dương λ1 (t), λ2 (t), λ3 (t), với λ1 (t) hàm không giảm tồn số dương K, p, q, r, δ cho λ1 (t) x p ≤ V (t, x) ≤ λ2 (t) x q , Df+ V (t, x) ≤ −λ3 (t) x + Ke−δt , r ∀(t, x) ∈ W, ∀t ≥ 0, x ∈ Rn \ {0} (2.8a) (2.8b) Định lý 2.1.4 Hệ (2.1) ổn định mũ tồn hàm tựa Lyapunov hai điều kiện sau thỏa mãn với (t, x) ∈ W λ3 δ> r/ , [λ2 ] q (2.9a) r ∃γ > cho V (t, x) − V (t, x) /q ≤ γe−δt (2.9b) Ví dụ 2.1.3 Xét tính ổn định phương trình vi phân phi tuyến 1 (2.10) x(t) ˙ = − x (t) + x(t) e−2t Định lý 2.1.5 Hệ (2.1) ổn định mũ tồn hàm tựa Lyapunov suy rộng V (t, x) đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau δ > inf+ t∈R λ3 (t) [λ2 (t)]r/q > 0, ∃γ > cho V (t, x) − [V (t, x)]r/q ≤ γe−δt (2.11a) (2.11b) Chú ý 2.1.1 Trong định lý 2.1.5 ta giả thiết λ1 (t) hàm không giảm Nếu λ1 (t) thỏa mãn điều kiện λ1 (t) ≥ e−αt , t ≥ 0, ∃a > : a < M, (2.12) đó, ta thay giả thiết không giảm điều kiện (2.12) với M = inf+ t∈R λ(t) [λ(t)]r/q Ví dụ 2.1.4 Xét tính ổn định mũ hệ phương trình 3t x x(t) ˙ = − et x + + e− cos x 10 Ví dụ 2.1.5 Xét tính ổn định mũ hệ 1 x(t) ˙ = − x + xe−2t 20 (2.13) (2.14) 2.2 Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến Xét hệ phương trình phi tuyến x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) + f (x(t), u(t)), (2.15) A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , f : Rn × Rm → Rn hàm phi tuyến liên tục thỏa mãn điều kiện f T (x, u)f (x, u) ≤ α x + β u 2, (2.16) với α > 0, β > 0, (x, u) ∈ Rn × Rm Định lý 2.2.1 Hệ (2.15) ổn định hóa tồn ma trận đối xứng P > thỏa mãn bất đẳng thức ma trận  T A P + P A + αI P  P − I + BB T β  −1 