ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN DUY KHÁNH BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Vũ Ngọc Phát HÀ NỘI- 2015 Mục lục Mở đầu Các kí hiệu dùng luận văn Lời cảm ơn Cơ sở toán học 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 1.2.1 Các khái niệm ổn định 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.2.3 Một số tiêu chuẩn tính ổn định 11 1.3 Bài tốn ổn định hóa 18 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến ứng dụng 22 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến 23 2.2 Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến 37 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Lời mở đầu Trong thực tiễn, nhiều toán đề cập vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đến hệ động lực mơ tả phương trình tốn học với thời gian liên tục dạng x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, x(t) biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(t) biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào hệ thống Những liệu đầu vào có tác động quan trọng làm ảnh hưởng đến vận hành đầu hệ thống Như ta hiểu hệ thống điều khiển mơ hình tốn học mơ tả phương trình tốn học biểu thị liên hệ vào Một mục đích tốn điều khiển hệ thống tìm điều khiển đầu vào cho đầu có tính chất mà ta mong muốn Trong đó, tính ổn định tính chất quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực sử dụng nhiều lĩnh vực học, vật lý toán, kĩ thuật, kinh tế Nói cách hình tượng, hệ thống gọi ổn định trạng thái cân nhiễu nhỏ liệu đầu vào hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân Sự nghiên cứu toán ổn định hệ thống kỉ thứ XIX nhà toán học V Lyapunov đến thiếu lý thuyết phương trình vi phân ứng dụng Lyapunov xây dựng móng cho lý thuyết ổn định, đặc biệt đưa hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân thường Đó phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov Trong giai đoạn 1953–1962, việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ động lực nhận quan tâm nhiều nhà nghiên cứu ứng dụng hữu hiệu hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ mà giải phương pháp khác Từ đến lý thuyết ổn định Lyapunov lý thuyết phát triển sơi động Tốn học trở thành phận nghiên cứu thiếu lý thuyết hệ thống ứng dụng Đến năm 60 kỉ XX, với phát triển lý thuyết điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tốn ổn định hóa hệ điều khiển Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển hai phương pháp Lyapunov đề xuất, đặc biệt phương pháp hàm Lyapunov trở thành hướng nghiên cứu thời thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu nước quốc tế Trên sở tài liệu phương trình vi phân luận văn trình bày số kết tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ hệ với thời gian liên tục sau dựa vào tính chất ổn định xây dựng số ứng dụng giải tốn ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở tốn học Trong chương này, tơi trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân, lý thuyết ổn định hệ tuyến tính, phi tuyến phương pháp hàm Lyapunov, đặc biệt số tiêu chuẩn tính ổn định, đồng thời đưa khái niệm tốn ổn định hóa Chương 2: Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến ứng dụng Trong chương này, tơi trình bày số định lý quan trọng tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến, từ xây dựng số ứng dụng giải tốn ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến Các kí hiệu dùng luận văn - R+ : Tập số thực dương - Rn : Không gian véctơ thực n chiều với tích vơ hướng , chuẩn Euclide - Rn×m : Khơng gian ma trận thực có số chiều n × m - AT : Ma trận chuyển vị A - A−1 : ma trận nghịch đảo ma trận A - I : Ma trận đơn vị cấp n - λmin (A): Giá trị riêng nhỏ ma trận đối xứng A - λ(A): Tập giá trị riêng A Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo suốt thời gian qua Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, khoa Tốn - Cơ - Tin, khoa sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội trang bị kiến thức tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù thân cố gắng nhiều thời gian thực khơng nhiều, kiến thức trình độ cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận bảo, góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2015 Học viên Nguyễn Duy Khánh Chương Cơ sở tốn học Trong chương này, tơi trình bày kiến thức sở hệ phương trình vi phân, nghiệm hệ phương trình vi phân, khái niệm tính ổn định hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ phi tuyến, đưa số tiêu chuẩn tính ổn định hệ tuyến tính, đồng thời trình bày khái niệm tốn ổn định hóa Nội dung chương trình bày dựa tài liệu ([2], [4], [5], [6]) 1.1 Hệ phương trình vi phân Xét phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ∈ I = [t0 , t0 + b] , x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0, (1.1) f (t, x(t)) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : ||x − x0 || ≤ a} Nghiệm x(t) phương trình (1.1) hàm x(t) khả vi liên tục thỏa mãn: a) (t, x(t)) ∈ I × D, b) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1) Giả sử hàm f (t, x(t)) liên tục I × D, nghiệm x(t) cho dạng tích phân: t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Định lý 1.1.1 (Tồn nghiệm địa phương) Xét hệ phương trình vi phân (1.1) giả sử hàm f (t, x) : I × D → Rn liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x, tức ∃K > : ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ K||x1 − x2 ||, ∀t ≥ Khi với (t0 , x0 ) ∈ I × D ta ln tìm số d > cho hệ (1.1) ln có nghiệm khoảng [t0 − d, t0 + d] Định lý 1.1.2 (Tồn nghiệm toàn cục) Giả sử f (t, x) : R+ × Rn → Rn hàm liên tục theo t thỏa mãn điều kiện sau: ∃M0 , M1 cho ||f (t, x)| | ≤ M0 + M1 ||x| |, ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn , ∃M2 cho f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ M2 x1 − x2 , ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn Khi hệ (1.1) ln tồn nghiệm [0; +∞) Đối với hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + g(t), t ≥ 0, x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, (1.2) A ma trận số, g(t) : [0; ∞) → Rn hàm khả tích hệ (1.2) ln có nghiệm cho cơng thức Cauchy sau: t x(t) = e A(t−t0 ) eA(t−t0 ) g(s)d(s) x0 + t0 Đối với không dừng x(t) ˙ = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0, x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, (1.3) A(t) hàm đo liên tục theo t ||A(t)|| ≤ m(t), với m(t) hàm khả tích g(t) hàm khả tích hệ (1.3) có nghiệm Tuy nhiên, nghiệm hệ không biểu diễn theo cơng thức Cauchy hệ tuyến tính mà thơng qua ma trận nghiệm Φ(t, s) hệ x(t) ˙ = A(t)x(t), (1.4) nghiệm hệ (1.3) cho t x(t) = Φ(t, t0 )x0 + Φ(t, s)g(s)d(s), (1.5) t0 Φ(t, s) ma trận nghiệm hệ (1.4) thỏa mãn hệ phương trình ma trận d Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s, dt Φ(t, t) = I 1.2 (1.6) Lý thuyết ổn định Lyapunov Trong phần này, luận văn trình bày số khái niệm, định lý tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến, nghiên cứu tính ổn định chúng phương pháp hàm Lyapunov đồng thời đưa số tiêu chuẩn đánh giá tính ổn định hệ tuyến tính 1.2.1 Các khái niệm ổn định Xét hệ thống mô tả phương trình vi phân x˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0, (1.7) x(t) ∈ Rn véctơ trạng thái hệ f (t, x(t)) : R+ × Rn → Rn Giả sử hàm f (t, x(t)) hàm thỏa mãn điều kiện cho nghiệm toán Cauchy (1.7) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ ln có nghiệm Khi dạng tích phân nghiệm cho công thức t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm không hệ (1.7) gọi ổn định với số ε > 0, t0 ≥ 0, tồn δ = δ(t0 , ε) > cho x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x0 || < δ ||x(t)|| < ε, ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm không hệ (1.7) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn số δ > cho ||x0 || < δ lim ||x(t)|| = x→∞ Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm không hệ (1.7) gọi ổn định mũ tồn số α > 0, K > cho nghiệm hệ (1.7) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x(t)|| ≤ K.e−α(t−t0 ) ||x0 ||, ∀t ≥ t0 Để ngắn gọn thay nói hệ (1.7) ổn định ta nói nghiệm hệ ổn định Ví dụ 1.2.1 Xét tính ổn định phương trình vi phân x(t) ˙ = ax(t), t ≥ 0, với x(t0 ) = x0 Ta có nghiệm x(t) phương trình cho x(t) = eat x0 , t ≥ Nếu a < hệ cho ổn định tiệm cận ổn định mũ Nếu a = hệ ổn định 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov Trong phần này, hệ không gian thực nghiên cứu tính ổn định chúng phương phương pháp hàm Lyapunov (phương pháp thứ Lyapunov) phương pháp áp dụng nhiều việc nghiên cứu định tính hệ phương trình vi phân hệ phi tuyến Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến dừng x(t) ˙ = f (x(t)), f (0) = 0, t ∈ R+ (1.8) Xét hàm số V (x) : Rn → R gọi xác định dương a) V (x) ≥ với x ∈ Rn b) V (x) = x = Định nghĩa 1.2.4 Hàm V (x) : D ⊆ Rn → R, D lân cận mở tùy ý 0, gọi hàm Lyapunov hệ (1.8) suy sin t x(t)e−2|x(t)| ≤ sin2 t x(t) , g(t, x(t)) ≤ với L(t) = sin t, ta có sin t t∈R+ δ ≤ < K sup L(t) = sup t∈R+ Vậy hệ cho ổn định tiệm cận Sau đây, luận văn xét toán ổn định cách sử dụng phương pháp hàm tựa Lyapunov, tựa Lyapunov suy rộng Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm hệ (2.1) gọi ổn định mũ tồn δ > nghiệm x(t) thỏa mãn x(t) ≤ β( x0 , t0 )e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 , (2.5) β(h, t) : R+ × R+ → R+ hàm tăng khơng âm Nếu β(.) định nghĩa không phụ vào t0 nghiệm hệ (2.1) gọi ổn định mũ Đặt V (t, x) : W = R+ × Rn → R, V (t + h, x + hf ) − V (t, x) h→0+ h Df+ V (t, x) = lim Df+ V gọi đạo hàm Dini V (.) dọc theo quỹ đạo (2.1) Với x(t) nghiệm (2.1), ta kí hiệu d+ V (t, x(t)) đạo hàm bên phải V (t, x(t)) d+ V (t, x(t)) = lim+ h→0 V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t)) h Định nghĩa 2.1.2 Hàm V (t, x) : W → R Lipschitz theo x thỏa mãn với t ∈ R+ tồn số L > cho với t ∈ R+ , |V (t, x1 ) − V (t, x2 )| ≤ L x1 − x2 , 29 ∀(x1 , x2 ) ∈ Rn × Rn Xét hệ phương trình vi phân t ≥ 0, u(t) ˙ = g(t, u), (2.6) với g(t, u) hàm liên tục theo t u Mệnh đề 2.1.1 Cho u(t) nghiệm cực đại hệ (2.6) với u(t0 ) = u0 Nếu tồn hàm liên tục v(t) với v(t0 ) = u0 thỏa mãn d+ v(t) ≤ g(t, u(t)), ∀t ≥ 0, t v(t) − v(t0 ) ≤ g(s, u(s))ds, ∀t ≥ t0 Ta đặt Df V (t, x) = dV (t, x) dV (t, x) + f (t, x) dt dx Định nghĩa 2.1.3 Hàm V (t, x) : W → R gọi hàm tựa Lyapunov (2.1) V (t, x) khả vi liên tục với t ∈ R+ , x ∈ Rn tồn số dương λ1 , λ2 , λ3 , K, p, q, r, δ cho λ1 x p ≤ V (t, x) ≤ λ2 x q , Df V (t, x) ≤ −λ3 x r + Ke−δt , ∀(t, x) ∈ W, ∀t ≥ 0, x ∈ Rn \ {0} (2.7a) (2.7b) Định nghĩa 2.1.4 Hàm V (t, x) : W → R gọi hàm tựa Lyapunov suy rộng (2.1) V (t, x) liên tục theo t, Lipschitz theo x, tồn hàm dương λ1 (t), λ2 (t), λ3 (t), với λ1 (t) hàm không giảm tồn số dương K, p, q, r, δ cho λ1 (t) x p ≤ V (t, x) ≤ λ2 (t) x q , Df+ V (t, x) ≤ −λ3 (t) x r + Ke−δt , ∀(t, x) ∈ W, ∀t ≥ 0, x ∈ Rn \ {0} (2.8a) (2.8b) Định lý 2.1.4 Hệ (2.1) ổn định mũ tồn hàm tựa Lyapunov hai điều kiện sau thỏa mãn với (t, x) ∈ W δ> λ3 , r [λ2 ] /q r ∃γ > cho V (t, x) − V (t, x) /q ≤ γe−δt 30 (2.9a) (2.9b) Chứng minh Với t0 ≥ 0, x(t) nghiệm (2.1) Đặt Q(t, x) = V (t, x)eM (t−t0 ) , M= λ3 r/ [λ2 ] q Khi ˙ x(t)) = Df V (t, x)eM (t−t0 ) + M V (t, x)eM (t−t0 ) Q(t, Kết hợp với (2.7b), ta ˙ x(t)) ≤ λ3 x Q(t, Vì x q ≥ r + Ke−δt eM (t−t0 ) + M V (t, x)eM (t−t0 ) (2.10) V (t, x) nên λ2 r − x V (t, x) ≤− λ2 r /q , ˙ x) ≤ Q(t, r −V (t, x) λ3 /q + Ke−δt eM (t−t0 ) + M V (t, x)eM (t−t0 ) r/ q [λ2 ] Vì λ3 M= r/ q , t ≥ 0, [λ2 ] nên ta có ˙ x) ≤ M V (t, x) − V (t, x)r /q eM (t−t0 ) + Ke(M −δ)(t−t0 ) Q(t, Kết hợp với (2.9b), ta ˙ x) ≤ (K + M γ) Ke(M −δ)(t−t0 ) Q(t, Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức với cận từ t0 đến t, ta t Q(t, x(t)) − Q(t0 , x0 )) ≤ (K + M γ)e(M −δ)(s−t0 ) ds, t0 = (K + M γ) 31 e(M −δ)(t−t0 ) M −δ Đặt δ1 = −(M − δ), theo điều kiện (2.9a) suy δ1 > K + M γ K + M γ (M −δ)(t−t0 ) − e δ1 δ1 K + Mγ ≤ Q(t0 , x0 ) + δ1 Q(t, x(t)) ≤ Q(t0 , x0 ) + Vì Q(t0 , x0 ) = V (t0 , x0 ) ≤ λ2 x0 q nên ta có Q(t, x) ≤ λ2 x0 q + K + Mγ δ1 Đặt λ2 x0 q + K + Mγ = β( x0 ) > 0, δ1 suy Q(t, x(t)) ≤ β( x0 ), ∀t ≥ (2.11) Mặt khác, ta có λ1 (t) x(t) x(t) ≤ p ≤ V (t, x(t)), V (t, x(t)) λ1 1/p (2.12) Thay V (t, x) = Q(t, x)/eM (t−t0 ) vào (2.12) ta x(t) ≤ Q(t, x(t)) eM (t−t0 ) λ1 1/p (2.13) Từ (2.11) (2.13) suy x(t) ≤ β( x0 ) eM (t−t0 ) λ1 1/p = β x0 λ1 1/p M e− p (t−t0 ) , ∀t ≥ t0 (2.14) Vậy hệ (2.1) ổn định mũ Ví dụ 2.1.5 Xét tính ổn định phương trình vi phân phi tuyến 1 x(t) ˙ = − x (t) + x(t) e−2t (2.15) Chọn hàm V (t, x) : R+ ×D → R+ , V (t, x) = x6 , với D = {x : |x| ≤ 1} V (t, x) hàm tựa Lyapunov, 32 V (t, x) hàm khả vi liên tục, V (t, x) = |x|7 ≤ x6 ≤ |x|6 với |x| ≤ Khi đó, điều kiện (2.7a) thỏa mãn với λ1 = λ2 = 1; p = 7; q = Xét hàm 1 V˙ (t, x) = 6x5 x˙ = 6x5 − x + x e−2t 26 = − x + 6x6 e−2t 26 ≤ − x + 6e−2t , 26 suy λ3 = ; K = 6; δ = 2; r = 5 Mặt khác V (t, x) − V (t, x)r/q = x6 − x26/5 26 x − ≤ < e−2t =x5 Vậy hệ (2.15) ổn định mũ Định lý 2.1.5 Hệ (2.1) ổn định mũ tồn hàm tựa Lyapunov suy rộng V (t, x) đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau δ > inf+ t∈R λ3 (t) > 0, [λ2 (t)]r/q ∃γ > cho V (t, x) − [V (t, x)]r/q ≤ γe−δt (2.16a) (2.16b) Chứng minh Xét hàm Q(t, x(t)) = V (t, x(t))eM (t−t0 ) , với M = inf+ t∈R λ3 (t) r/q [λ2 (t)] Ta có M < δ Df+ Q(t, x) = Df+ V (t, xeM (t−t0 ) ) + M V (t, x(t))eM (t−t0 ) lập luận tương tự định lý 2.1.4 ta Df+ Q(t, x) ≤ −λ3 (t) x r + Ke−δt eM (t−t0 ) + M V (t, x(t))eM (t−t0 ) 33 Từ (2.8a) với giả thiết λ2 (t) > ∀t ∈ R+ suy p x ≥ V (t, x) , λ2 (t) hay r − x V (t, x) ≤− λ2 (t) r/q Do đó, ta có Df+ Q(t, x) ≤ λ3 (t) −V (t, x)r/q r/q + Ke−δt eM (t−t0 ) +M V (t, x)eM (t−t0 ) [λ2 (t)] Vì M≤ λ3 (t) [λ2 (t)]r/q t ≥ 0, , kết hợp với (2.16b) ta Df+ Q(t, x) ≤ V (t, x) − V (t, x)r/q eM (t−t0 ) + Ke(M −δ)(t−t0 ) ≤ M γe−δt eM (t−t0 ) + Ke−δt eM (t−t0 ) = (K + M γ)e−δt eM (t−t0 ) ≤ (K + M γ)e−δ(t−t0 ) eM (t−t0 ) Do đó, Df+ Q(t, x) ≤ (K + M γ)e(M −δ)(t−t0 ) Áp dụng mệnh đề (2.1.1) với v(t) = Q(t, x(t)), g(t, u(t)) = (K + M γ)e(M −δ)(t−t0 ) , ta t Q(t, x(t)) − Q(t0 , x0 ) ≤ (K + M γ)e(M −δ)(s−t0 ) ds, t0 = (K + M γ) e(M −δ)(t−t0 ) − M −δ Đặt δ1 = −(M − δ), từ điều kiện (2.16a) ta có δ1 > K + M γ K + M γ (M −δ)(t−t0 ) − e δ1 δ1 K + Mγ ≤Q(t0 , x0 ) + δ1 Q(t, x(t)) ≤Q(t0 , x0 ) + 34 q Vì Q(t0 , x0 ) = V (t0 , x0 ) ≤ λ2 (t0 ) x0 nên Q(t, x(t)) ≤ λ2 (t0 ) x0 q + K + Mγ δ1 Đặt λ2 (t0 ) x0 q + K + Mγ = β( x0 , t0 ) > 0, δ1 suy Q(t, x(t)) ≤ β( x0 , t0 ), ∀t ≥ t0 (2.17) Mặt khác, theo định nghĩa hàm tựa Lyapunov suy rộng ta có λ1 (t) x(t) p ≤ V (t, x(t)), suy V (t, x(t)) λ1 (t) x(t) ≤ 1/p Vì λ1 (t) hàm khơng giảm, λ1 (t) ≥ λ1 (t0 ) nên V (t, x(t)) λ1 (t0 ) x(t) ≤ với V (t, x) = 1/p , Q(t, x) , eM (t−t0 ) suy x(t) ≤ Q(t, x(t)) eM (t−t0 ) λ1 (t0 ) 1/p (2.18) Từ (2.17) (2.18) ta có x(t) ≤ β( x0 , t0 ) eM (t−t0 ) λ1 (t0 ) 1/p = β( x0 , t0 ) λ1 (t0 ) 1/p m e− p (t−t0 ) , ∀t ≥ t0 suy hệ (2.1) ổn định mũ Định lý chứng minh Chú ý 2.1.1 Trong định lý 2.1.5 ta giả thiết λ1 (t) hàm không giảm Nếu λ1 (t) thỏa mãn điều kiện ∃a > : a < M, λ1 (t) ≥ e−αt , t ≥ 0, 35 (2.19) đó, ta thay giả thiết không giảm điều kiện (2.19) với M = inf+ t∈R λ(t) [λ(t)]r/q Ví dụ 2.1.6 Xét tính ổn định mũ hệ phương trình 3t x x(t) ˙ = − et x + + e− cos x 10 Chọn hàm Lyapunov V (t, x) : R+ × D → R+ ; D = {x : |x| ≤ 1} t V (t, x) = e− x5 Ta có t e− x5 ≤ V (t, x) ≤ x5 , t chọn λ1 (t) = e− ; λ2 (t) = 1; p = q = Xét t 3t 1 x V˙ (t, x) = − e x5 + 5e− x4 − et x + + e− cos x 10 t 19 t t = − e x − e x + e− x5 + 5e−2t x4 cos x 2 t = − e x + 5e−2t x4 cos x t ≤ − e x + 5e−2t , ∀x ∈ D t Chọn λ3 (t) = e , r = Ta có inf+ t∈R 19 4, K = 5, δ = λ3 (t) [λ2 (t)]r/q t = inf+ e = ≤ = δ t∈R Xét t t t 19t V (t, x) − V (t, x)r/q = e− x5 − e− x5 19/20 = e− x5 − e− 40 x19/4 t 19t ≤ e− − e− 40 với x ∈ D t t ≤ e− − e 40 ≤ < e−2t Vậy hệ cho ổn định mũ 36 (2.20) Ví dụ 2.1.7 Xét tính ổn định mũ hệ 1 x(t) ˙ = − x + xe−2t (2.21) Xét V (t, x) = |x|3 ; D = {x : |x| ≤ 1} suy V (t, x) = x3 −x3 ≤ x ≤ 1, − ≤ x < Ta có  1   3x2 − x + xe−2t ≤ x ≤ 1, Df+ V (t, x) = 1   −3x2 − x + xe−2t − ≤ x < = −x + 3x3 e−2t ≤ x ≤ 1, x − 3x3 e−2t − ≤ x < Do Df+ V (t, x) = −|x|5/2 + 3|x|3 e−2t , ∀x ∈ D ≤ −|x|5/2 + 3e−2t Chọn K = 3; p = q = 3; λ1 (t) = λ2 (t) = λ3 (t) = 1; r = ; δ = 2 Xét V (t, x) − [V (t, x)]r/q = |x|3 − |x|3 5/6 = |x|3 − |x|5/2 = |x|5/2 |x|1/2 − ≤ < e−2t , ∀x ∈ D Vậy hệ cho ổn định mũ 2.2 Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến Xét hệ phương trình phi tuyến x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) + f (x(t), u(t)), 37 (2.22) A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , f : Rn × Rm → Rn hàm phi tuyến liên tục thỏa mãn điều kiện f T (x, u)f (x, u) ≤ α x + β u 2, (2.23) với α > 0, β > 0, (x, u) ∈ Rn × Rm Định lý 2.2.1 Hệ (2.22) ổn định hóa tồn ma trận đối xứng P > thỏa mãn bất đẳng thức ma trận  T A P + P A + αI P  P − I + BB T β  −1  cho AT P + P A + 3I + P (I + BB T )P < β Ta tìm P = > thật vậy, với P = suy 21 AT P + P A + 3I + P (I + BB T )P = − < β Vậy hệ cho ổn định hóa với điều khiển u(t) = − x(t) Ví dụ 2.2.2 Xét tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến  √ √   x˙1 (t) = −3x1 (t) − x2 (t) + u1 (t) − u2 (t) + x1 (t) + 3u2 (t) e−|x2 (t)| √2 √   x˙2 (t) = x1 (t) − 7x2 (t) + 2u1 (t) + u2 (t) + x2 (t) − 3u1 (t) e−|x1 (t)| 2 39 Ta thấy √ x1 (t) + 3u2 (t) e−2|x2 (t)| √ x2 (t) − 3u1 (t) e−2|x1 (t)| + 2 ≤ x1 (t) + x22 (t) + 3u21 (t) + 3u22 (t) f (x(t), u(t)), f (x(t), u(t)) = ≤ x(t) Chọn α = 1; β = Ta có   −3 −1   A= ; −7 2 + u(t)    −1 B=  Theo định lý (2.2.1) ta phải tìm ma trận P đối xứng, P > thỏa mãn AT P + P A + P BB T P + I + P < Ta tìm nghiệm P = Thật   1 −3 −3  T = A P =  −1 −1 −7   −3 −1  −3  PA =  = −7    1  −1  2 2 P BB T P =    2 −1 1 −14 , −1 −14 ,   0  = 4  20 suy   11 −  T T A P + P A + P BB P + I + P =   < 0 −3 40 Vậy hệ cho ổn định hóa với điều khiển   −2  u(t) = −   x(t) −1 Sau số ứng dụng dựa kết thu tính ổn định cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov Xét tốn ổn định hóa hệ x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (2.27) x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , f (t, x(t)u(t)) : R+ × Rn × Rm → Rn Dựa kết tính ổn định từ định lý 2.1.4 ta thu điều kiện đủ cho tính ổn định mũ hệ điều khiển phi tuyến (2.27) sau Định lý 2.2.2 Giả sử tồn hàm h(x) : Rn → Rm , h(0) = với h(x) liên tục theo biến x cho với hệ (2.27) ta chọn hàm tựa Lyapunov thỏa mãn (2.9a) (2.9b), hệ đóng điều khiển phi tuyến x(t) ˙ = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ h(x) : Rn → Rm ổn định mũ với điều khiển ngược u(t) = h(x(t)) Bằng cách sử dụng hàm tựa Lyapunov suy rộng ta thu kết tính ổn định mũ hệ x˙ = f (t, x(t)), t ≥ Áp dụng kết thu từ định lý 2.1.5 ta có định lý sau: Định lý 2.2.3 Giả sử tồn hàm h(x) : Rn → Rm với h(0) = h(x) liên tục theo x cho hệ (2.27) ta chọn hàm tựa Lyapunov suy rộng thỏa mãn (2.16a) (2.16b), hệ điều khiển đóng x(t) ˙ = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0, h(x) : Rn → Rm ổn định mũ với hàm điều khiển ngược u(t) = h(x(t)) 41 Kết Luận Trong luận văn tơi trình bày lại cách có hệ thống việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân phi tuyến với thời gian liên tục phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov cho số dạng phương trình đặc biệt phương pháp hàm Lyapunov, mở rộng hàm tựa Lyapunov, tựa Lyapunov suy rộng vận dụng kết giải tốn ổn định hóa Ngồi phần đọc hiểu, tơi có đóng góp việc chứng minh chi tiết định lý tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến xây dựng số ví dụ minh họa 42 Tài liệu tham khảo [1] Vũ Ngọc Phát, Nhập mơn lý thuyết điều khiển tốn học Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2001 [2] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định Nhà xuất giáo dục, 2003 [3] N M Linh, V N Phát, Exponential stability of nonlinear time- varying differential equations and applications Electronic Journal of Differential Equations, 2001(2001), No 34, pp 1-13 [4] N P Bhatia, G P Szeg˝o, Stability Theory of Dynamical Systems Springer, Boston, 2002 [5] N Rouche, P Habets, M Laloy, Stability Theory by Lyapunov’s Direct Method Springer, New York, 1977 [6] L Boyd, El Ghaaui, E Feron, V Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory SIAM, Philadelphia, 1994 [7] Lien C H., Global exponential stabilization for Several classes of uncertain nonlinear systems with time - varying delay Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 4(1)(2004) 15-30 [8] Lee E and Markus L., Foundation of Optimal Control Theory John Wiley, New York, 1967 43