Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 04 Hình học toạ độ không gian BÀI KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (PHẦN 1) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài Kiến thức cần nhớ (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài Kiến thức cần nhớ (Phần 1) Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng A LÝ THUYẾT CƠ SỞ: I Các phép toán tọa độ véc tơ:   Cho: v( x, y, z), v '( x ', y ', z ')   1)v phương v ' khi: x y z     (v  0(0; 0)) x' y' z' Định nghĩa: Hai vecto phương chúng nằm đường thẳng song song nằm đường thẳng không tính chiều + Hai vec tơ không phương chúng không nằm đường thẳng song song nằm đường x  x '    2) v  v '   y  y ' z  z '  Hai véc tơ chúng phƣơng, chiều, độ dài   3) v  v '  ( x  x '; y  y '; z  z ')  4) kv  k ( x, y, z)  (kx; ky; kz), k  R  5) | v || ( x, y, z ) | x  y  z   6) v.v '  xx ' yy ' zz '   7) v  v '  v.v '      v.v ' 8) cos(v; v ')    | v || v ' | Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 04 Hình học toạ độ không gian   9) [v; v ']=[( x; y; z ).( x '; y '; z ')] yz z x x y    ; ;   y' z' z' x' x' y'    yz ' y ' z; zx ' z ' x; xy ' x ' y  Chú ý:        [v; v ']  v , [v; v ']  v '    Lấy vec tơ không phương v; v ' (tức vecto không nằm đường thẳng không nằm đường thẳng song song) nhân có hướng với ta vec tơ vuông góc với hai véc tơ       v; v '  v v ' sin(v;v ')        + v phƣơng v '  v; v '  0(0; 0; 0)         + véc tơ a; b; c đồng phẳng   a; b  c    II Các phép toán tọa độ điểm: a) Cho: A( x A ; y A ; z A ); B( xB ; yB ; z B )  AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )  AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2  x A  xB  xI   y  yB  I trung điểm AB  I   yI  A  z A  zB   zI   b) Cho A( x A ; y A ; z A ) ; B( xB ; yB ; z B ) ; C ( xC ; yC ; zC )   + A, B, C thẳng hàng  [ AB; AC ]  + A, B, C không thẳng hàng (A, B, C đỉnh tam giác)  [AB; AC]  + S ABC    [ AB; AC ]     AB AC  + cosA=cos( AB; AC )    | AB || AC | Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 04 Hình học toạ độ không gian Chú ý:  Nếu góc A nhọn cosA >  Nếu góc A vuông cosA =  Nếu góc A tù cosA > Hoàn toàn tƣơng tự ta tính đƣợc cosB; cosC  x A  xB  xC  xG   y  yB  yC   G   yG  A  z A  zB  zC   zG   + Với điểm M tùy ý không gian ta có:     MA  MB  MC  3.MG c) Cho A( x A ; y A ; z A ) ; B( xB ; yB ; z B ) ; C ( xC ; yC ; zC ) ; D( xD ; yD ; z D )    + A, B, C, D đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng)  AB; AC  AD       + A, B, C, D đỉnh tứ diện   AB; AC  AD    + VABCD      AB; AC  AD    x A  xB  xC  xD  xG   y  yB  yC  yD  + G trọng tâm tứ diện ABCD  G   yG  A  xA  xB  xC  xD   xG   + M điểm tùy ý không gian ta có:      MA  MB  MC  MD  4MG Chú ý:    VABCD A' B 'C ' D '   AB; AD  AA'   Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho điểm A(0;0;1), B(0;0;2), C(0;1;3), D(1;3;0) a CM A, B, C, D không đồng phẳng b Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC d Tính đường cao hạ từ đỉnh D tứ diện ABCD e Tính đường cao hạ từ đỉnh B tam giác ABC Bài Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD có A(1;1;1), B(-1;2;0), C(1;3;-1) Tìm tọa độ D Bài Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a Chứng minh tam giác ABC vuông b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A d Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho điểm A(0;0;1), B(0;0;2), C(0;1;3), D(1;3;0) a CM A, B, C, D không đồng phẳng b Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC d Tính đường cao hạ từ đỉnh D tứ diện ABCD e Tính đường cao hạ từ đỉnh B tam giác ABC Lời giải:     AB  (0;0;1); AC  (0;1; 2); AD  (1;3; 1); BC (0;1;1)  AB 1; AC  5; BC  a CM A, B, C, D không đồng phẳng   Ta có:  AB, AC   (0;0;1), (0;1; 2)  (1;0;0) (1)      AB, AC  AD  (1;0;0).(1;3; 1)  1  (2)  A, B, C, D không đồng phẳng b Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R tam giác ABC Theo (1) ta có:   1  AB, AC   (1; 0; 0)  (3)   2 AB.BC.CA 10 R   S ABC S ABC  c Tính bán kính đường tròn nội tiếp r tam giác ABC Theo (3) ta có: 2S ABC r   AB  BC  CA     d Tính đường cao hD hạ từ đỉnh D tứ diện ABCD Theo (2) ta có: VABCD      AB, AC  AD   6 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian 3VABCD Kết hợp (3) ta có: hD    1 S ABC e Tính đường cao hB hạ từ đỉnh B tam giác ABC 2S Theo (3) ta có: hB  ABC  AC 2 5 Bài Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD có A(1;1;1), B(-1;2;0), C(1;3;-1) Tìm tọa độ D Lời giải:   Do AB  k AC nên A, B, C không thẳng hàng  x   2t    CD//AB nên chọn uCD  AB   2;1; 1  CD :  y   t  D 1  2t ;3  t ; 1  t   CD  z  1  t  Vì ABCD hình thang cân với hai đáy AB, CD nên AD=BC , đó:  D  3; 2;0  t  1   2t 2   t  2   t  2   3t  4t      D ; ;  t     3   Mặt khác, ABCD hình thang nên AB khác CD Với D (3; 2; 0) AC=BD ; AB=CD nên ABCD hình bình hành (loại)   Với D ; ;  AB khác CD (thỏa mãn) 3 Bài Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a Chứng minh tam giác ABC vuông b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A d Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành Lời giải: a Chứng minh tam giác ABC vuông     Ta có: AC  (3;0; 6); BC  (8;0; 4)  AB AC     AC tam giác ABC vuông A b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC x x x y  yB  yC z z z 4  1; zG  A B C   G( ; 1; ) Ta có: xG  A B C  ; yG  A 3 3 3 c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A Trung điểm M BC có tọa độ xM  xB  xC y  yC z z  1; yM  B  1; zM  B C  2   (1; 1; 2) 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian  Do đó: AM  (1; 0; 4)  AM  17 d Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành  x  x  x A  xB    D C Ta có: BA  CD   yD  yC  y A  yB  D(10; 2;10) z  z  z  z A B  D C Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (Phần 2) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG d) Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (ðHKD 2005): Trong không gian Oxyz cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ biết A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4) Tìm tọa ñộ ñiểm A’ C’ Ví dụ 2: (ðHKB 2006) Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 2), B(2t; + t; -1 – t), C(1 + s; -1 – 2s; + s) Tìm t s ñể ñiểm A, B, C thẳng hàng 4 7 Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho ∆ ABC biết A(2; -2; -3), B(2; 0; -1), G  ; − ; −  trọng tâm 3 3 ∆ ABC Tính số ño góc C Tính chu vi diện tích ∆ ABC, tính ñộ dài ñường cao hạ từ ñỉnh A Tính bán kính ñường tròn nội, ngoại tiếp ∆ ABC Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ ABC Tìm tọa ñộ chân ñường phân giác góc A Tìm tọa ñộ trực tâm ∆ ABC Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có A(2; 4; 6), B(2; 0; 0), C(0; 4; 0), D thuộc trục Oz, biết thể tích tứ diện VABCD = Tìm tọa ñộ ñiểm D biết cao ñộ zD < tìm tọa ñộ trọng tâm G tứ diện Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (Phần 2) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;3; 2) mặt phẳng ( ) : x  y   Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng ( ) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5;3;  1), P(2;3;  4) Tìm tọa độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng ( ) : x  y  z   Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (6;-2;3); B (2;-1;3); C (4;0;-1) a Chứng minh rằng: A, B, C ba đỉnh tam giác Tìm độ dài đường cao tam giác ABC kẻ từ đỉnh A b Tìm m n để điểm M (m + 2; 1; 2n + 3) thẳng hàng với A C Bài Cho mặt phẳng  P  : x  y  2z 1  đường thẳng d1 : x 1 y  z   , 3 x 5 y z 5   Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường thẳng 5 MN cách (P) khoảng d2 :  x   2t  Bài Tìm hình chiếu H M(2,-2,1) lên đường thẳng (d ) :  y  1  t  z  2t  Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (Phần 2) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;3; 2) mặt phẳng ( ) : x  y   Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng ( ) Lời giải: Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 ) Khi ta có: ( x0  1)  y02  z02  x02  ( y0  1)  z02  x02  ( y0  3)  ( z0  2)   ( x0  1)  y02  z02  x02  ( y0  1)  z 02    x02  ( y0  1)  z02  x02  ( y0  3)  ( z  2)  ( x0  1)  y02  z02  ( x0  y0  2)  x0  y0  (1) (2) (3)  y0  x0 Từ (1) (2) suy   z0   x0  x0   M (1; 1; 2)  Thay vào (3) ta có 5(3 x  x0  10)  (3 x0  2)    23 23 14  x0  23  M ( ; ;  )  3  2 Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5;3;  1), P(2;3;  4) Tìm tọa độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng ( ) : x  y  z   Lời giải: Giả sử N ( x0 ; y0 ; z0 ) Vì N  ( )  x0  y0  z0   (1)  MN  PN MNPQ hình vuông  MNP vuông cân N      MN PN  ( x0  5)2  ( y0  3)2  ( z0  1)2  ( x0  2)2  ( y0  3)2  ( z0  4)2    ( x0  5)( x0  2)  ( y0  3)  ( z0  1)( z0  4)    x0  z0     ( x0  5)( x0  2)  ( y0  3)  ( z0  1)( z0  4)  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt (2) (3) Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU (Phần 1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho A(1; -2; 3), B(-1; 0; 1), mp(P): x y z Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính AB , có tâm thuộc đường thẳng AB (S) tiếp xúc với (P) Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: x d1 : y 1 x s z x , d2 : y 3s d1 : z s y 1 x s z , d2 : y 3s z s Viết phương trình mặt cầu có đường kính đoạn vuông góc chung d1; d2 (mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với đường thẳng d1 , d2) Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt : x y 1 điểm A, B cho z ; I (1;0;3) AIB vuông I Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 1; 2), B(6; 1; 4), C(1; 1; -1) Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính tiếp xúc với mp(ABC) C Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU (Phần 1) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho A(1; -2; 3), B(-1; 0; 1), mp(P): x y z Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính AB , có tâm thuộc đường thẳng AB (S) tiếp xúc với (P) Giải: x t - AB: qua A(1; -2; 3) có vtcp AB AB có phương trình: ( 2;2; 2) y z t t - Gọi I tâm (S) Vì I thuộc AB suy I(1+t; -2-t; 3+t) Vì (S) tiếp xúc với (P) bán kính (S) d ( I ; (P )) t AB 3 3 t t 1 t 4)2 (y 3)2 (z 2)2 ( S ) : (x 6)2 (y 5)2 (z 4)2 ( S ) : (x AB nên ta có: t I ( 4;3; 2) t I ( 6;5; 4) 3 Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: x d1 : y 1 x s z x , d2 : y 3s d1 : z s y 1 x s z , d2 : y 3s z s Viết phương trình mặt cầu có đường kính đoạn vuông góc chung d1; d2 (mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với đường thẳng d1 , d2) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Giải: x 3t - d1 có phương trình tham số: d1 : y t z 2t - Lấy A d1 ; B d - A(4 3t ;1 t ; 2t ), B(2 s; 3s; s) AB d1 AB.ud1 AB d2 AB.ud2 t s A(1;2; 3), B(3;0;1) Vậy mặt cầu (S) cần tìm có tâm I(2; 1; -1) trung điểm AB bán kính R = IA = phương trình: ( x 2) ( y 1) ( z 1) (S) có Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt : x y 1 điểm A, B cho z ; I (1;0;3) AIB vuông I Giải: - qua M(1; -1; 1) có vtcp u - Gọi H trung điểm AB IH AIB vuông I AB u, MI (2;1; 2), (0;1; 2) u (2;1; 2) 02 (2;1; 2) - IH d( I, ) (0; 4; 2) (2;1; 2) ( 4)2 2 IH 22 2 AB 20 AB IH 20 - Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I(1; 0; 3), bán kính R Suy (S) có phương trình: ( x 1)2 y ( z 3)2 IA AH 20 AH IH 20 20 40 40 Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 1; 2), B(6; 1; 4), C(1; 1; -1) Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính tiếp xúc với mp(ABC) C Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Giải: - Gọi d đường thẳng qua C(1; 1; -1) vuông góc với mp(ABC) tức d qua C(1; 1; -1) có vtcp u CA, CB (0; 25; 0) / /(0;1; 0) x d có phương trình: y t z - Gọi I R tâm bán kính (S) Vì (S) tiếp xúc với (ABC) C Vì R = IC IC I t t d I (1;1 t ; 1) I (1; 4; 1) I (1; 2; 1) Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( x 1) ( y 4) ( z 1) ( x 1) ( y 2) ( z 1) Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU (Phần 2) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Bài 5: ðHKS 2010 A(0;0; −2) x+2 y−2 z +3 ∆: = = Tính d ( A; ∆) Viết pt mặt cầu tâm A, cắt ∆ ñiểm B, C cho BC = Bài 6: x − y −1 z + d1 : = = −1 −2 x = + s  d :  y = −3 + 3s z = s  Viết pt mặt cầu có ñường kính ñường vuông góc chung d1;d2 Bài 7: Trong mặt phẳng Oxyz cho ñường thẳng ∆ ñi qua ñiểm B(0,1, 0) C (0, 2,1) Viết pt mặt cầu (S) biết tiếp xúc với mặt phẳng (Oxyz) ñiểm A(−2;3; 0) ñồng thời tiếp xúc với ∆ Bài 8: Cho chóp SABO: S(2;2;6) A(4;0;0) B(4;4;0) C(0;4;0) a) CMR: SABCO hình chóp tứ giác ñều b) Viết pt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCO Bài 9: ðHKD 2008 A(3,3, 0) B(3, 0,3) C (0, 3, 3) D (3, 3,3) a Viết pt mặt cầu ñi qua ñiểm A, B, C, D b Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU (Phần 2) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Bài 1: (ðHKB – 2005) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4) Tìm tọa ñộ A’, C’ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mp(BCC’B’) Gọi M trung ñiểm A’B’ Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua ñiểm A, M song song với BC’ Gọi N giao A’C’ (P) Tính ñộ dài MN Bài 2: Trong không gian Oxyz cho ñường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0 Tìm tất giá trị m ñể (S) cắt (d) ñiểm MN cho MN= Bài 3: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có A ≡ O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’ Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU (Phần 2) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Bài 1: (ðHKB – 2005) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4) Tìm tọa ñộ A’, C’ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mp(BCC’B’) Gọi M trung ñiểm A’B’ Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua ñiểm A, M song song với BC’ Gọi N giao A’C’ (P) Tính ñộ dài MN Giải: + Tính A’, C’ - Gọi A '( x; y; z ) ta có: AA ' = BB ' x =  ⇒ ( x; y + 3; z ) = (0;0; 4) ⇔  y = −3 → A '(0; −3; 4) z =  - Gọi C '( x '; y '; z ') ta có: CC ' = BB ' x ' =  ⇒ ( x '; y '− 3; z ') = (0;0; 4) ⇔  y ' = → C '(0;3; 4) z ' =  + Viết phương trình mặt cầu (S) - (BCC’B’) ñi qua B(4; 0; 0) có vtpt n =  BC , BB ' = (12;16;0) Vậy pt mặt phẳng (BCC’B’): 12( x − 4) + 16( y − 0) + 0( z − 0) = ⇔ x + y − 12 = - Mặt cầu (S) cần tìm có tâm A(0; -3; 0), bán kính R = d(A, (BCC’B’)) = Vậy mặt cầu (S) có pt: x + ( y + 3) + z = 24 576 25 + Viết phương trình mặt phẳng (P) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian   - M  2; − ;    - (P) ñi qua A(0; -3; 0) có vtpt n =  AM , BC ' = ( −6; −24;12) Suy (P) có phương trình: −6( x − 0) − 24( y + 3) + 12( z − 0) = ⇔ x + y − z + 12 = + Tính MN: x =  - A’C’ có phương trình:  y = −3 + 6t z =   x = 0; y = −3 + 6t ; z = - N = A ' C '∩ ( P) ⇒ tọa ñộ N nghiệm hệ:   x + y − z + 12 = ⇒ N (0; −1; 4) 17   ⇒ MN = (2 − 0) +  − + 1 + (4 − 4)2 =   Bài 2: Trong không gian Oxyz cho ñường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0 Tìm tất giá trị m ñể (S) cắt (d) ñiểm MN cho MN= Giải: (S) tâm I(-2;3;0), bán kính R= 13 − m = IM (m < 13) Gọi H trung ñiểm MN ⇒ MH= ⇒ IH = d(I; d) = −m − u; AI    (d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1; 2) ⇒ d(I; d) = =3 u Vậy : −m − =3 ⇔ m = –12( thỏa ñk) Bài 3: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có A ≡ O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’ Giải: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Kẻ CH ⊥ AB’, CK ⊥ DC’ Ta chứng minh ñược CK ⊥ (ADC’B’) 49 nên tam giác CKH vuông K ⇒ CH = CK + HK = 10 B’ Vậy PT mặt cầu là: C’ K 49 ( x − 3) + ( y − 2) + z = 10 D’ A’ D A H B C Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU (Phần 3) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R mặt phẳng (P) (P) cắt (S) ⇔ d ( I ;( P )) < R Khi ñó giao tuyến (P) (S) ñường tròn (C) ðể tìm tâm bán kính (C) ta làm sau: + Viết pt ñường thẳng (d) qua I vuông góc với (P) + Gọi I’; R’ tâm bán kính (C) Khi ñó: I ' = d ∩ ( P ), R ' = R − I ' I Bài tập mẫu: Bài tập 1: ðHKA 2009 (P): 2x – 2y – z – = (S): x + y + z − x − y − z − 11 = CMR: (P) cắt (S) theo giao tuyến ñường tròn Xác ñịnh tọa ñộ tâm bán kính ñường tròn ñó Bài tập 2: I(1;2;-2) (P): 2x + 2y + z + = a) Viết pt mặt cầu (S) tâm I biết giao tuyến (P) (S) có chu vi 8π x −1 y + z b Chứng minh răng: (S) tiếp xúc với ñường thẳng ( ∆) : = = 1 c) Lập pt mặt phẳng (Q) chứa ∆ tiếp xúc với (S) Bài tập 3: ðHKB 2007 (S ) : x2 + y + z − x + y + z − = ( P ) : x − y + z − 14 = a) Viết pt mặt phẳng (Q) chứa Ox cắt (S) theo giao tuyến ñường tròn có bán kính b) Tìm M ∈ ( S ) cho d(M;(P)) lớn Bài tập 4: (S ) : x2 + y + z + x − y + z − = A(3;1; 0) B(2;0; −2) Viết pt mặt phẳng (P) ñi qua ñiểm A, B cắt khối cầu (S) theo hình tròn có diện tích π Bài tập 5:  x = + 2t x −1 y − z −1  d1 :  y = − 2t d2 : = = −1 −3  z = + 2t  ( S ) : ( x − 1)2 + ( y − 1) + z = Viết pt mặt phẳng (P) song song d1 d2 ñồng thời tiếp xúc (S) Bài tập 6: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian (S ) : x2 + y + z − y + z + = x =  ∆ :y = −t z =  a) Viết pt mặt phẳng (Q) chứa ∆ tiếp xúc với (S) b) Viết pt mặt phẳng (Q) tiếp xúc (S) vuông góc với ñường thẳng IA, ñó I tâm (S) A(2,2,0) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU (Phần 3) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG  11  Bài 1: Cho ñường tròn (C) tâm I  ; − ; −  bán kính (C) nằm mp(P): 3 3  x − y + z + = Viết phương trình mặt cầu (S) chứa (C) có tâm thuộc mặt phẳng (Q): x+ y+ z +3= Bài 2: Cho A(2; 0; 0); B(0; 2; 0); C(0; 0; 4) Viết phương trình mặt phẳng (P)// (Q): x + y + z + = cắt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC theo ñường tròn có chu vi 2π Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua trục Ox tiếp xúc với mặt cầu (S): x + y + z − x − y + z + 10 = Bài 4: Cho ∆ : x y z = = ; ( S ) : x + y + z − x − y + z + = Viết phương trình mp(P) chứa d tiếp xúc 1 với (S) Bài 5: ( P ) : x + y − 12 z + = ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 16 Viết pt mặt phẳng (Q) song song (P) tiếp xúc (S) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU (Phần 3) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG  11  Bài 1: Cho ñường tròn (C) tâm I  ; − ; −  bán kính (C) nằm mp(P): 3 3  x − y + z + = Viết phương trình mặt cầu (S) chứa (C) có tâm thuộc mặt phẳng (Q): x+ y+ z +3= Giải:  x = + t   - ðường thẳng ∆ ñi qua I vuông góc với mp(P) có phương trình:  y = − − 2t  11   z = − + 2t  - Gọi E tâm, R bán kính (S) Vì (S) chứa (C) E thuộc (Q) nên tâm E (S) giao ñiểm ∆ với (Q)  x = + t   y = − − 2t Vậy tọa ñộ ñiểm E nghiệm hệ:  → t = − → E (3; −5; −1) 3  11  z = − + 2t   x + y + z + = Bán kính: R = 22 + EI = +  d ( E , ( p ) )  = + 42 = 20 Vậy phương trình (S): ( x − 3) + ( y + 5) + ( z + 1) = 20 Bài 2: Cho A(2; 0; 0); B(0; 2; 0); C(0; 0; 4) Viết phương trình mặt phẳng (P)// (Q): x + y + z + = cắt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC theo ñường tròn có chu vi 2π Giải: - Giả sử phương trình mặt cầu (S) là: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = ( a + b + c − d > 0) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian d = a = 4 − 4a + d = b =   Vì O; A; B; C thuộc (S) nên ta có:  ⇔ 4 − 2b + d = c = 16 − 8c + d = d = Vậy (S) có phương trình: x + y + z − x − y − z = ⇒ (S) có tâm I(1; 2; 2), bán kính R = - Vì mp(P)// (Q): x + y + z + = nên mp(P) có phương trình: x + y + 3z + d = - Gọi r bán kính, I’ tâm ñường tròn giao tuyến (P) (S) theo giả thiết ta có: 2π r = 2π ⇒ r = ⇒ II ' = ⇔ d ( I , ( P) ) = ⇔ + 2.2 + 3.2 + d 12 + 22 + 32 = ⇔ 11 + d = 112 11 + d = 112  d = 11 + 112 ⇔ ⇔ 11 + d = − 112  d = −11 − 112  ( P) : x + y + z + 11 + 112 = ⇒  ( P) : x + y + z − 11 − 112 = Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua trục Ox tiếp xúc với mặt cầu (S): x + y + z − x − y + z + 10 = Giải: - (S) có tâm I(1; 2; -3) bán kính: R = - Giả sử phương trình mp(P) là: Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C > 0) Vì mp(P) chứa Ox suy (P) chứa ñiểm O(0; 0; 0) M(1; 0; 0) D = ⇒ ⇒ ( P ) : By + Cz = A = Vì (P) tiếp xúc (S) nên ta có: d ( I , ( P ) ) = R = ⇔ B − 3C B +C 2 = ⇔ B − 3C = B + C ⇔ (2 B − 3C ) = 4( B + C ) ⇔ 5C − 12 BC = C = Chọn B = ⇒  C = 12  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian ( P) : y = ( P) : y = Vậy ⇒  ⇔ 12 ( P) : y + z = 5 y + 12 z =  Bài 4: Cho ∆ : x y z = = ; ( S ) : x + y + z − x − y + z + = Viết phương trình mp(P) chứa d tiếp xúc 1 với (S) ( ) ( ) ðáp số: ( P ) : ± x + y − ± z = Bài 5: ( P ) : x + y − 12 z + = ( S ) : ( x − 1)2 + ( y − 2) + ( z − 3) = 16 Viết pt mặt phẳng (Q) song song (P) tiếp xúc (S) Giải: + (S) có tâm I(1;2;3), R=4 + Vì (Q)//(P) nên (Q) có phương trình: 4x + 3y – 12z + D = Vì (Q) tiếp xúc (S) nên ta có: d ( I ;(Q )) = R = ⇔| D − 26 |= 68  D = 94 ⇒  D = −42 Vậy: (Q ) : x + y − 12 z + 94 = (Q ) : x + y − 12 z − 42 =  Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - [...]... Pt (Q): x  4 y  z  10  0 Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0;0;0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích trong không gian a Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi M là trung... Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích trong không gian LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài 1 Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1) a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG b Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C CMR: ABC là tam giác đều Bài 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng... 7  M  0; 0;  đến mp() bằng 2 6 3  Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ biết A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) Lập phương trình mp() chứa đường thẳng CD’ và tạo với mp(BB’D’D) một góc nhỏ nhất Bài 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trung với gốc tọa độ, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), A’(0 ; 0 ; b) với a,... môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích trong không gian LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG (tiếp theo) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài tập có hƣớng dẫn giải: Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng (P): 2 x  2 y  z  1  0 a Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ) Xác định tọa độ điểm M1 và tính độ dài đọan MM1 x-1 y-1 z-5 b Viết... chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích trong không gian LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG (tiếp theo) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài tập có hƣớng dẫn giải: Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng (P): 2 x  2 y  z  1  0 a Gọi M1 là hình chiếu... Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0 ; 1 ; 2) và hai đường thẳng : Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương x y 1 z  1 d1:   2 1 1 Hình học giải tích trong không gian x  1 t  d2:  y  1  2t z  2  t  Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2 Tìm tọa. .. Bài 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) Lời giải:   Ta có: AB  (2; 2; 2), AC  (0; 2; 2) Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích trong không gian  x  y... D  0  (P)//(Q)  A B C D    A' B ' C ' D '  ( P)  (Q)  A B C D    A' B ' C ' D ' Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 04 Hình học toạ độ không gian A B C D    A' B ' C ' D '      ( P)  (Q)  n P  nQ  nP nQ  0  ( A, B, C )( A ', B ', C ')  0  (P) cắt... Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 3 - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 04 Hình học toạ độ không gian BÀI 3 LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3 Lý thuyết cơ sở về mặt phẳng thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website... đường thẳng  qua M và vuông góc với cả 2 đường thẳng d1;d2 Ví dụ 3: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Cho điểm A(1;1;-2) và đường thẳng d có pt: Chuyên đề 04 Hình học toạ độ trong không gian x 1 y 1 z  2   2 1 3 (P): x – y – z – 1 = 0 Viết phương trình chính tắc đường thẳng  qua A,