Đang tải... (xem toàn văn)
Chủ đề hình học không gian chiếm 20% tổng số điểm của bài thi Đại học môn Toán. Gồm HHKG thuần túy (Toán 11 + 12) và Phương pháp tọa độ trong không gian (Toán 12). Các chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN luyện thi đại học sau sẽ giúp học sinh tự ôn luyện phần này một cách hiệu quả
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 01) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây tài liệu tóm lược kiến thức ñi kèm với giảng Quan hệ vuông góc thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn ðể nắm vững kiến thức phần Quan hệ vuông góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng I Kiến thức thường sử dụng: * ðịnh lý 1: a ∩ b; a, b ⊂ ( P) ⇒ d ⊥ (P) d ⊥ a, d ⊥ b * ðịnh lý 2: Nếu d ⊥ ( P ) ⇒ d vuông góc với ñường thẳng nằm mp (P) * ðịnh lý 3: d / /d ' ⇒ d ' ⊥ ( P) d ⊥ ( P) * ðịnh lý 4: d ⊂ (Q) ⇒ (Q ) ⊥ ( P ) d ⊥ ( P) * ðịnh lý 5: ( P ) ∩ (Q ) = ∆ ⇒ d ⊥ (Q ) d ⊂ ( P ), d ⊥ ∆ * ðịnh lý 6: ( P ) ∩ (Q ) = ∆ (P) ⊥ (R) ⇒ ∆ ⊥ ( R) (Q) ⊥ ( R) II Các ví dụ mẫu: Chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Bài Cho chóp tam giác S.ABC có ∆ABC vuông C, mặt bên (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng ñáy a Chứng minh: BC vuông góc (SAC) b E hình chiếu vuông góc A SC Chứng minh rằng: AE vuông góc với mặt phẳng (SBC) c Mặt phẳng (P) qua AE vuông góc mặt phẳng (SAB) cắt SB D Chứng minh rằng: SB vuông góc mp (P) d Gọi F giao ñiểm DE BC Chứng minh rằng: AF vuông góc mp (SAB) Bài (Trích ñề ðHKD-2012) Cho hình chóp tam giác ñều SABC, gọi H hình chiếu vuông góc A SC Chứng minh SC ⊥ ( ABC ) Bài Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình vuông, tam giác SAB ñều, mặt phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD) Gọi I, J trung ñiểm AB, AD Chứng minh FC vuông góc với (SID) Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 02) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây tài liệu tóm lược kiến thức ñi kèm với giảng Quan hệ vuông góc thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn ðể nắm vững kiến thức phần Quan hệ vuông góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Bài (Trích ðHKA-2007) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình vuông, tam giác SAD ñều Mặt phẳng (SAD) vuông góc với ñáy Gọi M, N, P trung ñiểm SB, BC, CD Chứng minh: AM vuông góc BP Bài (Trích ðHKB-2007) Cho tứ giác ñều S.ABCD có ñáy hình vuông, E ñối xứng với D qua trung ñiểm SA Gọi M, N trung ñiểm AE BC Chứng minh MN vuông góc với BD Bài (Trích ðHKD-2007) Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình thang vuông, góc ABC góc BAD = 900, BA = BC = a ; AD = 2a SA vuông góc với (ABCD) Chứng minh tam giác SCD vuông Bài Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a Chứng minh tam giác SBD vuông Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 03) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây tài liệu tóm lược kiến thức ñi kèm với giảng Quan hệ vuông góc thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn ðể nắm vững kiến thức phần Quan hệ vuông góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Bài Cho chóp SABC có ñáy ABC tam giác ñều cạnh a, I trung ñiểm BC, D ñối xứng với A qua a Chứng minh a) (SAD) vuông góc với (SBC) b) (SAB) vuông góc (SAC) I, SD vuông góc với (ABC), SD = Bài (Trích ðHKB-2006) Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SA vuông góc với ñáy, M trung ñiểm AD, gọi I giao BM AC Chứng minh (SAC) vuông góc (SMB) Bài Cho chóp SABCD có ñáy ABCD hình thoi, SA = SC Chứng minh (SBD) vuông góc (ABCD) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc QUAN HỆ VUÔNG GÓC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các tập tài liệu ñược biên soạn kèm theo giảng Quan hệ vuông góc (Phần 01+02+03) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn ñể giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt giảng Quan hệ vuông góc (phần 01+02+03) ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ tập tài liệu (Tài liệu dùng chung 01+02+03) Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a Chứng minh rằng: SB vuông góc SD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) Gọi H, K hình chiếu vuông góc A SB, SD a CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK) b Gọi I giao ñiểm SC với mặt phẳng (AHK) CMR: HK vuông góc AI Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD a Chứng minh rằng: SO ⊥ ( ABCD ) b I, K trung ñiểm BA BC Chứng minh IK vuông góc SD c Gọi (P) mặt phẳng song song với SO chứa IK Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P) Bài 4: Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a góc ∠BAD = 600 , AA ' = a M, N trung ñiểm A’D’ A’B’ Chứng minh rằng: AC ' ⊥ ( BDMN ) Bài 5: Tứ diện SABC có SA ⊥ mp ( ABC ) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) ( SAC ) ⊥ ( BHK ) b Chứng minh HK ⊥ ( SBC ) ( SBC ) ⊥ ( BHK ) Bài 6: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cạnh ñều a Gọi M trung ñiểm AA’ Chứng minh BM vuông góc với B’C Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy hình vuông tâm O cạnh a SA ⊥ ( ABCD ) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD J hình chiếu B SC Gọi M, N, P, Q trung ñiểm AB, AD, BC, SC CMR: BC ⊥ ( SAB ); CD ⊥ ( SAD); AH ⊥ ( SBC ); AK ⊥ ( SCD ); SC ⊥ ( AHK ); BC ⊥ SB; OM ⊥ ( SAB ); 10 CD ⊥ SD; ON ⊥ ( SAD ); 11 AH ⊥ SC ; 13.( SBC ) ⊥ ( SAB ); 14.( SCD) ⊥ ( SAD ); 17.( AHK ) ⊥ ( SAC ); 18.(OQM ) ⊥ ( SAB); BC ⊥ (OPQ ); 12 AK ⊥ SC ; 15 ( AHK ) ⊥ ( SBC ); 16.( AHK ) ⊥ ( SCD ); 19.(OQN ) ⊥ ( SAD ); 20.(OPQ) ⊥ ( SBC ); Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc QUAN HỆ VUÔNG GÓC ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các tập tài liệu ñược biên soạn kèm theo giảng Quan hệ vuông góc (Phần 01+02+03) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn ñể giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt giảng Quan hệ vuông góc (phần 01+02+03) ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ tập tài liệu (Tài liệu dùng chung 01+02+03) Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a Chứng minh rằng: S SB vuông góc SD Giải: + Gọi O giao ñiểm AC BD Vì ABCD hình thoi nên O trung ñiểm AC BD a a + ∆ABC = ∆ASC ⇒ SO = BO = BD ⇒ ∠BSD = 90 ⇔ SB ⊥ SD A D a O B C a Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) Gọi H, K hình chiếu vuông góc A SB, SD a CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK) b Gọi I giao ñiểm SC với mặt phẳng (AHK) CMR: HK vuông góc AI Giải: S a Ta có: AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC (1) AH ⊥ BC I AK ⊥ SD ⇒ AK ⊥ ( SDC ) ⇒ AK ⊥ SC (2) AK ⊥ DC Từ (1) (2) ta suy SC ⊥ ( AHK ) K b Ta có: ∆ v SAB = ∆ v SAD ⇒ SH = SK SH SK ⇒ = ⇒ HK / / BD ( ðịnh lý Ta lét ñảo) SB SD BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) BD ⊥ SA H A D O B C Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ HK ⊥ AI BD ⊥ ( SAC ) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD a Chứng minh rằng: SO ⊥ ( ABCD ) HK / / BD b I, K trung ñiểm BA BC Chứng minh IK vuông góc SD c Gọi (P) mặt phẳng song song với SO chứa IK Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P) Giải: S a Ta có: SO ⊥ AC ⇒ SO ⊥ ( ABCD) SO ⊥ BD b IK ⊥ BD ( AC ⊥ BD) ⇒ IK ⊥ ( SBD ) ⇒ IK ⊥ SD IK ⊥ SO c + Gọi M giao ñiểm SB với mặt phẳng (P), N giao ñiểm DB với mặt phẳng (P) SO / /( P), SO ⊂ ( SBD ) ⇒ SO / / MN ( SBD ) ∩ ( P) = MN SO ⊥ BD + ⇒ MN ⊥ BD MN / / SO BD ⊥ IK + ⇒ BD ⊥ ( P) BD ⊥ MN M D C + K O N A I B Bài 4: Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a góc ∠BAD = 600 , AA ' = a M, N trung ñiểm A’D’ A’B’ Chứng minh rằng: AC ' ⊥ ( BDMN ) Giải: + Gọi S = BN ∩ DM ⇒ M trung ñiểm SD, N trung ñiểm SB, A’ trung ñiểm SA + Gọi O = AC ∩ BD a ⇒ AC = AO = a = SA, CC ' = AO + Hai ∆ vuông SOA ACC’ ⇒ ∠ASO = ∠CAC ' + ∆ BAD ñều ⇒ AO = Mà ∠ASO + ∠SOA = 900 ⇒ ∠CAC '+ ∠SOA = 900 ⇒ AC ' ⊥ SO + AC ' ⊥ BD ⇒ AC ' ⊥ ( BDMN ) AC ' ⊥ SO Bài 5: Tứ diện SABC có SA ⊥ mp ( ABC ) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) ( SAC ) ⊥ ( BHK ) b Chứng minh HK ⊥ ( SBC ) ( SBC ) ⊥ ( BHK ) Giải: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc S K A C B H a Vì H trực tâm tam giác ∆ABC ⇒ BH ⊥ AC , theo giả thiết SA ⊥ mp ( ABC ) ⇒ BH ⊥ SA Nên BH ⊥ mp ( SAC ) ⇒ SC ⊥ BH Do K trực tâm ∆SBC ⇒ BK ⊥ SC Từ ñó suy SC ⊥ mp ( BHK ) ⇒ mp ( BHK ) ⊥ mp ( SAC ) (ñpcm) b Tương tự ta chứng minh ñược: SB ⊥ mp ( CHK ) ⇒ SB ⊥ HK Mà SC ⊥ mp ( BHK ) ⇒ SC ⊥ HK Do ñó: HK ⊥ mp ( SBC ) ⇒ mp ( SBC ) ⊥ mp ( BHK ) Bài 6: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cạnh ñều a Gọi M trung ñiểm AA’ Chứng minh BM vuông góc với B’C A C Giải: Gọi I tâm hình vuông BCC’B’ nên I trung ñiểm B’C M trung ñiểm AA’ nên MC=MB’ suy tam giác MB’C cân M B ⇒ B ' C ⊥ MI ; B ' C ⊥ BC ' ⇒ B ' C ⊥ MB M I C’ A’ B’ Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy hình vuông tâm O cạnh a SA ⊥ ( ABCD ) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD J hình chiếu B SC Gọi M, N, P, Q trung ñiểm AB, AD, BC, SC CMR: BC ⊥ ( SAB ); CD ⊥ ( SAD); AH ⊥ ( SBC ); AK ⊥ ( SCD ); SC ⊥ ( AHK ); BC ⊥ SB; OM ⊥ ( SAB ); 10 CD ⊥ SD; 13.( SBC ) ⊥ ( SAB ); ON ⊥ ( SAD ); 11 AH ⊥ SC ; 14.( SCD) ⊥ ( SAD ); Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt BC ⊥ (OPQ ); 12 AK ⊥ SC ; 15 ( AHK ) ⊥ ( SBC ); 16.( AHK ) ⊥ ( SCD ); Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) 17.( AHK ) ⊥ ( SAC ); 18.(OQM ) ⊥ ( SAB ); Quan hệ vuông góc 19.(OQN ) ⊥ ( SAD ); 20.(OPQ) ⊥ ( SBC ); Giải: BC ⊥ AB (giả thiết ABCD hình vuông) BC ⊥ SA (do giả thiết SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BC ⊥ (SAB) CD ⊥ AD (giả thiết ABCD hình vuông), CD ⊥ SA (do giả thiết SA ⊥ (ABCD)) ⇒ CD ⊥ (SAD) AH ⊥ SB (giả thiết), AH ⊥ BC (do theo câu ta ñã có BC ⊥ (SAB) mà AH ⊂ (SBC) ) ⇒ AH ⊥ (SBC) AK ⊥ SD (giả thiết) AK ⊥ CD (do theo câu ta ñã có CD ⊥ (SAD) mà AK ⊂ (SAD) ) ⇒ AK ⊥ (SCD) AH ⊥ (SBC) (do theo câu 3) ⇒ AH ⊥ SC AK ⊥ (SCD) (do theo câu 4) ⇒ AK ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AHK) OM ñường trung bình tam giác ABC nên OM//BC, mà BC ⊥ (SAB) (do theo câu 1) nên OM ⊥ (SAB) ON ñường trung bình tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD ⊥ (SAD) (do theo câu 2) nên ON ⊥ (SAD) OP ñường trung bình tam giác BDC nên OP//CD mà BC ⊥ CD (giả thiết) nên BC ⊥ OP (*) OQ ñường trung bình tam giác SAC nên OQ//SA mà SA ⊥ (ABCD) nên OQ ⊥ (ABCD), ⇒ BC ⊥ OQ (**) Vậy từ (*) (**) ta có BC ⊥ (OPQ) Theo câu 1: BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB 10 Theo câu 2: CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD 11 Theo câu 3: AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC 12 Theo câu 4: AK ⊥ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC 13 Theo câu 1: BC ⊥ (SAB) mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB) 14 Theo câu 2: CD ⊥ (SAD) mà CD ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD) 15 Theo câu 3: AH ⊥ (SBC) mà AH ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SBC) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc 16 Theo câu 4: AK ⊥ (SCD) mà AK ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SCD) 17 Theo câu 5: SC ⊥ (AHK) mà SC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (AHK) 18 Theo câu 6: OM ⊥ (SAB) mà OM ⊂ (OMQ) ⇒ (OMQ) ⊥ (SAB) 19 Theo câu 7: ON ⊥ (SAD) mà ON ⊂ (ONQ) ⇒ (ONQ) ⊥ (SAD) 20 Theo câu 8: BC ⊥ (OPQ) mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (OPQ) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTðH môn Toán – Th ầy Lê Bá Tr ầ n Phương Chuyên ñề 01- Hình học không gian BÀI GIẢNG 03 CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC ( Phần II) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Góc hai mặt phẳng: ðịnh nghĩa: Giả sử hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến ∆ Từ ñiểm I ∆ ta dựng (P) ñường thẳng a vuông góc với ∆ dựng mp (Q) ñường thẳng b vuông góc ∆ Khi ñó góc hai mặt phẳng (P) (Q) góc hai ñường thẳng a, b I Q P Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính số ño góc mặt phẳng (BA’C) (DA’C) Bài 2: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối lăng trụ Nhưng HK = A’H.cot45o = A’H ⇒ A' H = 3a − A ' H ⇒ A ' H = a = 3a Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC hình chóp tam giác ñều cạnh ñáy AB = a; cạnh bên AA’ = b Gọi α góc hai mp(ABC) mp(A’BC) Tính tan α thể tích chóp A’.BCC’B’ Giải Vậy VABC A ' B 'C ' = S ABCD A’H = a 21.a Gọi O tâm ñáy suy A ' O ⊥ ( ABC ) góc α = ∠AIA ' *)Tính tan α A' A 'O 1a a với OI = AI = = OI 3 2 a 3b − a A ' O = A ' A2 − AO = b − = 3 C' tan α = ⇒ tan α = 3b − a a B' A C O I B *)Tính VA' BCC ' B ' VA ' BCC ' B ' = VABC A ' B 'C ' − VA ' ABC = A ' O.S ABC − A ' O.S ABC 3b − a a a 3b − a = a = ( dvtt ) 2 Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy tam giác ñều cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách AA’ BC a Giải AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( A' AM ) A' O ⊥ BC Kẻ MH ⊥ AA' , (do ∠A nhọn nên H thuộc ñoạn AA’.) Gọi M trung ñiểm BC ta thấy: Do C’ A’ BC ⊥ ( A' AM ) ⇒ HM ⊥ BC Vậy HM ñọan vông góc chung HM ∈ ( A' AM ) H AA’và BC, ñó d ( AA' , BC) = HM = a Xét tam giác ñồng dạng AA’O AMH, ta có: ⇔ suy A' O = B’ A' O HM = AO AH A AO.HM a a a = = AH 3a Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt C O M B Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối lăng trụ 1aa a3 A' O.AM.BC = a= 23 12 Bài Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ñáy ABC tam giác ñều cạnh a A’ cách ñều ñiểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với ñáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ Giải Từ giả thiết ta ñược chop A’.ABC chóp tam giác ñều Thể tích khối lăng trụ: V = A' O.S ABC = ∠A' AG góc cạnh bên ñáy a ; ðường cao A’G chóp A’.ABC ñường cao lăng trụ A' ⇒ ∠A' AG = 600 , AG = Vậy A’G = a a tan600 = = a 3 C' B' A C G Vậy Thể tích khối lăng trụ ñã cho V = a a a .a = 2 N M B Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy ABC tam giác ñều cạnh a, cạnh bên hợp với ñáy góc uuur uuur 450 Gọi P trung ñiểm BC, chân ñường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) H cho AP = AH gọi K trung ñiểm AA’, (α ) mặt phẳng chứa HK song song với BC cắt BB’ CC’ M, N Tính tỉ số thể tích VABCKMN VA ' B 'C ' KMN Giải Gọi Q, I, J trung ñiểm B’C’, BB’, CC’ ta có: AP = a ⇒ AH = a (vì ∆' AHA' vuông cân H) Vậy A' H = a ⇒ V ABCA'B 'C ' = S ABC A' H a a2 a 3a Ta có S ABC = a = (ñvdt) ⇒ V ABCA'B 'C ' = a = (ñvtt) 2 4 Vì ∆' AHA' vuông cân ⇒ HK ⊥ AA' ⇒ HK ⊥ (BB' C ' C ) A' (1) C' Gọi E = MN ∩ KH ⇒ BM = PE = CN (2) mà AA’ = 3a + 3a = a A' H + AH = Q B' a a ⇒ BM = PE = CN = Ta tích K.MNJI là: ⇒ AK = 1 a V = S MNJI KE ; KE = KH = AA ' = 4 K J I A 45 S MNJI = MN MI = a C a a = (dvdt ) 4 M P B Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt N E Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 H - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) ⇒ VKMNJI = V a2 a a3 = ( dvtt ) ⇒ ABCKMN 4 VA' B ' C ' KMN Thể tích khối lăng trụ 3a a − = 83 = 3a a + 8 Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC tam giác vuông cân A, BC = a , hình chiếu A’ mặt phẳng (ABC) trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên tạo với mặt ñáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ñó Giải A' Do ∆ABC vuông cân A mà BC = a => AB = BC = a C' a AB.BC = (ñvdt) 2 Ta có A'G ⊥ (ABC) => A'G ñường cao khối lăng trụ A'B'C'.ABC S ∆ABC = Gọi M trung ñiểm BC ⇒ AM = Do G trọng tâm ∆ABC ⇒ AG = a BC = 2 B' a AM = 3 a A 60 C Xét ∆A'AG ta có: tan 600 = G A 'G a a ⇒ A ' G = AG.tan 600 = = AG 3 ⇒ VABC A ' B ' C ' = S ∆ABC A ' G = a M B a a a3 (ñvdt) = Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu MẶT CẦU (Phần 01) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây tài liệu tóm lược kiến thức ñi kèm với giảng Mặt cầu (Phần 01) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn ðể nắm vững kiến thức phần Mặt cầu (Phần 01), Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng A Lý thuyết ðịnh nghĩa mặt cầu Tập hợp ñiểm không gian cách ñiểm O cố ñịnh khoảng R không ñổi ñược gọi mặt cầu tâm O bán kính R Kí hiệu S(O; R) (S) Các thuật ngữ * Cho S(O; R) A ñiểm tùy ý không gian + Nếu OA > R ta nói A nằm mặt cầu S(O; R) + Nếu OA = R ta nói A nằm mặt cầu S(O; R) + Nếu OA < R nói A nằm phía mặt cầu S(O; R) * Cho S(O; R) - C; D ñiểm nằm S(O; R) ñó CD ñược gọi dây cung - Nếu CD ñi qua O CD ñược gọi ñường kính mặt cầu Khối cầu Mặt cầu S(O; R) phần bên mặt cầu ñược gọi khối cầu (hình cầu) tâm O bán kính R Công thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu - Mặt cầu bán kính R, có diện tích là: ⇔ ∆ ⊥ OH S = 4π R - Khối cầu (hình cầu) bán kính R tích là: V = π R 3 Vị trí tương ñối mặt cầu mặt phẳng Cho S(O; R) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vuông góc O mp(P) (OH = d(O; (P)) + Nếu OH > R ta nói (P) không cắt mặt cầu S(O; R) + Nếu OH = R (P) tiếp xúc với S(O; R) H Khi ñó H gọi tiếp ñiểm, mặt phẳng (P) ñược gọi mặt phẳng tiếp xúc hay gọi tiếp diện mặt cầu + Nếu OH < R (P) cắt S(O; R) theo ñường tròn tâm H có bán kính R ' = R − OH + ðặc biệt: H ≡ O (P) cắt S(O; R) theo ñường tròn tâm O, bán kính R ðường tròn ñược gọi ñường tròn lớn nhất, lúc ñó (P) ñược gọi mặt phẳng kính Vị trí tương ñối mặt cầu ñường thẳng Cho S(O; R) ñường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu vuông góc O ∆ (OH = d(O; ∆ )) + Nếu OH > R ta nói ∆ không cắt mặt cầu + Nếu OH = R ta nói ∆ tiếp xúc với mặt cầu H hay ∆ tiếp tuyến mặt cầu H, H gọi tiếp ñiểm + Nếu OH < R ta nói ∆ cắt mặt cầu ñiểm phân biệt hay ∆ cắt mặt cầu Chú ý: + mặt phẳng (P) tiếp xúc S(O; R) H ⇔ ( P ) ⊥ OH H + ðường thẳng ∆ tiếp xúc S(O; R) H ⇔ ∆ ⊥ OH H Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu + Nếu A ñiểm nằm mặt cầu S(O; R) có vô số ñường thẳng tiếp xúc với mặt cầu A (có vô số tiếp tuyến mặt cầu A) tất tiếp tuyến ñều nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A + Nếu A ñiểm nằm S(O; R) qua A kẻ ñược vô số ñường thẳng tiếp xúc với mặt cầu ðộ dài ñoạn thẳng nối A với tiếp ñiểm Tập hợp tiếp ñiểm ñường tròn nằm mặt cầu S(O; R) Bài tập Bài 1: (ðHKD – 2003) Cho mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với theo giao tuyến ∆ Trên ∆ lấy ñiểm A, B cho AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy ñiểm C, mặt phẳng (Q) lấy ñiểm D cho CA DB vuông góc với ∆ , AB = AC = BD Tính bán kính mặt cầu ñi qua bốn ñiểm A, B, C, D khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (BCD) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu MẶT CẦU (Phần 01) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các tập tài liệu ñược biên soạn kèm theo giảng Mặt cầu (Phần 01) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn ñể giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt giảng Mặt cầu (Phần 01) ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ tập tài liệu Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD) , SB = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh trung ñiểm SC tâm mặt cầu ñi qua ñiểm S, A, B, C, D Bài 2: Cho hình chóp SABC có ñáy ABC tam giác cân A, mặt bên (SBC) vuông góc với (ABC), SA = SB = AB = AC = a a) Chứng minh tam giác SBC vuông b) Tính diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết SC = a Bài 3: Cho chóp tứ giác ñều S.ABCD ñáy ABCD hình vuông cạnh a, ∠ASB = α Tính thể tích khối cầu giới hạn mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a α Bài : Cho tứ diện ABCD có AB = AC = BC = BD = a, AD = a 2; ( ACD) ⊥ ( BCD) a) Chứng minh tam giác ACD vuông b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài 5: Cho hình lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có tất cạnh ñều a a) Tính diện tích xung quanh mặt cầu ñi qua ñiểm A, B, C, A’, B’, C’ (mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ) b) Gọi E trung ñiểm A’B’ Xác ñịnh tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu MẶT CẦU (Phần 01) ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các tập tài liệu ñược biên soạn kèm theo giảng Mặt cầu (Phần 01) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn ñể giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt giảng Mặt cầu (Phần 01) ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ tập tài liệu Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD) , SB = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh trung ñiểm SC tâm mặt cầu ñi qua ñiểm S, A, B, C, D S Giải: a) VS ABCD = dt ( ABCD ) SA 1 = a SA = a SB − AB 3 A a3 = a 2a = 3 b) Ta có: SA ⊥ AC , CB ⊥ SB, CD ⊥ SD D B C Như ñiểm A, B, D nhìn SC cố ñịnh góc vuông nên chúng nằm mặt cầu ñường kính SC Do ñó tâm mặt cầu ñi qua ñiểm S, A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD) trung ñiểm SC Bài 2: Cho hình chóp SABC có ñáy ABC tam giác cân A, mặt bên (SBC) vuông góc với (ABC), SA = SB = AB = AC = a a) Chứng minh tam giác SBC vuông b) Tính diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết SC = a S Giải: a) Gọi I trung ñiểm SC, H trung ñiểm BC ( ABC ) ⊥ ( SBC ) = BC ⇒ AH ⊥ ( SBC ) AH ⊂ ( ABC ), AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ SC Tam giác SAC cân A ⇒ AI ⊥ SC Ta có: SC ⊥ AH ⇒ SC ⊥ ( AHI ) ⇒ SC ⊥ HI SC ⊥ AI HI / / SB ⇒ SB ⊥ SC ⇒ ∆SBC vuông S HI ⊥ SC E I B A O H C b) Do tam giác SBC vuông S suy AH trục ñường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu - Gọi E trung ñiểm SA, qua E dựng mặt phẳng trung trực SA Mặt phẳng acwts trục AH O suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính mặt cầu R = OA Ta có hai tam giác vuông AOE tam giác ASH ñồng dạng ⇒ OA AE SA AE SA2 a2 = ⇒ OA = = = SA AH AH AH AI − HI 2 a 2 a2 1 Mà AI = SA − SI = SA − SC = a − = 2 HI = 2 a a2 SB = ⇒ HI = 2 Vậy OA = a2 a2 a2 − = a ⇒ diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC S = 4.π R = 4π OA2 = 4π a Bài 3: Cho chóp tứ giác ñều S.ABCD ñáy ABCD hình vuông cạnh a, ∠ASB = α Tính thể tích khối cầu giới hạn mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a α Giải: Gọi O giao ñiểm AC BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD) ⇒ SO trục ñường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD - Gọi I trung ñiểm SA, qua I dựng mặt phẳng trung trực SA Mặt phẳng cắt trục SO E nên E tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính mặt cầu R = ES Ta có hai tam giác vuông SOA SIE ñồng dạng nên ES SI AS.SI SA2 = ⇒ ES = = AS SO SO 2.SO Gọi M trung ñiểm AB Khi ñó ta có : sin α = AM AM a ⇒ SA = = α α SA sin 2sin 2 S α a − 2a sin a 2 a 2 2 SO = SA − AO = − = α α 4sin 4sin 2 2 = α a2 a cosα − 2sin = cosα ⇒ SO = α α α 4sin 4sin 2sin 2 I a2 ⇒ ES = SA2 a2 a cosα a = : = α α SO 4sin α sin 4sin cosα 2 E O M C B 4 a 3 Vậy thể tích khối cầu : V = π R = π (ES) = π α 3 4sin cosα Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt A D Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu Bài : Cho tứ diện ABCD có AB = AC = BC = BD = a, AD = a 2; ( ACD) ⊥ ( BCD) a) Chứng minh tam giác ACD vuông b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Giải: a) Gọi H trung ñiểm CD, tam giác BCD cân B ⇒ BH ⊥ CD ( BCD ) ⊥ ( ACD ) = CD ⇒ BH ⊥ ( ACD ) BH ⊂ ( BCD), BH ⊥ CD Ta có hai tam giác vuông ∆BHC = ∆BHA ⇒ HC = HA C Xét tam giác ACD có : AH = HC = CD ⇒ CAD = 900 tức tam giác CAD vuông A b) BH trục ñường tròn ngoại tiếp tam giác ACD - Gọi I trung ñiểm BD, qua I dựng mặt phẳng trung trực BD Mặt phẳng cắt trục BH O suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bán kính R = OB Ta có ∆BIO ñồng dạng ∆BHD ⇒ ( a2 3a 2 a − I D H A OB BI DB.BI DB a2 a2 = ⇒ OB = = = = DB BH BH 2.BH BD − DH 2 a − DH Mặt khác : Tam giác ACD vuông A ⇒ CD = a + a Do ñó: OB = B ) a = a ⇒ DH = CD = 2 =a Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: S = 4π R = 4π OB = 4π a Bài 5: Cho hình lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có tất cạnh ñều a a) Tính diện tích xung quanh mặt cầu ñi qua ñiểm A, B, C, A’, B’, C’ (mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ) b) Gọi E trung ñiểm A’B’ Xác ñịnh tâm bán kínhA mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE C Giải: G a) Gọi G G’ trọng tâm H tam giác ñều ABC A’B’C’ B - Gọi O trung ñiểm GG’, ñó dễ thấy: K I OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC’ O ⇒ O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Do ñó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là: A' 7a a 2 a 3 R = OA = OG + GA = + = 12 2 3 2 C' G' E b) Gọi H trung ñiểm AB, B' I tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác cân EAB - Qua I kẻ ∆ // CH ⇒ ∆ ⊥ ( EAB) ⇒ ∆ trục ñường tròn ngoại tiếp tam giác EAB Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu MẶT CẦU (Phần 02) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây tài liệu tóm lược kiến thức ñi kèm với giảng Mặt cầu (Phần 02) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn ðể nắm vững kiến thức phần Mặt cầu (Phần 02), Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Bài tập (tiếp) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ ( ABC ) , AB = 2, AC = 3, ∠BAC = 600 Gọi H, K hình chiếu A SB, SC Chứng minh rằng: ñiểm A, B, C, H, K nằm mặt cầu Tính diện tích xung quanh mặt cầu ñó thể tích khối cầu ñó Bài (ðHKB – 2010) Cho lăng trụ tam giác ñều (lăng trụ ñứng, ñáy tam giác ñều) ABC.A’B’C’ có AB = a, góc mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Bài 4: Cho chóp S.ABC ñáy ABC tam giác ñều cạnh a, SC ⊥ ( ABC ) , SC = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 5: Cho tứ diện ABCD có (ABC) vuông góc với mặt phẳng (DBC) tam giác ABC, DBC tam giác ñều cạnh a Gọi (S) mặt cầu ñi qua B, C tiếp xúc với ñường thẳng AD A a) Tính bán kính mặt cầu (S) b) Mặt phẳng (DBC) cắt mặt cầu (S) theo ñường tròn (C) Tính bán kính (C) Bài 6: Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R Một hình trụ có ñường cao 2x nội tiếp mặt cầu (S) (có nghĩa hai ñường tròn ñáy hình trụ nằm mặt cầu) a) Tính thể tích khối trụ diện tích xung quanh hình trụ theo R x b) Tìm x ñể thể tích khối trụ lớn c) Tìm x ñể diện tích xung quanh hình trụ lớn d) Tìm x ñể diện tích mặt cầu hai lần diện tích xung quanh hình trụ Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu MẶT CẦU (Phần 02) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các tập tài liệu ñược biên soạn kèm theo giảng Mặt cầu (Phần 02) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn ñể giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt giảng Mặt cầu (Phần 02) ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ tập tài liệu Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình thang cân AB // CD ðường tròn tâm O nội tiếp hình thang có bán kính r Biết SO vuông góc (ABCD) SO = 2r Xác ñịnh tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Bài 2: Cho mặt cầu tâm O bán kính R Từ ñiểm S mặt cầu kẻ ba dây cung SA, SB, SC cho SA = SB = SC ∠ASB = ∠BSC = ∠CSA = α a) Tính thể tích khối chóp SABC theo R α b) Xác ñịnh α ñể thể tích khối chóp SABC lớn Bài : Cho mặt cầu (S) ñường kính AB = 2R, H ñiểm nằm A B Mặt phẳng (P) ñi qua H vuông góc với AB cắt mặt cầu (S) theo ñường tròn (C) Xét hình nón có ñỉnh A có ñáy hình tròn giới hạn (C) ðặt AH = x a Tìm x ñể thể tích V khối nón giới hạn hình nón ñó lớn b Tìm x ñể diện tích xung quanh hình nón lớn Bài 4: Cho tứ diện ABCD với AB = CD = b; AC = BC = AD = BD = a Xác ñịnh tâm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (mặt cầu ñi qua ñiểm A, B, C, D) Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a 2, SA = SB = SC Góc ñường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu MẶT CẦU (Phần 02) ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các tập tài liệu ñược biên soạn kèm theo giảng Mặt cầu (Phần 02) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn ñể giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt giảng Mặt cầu (Phần 02) ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ tập tài liệu Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình thang cân AB // CD ðường tròn tâm O nội tiếp hình thang có bán kính r Biết SO vuông góc (ABCD) SO = 2r Xác ñịnh tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Giải: Gọi M, N, P, Q tiếp ñiểm ñường tròn nội tiếp hình thang với cạnh hình thang S Do SO vuông góc mp(ABCD) nên tam giác SOM, SON, SOP, SOQ ñiểm SO cách ñều mặt bên hình chóp Tâm mặt cầu nội tiếp giao ñường phân giác SON với SO Ta có: SN = SO + ON = r Theo tính chất phân giác: IO NO = IS NS Suy bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp là: R = IO = I A 2r −1 ON OS = = r ON + NS + M B O Q N D P C Bài 2: Cho mặt cầu tâm O bán kính R Từ ñiểm S mặt cầu kẻ ba dây cung SA, SB, SC cho SA = SB = SC ∠ASB = ∠BSC = ∠CSA = α S a) Tính thể tích khối chóp SABC theo R α b) Xác ñịnh α ñể thể tích khối chóp SABC lớn Giải: a) Vì SA = SB = SC ∠ASB = ∠BSC = ∠CSA = α suy AB = BC = CA nên tam giác ABC ñều O - Gọi H hình chiếu S (ABC) ñó ta có : HA = HB = HC nên H tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC - Ta có : SH ⊥ ( ABC ); OH ⊥ ( ABC ) ⇒ ñiểm S, O, H thẳng hàng 1 3 VS ABC = dt (∆ABC ).SH = AB AB AB SH SH = 3 2 12 Mặt khác : Gọi S’ ñiểm ñối xứng với S qua O ñặt SA = x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt A Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 C H B S' - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu Khi ñó tam giác SAS’ vuông A nên ta có : x2 2R SA2 = SH SS ' ⇔ x = SH R ⇒ SH = Trong tam giác SAB ta có : AB = SA2 + SB − SA.SB.cosα = x + x − 2.x.x.cosα = x (1 − cosα ) AB Trong tam giác SHA ta có : SA = SH + AH ⇔ SA = SH + 3 ⇔ SA2 = SH + 2 2 AB ⇔ x2 = x2 x (1 − cosα ) x2 + ⇔ = + (1 − cosα ) 2 4R 4R ⇔ x2 = R (1 + cos α ) R(1 + cos α ) R (1 + cos α )(1 − cosα ) ; AB = ⇒ SH = 3 3 R (1 + cos α )(1 − cosα ) R(1 + cos α ) 3.R = (1 − cosα )(1 + cos α ) 2 3 27 b) ðặt t = cosα ( −1 < t < 1) Vậy VS ABC = Khi ñó : V = 3R (1 − t )(1 + 2t )2 , − < t < 27 3R 3R 3(1 + 2t )(1 − 2t ) = ( −4t + 1) 27 V ' = ⇔ −4t + = ⇔ t = ± Bảng biến thiên : -1 − t V’ + Ta có : V ' = V 3R3 27 - 3R 27 0 1 π ⇔ cosα = ⇔ α = 2 Bài : Cho mặt cầu (S) ñường kính AB = 2R, H ñiểm nằm A B Mặt phẳng (P) ñi qua H vuông góc với AB cắt mặt cầu (S) theo ñường tròn (C) Xét hình nón có ñỉnh A có ñáy hình tròn giới hạn (C) ðặt AH = x a Tìm x ñể thể tích V khối nón giới hạn hình nón ñó lớn b Tìm x ñể diện tích xung quanh hình nón lớn Giải : a) Lấy M thuộc (C) ñó hình nón có bán kính r = HM - Vì tam giác AMB vuông M MH ⊥ AB Từ bảng biến thiên suy V lớn ⇔ t = nên ta có: MH = HA.HB ⇒ r = HM = HA.HB = x(2 R − x) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu A - Hình nón có chiều cao AH = x Do ñó ta có: 1 V = π r AH = π x (2 R − x) 3 x.x.(4 R − x) ≤ π x + x + 4R − x 32.π R3 (Bất ñẳng thức Côsi) = 6 81 4R Suy V lớn ⇔ x = R − x ⇔ x = = π H b) Hình nón có ñường sinh l = AM = AH AB = R.x M S xq = π r.l = π x(2 R − x) Rx = π Rx (2 R − x) 3π R x + x + 4R − 2x (bất ñẳng thức Côsi) = π R x.x.(4 R − x) ≤ π R = B 3.π R 4R ⇔ x = 4R − 2x ⇔ x = Bài 4: Cho tứ diện ABCD với AB = CD = b; AC = BC = AD = BD = a Xác ñịnh tâm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (mặt cầu ñi qua ñiểm A, B, C, D) Giải: A - Gọi M, N trung ñiểm AB CD - Vì ACD, BCD tam giác cân nên CD vuông góc với AN BN Suy CD ⊥ ( ANB ) ⇒ CD ⊥ MN Suy S xq lớn M Tương tự ta có: AB ⊥ MN MN ⊥ AB MN ⊥ CD ⇒ MN ñoạn vuông góc chung AB CD M ∈ AB, N ∈ CD Q B D - Gọi O trung ñiểm MN OA = OB = OC = OD Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính R = OA 2 MN b MN b Ta có: R = OA2 = OM + AM = + = + 4 2 Mà MN = AN − AM = AD − ND − AM = a − ⇒ R2 = N C b2 ( với 2a > b ) a b b a b 2a + b 2a + b − + = + = ⇒R= 4 8 Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a 2, SA = SB = SC Góc ñường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a Giải: Gọi H trung ñiểm BC ⇒ HA = HB = HC Kết hợp với giả thiết SA = SB = SC Suy SH ⊥ BC , ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ∠SAH = 600 Tam giác ABC vuông cân A: AC = AB = a ⇒ BC = 2a ⇒ AH = a Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu Tam giác SHA vuông: S SH = AH tan 600 = a 1 3a ⇒ VS ABC = AB AC.SH = 3 Gọi O, R tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ⇒ O thuộc ñường thẳng SH ⇒ O thuộc mặt phẳng (SBC) B ⇒ R bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác SBC SH Xét ∆SHA , ta có: SA = = 2a ⇒ ∆SBC ñều có ñộ dài cạnh 2a sin 600 ⇒R= C H 2a 2a = sin 60 A Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - [...]... Cho hình chóp SABC, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) a Xác ñịnh góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC) b Giả sử tam giác ABC vuông tại B Xác ñịnh góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC) Giáo viên : Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 2 - Khóa học LTðH môn Toán – Th ầ y Lê Bá Tr ầ n Phương Chuyên ñề 01- Hình học không gian. ..Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên ñề 01- Hình học không gian Cho tứ giác ñều SABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng(SAB) và (SAD) Bài 3: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ ñáy ABC là tam giác... Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D AB = AD = a CD = 2a SD vuông góc (ABCD) SD = a a Tính d(D,(ABC)) b Tính d(A,(SBC)) Bài 2: (Trích ðHKD-2007) Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thang ∠ABC = ∠BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a SA vuông góc với ñáy, SA = a 2 Gọi H là hình chiếu của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính d(H, (SCD)) Bài 3: (Trích ðHKD-2011) Cho hình. .. giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3... dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Cạnh SA = a và SA ⊥ (ABCD) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD) b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC) c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có... giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Cạnh... + Vậy d , ( P ) = AIH d A I H P 2 Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) vuông góc ñáy (ABCD) SA = SB H là trung ñiểm AB, SH = HC Tính góc giữa SC và (ABCD) Bài 2: Cho hình chóp ñều S.ABC có cạnh ñáy bằng a, các cạnh bên bằng 2a 3 Tính góc giữa SA và (ABC) 3 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD), SA = a 6 TÍnh sin... Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a, AB=2a SA vuông góc với AB và AD, SA= 2 3a Tính góc giữa 2 ñường thẳng: 3 a, DC và SB b, SD và BC Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC A ' B ' C ' có AB = 1, CC ' = m (m > 0) Tìm m biết rằng góc giữa hai ñường thẳng AB ' và BC ' bằng 600 Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt... = 120 cos∠MPN= Vậy ∠( MP, NP) = 600 ⇒ ∠( AB, CD ) = 600 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a, AB=2a SA vuông góc với AB và AD, SA= 2 3a Tính góc giữa 2 ñường thẳng: 3 a, DC và SB b, SD và BC Giải: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn ñề về góc... tại A nên α là góc nhọn, khi ñó tan α = = 3 = ⇒ α = 300 AB 2a 3 Vậy ∠( DC , SB) = 300 b Gọi I là trung ñiểm AB, khi ñó AI=a Tứ giác ADCI là hình bình hành, lại có AI=AD=a nên là hình thoi, mà góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a ⇒ DI = a 2 Tứ giác BIDC là hình bình hành nên BC // DI Khi ñó ∠( SD, BC ) = ∠( SD, DI ) = β Tam giác SAI vuông tại A nên SI 2 = SA2 + AI 2 = 7a 2 3 Tam giác SAD vuông