TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2014 Trần Sĩ Tùng Vectơ CHƯƠNG I VECTƠ I VECTƠ Các định nghĩa uuur · Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B AB · Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ uuur · Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, kí hiệu AB r · Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu · Hai vectơ đgl phương giá chúng song song trùng · Hai vectơ phương hướng ngược hướng · Hai vectơ đgl chúng hướng có độ dài r r Chú ý: + Ta sử dụng kí hiệu a , b , để biểu diễn vectơ r + Qui ước: Vectơ phương, hướng với vectơ r Mọi vectơ Các phép tốn vectơ a) Tổng hai vectơ uuur uuur uuur · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB + BC =uuu AC r uuur uuur · Qui tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: AB + AD = AC r r r r r r r r r ( ar + b ) + cr = ar + ( b + cr ) ; · Tính chất: a+b =b+a; a+0=a b) Hiệu hai vectơ r r r r r r r · Vectơ đối a vectơ b cho a + b = Kí hiệu vectơ đối a - a r r · Vectơ đối r r r r · a - b = a + ( -b ) uuur uuur uuur · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB - OA = AB c) Tích vectơ với số r r · Cho vectơ a số k Ỵ R ka vectơ xác định sau: r r r r + ka hướng với a k ³ 0, ka ngược hướng với a k < r r + ka = k a r r r r r r r r r · Tính chất: k ( a + b ) = ka + kb ; (k + l)a = ka + la ; k ( la ) = (kl)a r r r r ka = Û k = a = r r r r r r · Điều kiện để hai vectơ phương: a b ( a ¹ ) phương Û $k Ỵ R : b = ka uuur uuur · Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0: AB = k AC · Biểu thị vectơ theo hai vectơ khơng phương: Cho hai vectơ khơng r r r r r r phương a , b x tuỳ ý Khi $! m, n Ỵ R: x = ma + nb Chú ý: · Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: uuur uuur r uuur uuur uuur M trung điểm đoạn thẳng AB Û MA + MB = Û OA + OB = 2OM (O tuỳ ý) · Hệ thức trọng tâm tam giác: uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur G trọng tâm DABC Û GA + GB + GC = Û OA + OB + OC = 3OG (O tuỳ ý) Trang Vectơ Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ r Bài Cho tứ giác ABCD Có thể xác định vectơ (khác ) có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D ? Bài Cho DABC có A¢, B¢, C¢ trung điểm cạnh BC, CA, AB uuuur uuur uuuur a) Chứng minh: BC¢ = C ¢ A = A¢ B¢ uuuur uuuur b) Tìm vectơ B¢C¢ , C¢ A¢ Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, uuur uuur uuur uuur BC Chứng minh: MP = QN ; MQ = PN Bài Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: uuur uuur uuur uuur uuur a) AC - AB = AD ; AB + AD = AC uuur uuur uuur uuur b) Nếu AB + AD = CB - CD ABCD hình chữ nhật r r r r r r Bài Cho hai vectơ a , b Trong trường hợp đẳng thức sau đúng: a + b = a - b uuur uuur uuur uuur Bài Cho DABC cạnh a Tính AB + AC ; AB - AC uuur uuur uuur Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB + AC + AD uuur uuur uuur Bài Cho DABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài vectơ HA, HB, HC uuur uuur Bài Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB + AD , uuur uuur uuur uuur AB + AC , AB - AD VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Bài Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AB + DC = AC + DB b) AD + BE + CF = AE + BF + CD Bài Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur a) Nếu AB = CD AC = BD b) AC + BD = AD + BC = 2IJ uuur uuur uuur uuur r c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA + GB + GC + GD = d) Gọi P, Q trung điểm AC BD; M, N trung điểm AD BC Chứng minh đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm Bài Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh: uuur uur uur uuur uuur 2( AB + AI + JA + DA) = 3DB Bài Cho DABC Bên ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng uur uur uur r minh: RJ + IQ + PS = Bài Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến I trung điểm AM uur uur uur r a) Chứng minh: 2IA + IB + IC = uuur uuur uuur uur b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI Trang Trần Sĩ Tùng Vectơ Bài Cho DABC có M trung điểm BC, G trọng tâm, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AH = 2OM b) HA + HB + HC = HO c) OA + OB + OC = OH Bài Cho hai tam giác ABC A¢B¢C¢ có trọng tâm G G¢ uuur uuur uuuur uuuur ¢ ¢ ¢ a) Chứng minh AA + BB + CC = 3GG¢ b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Bài Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: uuur uuur uuur AM = AB + AC 3 Bài Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm uuur uuur thuộc AC cho CN = NA K trung điểm MN Chứng minh: uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AK = AB + AC b) KD = AB + AC Bài 10 Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur a) AM = OB - OA b) BN = OC - OB c) MN = ( OC - OB ) 2 Bài 11 Cho DABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) AC = - CM - BN c) MN = BN - CM a) AB = - CM - BN 3 3 3 Bài 12 Cho DABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh: AH = AC - AB CH = - ( AB + AC ) 3 uuuur uuur uuur b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH = AC - AB uuur r uuur r Bài 13 Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a , AD = b Gọi I trung điểm CD, G uur uuur r r trọng tâm tam giác BCI Phân tích vectơ BI , AG theo a , b uuur uuur Bài 14 Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ BC BD theo vectơ uuur uuur AB AF Bài 15 Cho hình thang OABC, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ uuur uuur uuur uuur AM theo vectơ OA, OB, OC Bài 16 Cho DABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho uuur uuur uuur uuur uur uuur r MB = 3MC , NA = 3CN , PA + PB = uuur uuur uuur uuur a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Bài 17 Cho DABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB uuur uuur uuuur r a) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = uuur r uuuur r uuur uur uuur r r b) Đặt BB1 = u , CC1 = v Tính BC , CA, AB theo u v Bài 18 Cho DABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F điểm cạnh BC kéo 2FC uur dài uuursao cho uuur5FB =uuu r a) Tính AI , AF theo AB AC uuur uur uuur b) Gọi G trọng tâm DABC Tính AG theo AI AF Bài 19 Cho DABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B uuur uuur uuur r a) Chứng minh: HA r uuur r uuur - 5rHB + HC uuur= uuu r r b) Đặt AG = a , AH = b Tính AB, AC theo a b Trang Vectơ Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 3: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí hình vẽ Thơng uuurđiểm r r thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM = a , O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k – Hình bình hành – Trung điểm đoạn thẳng – Trọng tâm tam giác, … uuur uuur uuur r Bài Cho DABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA - MB + MC = Bài Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I M điểm tuỳ ý khơng nằm đường thẳng AB Trên MIuuu kéo điểm N cho IN = MI r dài, uur lấyuuur a) Chứng minh: BN - BA = MBuuu r uur uuur uuur uuur uuur b) Tìm điểm D, C cho: NA + NI = ND ; NM - BN = NC Bài Cho hình bình hành ABCD uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh rằng: AB + AC + AD = ACuuur uuur uuur uuur b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM = AB + AC + AD Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC uuuur uuur uuur a) Chứng minh: MN = ( AB + DC ) uuur uuur uuur uuur r b) Xác định điểm O cho: OA + OB + OC + OD = Bài Cho điểm A, B, C, D Gọi M N trung điểm AB, CD, O trung uur uur uur uuur uuur điểm MN Chứng minh với điểm S bất kì, ta có: SA + SB + SC + SD = 4SO Bài Cho DABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: uur uur r uur uur uur uur a) 2IB + 3IC = b) JA + JC - JB = CA uuur uuur uuur uuur uur uur uuur r c) KA + KB + KC = BC d) 3LA - LB + LC = Bài Cho DABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: uur uur uuur uur uur uur r IA IB = BC b) JA a) 2uuu r uuur uuur uuur uur + JBuuu+r JC uuur= uuur c) KA + KB - KCuur = BC uuur d) LA - LC = AB - AC HD: a) Iuuu Ỵr AC:uuu AI b) J trung điểm MC (M trung điểm AB) r = AC c) KA = BC d) L º B Bài Cho DABC Hãy xác định điểm I, F, K, L thoả đẳng thức sau: uur uur uuur uur uuur uuur uuur uuur a) IAuuu+r IBuuu -rIC uuu = rBC b) FA + FCuuu=r AB + AC uuuur+ FBuur r r c) 3KA +uuKB + KC = d) LA LB + LC = r uuur HD: a) IA = BC b) F º A uuur uuur uur uuur c) K Ỵ GA: GK = GA (G trọng tâm DABC) d) LA = GB Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hãy xác định điểm I, F, K thoả đẳng thức sau: uu r uu r uur uur uur uuur uuur uuur a) IAuuu +r IB +uuu IC = ID b) FA + FB = FC - FD r uuur uuur r c) KA +uur 3KB +uuur KC + KD = HD: a) DI = DO uuur uuur b) Gọi M làuur trunguuu điểm AB, N Ỵ DC: ND = r r uuur uuur r NC F đối xứng với N qua M c) Gọi P: PA + PD = , Q: 3QB + 2QC = K trung điểm PQ Trang Trần Sĩ Tùng Vectơ Bài 10 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý uuuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD = MC + AB , ME = MA + BC , uuur uuur uur MF = MB + CA Chứng E, F khơng uuur minh uuur D,uuur uuuur phụ uuurthuộc uuurvào vị trí điểm M b) So sánh véc tơ MA + MB + MC MD + ME + MF Bài 11 Cho tứ giác ABCD uuur uuur uuur uuur r a) Hãy xác định vị trí điểm G cho: GA + GB + GC + GD = (G đgl trọng tâm tứ giác ABCD) uuur uuur uuur uuur uuur b) Chứng minh với điểm O tuỳ ý, ta có: OG = ( OA + OB + OC + OD ) Bài 12 Cho G trọng tâm tứ giác ABCD A¢, B¢, C¢, D¢ trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh: a) G điểm chung đoạn thẳng AA¢, BB¢, CC¢, DD¢ b) G trọng tâm của tứ giác A¢B¢C¢D¢ Bài 13 Cho tứ giác ABCD Trong trường hợp sau xác định điểm I số k uuur r chouuur vectơ v k MI với điểm M: uuur uuur r r uuur uuur uuur a) v = uuur MA + uuur MB + 2uuur MC uuuur b) v = MA - MC uuur- MBuuur uuur uuuur r r c) v = MA + MB + MC + MD d) v = MA + MB + MC + 3MD VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng · Để uuu chứng minh r uuur ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thoả mãn đẳng thức AB = k AC , với k ¹ ·uuur Để chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức uuur minh hai điểm M, N trùng uuuuta r chứng r OM = ON , với O điểm MN = uuur uuur uuur r Bài Cho bốn điểm O, A, B, C cho : OA + 2OB - 3OC = Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, BD lấy điểm K cho: uuur uuur uuur uuur BH = BC , BK = BD Chứng minh: A, K, H thẳng hàng uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur HD: BH = AH - AB; BK = AK - AB Chứng minh AH = AK uur uur uur Bài Cho DABC với I, J, K xác định bởi: IB = IC , JC = - uur JA , uuur uuur KA = - KB uur uur uuur uuur uur uuur uuur uur uuur uuur a) Tính IJ , IK theo AB AC (HD: IJ = AB - AC , IK = AB - AC ) uur uur b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: IJ = IK ) Bài Cho tam giác ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P uuur uuur uuur uuur uur uuur r cho MB = MC , NA = CN , PA + PB = uuur uuur uuur uuur a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng Trang Vectơ Trần Sĩ Tùng Bài Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E cho 1 AF, AB = AE Chứng minh: 2 a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC hình bình hành uur uur r uur uur uur r Bài Cho DABC Hai điểm I, J xác định bởi: IA + 3IC = , JA + JB + 3JC = Chứng minh điểm I, J, B thẳng hàng uuur uuur r uuur uuur r Bài Cho DABC Hai điểm M, N xác định bởi: 3MA + MB = , NB - 3NC = Chứng minh điểm M, G, N thẳng hàng, trọng tâm uuur với uuurG làuuu r uuu r uurDABC uuur r Bài Cho DABC Lấy điểm M N, P: MB - MC = NA + NC = PA + PB = uuur uuur uuur uuur a) Tính PM , PN theo AB AC b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Bài Cho DABC Về phía ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh tam giác RIP JQS có trọng tâm Bài 10 Cho tam giác ABC, A¢ điểm đối xứng A qua B, B¢ điểm đối xứng B qua C, C¢ điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC A¢B¢C¢ có chung trọng tâm uuur uuur r uuur uuur r Bài 11 Cho DABC Gọi A¢, B¢, C¢ điểm định bởi: A¢B + A¢C = , B¢C + 3B¢A = , uuur uuur r 2C ¢A + 3C ¢B = Chứng minh tam giác ABC A¢B¢C¢ có trọng tâm Bài 12 Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý Gọi A¢, B¢, C¢ điểm đối xứng M qua trung điểm K, I, J cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh ba đường thẳng AA¢, BB¢, CC¢ đồng qui điểm N b) Chứng minh M di động, đường thẳng MN ln qua trọng tâm G củauuur DABC uuur r Bài 13 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: 3MA + MB = , uuur uuur CN = BC Chứng minh đường thẳng MN qua trọng tâm G DABC Bài 14 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho uuur uuur uuur BD = DE = EC uuur uuur uuur uuur a) Chứnguur minhuuurAB uuu + AC = rADuuu + rAE uur r uuu b) Tính AS = AB + AD + AC + AE theo AI Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng uuur uuur uuur Bài 15 Cho tam giác ABC Các điểm M, N xác định hệ thức BM = BC - AB , uuur uuur uuur CN = x AC - BC a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng IM b) Xác định x để đường thẳng MN trung điểm I BC Tính IN Bài 16 Cho ba điểm cố định A, B, C ba số thực a, b, c cho a + b + c ¹ uuur uuur uuur r a) Chứng minh có điểm G thoả mãn aGA bGB + cGC = uuur uuur uuur +uuur b) Gọi M, P hai điểm di động cho MP = aMA + bMB + cMC Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng uuuur uuur uuur uuur Bài 17 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN = MA + 3MB - MC uur uur uur r a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA + 3IB - IC = b) Chứng minh đường thẳng MN ln qua uuuu điểm định.uuur uuur r cốuuur Bài 18 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN = MA - MB + MC uur uur uur r a) Tìm điểm I cho 2IA - IB + IC = b) Chứng minh đường thẳng MN ln qua điểm cố định c) Gọi P trung điểm BN Chứng minh đường thẳng MP ln qua điểm cố định AD = Trang Trần Sĩ Tùng Vectơ VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa tập hợp điểm biết Chẳng hạn: – Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng – Tập hợp điểm cách điểm cố định khoảng khơng đổi đường tròn có tâm điểm cố định bán kính khoảng khơng đổi – Bài Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) MA + MB = MA - MB b) MA + MB = MA + MB HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực AB Bài Cho DABC Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) MA + MB + MC = MB + MC b) MA + BC = MA - MB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur c) MA + MB = MB - MC d) MA + MB + MC = MA - MB - MC HD: a) Trung trực IG (I trung điểm BC, G trọng tâm DABC) b) Dựng hình bình hành ABCD Tập hợp đường tròn tâm D, bán kính BA Bài Cho DABC uur uur uur r a) Xác định điểm I cho: 3IA - IB + IC = b) Chứng minh đường thẳng uuur nối điểm uuuu r uuur uuur M, N xác định hệ thức: MN = 3MA - MB + MC ln qua điểm cố định uuur uuur uuur uuur uuur c) Tìm tập hợp điểm H cho: 3HA - HB + HC = HA - HB uuur uuur uuur uuur uuur d) Tìm tập hợp điểm K cho: KA + KB + KC = KB + KC AB HD: b) M, N, I thẳng hàng c) Đường tròn tâm I, bán kính Bài Cho DABC uur uur uur r a) Xác định điểm I cho: IAuuu +3 IC = r IB -uuur r b) Xác định điểm D cho: 3DB - DC = c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng uuur uuur uuur uuur uuur uuur d) Tìm tập hợp điểm M cho: MA + 3MB - MC = MA - MB - MC Trang Vectơ Trần Sĩ Tùng II TOẠ ĐỘ Trục toạ độ · Trục toạ độ (trục) đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ r r đơn vị e Kí hiệu ( O; e ) r r r · Toạ độ vectơ trục: u = (a) Û u = a.e uuur r · Toạ độ điểm trục: M (k ) Û OM = k e uuur r · Độ dài đại số củauuuvectơ trục: AB = a Û AB = a.e r r Chú ý: + Nếu AB hướng với e AB = AB uuur r Nếu AB ngược hướng với e AB = - AB + Nếu A(a), B(b) AB = b - a + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trục, ta có: AB + BC = AC Hệ trục toạ độ · Hệ hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với Vectơ đơn vị Ox, Oy r gồm r i , j O gốc toạ độ, Ox trục hồnh, Oy trục tung r r r r · Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ: u = ( x; y ) Û u = x.i + y j uuur r r · Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: M ( x; y ) Û OM = x.i + y j r r · Tính chất: Cho a = ( x; y ), b = ( x¢ ; y¢ ), k Ỵ R , A( x A ; y A ), B( x B ; yB ), C ( xC ; yC ) : r r r r r ïì x = x¢ + a=bÛí + a ± b = ( x ± x¢ ; y ± y¢ ) + ka = (kx; ky ) ïỵ y = y¢ r r r + b phương với a ¹ Û $k Ỵ R: x¢ = kx y¢ = ky Û uuur + AB = ( x B - x A ; yB - y A ) x¢ y¢ = (nếu x ¹ 0, y ¹ 0) x y x A + xB y + yB ; yI = A 2 x + x B + xC y + yB + yC + Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xG = A ; yG = A 3 x - kx B y - kyB + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ¹ 1: x M = A ; yM = A k k uuur uuur ( M chia đoạn AB theo tỉ số k Û MA = k MB ) + Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: x I = Trang Trần Sĩ Tùng Vectơ VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trục Bài Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ -2 uuur a) Tìm tọa độ AB uuur ĐS: AB = (7) ỉ 7ư ĐS: I ç ÷ è2ø b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB uuur uuur r c) Tìm tọa độ điểm M cho MA + 5MB = ĐS: M(3) ỉ 12 ĐS: N ç ÷ è 5ø d) Tìm tọa độ điểm N cho NA + 3NB = -1 Bài Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ -3 a) Tìm tọa độ điểm M cho 3MA - MB = b) Tìm tọa độ điểm N cho NA + 3NB = AB Bài Trên trục x'Ox cho điểm A(-2), B(4), C(2), D(10) 1 a) Chứng minh rằng: + = AC AD AB ĐS: ĐS: b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh: IC ID = IA c) Gọi J trung điểm CD Chứng minh: AC AD = AB AJ Bài Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a) Tìm tọa độ trung điểm I AB ĐS: uuur uuur uuur r ĐS: b) Tìm tọa độ điểm M cho MA uuur + MB uuur- MC uuur= c) Tìm tọa độ điểm N cho NA - 3NB = NC ĐS: Bài Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C, D tuỳ ý a) Chứng minh: AB.CD + AC.DB + AD.BC = b) Gọi I, J, K, L trung điểm đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh đoạn IJ KL có chung trung điểm VẤN ĐỀ 2: Toạ độ hệ trục Bài Viết tọa độ vectơ sau: r 1r r r r r r b = i - j ; c = 3i ; d = -2 j r 1r r r 3r r r r r r r r r b) a = i - j ; b = i + j ; c = -i + j ; d = -4 j ; e = 3i r r r r Bài Viết dạng u = xi + yj biết toạ độ vectơ u là: r r r r a) u = (2; -3); u = (-1; 4); u = (2; 0); u = (0; -1) r r r r b) u = (1;3); u = (4; -1); u = (1; 0); u = (0; 0) r r Bài Cho a = (1; -2), b = (0;3) Tìm toạ độ vectơ sau: r r r r r r r r 1r r r r r r r r r r a) x = a + b; y = a - b; z = 2a - 3b b) u = 3a - 2b; v = 2a + b ; w = 4a - b ĐS: r r r a) a = 2i + j ; Trang Phương pháp toạ độ mặt phẳng HD: b) x - 5y - 25 = 0, x + 3y - Trần Sĩ Tùng 27 =0 Bài 18 Cho elip (E): x + y - 20 = điểm A(0; 5) a) Biện luận số giao điểm (E) với đường thẳng d qua A có hệ số góc k b) Khi d cắt (E) M, N, tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN é êk < - 1 : giao điểm, - < k < : khơng giao điểm, k = ± : giao điểm HD: a) ê 4 êk > ë b) x + y = 100 Bài 19 Cho họ đường cong (Cm): x + y - mx + 2m - = (*) a) Tìm giá trị m để (Cm) đường tròn b) Tìm phương trình tập hợp (E) điểm M mặt phẳng Oxy cho ứng với điểm M ta có đường tròn thuộc họ (Cm) qua điểm M HD: a) –1 £ m £ b) (E): x2 + y = (Đưa PT (*) PT với ẩn m Tìm điều kiện để PT có nghiệm m nhất) x2 y2 + = 16 a) Viết phương trình tắc hypebol (H) có đỉnh tiêu điểm (E) tiêu điểm đỉnh (E) b) Tìm điểm M (H) cho bán kính qua tiêu điểm M vng góc với c) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm N (H) đến hai đường tiệm cận (H) số ỉ 9ư x2 y2 63 =1 b) điểm M ç ± ; ± ÷ c) HD: a) è 4ø 16 Bài 20 Cho elip (E): Bài 21 Cho hypebol (H): x - y - = a) Xác định độ dài trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh (H) b) Gọi d đường thẳng qua điểm A(1; 4) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm d (H) ĐS: Bài 22 Cho điểm A1(-2; 0), A2 (2; 0) điểm M(x; y) Gọi M¢ điểm đối xứng M qua trục tung a) Tìm toạ độ điểm M¢ theo x, y Tìm phương trình tập hợp (H) điểm M thoả uuuur uuuuur MA2 M ¢ A2 = Chứng tỏ (H) hypebol Xác định toạ độ tiêu điểm phương trình đường tiệm cận (H) b) Viết phương trình elip (E) có đỉnh trục lớn (E) trùng với đỉnh (H) ỉ2 2 (E) qua điểm B ç ; ÷ è3 ø c) Tìm toạ độ giao điểm (H) với đường chuẩn (E) ỉ 3ư HD: a) x - y = b) (E): x + y = c) điểm ç ± ;± ÷ è 3 ø Bài 23 Cho hypebol (H): x - 5y - 20 = a) Tìm tiêu điểm, tâm sai, tiệm cận (H) Trang 68 Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng b) Gọi (C) đường tròn có tâm trùng với tiêu điểm F1 (có hồnh độ âm) (H) bán kính R độ dài trục thực (H) M tâm đường tròn qua tiêu điểm F2 tiếp xúc ngồi với (C) Chứng minh M (H) HD: b) (C): ( x + 3)2 + y = 20 Kiểm chứng MF1 - MF2 = = 2a Þ M Ỵ (H) x2 Bài 24 Cho hypebol (H): - y2 = ỉ 5ư a) Viết phương trình elip (E) có tiêu điểm với (H) qua điểm P ç 2; ÷ è 3ø b) Đường thẳng d qua đỉnh A2 (E) (có hồnh độ dương) song song với đường thẳng D: x - 3y + 12 = Viết phương trình d Tìm toạ độ giao điểm B (khác A2) d với (E) Xác định điểm C Ỵ (E) cho tam giác A2BC có diện tích lớn HD: a) x2 y2 + =1 ỉ 20 ỉ 5ư b) d: x - 3y - = , B ç - ; - ÷ , C ç -2; ÷ ø è 3ø è x2 y2 = Gọi F1, F2 tiêu điểm A1, A2 đỉnh (H) a2 b2 Trên (H), lấy điểm M tuỳ ý, kẻ MP ^ Ox Chứng minh: Bài 25 Cho hypebol (H): - a) ( MF1 + MF2 )2 = 4(OM + b2 ) b) PM A1P A2 P = b2 a2 HD: a) Viết ( MF1 + MF2 )2 = ( MF1 - MF2 )2 + MF1.MF2 b) Tính PM , A1P.A2 P theo toạ độ điểm M Bài 26 Cho parabol (P): y = x a) Tìm toạ độ tiêu điểm F phương trình đường chuẩn D (P) b) Tìm điểm M (P) mà khoảng cách từ M đến F HD: b) N(4; 4); N(4; –4) ỉ t2 Bài 27 Cho parabol (P): y = x có tiêu điểm F điểm M ç ; t ÷ (với t ¹ 0) è2 ø a) Chứng tỏ M nằm (P) b) Đường thẳng FM cắt (P) N (khác M) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo t c) Tìm tập hợp (P¢) điểm I t thay đổi ỉ t + t2 - HD: b) I çç ; c) (P¢): y = x ÷÷ 2 2t ø è 4t Bài 28 Cho parabol (P): y = px (p > 0) Một đường thẳng d qua tiêu điểm F cắt (P) uuur M N Gọi t góc trục Ox FM 1 + khơng đổi FM FN b) Tìm giá trị nhỏ tích FM.FN Suy vị trí d p p 1 HD: a) FM = , FN = Þ + = - cos t + cos t FM FN p a) Chứng minh d di động quay quanh F tổng b) Áp dụng BĐT Cơ–si: Û 1 1 + ³2 FM FN FM FN ³2 Û FM FN ³ p2 p FM FN Trang 69 Phương pháp toạ độ mặt phẳng Dấu "=" xảy Û Trần Sĩ Tùng 1 p = Û cos t = Û t = Û d ^ Ox FM FN Trang 70 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Phụ lục: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Bài (TN 2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H) qua điểm ỉ 9ư M ç 5; ÷ nhận điểm F1(5; 0) làm tiêu điểm è 4ø Viết phương trình tắc hypebol (H) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x + y –1 = x2 y2 =1 2) x + y ± 16 = 16 Bài (TN 2003) Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có khoảng cách đường chuẩn 36 bán kính qua tiêu điểm điểm M nằm elip (E) 15 Viết phương trình tắc elip (E) Viết phương trình tiếp tuyến elip (E) M ĐS: 1) ĐS: 1) x y2 + =1 144 80 2) x + 11y = 32, - x + 11y = 32, x - 11y = 32, x + 11y = -32 x2 y2 Bài (TN 2004) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elíp (E): + = có hai 25 16 tiêu điểm F1 F2 Cho điểm M(3; m) thuộc (E), viết phương trình tiếp tuyến (E) M m > Cho A B hai điểm thuộc (E) cho AF1 + BF2 = Hãy tính AF2 + BF1 3x y + =1 2) AF2 + BF1 = 12 ĐS: 1) 25 Bài (TN 2005) Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y2 = 8x Tìm toạ độ tiêu điểm viết phương trình đường chuẩn (P) Viết phương trình tiếp tuyến (P) điểm M thuộc (P) có tung độ Giả sử đường thẳng (d) qua tiêu điểm (P) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ tương ứng x1, x2 Chứng minh: AB = x1 + x2 + ĐS: 1) F(2; 0), D: x = –2 2) x – y + = x2 y2 Bài (TN 2006–kpb) Trong mặt phẳng Oxy, cho hypebol (H) có phương trình: = Tìm tọa độ tiêu điểm, đỉnh viết phương trình đường tiệm cận (H) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến qua điểm M(2; 1) ĐS: 1) F1(-3; 0), F2 (3; 0), A1 (-2; 0), A2 (2; 0), y = ± 2) x – = 0, 3x – 2y – = x x2 y2 Bài (TN 2007–kpb) Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có phương trình + = Xác 25 16 định toạ độ tiêu điểm, tính độ dài trục tâm sai elip (E) ĐS: F1(-3; 0), F2 (3; 0), 2a = 10, 2b = 8, e = Bài (TN 2007–kpb–lần 2) Trong mặt phẳng Oxy, cho hypebol (H): Trang 71 x2 y2 = Xác định 16 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng toạ độ tiêu điểm, tính tâm sai viết phương trình đường tiệm cận (H) ĐS: F1(-5; 0), F2 (5; 0), e = , y = ± x 4 Bài (TN 2008–kpb) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(0; 8), B(–6; 0) Gọi (T) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Viết phương trình (T) Viết phương trình tiếp tuyến (T) điểm A Tính cosin góc tiếp tuyến với đường thẳng y – = ĐS: 1) ( x + 3)2 + ( y - 4)2 = 25 2) x + y - 32 = 0, cos a = Bài (TN 2008–kpb–lần 2) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2; 1), B(–1; 0) C(1; –2) Chứng minh tam giác ABC cân đỉnh A Viết phương trình đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với đường thẳng AB ĐS: 2) x + 3y - = Trang 72 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài (ĐH 2002A) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy, xét tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC x - y - = , đỉnh A B thuộc trục hồnh bán kính đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ỉ7+4 6+ ỉ -4 - -6 - ĐS: G1 ç ; ; ÷ , G2 ç ÷ 3 ø 3 è è ø Bài (ĐH 2002B) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy, cho hình chữ nhật ỉ1 ABCD có tâm I ç ; ÷ , phương trình đường thẳng AB x - y + = AB = 2AD è2 ø Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hồnh độ âm ĐS: A(–2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(–1; –2) Bài (ĐH 2002D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy, cho elip (E) có x2 y2 + = Xét điểm M chuyển động tia Ox điểm N chuyển động 16 tia Oy cho đường thẳng MN ln tiếp xúc với (E) Xác định tọa độ M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ Tính giá trị nhỏ phương trình ĐS: M ( 7; ) , N ( 0; 21 ) , minMN = Bài (ĐH 2002A–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x - y + = đường tròn (C): x + y + x - y = Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua ta kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với (C) A B cho · AMB = 600 ĐS: M1(3; 4), M2 (-3; -2) Bài (ĐH 2002B–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: (C1): x + y - y - = (C2): x + y - x + 8y + 16 = Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) (C2) ĐS: tiếp tuyến chung: x + y ± - = 0; y = -1; y = x - 3 Bài (ĐH 2002D–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = đường thẳng dm : mx - y - = Chứng minh với giá trị m, đường thẳng dm ln cắt elip (E) hai điểm phân biệt Viết phương trình tiếp tuyến (E), biết tiếp tuyến qua điểm N(1; –3) ĐS: 2) 5x - y - 17 = 0; x + y + = Bài (ĐH 2002D–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: (C1 ) : x + y - 10 x = 0, (C2 ) : x + y + x - y - 20 = Viết phương trình đường tròn qua giao điểm (C1), (C2) có tâm nằm đường thẳng d: x + y - = Viết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn (C1), (C2) ĐS: 1) ( x - 12)2 + ( y + 1)2 = 125 2) x + y - ± 25 = Bài (ĐH 2003B) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy, cho tam giác ABC có · = 90o Biết M(1; –1) trung điểm cạnh BC G ỉ ; trọng tâm AB = AC, BAC ç ÷ è3 ø tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Trang 73 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng ĐS: A(0; 2), B(4; 0), C(–2; –2) Bài (ĐH 2003D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = đường thẳng (d): x – y – = Viết phương trình đường tròn (C¢) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ giao điểm (C) (C¢) ĐS: (C ¢ ) : ( x - 3)2 + y = , A(1; 0), B(3; 2) Bài 10 (ĐH 2003A–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol y = x điểm uuur uur I(0; 2) Tìm toạ độ hai điểm M, N thuộc (P) cho IM = IN ĐS: M (4; -2), N (1;1) M (36;6), N (9;3) Bài 11 (ĐH 2003B–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x - 7y + 10 = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D: x + y = tiếp xúc với đường thẳng d điểm A(4; 2) ĐS: ( x - 6)2 + ( y + 12)2 = 200 x2 y2 + = Bài 12 (ĐH 2003B–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): điểm M(–2; 3), N(5; n) Viết phương trình đường thẳng d1, d2 qua M tiếp xúc với (E) Tìm n để số tiếp tuyến (E) qua N có tiếp tuyến song song với d1 d2 ĐS: d1 : x = -2; d2 : x + 3y - = 0; n = -5 Bài 13 (ĐH 2003D–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 0) hai đường thẳng chứa đường cao vẽ từ B C có phương trình tương ứng là: x - y + = 0, 3x + y - = Tính diện tích tam giác ABC ĐS: B(-5; -2), C (-1; 4) Þ S = 14 ( ) Bài 14 (ĐH 2004A) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0; 2) B - 3; - Tìm tọa độ trực tâm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ĐS: H ( 3; -1) , I ( - 3;1) Bài 15 (ĐH 2004B) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 1), B(4; –3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – y –1 = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB ỉ 43 27 ĐS: C1 (7;3), C2 ç - ; - ÷ è 11 11 ø Bài 16 (ĐH 2004D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(–1; 0), B(4; 0), C(0; m) với m ¹ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vng G ỉ mư ĐS: G ç 1; ÷ , m = ±3 è 3ø Bài 17 (ĐH 2004A–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1; 1) đường thẳng d : x - y + - = Viết phương trình đường tròn qua A, qua gốc toạ độ O tiếp xúc với đường thẳng d ĐS: Bài 18 (ĐH 2004A–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) đường thẳng d : x - y + = Tìm d hai điểm B, C cho tam giác ABC vng B AB = 2BC ỉ2 6ư ỉ 12 19 ĐS: B ç ; ÷ , C (0;1) C ç ; ÷ è 5ø è 25 25 ø Trang 74 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Bài 19 (ĐH 2004B–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(–2; 0) hai đường thẳng d1 : x - y + = 0, d2 : x + y - = Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I uur uur cắt hai đường thẳng d1, d2 A, B cho IA = IB ĐS: Bài 20 (ĐH 2004B–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = Viết phương trình tiếp tuyến (E) song song với đường thẳng d : x + y - = ĐS: Bài 21 (ĐH 2004D–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng A ỉ7 Biết A(–1; 4), B(1; –4), đường thẳng BC qua điểm K ç ;2 ÷ Tìm toạ độ đỉnh C è3 ø ĐS: C(3; 5) Bài 22 (ĐH 2004D–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 3) hai đường thẳng d1 : x + y + = 0, d2 : x + y - = Tìm toạ độ điểm B d1 C d2 cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 0) ĐS: B(–1; –4), C(5; 1) Bài 23 (ĐH 2005A) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x - y = d2 : x + y - = Tìm toạ độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 đỉnh B, D thuộc trục hồnh ĐS: A(1; 1), B(0; 0), C(1; –1), D(2; 0) A(1; 1), B(2; 0), C(1; –1), D(0; 0) Bài 24 (ĐH 2005B) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hồnh điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B ĐS: (C1 ) : ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 1, (C2 ) : ( x - 2)2 + ( y - 7)2 = 49 Bài 25 (ĐH 2005D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm C(2; 0) elip (E): x2 y2 + = Tìm toạ độ điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng với qua trục hồnh tam giác ABC tam giác ỉ2 3ư ỉ2 3ư ỉ2 3ư ỉ2 3ư ĐS: A ç ; ÷, Bç ;÷ A ç ; ÷, Bç ; ÷ è7 ø è7 ø è7 ø è7 ø Bài 26 (ĐH 2005A–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân đỉnh ỉ 1ư A có trọng tâm G ç ; ÷ , phương trình đường thẳng BC x - y - = phương è 3ø trình đường thẳng BG x - y - = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C ĐS: A(0; 3), B(0; –2), C(4; 0) Bài 27 (ĐH 2005A–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x + y - 12 x - y + 36 = Viết phương trình đường tròn (C1) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngồi với đường tròn (C) ĐS: (C1 ) : ( x - 2)2 + ( y - 2)2 = 4, (C2 ) : ( x - 18)2 + ( y - 18)2 = 18, (C3 ) : ( x - 6)2 + ( y + 6)2 = 36 x2 y2 Bài 28 (ĐH 2005B–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : + = 64 Viết phương trình tiếp tuyến d (E) biết d cắt hai hai trục tọa độ Ox, Oy A, B cho AO = 2BO ĐS: tiếp tuyến: x + y ± 10 = 0, x - y ± 10 = Trang 75 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng Bài 29 (ĐH 2005B–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn có phương trình: (C1 ) : x + y = (C2 ) : x + y - x - y - 23 = Viết phương trình trục đẳng phương d đường tròn (C1) (C2) Chứng minh K thuộc d khoảng cách từ K đến tâm (C1) nhỏ khoảng cách từ K đến tâm (C2) ĐS: d : x + y + = , xét OK - IK = -16 < Þ OK < IK Bài 30 (ĐH 2005D–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: (C ) : x + y - x - y - 12 = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d có phương trình: x - y + = cho MI = 2R, I tâm R bán kính đường tròn (C) ỉ 24 63 ĐS: M (-4; -5), M ç ; ÷ è 5ø Bài 31 (ĐH 2005D–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(0;5), B(2; 3) Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A, B có bán kính R = 10 ĐS: ( x + 1)2 + ( y - 2)2 = 10, ( x - 3)2 + ( y - 6)2 = 10 Bài 32 (ĐH 2006A) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình: d1 : x + y + = 0, d2 : x - y - = 0, d3 : x - y = Tìm toạ độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 ĐS: M(–22; –11), M(2; 1) Bài 33 (ĐH 2006B) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x + y - x - y + = điểm M(–3; 1) Gọi T1 T2 tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T1T2 ĐS: Chứng tỏ toạ độ ( x0 ; y0 ) T1, T2 thoả phương trình x + y - = Bài 34 (ĐH 2006D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) đường thẳng d có phương trình: (C): x + y - x - y + = , d : x - y + = Tìm toạ độ điểm M nằm d cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngồi với đường tròn (C) ĐS: M(1; 4), M(–2; 1) x2 y2 + = Viết 12 phương trình hypebol (H) có hai đường tiệm cận y = ±2 x có hai tiêu điểm hai tiêu điểm elip (E) Bài 35 (ĐH 2006A–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 =1 Bài 36 (ĐH 2006A–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x - y - = , cạnh BC song song với d Phương trình đường cao BH: x + y + = trung điểm cạnh AC M(1; 1) Tìm toạ độ đỉnh A, B, C ĐS: (H): ỉ 2ư ỉ8 8ư ĐS: A ç - ; - ÷ , B(-4;1), C ç ; ÷ è 3ø è3 3ø Bài 37 (ĐH 2006B–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân B, với A(1; –1), C(3; 5) Điểm B nằm đường thẳng d : x - y = Viết phương trình đường thẳng AB, BC ĐS: AB: 23 x - y - 24 = , BC: 19 x - 13y + = Bài 38 (ĐH 2006B–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x - 3y - = đường trung tuyến qua đỉnh Trang 76 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học C có phương trình x + y + = Xác định toạ độ đỉnh B C tam giác ĐS: B(–2; –3), C(4; –5) Bài 39 (ĐH 2006D–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1; 1) đường thẳng d : x - y + - = Viết phương trình đường tròn (C) qua điểm A, gốc toạ độ O tiếp xúc với đường thẳng d ĐS: (C1 ) : x + y - y = 0, (C2 ) : x + y + x = Bài 40 (ĐH 2006D–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình tắc elip (E) có độ dài trục lớn , đỉnh trục nhỏ tiêu điểm (E) nằm đường tròn x2 y2 + =1 Bài 41 (ĐH 2007A) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(–2; –2), C(4; –2) Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M N trung điểm cạnh AB BC Viết phương trình đường tròn qua điểm H, M, N ĐS: (E): ĐS: H(1; 1), x + y - x + y - = Bài 42 (ĐH 2007B) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 2) đường thẳng: d1 : x + y - = 0, d2 : x + y - = Tìm toạ độ điểm B C thuộc d1 d2 cho tam giác ABC vng cân A ĐS: B(–1; 3), C(3; 5) B(3; –1), C(5; 3) Bài 43 (ĐH 2007D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) đường thẳng d có phương trình: (C ) : ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 9, d : x - y + m = Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B tiếp điểm) cho tam giác PAB ĐS: m = 19, m = –41 Bài 44 (ĐH 2007A–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y = Đường tròn (C¢) tâm I(2; 2) cắt (C) điểm A, B cho AB = Viết phương trình đường thẳng AB ĐS: Chú ý AB ^ OI Phương trình AB: y = - x ± Bài 45 (ĐH 2007A–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(–2; 0), phương trình cạnh AB: x + y + 14 = , AC: x + 5y - = Tìm toạ độ đỉnh A, B, C ĐS: A(–4; 2), B(–3; –2), C(1; 0) Bài 46 (ĐH 2007B–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) đường thẳng d có phương trình: (C): x + y - x + y + 21 = , d : x + y - = Xác định toạ độ đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp đường tròn (C), biết A nằm d ĐS: A(2; –1), B(2; –5), C(6; –5), D(6; –1) A(6; –5), B(6; –1), C(2; –1), D(2; –5) Bài 47 (ĐH 2007B–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x + y - x + y + = Viết phương trình đường tròn (C¢) có tâm M(5; 1) (C¢) cắt (C) điểm A, B cho AB = ĐS: (C1' ) : ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 13, (C2' ) : ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 43 Bài 48 (ĐH 2007D–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 1) Trên trục Ox, lấy điểm B có hồnh độ xB ³ , trục Oy, lấy điểm C có tung độ yC ³ cho tam giác ABC vng A Tìm điểm B, C cho diện tích tam giác ABC lớn ĐS: B(0; 0), C(0; 5) Bài 49 (ĐH 2007D–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 1), B(2; –1) Trang 77 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng đường thẳng d1 : (m - 1) x + (m - 2) y + - m = , d2 : (2 - m) x + (m - 1) y + 3m - = Chứng minh d1 d2 ln cắt Gọi P giao điểm d1 d2 Tìm m cho PA + PB lớn ĐS: Chú ý: ( PA + PB)2 £ 2(PA2 + PB ) = 2AB = 16 Do max(PA+PB)=4 P trung điểm cung AB Khi P(2; 1) hay P(0; –1) Þ m = m = Bài 50 (ĐH 2008A) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 x2 y2 + =1 Bài 51 (ĐH 2008B) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xác định toạ độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H(–1; –1), đường phân giác góc A có phương trình x - y + = đường cao kẻ từ B có phương trình x + 3y - = ĐS: ỉ 10 ĐS: C ç - ; ÷ è 4ø Bài 52 (ĐH 2008D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = 16 x điểm A(1; 4) hai điểm phân biệt B, C (B C khác A) di động (P) cho góc · BAC = 900 Chứng minh đường thẳng BC ln qua điểm cố định ĐS: Viết PT đường thẳng BC Þ BC qua điểm cố định I(17; –4) Bài 53 (ĐH 2009A) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng D: x + y - = Viết phương trình đường thẳng AB 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x + y + x + y + = đường thẳng D: x + my - 2m + = , với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để D cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích DIAB lớn ĐS: 1) y - = 0, x - y + 19 = 2) m= m = 15 Bài 54 (ĐH 2009B) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 2)2 + y = hai đường thẳng D1 : x - y = 0, D2 : x - y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với đường thẳng D1, D2 tâm K Ỵ (C) 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(–1; 4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng D: x - y - = Xác định toạ độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 ỉ8 4ư ỉ 11 ỉ ỉ ỉ 11 ĐS: 1) K ç ; ÷ , R = 2) B ç ; ÷ , C ç ; - ÷ B ç ; - ÷ , C ç ; ÷ è5 5ø è 2ø è2 2ø è2 2ø è 2ø Bài 55 (ĐH 2009D) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình x - y - = 0, x - y - = Viết phương trình đường thẳng AC 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x - 1)2 + y = Gọi I tâm Trang 78 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học (C) Xác định toạ độ điểm M thuộc (C) cho · IMO = 30 ỉ3 3ư ĐS: 1) AC : x - y + = 2) M ç ; ± ÷ è2 ø Bài 56 (ĐH 2010A) 1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y = d2 : x - y = Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B, C cho tam giác ABC vng B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y - = Tìm toạ độ đỉnh B C, biết điểm E(1; –3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho 2 ỉ ỉ 3ư ĐS: 1) (T ) : ç x + ÷ + ç y + ÷ = 2) B(0; –4), C(–4; 0) B(–6; 2), C(2; –6) 2ø 3ø è è Bài 57 (ĐH 2010B) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng A, có đỉnh C(–4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y - = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương x2 y2 + = Gọi F1 F2 tiêu điểm (E) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A ( 2; ) elip (E): ĐS: 1) BC: x - y + 16 = ỉ 3ư 2) ( x - 1) + ç y ÷ = è ø Bài 58 (ĐH 2010D) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho DABC có đỉnh A(3; –7), trực tâm H(3; –1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(–2; 0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) D đường thẳng qua O Gọi H hình chiếu vng góc A D Viết phương trình đường thẳng D, biết khoảng cách từ H đến trục hồnh AH ĐS: 1) C ( -2 + 65;3) 2) đường D: ( - 1) x ± - y = Bài 59 (ĐH 2011A) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: x + y + = đường tròn (C): x + y - x - y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc D Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B tiếp điểm) Tìm toạ độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 x2 y2 + = Tìm toạ độ điểm A, B thuộc (E), có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn ĐS: 1) M(2; –4), M(–3; 1) ỉ ỉ 2ư ỉ 2ư 2ư ỉ 2ư 2) A ç 2; ÷ , B ç 2; ÷ A ç 2; ÷ , B ç 2; ÷ è ø è ø è ø è ø Bài 60 (ĐH 2011B) 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): Trang 79 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng D: x - y - = d: x - y - = Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng D điểm M thoả mãn OM.ON = ỉ1 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B ç ;1÷ Đường tròn nội tiếp è2 ø tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm D, E, F Cho D(3; 1) đường thẳng EF có phương trình y - = Tìm toạ độ đỉnh A, biết A có tung độ dương ỉ6 2ư ỉ 13 ĐS: 1) N (0; -2), N ç ; ÷ 2) A ç 3; ÷ è5 5ø è 3ø Bài 61 (ĐH 2011D) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1) , trọng tâm G(1;1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x - y - = Tìm toạ độ đỉnh A C 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) đường tròn (C) có phương trình x + y - x + y - = Viết phương trình đường thẳng D cắt (C) hai điểm M, N cho tam giác AMN vng cân A 2) D : y = 1; D : y = -3 ĐS: 1) A(4;3), C (3; -1) Bài 62 (CĐ 2011) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y + = Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2; -4) tạo với đường thẳng d góc 450 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : x + 3y - = , BC : x + 5y - = , CA : x + y - = Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC ĐS: 1) D : y + = 0; D : x - = 2) x - y + = Bài 63 (ĐH 2012A) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh ỉ 11 BC, N điểm cạnh CD cho CN = ND Giả sử M ç ; ÷ đường thẳng AN è 2ø có phương trình x - y - = Tìm toạ độ điểm A 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn điểm hình vng ĐS: 1) A(1; -1), A(4;5) Bài 64 (ĐH 2012B) 1) 2) ( E ) : x y2 + =1 16 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1 ) : x + y = , (C2 ) : x + y - 12 x + 18 = đường thẳng d : x - y - = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2 ) , tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai điểm phân biệt A B cho AB vng góc với d 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox Trang 80 Trần Sĩ Tùng ĐS: 1) ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = Đề thi Tốt nghiệp – Đại học 2) Bài 65 (ĐH 2012D) x2 y2 + =1 20 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + 3y = x - y + = ; đường thẳng BD qua ỉ điểm M ç - ;1÷ Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD è ø 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x - y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = ĐS: 1) A(-3;1), B(1; -3), C (3; -1), D(-1;3) Bài 66 (CĐ 2012) 2) (C ) : ( x + 3)2 + ( y + 3)2 = 10 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x + y - x - y + = đường thẳng d : x - 3y + m = Tìm m để d cắt (C) hai điểm A, B cho · AIB = 1200 , với I tâm (C) 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Các đường thẳng BC, BB¢, B¢C¢ có phương trình là: y - = , x - y + = , x - 3y + = ; với B¢, C¢ tương ứng chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng AB, AC ĐS: 1) m = 7; m = -3 2) AC : x + y + = , AB : x - y + AB : x - y + = Bài 67 (ĐH 2013A) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : x + y + = điểm A(-4;8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm toạ độ điểm B C, biết N(5; -4) 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: x - y = Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt D hai điểm A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) ĐS: 1) B(-4; -7), C (1; -7) 2) (C ) : ( x - 5)2 + ( y - 3)2 = 10 Bài 68 (ĐH 2013B) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình: x + y - = tam giác ABD có trực tâm H(-3;2) Tìm toạ độ đỉnh C D 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh ỉ 17 A H ç ; - ÷ , chân đường phân giác góc A D(5;3) trung điểm è 5ø cạnh AB M(0;1) Tìm toạ độ đỉnh C ĐS: 1) C(-1;6) , D(4;1) D(-8;7) 2) C(9;11) Bài 69 (ĐH 2013D) ỉ 3ư 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M ç - ; ÷ trung è 2ø điểm cạnh AB, điểm H(-2; 4) điểm I(-1;1) chân đường cao kẻ từ B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm toạ độ điểm C 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = đường thẳng D: y - = Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C), đỉnh N Trang 81 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng P thuộc D, đỉnh M trung điểm cạnh MN thuộc (C) Tìm toạ độ điểm P ĐS: 1) C(4;1) C(-1;6) 2) P(-1;3) P(3;3) Bài 70 (CĐ 2013) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y - = , D: x - y + = điểm M(-1;3) Viết phương trình đường tròn qua M, có tâm thuộc d, cắt D hai điểm A B cho AB = 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng A(-3;2) có trọng ỉ1 1ư tâm G ç ; ÷ Đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC qua điểm P(-2;0) Tìm è 3ø toạ độ điểm B C ĐS: 1) ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 2) B(7;2), C (-3; -3) B(-3; -3), C (7;2) Bài 71 (ĐH 2014A) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M (1;2), N (2; -1) ĐS: y + = 0; x - y - 15 = Bài 72 (ĐH 2014B) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD Điểm M(-3;0) trung điểm cạnh AB, điểm H(0; -1) hình chiếu vng góc B AD điểm ỉ4 G ç ;3 ÷ trọng tâm tam giác BCD Tìm toạ độ điểm B D è3 ø ĐS: B(-2;3), D(2; 0) Bài 73 (ĐH 2014D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D(1; -1) Đường thẳng AB có phương trình x + y - = , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + y - = Viết phương trình đường thẳng BC ĐS: x - y - = Bài 74 (CĐ 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(-2;5) đường thẳng d : x - y + = Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với d Tìm toạ độ điểm M thuộc d cho AM = ĐS: x + 3y - = 0; M (1;1) Bài 75 (ĐH 2015A) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ĐS: Bài 76 (ĐH 2015B) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ĐS: Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitungqn@gmail.com Trang 82 [...]... giác ABC ĐS: Bài 5 Chứng minh các điểm A(1; -1), B(5;1), C (3;5), D(-1;3) là các đỉnh của một hình vng Bài 6 Cho hai đỉnh kề nhau của hình vng ABCD là: A(-1; -3), B(3;5) Tìm hai đỉnh còn lại ĐS: Bài 7 Cho hai đỉnh đối diện của hình vng ABCD là: A(3; 4), C (1; -2) Tìm hai đỉnh còn lại ĐS: Bài 8 Cho tam giác ABC cân tại A, biết µA = 1200 , B(-1;2), C (4;1) Tìm toạ độ đỉnh A ĐS: Bài 9 Cho hình thoi ABCD... uuur HD: a) Sử dụng BA = ( MA - MB)2 Tập hợp là đường tròn (B; BA) uur uur r b) Trên BC lấy điểm I: 2 IB - IC = 0 Tập hợp là đường thẳng qua I và vng góc với BA c) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, BC Tập hợp là đường tròn đường kính IJ uur uur uur r d) Gọi I là điểm sao cho 2 IA + IB - IC = 0 Tập hợp là đường tròn đường kính IA Bài 2 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M sao cho: uuur uuur... MA - 2 MB) = 0 HD: Bài 3 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tìm tập hợp những điểm M sao cho: uuur uuur uuur uuuur a) MA.MC + MB.MD = a2 c) MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MD 2 uuur uuur uuur uuuur b) MA.MB + MC.MD = 5a2 uuur uuur uuur uuur uuur d) ( MA + MB + MC )( MC - MB) = 3a2 uuur HD: a) Phân tích các vectơ theo MO Tập hợp là đường tròn (O; a) uuur ỉ a 10 ư b) Phân tích các vectơ theo MO Tập hợp là đường tròn... uuur uuur uuur r d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN + 2 BN - 4CN = 0 ĐS: Bài 8 Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2) a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC ĐS: Trang 10 Trần Sĩ Tùng Vectơ BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I Bài 1 Cho tam giác ABC với trực tâm H, B¢ là điểm đối xứng với B qua tâm... 1: Định lí cơsin Bài 1 Cho tam giác ABC, biết AC = 13, AB + BC = 22, µB = 600 Tính AB, BC ĐS: Bài 2 Cho tam giác ABC, biết µB = 1200 , AB = 6, AC = 10 Tính BC ĐS: Bài 3 Cho tam giác ABC, biết AB = 3, AC = 5, µA = 1200 Tính độ dài đường phân giác trong BD và các đoạn AD, CD ĐS: Bài 4 Cho tam giác ABC, biết AB = 12, AB = 15, BC = 18 Tính độ dài đường phân giác trong của góc A ĐS: Bài 5 Tính góc A... 0 Bài 3 Cho tam giác ABC cân tại A với µA = 30 0 , AB = AC = 5 Đường thẳng qua B và tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AC tại D Tính BD ĐS: Bài 4 Cho tam giác ABC Đường tròn bán kính R qua A, B cắt BC tại D Tìm bán kính đường tròn qua 3 điểm A, D, C nếu AB = c, AC = b ĐS: Bài 5 Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm bán kính đường tròn đi qua trung điểm cạnh AB, tâm hình vng và đỉnh C ĐS: Bài. .. trung tuyến BM của tam giác ABC ĐS: Bài 6 Tính diện tích hình thoi ABCD nếu bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD là R và r ĐS: Bài 7 ĐS: VẤN ĐỀ 5: Giải tam giác Bài 1 Giải tam giác ABC, biết: a) c = 14; µA = 60 0 ; µB = 40 0 c) c = 35; µA = 400 ; µC = 1200 Bài 2 Giải tam giác ABC, biết: a) a = 6,3; b = 6,3; µC = 540 c) a = 7; b = 23; µC = 1300 Bài 3 b) b = 4,5; µA = 300 ; µC = 750... PN HD: uuur uuur uuur 1 uuur Bài 12 Cho tam giác đều ABC M, N, P là các điểm sao cho MB = -2 MC , NB = NC , 2 uuur uuur AP = k AB uuur uuur uuur uuur a) Biểu diễn các vectơ AM , AN theo AB, AC b) Xác định k để PN^ PN HD: Bài 13 a) Trang 20 Trần Sĩ Tùng Tích vơ hướng của hai vectơ VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm thoả đẳng thức về tích vơ hướng hay độ dài Bài 1 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M sao cho:... đường thẳng CD đi qua điểm M(6;7) ĐS: Bài 10 Cho hình thoi ABCD với B(1; -3), D(0;4), µA = 600 Tìm toạ độ các đỉnh A, C ĐS: Bài 11 a) ĐS: Trang 22 Trần Sĩ Tùng Tích vơ hướng của hai vectơ III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho DABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc... Đường trung trực đoạn IJ (I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC) Bài 17 Cho DABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện: uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 MA + MB + MC = MA + 2 MB + 3 MC uur uur uur r HD: Gọi G là trọng tâm DABC, J là điểm sao cho: JA + 2 JB + 3JC = 0 Tập hợp các điểm M là đường trung trực của GJ Bài 18 Cho tứ giác ABCD Tìm tập hợp các điểm M sao cho: uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur